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附录 A: 有限元分析 (FEA) 方法
有限元分析 (FEA)
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统
定义
（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相 几何和载荷工况）进行模拟。 互作用的元素，即单元， 互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知 量去逼近无限未知量的真实系统。 量去逼近无限未知量的真实系统。 历史典故 • 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业 界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六 十年代创立的。 十年代创立的。 • 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥 有限元分析理论已有100多年的历史， 100多年的历史 和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。 和蒸汽锅炉进行手算评核的基础
.. .
3
节点 单元
. .
4
.
节点 单元
.
单地等于在节点处的真实解，但单 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解， DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 •这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（ 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 构应力，热梯度）。 构应力，热梯度）。 •如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs， 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs 地得到导出数据， 地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导 出来的。 出来的。
单元形函数( 单元形函数(续)
遵循原则: 遵循原则 •当选择了某种单元类型时，也就十分确定地 当选择了某种单元类型时， 当选择了某种单元类型时 选择并接受 接受该种单元类型所假定的单元形函 选择并接受该种单元类型所假定的单元形函 数。 •在选定单元类型并随之确定了形函数的情况 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况 必须确保分析时有足够 足够数量的单元和节 下，必须确保分析时有足够数量的单元和节 点来精确描述所要求解的问题。 点来精确描述所要求解的问题。
节点和单元 (续)
变化的。 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
铰接) 三维杆单元 (铰接 铰接 UX, UY, UZ
I
J
三维梁单元 UX, UY, UZ,
I L K
二维或轴对称实体单元 UX, UY I
I P M L I N K J J O
L
ROTX, ROTY, ROTZ K 三维四边形壳单元
J
UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
O N K J
P
三维实体结构单元 M
L
三维实体热单元 TEMP
UX, UY, UZ
I
单元形函数
•FEA仅仅求解节点处的DOF值。 FEA仅仅求解节点处的DOF值 FEA仅仅求解节点处的DOF •单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF DOF值到单 单元形函数是一种数学函数 元内所有点处DOF值的计算方法。 DOF值的计算方法 元内所有点处DOF值的计算方法。 •因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“ 因此 状”。 •单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性 •单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解 精度。 精度。
物理系统举例
几何体 载荷 物理系统
结构
热
电磁
有限元模型
是真实系统理想化的数学抽象。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。 定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs） 自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 用于描述一个物理场的响应特性。 自由度
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
载荷
节点和单元 (续) 每个单元的特性是通过一些线性方程式 来描述的。 来描述的。 作为一个整体， 作为一个整体，单元形成了整体结构的 数学模型。 数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100 100个方程 尽管梯子的有限元模型低于100个方程 自由度”），然而在今天一个小的 （即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量 分析就可能有5000个未知量， ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵 可能有25 000，000个刚度系数 25， 个刚度系数。 可能有25，000，000个刚度系数。
节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。 信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
. .
A
. .
B
. . . . . .
A
1 node
. .
B
. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 和 之间没有信息传递 （需进行节点合并处理） 需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
DOF值二次分布 值二次分布 二次曲线的线性近 (不理想结果 不理想结果) 不理想结果
.
1
节点 单元
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
接近于真实的二次近似拟合) 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合 接近于真实的二次近似拟合 (最理想结果 最理想结果) 最理想结果
线性近似 (更理想的结果 更理想的结果) 更理想的结果 真实的二次曲线
• 历史典故
• 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。 是随计算机硬件而发展壮大的。 是随计算机硬件而发展壮大的 ANSYS最早是在 最早是在1970年发布的，运行在价格 年发布的， 最早是在 年发布的 为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生 ， ， 的 、 和 生 产的计算机上， 产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今 天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解 天的PC机 一台奔腾PC机在几分钟内可求解 5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天 的矩阵系统， × 的矩阵系统 时间。 时间。
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
节点和单元
节点: 空间中的坐标位置， 节点 空间中的坐标位置，具 有一定自由度和存在相互 存在相互物理 有一定自由度和存在相互物理 作用。 作用。 单元: 一组节点自由度间相互作 单元 用的数值、矩阵描述（ 用的数值、矩阵描述（称为刚度或 系数矩阵)。单元有线、 系数矩阵 。单元有线、面或实体 以及二维或三维的单元等种类。 以及二维或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的 单元组成 单元之间通过节点 组成， 单元组成，单元之间通过节点 连接，并承受一定载荷 载荷。 连接，并承受一定载荷。 载荷
有限元分析 (FEA)
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统
定义
（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相 几何和载荷工况）进行模拟。 互作用的元素，即单元， 互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知 量去逼近无限未知量的真实系统。 量去逼近无限未知量的真实系统。 历史典故 • 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业 界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六 十年代创立的。 十年代创立的。 • 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥 有限元分析理论已有100多年的历史， 100多年的历史 和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。 和蒸汽锅炉进行手算评核的基础
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节点 单元
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节点 单元
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单地等于在节点处的真实解，但单 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解， DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 •这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（ 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 构应力，热梯度）。 构应力，热梯度）。 •如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs， 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs 地得到导出数据， 地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导 出来的。 出来的。
单元形函数( 单元形函数(续)
遵循原则: 遵循原则 •当选择了某种单元类型时，也就十分确定地 当选择了某种单元类型时， 当选择了某种单元类型时 选择并接受 接受该种单元类型所假定的单元形函 选择并接受该种单元类型所假定的单元形函 数。 •在选定单元类型并随之确定了形函数的情况 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况 必须确保分析时有足够 足够数量的单元和节 下，必须确保分析时有足够数量的单元和节 点来精确描述所要求解的问题。 点来精确描述所要求解的问题。
节点和单元 (续)
变化的。 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
铰接) 三维杆单元 (铰接 铰接 UX, UY, UZ
I
J
三维梁单元 UX, UY, UZ,
I L K
二维或轴对称实体单元 UX, UY I
I P M L I N K J J O
L
ROTX, ROTY, ROTZ K 三维四边形壳单元
J
UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
O N K J
P
三维实体结构单元 M
L
三维实体热单元 TEMP
UX, UY, UZ
I
单元形函数
•FEA仅仅求解节点处的DOF值。 FEA仅仅求解节点处的DOF值 FEA仅仅求解节点处的DOF •单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF DOF值到单 单元形函数是一种数学函数 元内所有点处DOF值的计算方法。 DOF值的计算方法 元内所有点处DOF值的计算方法。 •因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“ 因此 状”。 •单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性 •单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解 精度。 精度。
物理系统举例
几何体 载荷 物理系统
结构
热
电磁
有限元模型
是真实系统理想化的数学抽象。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。 定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs） 自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 用于描述一个物理场的响应特性。 自由度
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
载荷
节点和单元 (续) 每个单元的特性是通过一些线性方程式 来描述的。 来描述的。 作为一个整体， 作为一个整体，单元形成了整体结构的 数学模型。 数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100 100个方程 尽管梯子的有限元模型低于100个方程 自由度”），然而在今天一个小的 （即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量 分析就可能有5000个未知量， ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵 可能有25 000，000个刚度系数 25， 个刚度系数。 可能有25，000，000个刚度系数。
节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。 信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
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A
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B
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A
1 node
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B
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分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 和 之间没有信息传递 （需进行节点合并处理） 需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
DOF值二次分布 值二次分布 二次曲线的线性近 (不理想结果 不理想结果) 不理想结果
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1
节点 单元
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2
真实的二次曲线
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节点 单元
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接近于真实的二次近似拟合) 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合 接近于真实的二次近似拟合 (最理想结果 最理想结果) 最理想结果
线性近似 (更理想的结果 更理想的结果) 更理想的结果 真实的二次曲线
• 历史典故
• 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。 是随计算机硬件而发展壮大的。 是随计算机硬件而发展壮大的 ANSYS最早是在 最早是在1970年发布的，运行在价格 年发布的， 最早是在 年发布的 为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生 ， ， 的 、 和 生 产的计算机上， 产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今 天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解 天的PC机 一台奔腾PC机在几分钟内可求解 5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天 的矩阵系统， × 的矩阵系统 时间。 时间。
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
节点和单元
节点: 空间中的坐标位置， 节点 空间中的坐标位置，具 有一定自由度和存在相互 存在相互物理 有一定自由度和存在相互物理 作用。 作用。 单元: 一组节点自由度间相互作 单元 用的数值、矩阵描述（ 用的数值、矩阵描述（称为刚度或 系数矩阵)。单元有线、 系数矩阵 。单元有线、面或实体 以及二维或三维的单元等种类。 以及二维或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的 单元组成 单元之间通过节点 组成， 单元组成，单元之间通过节点 连接，并承受一定载荷 载荷。 连接，并承受一定载荷。 载荷