六年级下册数学奥数全能解法及训练：质数与合数
六年下册奥数试题：质数与合数 全国通用(含答案)
第3讲质数与合数知识网络1．质数与合数（1）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。
2．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
重点·难点要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
（2）关于质数1）质数有无限多个。
2）最小的质数是2。
3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
4）每个质数只有两个约数：1和它本身。
（3）关于合数1）合数有无限多个。
2）最小的合数是4。
3）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。
例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。
学法指导（1）对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。
判别269，用2至268中所有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。
（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。
如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。
那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。
（3）用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。
奥数 六年竞赛 质数 合数.教师版word
1. 利用质数、合数的性质解题．2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法．本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结．1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 第6讲质数、合数3． 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大4． 找n 个连续合数的方法方法一：(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．方法二：[2,3,4,5,,,(1)]2n n ++L ，[2,3,4,5,,,(1)]3n n ++L ，[2,3,4,5,,,(1)]4n n ++L ，L ，[2,3,4,5,,,(1)]n n n ++L ，()[2,3,4,5,,,(1)]1n n n +++L (其中[2,3,4,5,,,(1)]n n +L 表示2，3，4，L ，n ，1n +的最小公倍数)【例 1】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？ 【分析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=［巩固］ (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?［分析］ 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对利用质数、合数性质解题任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k =时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：［巩固］ (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 ． ［分析］ 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如图．【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1)(1)12b c --=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的b =2、c =13或b =3、c =7或b =4、c =5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．［拓展］ (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？［分析］ 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质34765892数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．［拓展］ (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 ．［分析］ 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？【分析】 “L 数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L —质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L —质数”是31．【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数．【分析】 设这个四位数为abcd ，由题目可知，10a d +=，2d =，所以8a =，四位数是82bc根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得72|82bc ，9|82bc ，即9|(82)b c +++．可以得到9|(1)b c ++．所以b c +的结果有两种可能：8b c +=，17b c +=．bc 可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89．其中80，62，26，35，44，98为合数．只有71，17，53，89是质数． 又因8|2,2100102(968)(422)bc bc b c b c b c =++=++++所以8|422b c ++(968b c +是8的倍数)．把17，53，89代入上式：不能满足8|422b c ++，只有71可以满足上式：8|47212⨯+⨯+【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，还有．【分析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即11⨯101=1111，11⨯131=1441，11⨯15l=1661．［铺垫］(2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a b≠，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有个．［分析］若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．［拓展］如果某整数同时具备性质：⑴这个数与1的差是质数；⑵这个数除以2所得的商也是质数；⑶这个数除以9所得的余数是5．我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是．［分析］条件⑴也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件⑶，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这五个数满足条件．其中86与50不符合⑴，32与68不符合⑵，三个条件都符合的只有14．这个数是14．【例 8】一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【分析】显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了．同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6．［拓展］有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？［分析］首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有5-1=4个．构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109．质数、合数的灵活拆分【例 9】把1988分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是．【分析】如果拆成的数中有1，则将1加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有1；如果拆成的数中有不小于5的数a，由于3(3)290->，所以将a再拆成3与a a a--=->，即3(3)a a3a-会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于5的数；如果拆成的数中有4，由于42222=+=⨯，所以可以将4再拆成两个2，这样乘积不变所以；拆成的数应全为2和3．又因为22233++=+，22233⨯⨯<⨯，所以，如果出现3个以上的2，将3个2换成2个3会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有2个2，其余的全为3．而198836622=⨯+，所以应将1988拆分成662个3和1个2，这时其乘积最大．而此时乘积只有3和2这两个不同的质因数，所以答案是325+=．总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大［巩固］若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？［分析］2005÷3=6681L L，则拆成：6672⨯．32【例11】将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？【分析】拆成2，3，4，6，7，8．1不应出现在拆成的数中．把从2开始的若干个连续自然数相加．如果n n++++-+L与a的差只L，则234(1)++++-<++++-+≥n aL，而234(1)234(1)n n a可能为0，1，2，…，1n-．①当差为0时，将a拆成234(1)a n nL=++++-+②当差为1时，将a拆成34(1)L=+++-+a n n③当差为2，3，…，n-1中的数时，就将该数从2，3，…，n-1，n中删除，其余数即为所拆之数．本题中234567835++++++=，比30大5，故将5去掉，30被拆成234678+++++［巩固］(2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播．A．7天B．8天C．9天D．10天［分析］由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．又123456728++++++=，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可．所以最多可以播7天．【例11】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【分析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数L L第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3，L，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，L，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，L，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4，L，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数L L11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4L11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4L11，得出十个连续自然数27722，27723，27724L27731，他们分别是2，3，4L11的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11L(其中n！=1⨯2⨯3⨯L⨯n)这10个连续合数++++来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1L是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201L+++说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况．【例12】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是41445=+=+=+=+=+ +=．按题目要求分拆45有如下12种方法：4534254073811341332 17281926232229163114378414=+=+=+=+=+=+=+按题目要求分拆46有如下7种方法：=+=+=+=+=+=+=+462447391135133319273115379按题目要求分拆47有如下14种方法：=+=+=+=+=+=+=+472453444435426417401037=+=+=+=+=+=+=+因此满足题意最小自然数是47．1136133417301631182919282324［拓展］求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？［分析］考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4⨯合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4⨯(2⨯n)＋合数即8n+合数(其中n＞1即可)当该数被8整除时， 该数可表示为4⨯(2n )+8 ，n ＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示 当该数被8除余1时，该数可表示为4⨯(2n )+9，n ＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4⨯(2n )+10，n ＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4⨯(2n )+27，n ＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4⨯(2n )+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4⨯(2n )+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示 当该数被8除余6时，该数可表示为4⨯(2n )+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4⨯(2n )+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是43835-=经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351． P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【分析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷=L ，14342÷=L ，所以P 是3的倍数，所以3P =2． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，73． 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，89，461}、{2，3，5，7，89，641}(6252525=⨯.而且641都不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23整除，所以641是质数){2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，5，7，43，61，89}4． 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，它们都不是质数．【评注】我们注意到(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．5． 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大．若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3⨯3⨯3⨯3⨯3⨯2=486．6． (第五届“华杯赛”复赛第8题)把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?【分析】 3735292572331123231319513197111925111925131771317271117=++=+++=++=+++=++=++=+++=+++=++=+++ 共10种不同拆法．其中3⨯5⨯29=435最小拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军。
质数合数奥数练习题
质数合数奥数练习题质数与合数是数学中非常基础的概念。
无论是在学校还是奥数比赛中，经常会遇到与质数和合数相关的练习题。
下面我们来探讨一些关于质数和合数的奥数练习题，通过解答这些问题，加深我们对质数和合数的理解。
一、判断质数或合数1. 请判断以下数是质数还是合数：17、25、31、39。
答案解析：质数是只能被1和本身整除的数，合数是除了1和本身之外还能被其他数整除的数。
根据这个定义，我们可以逐个判断这些数。
17只能被1和17整除，所以是质数。
25可以被1、5和25整除，所以是合数。
31只能被1和31整除，所以是质数。
39可以被1、3、13和39整除，所以是合数。
二、质数与合数的特性2. 请判断以下说法的对错，并说明理由：①一个数的各个位上的数字之和能被3整除，那这个数一定是合数。
②若一个数的各个位上的数字之和能被9整除，那这个数一定是合数。
③除了2和3之外的所有质数都是奇数。
答案解析：①正确。
一个数的各个位上的数字之和能被3整除，说明这个数能被3整除，即为合数。
②正确。
一个数的各个位上的数字之和能被9整除，说明这个数能被9整除，即为合数。
③错误。
除了2和3之外，质数与奇数无关。
举个例子，5是质数但也是奇数，而2是质数但不是奇数。
因此，除了2之外的质数可以是奇数也可以是偶数。
三、质因数分解3. 将180写成质因数相乘的形式。
答案解析：将一个数表示成质因数相乘的形式，叫做质因数分解。
首先，我们可以试除法找出180的一个质因数2。
180 ÷ 2 = 90。
然后，再次用2试除90。
90 ÷ 2 = 45。
再继续用2试除45。
45 ÷ 2 无法整除。
换用下一个质数3试除45。
45 ÷ 3 = 15。
再继续用3试除15。
15 ÷ 3 = 5。
最后，用质数5试除5。
5 ÷ 5 = 1。
至此，我们得到180的质因数分解形式为：180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5。
小学奥数：质数与合数(三).专项练习及答案解析
5-3-3.质数与合数（三）.题库 教师版 page 1 of1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、质数合数综合 【例 1】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【考点】质数合数综合 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123【例 2】 老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都例题精讲知识点拨知识框架5-3-3.质数与合数（三）是合数．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数L L第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3，L，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，L，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，L，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4，L，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数L L11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4L11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4L11，得出十个连续自然数27722，27723，27724L27731，他们分别是2，3，4L11的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11L (其++++中n！=1⨯2⨯3⨯L⨯n)这10个连续合数来．同样，L是m个连续的合数．那么200个连续的自然数(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1可以是：201!2,201!3,,201!201+++L【答案】201!2,201!3,,201!201L+++【例 3】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。
小学数学奥数习题---质数和合数
专题二-----数论第三节质数与合数知识提要：质数与合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
（3）要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
（4）常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个：除了2其余的质数都是奇数除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。
二、质因数与分解质因数（1）质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
（2）互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
（3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（4）分解质因数的方法：短除法三、部分特殊数的分解111=3×37 1001=7X11X13; 11111=41×271; 10001=73X1371995=3×5×7×19; 1998=2×3×3×3×37: 2007=3×3×2232008=2×2X2×251: 2013=3X11X61 10101=3X7×13X37.例题1（1）在下面的方框中分别填入三个质数，使等式成立ロ＋ロ＋ロ＝52（2）已知长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米。
这个长方形的面积最大是多少平方厘米？练习1(1)两个质数的和是49，求这两个质数的积是多少?(2)A、B、C为三个质数，A+B=16，B+C=24，且A<B<C，求这三个质数。
(3)三个质数的倒数之和为431／1547，这三个质数的和是多少?例题2已知P，Q都是质数，并且P×11-Q×93=2003，则P×Q等于多少?练习2如果a，b均为质数，且3a+7b=41，则a+b等于多少?例题3把下面的数分解质因数(1)360 (2)539 (3)2635 (4)373练习3请把下面的数分解质因数：(1)2328;(2)12660;(3)22425;(4)374;例题4(1)三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个连续自然数的和等于多少?(2)四个连续自然数的乘积为3024，求这四个数是多少?练习4(1)三个连续自然数的积是32736，求这三个数?(2)四个连续自然数的乘积为43680，求这四个数是多少?例题5(1)算式924×175×140×95的计算结果的末位有多少个连续的0?(2)要使975×935×972×( )这个乘积的最后四位数字都为“0”，则( )内填入的最小值是多少?练习5(1)算式1×2×3×…×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0?(2)算式31×32×33×…×150的计算结果的末尾有几个连续的0?例题6张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。
小学奥数-质数与合数
小学奥数-质数与合数质数于合数例1、两个质数的积是46，求这两个质数的和。
例2、用2,，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？例3、将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等。
例4、七个连续质数，从大到小排列为a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么c= 。
例5、是否存在两个质数，它们的和等于11?1? ???20个1例6、将37拆成若干个不同的质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中的那些质数相乘，得到最小乘积是多少？例7、用0~9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。
例8、试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下图方框中，每个数字只能用一次（ 7 ）（ 1 ）（ 4 ）（这是一个三位数）（）（）（）（这是一个三位数）（）（这是一个一位数）使得三个数中任意两个都互质（最大公约数是1），其中一个三位数已填好，它是714。
例9、三个质数倒数的是311，那么这三个质数和是。
1001巩固练习：1、设有三个不相同的质数，它们的和是40，这3个质数是。
2、在3 141,31 415,314 159,3 141 592,31 415 926,31 415 927这6个数中，有且仅有一个质数，它是。
3、一个质数的3倍与另一个数的2倍之和等于2000，那么这两个质数之和是。
4、正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两个数之和都相等。
若18对面所写的是质数a;14对面所写的是质数b；35对面所写的质数c。
试求a+b+c的值。
5、三个质数倒数的和是1661，这三个质数和是。
19866、将1,，2，3…，99,010这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质。
（提示：先选出所有的奇合数）7、两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是。
8、两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？9、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？10、由1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成的九位数可以是质数吗？11、自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的十位数字与个位数字都是质数。
小学奥数系列：第二讲 质数、合数和分解质因数
第2讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
小学奥数解题方法质数合数质因数
小学奥数解题方法质数合数分解质因数1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数”，请你举一个例子说明这句话是错误的。
分析题目要求我们具体找出7个连续的合数。
中间夹着7个连续合数的两个质数，其差一定大于7，所以只要找到差大于7的两个相邻质数即可。
解题质数89与97相邻，它们的差97-89=8>7，特别说明所以89与97之间的7个连续自然数90、91、92、93、94、95、96全是合数，没有质数。
可见“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。
特别说明本例还可以这样解，任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的，并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全是合数。
2、找出1992所有的不同质因数，并求出她们的和。
分析先把1992分解质因数，然后把不同质数相加，求出它们的和。
解1992=2×2×2×3×83，所以1992所有不同的质因数有2、3、83.它们的和是：2+3+83=88.特别说明解题之道贵在简捷，本咧通过分解，使该题解得干净利索。
3、有3张卡片，它们上面各写一个数字1、2、3，从中抽出1张、2张、3张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。
分析此题可以用分类法求解。
解因为1、2、3三个数字之和是6，可知抽3张卡片时，无论按什么顺序排列后所得的三位数都能被3整除，所以它们都不是质数；从中任取2张卡片，按不同的顺序排列的两位数有：12、21、13、31、23、32，其中13、31和23是质数；从中任取1张卡片得到的一位数中2和3是质数。
这样，所得到的质数有2、3、13、23和31共5个。
特别说明1不是质数，偶数除2以外都不是质数，各位数字和是3的倍数时，除3以外都不是质数，这样很容易找到。
4、将50这个数拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是几？分析本例若用“调频思维”找出最大的质数比较困难，但采用列举思维却非常简捷。
奥数题质数与合数问题
奥数题质数与合数问题
奥数题质数与合数问题
国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiads)简称IMO，是一项以数学为内容，以中学生为对象的国际性竞赛活动，至今已有30余年的.历史。
下面是店铺整理的奥数题质数与合数问题的内容，一起来看看吧。
2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数。
已知一个长方形的长和宽都是质数个单位，并且周长是36个单位。
问这个长方形的面积至多是多少个平方单位？
考点：合数与质数。
分析：根据周长先求出长与宽的和，再把和写成两个质数的和，两个质数的积最大者即为答案。
解答：：由于长+宽是36÷2=18，
将18表示为两个质数和18=5+13=7+11，
所以长方形的面积是5×13=65或7×11=77，
故长方形的面积至多是77平方单位。
【奥数题质数与合数问题】。
六年级下册数学试题-奥数专练：质数与合数(含答案)全国通用
小学奥数（含答案）质数与合数一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b＝c，即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0)，我们就说，a能被b整除否则，称为a不能被b整除，(或b不能整除a)。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
一、自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。
质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
二、质数与合数重要知识点⑴要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
⑵任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
⑶最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。
⑷质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数，是公约数只有1的两个数，组成互质数的两个数：可能是两个质数(3和5)，可能是一个质数和一个合数(3和4)，可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。
⑸如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例1请找出100以内的所有质数。
例2若将17拆成若干个不同的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？例3将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )今有17、23、31、41、53、67、79、83、101、103共10个质数。
如果把它们分成两组，使每一组5个数，并且每组的5个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第2个数是多少？从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。
这样的数有几组？如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。
奥数 六年级竞赛 质数 合数.教师版word
1. 利用质数、合数的性质解题．2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法．本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结．1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.第6讲质数、合数3． 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大4． 找n 个连续合数的方法方法一：(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．方法二：[2,3,4,5,,,(1)]n n ++，[2,3,4,5,,,(1)]3n n ++ ，[2,3,4,5,,,(1)]4n n ++ ， ，[2,3,4,5,,,(1)]n n n ++ ，()[2,3,4,5,,,(1)]1n n n +++ (其中[2,3,4,5,,,(1)]n n + 表示2，3，4，，n ，1n +的最小公倍数)【例 1】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？【分析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=［巩固］ (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?［分析］ 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k =时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：利用质数、合数性质解题［巩固］ (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 ． ［分析］ 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如图．【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1)(1)12b c --=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的b =2、c =13或b =3、c =7或b =4、c =5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．［拓展］ (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？［分析］ 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．［拓展］ (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 ．［分析］ 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质34765892数是314159．【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？【分析】 “L 数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L —质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L —质数”是31．【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数．【分析】 设这个四位数为abcd ，由题目可知，10a d +=，2d =，所以8a =，四位数是82bc根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得72|82bc ，9|82bc ，即9|(82)b c +++．可以得到9|(1)b c ++．所以b c +的结果有两种可能：8b c +=，17b c +=．bc 可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89．其中80，62，26，35，44，98为合数．只有71，17，53，89是质数． 又因8|2,2100102(968)(422)bc bc b c b c b c =++=++++所以8|422b c ++(968b c +是8的倍数)．把17，53，89代入上式：不能满足8|422b c ++，只有71可以满足上式：8|47212⨯+⨯+【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，还有 ．【分析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即11⨯101=1111， 11⨯131=1441，11⨯15l =1661．［铺垫］ (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba ，其中a b ≠，而且ab 和ba 都是质数(a 和b 是两个数字)．具有这种形式的数共有 个．［分析］ 若两位数ab 、ba 均为质数，则a 、b 均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．［拓展］ 如果某整数同时具备性质：⑴这个数与1的差是质数；⑵这个数除以2所得的商也是质数；⑶这个数除以9所得的余数是5．我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是 ．［分析］ 条件⑴也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件⑶，除以9余5，在两位的偶数中只有 14，32，50，68，86这五个数满足条件．其中86与50不符合⑴，32与68不符合⑵，三个条件都符合的只有14．这个数是14．【例 8】 一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【分析】 显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了．同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6．［拓展］ 有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？［分析］ 首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有5-1=4个．构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109．【例 9】 把1988分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是 ．【分析】 如果拆成的数中有1，则将1加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有1；如果拆成的数中有不小于5的数a ，由于3(3)290a a a --=->，即3(3)a a ->，所以将a 再拆成3与3a -会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于5的数；如果拆成的数中有4，由于42222=+=⨯，所以可以将4再拆成两个2，这样乘积不变所以；拆成的数应全为2和3．又因为22233++=+，22233⨯⨯<⨯，所以，如果出现3个以上的2，将3个2换成2个3会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有2个2，其余的全为3．而198836622=⨯+，所以应将1988拆分成662个3和1个2，这时其乘积最大．而此时乘积只有3和2这两个不同的质因数，所以答案是325+=．总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大［巩固］ 若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？［分析］ 2005÷3=6681 ，则拆成：667232⨯．【例11】 将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？【分析】 拆成2，3，4，6，7，8．1不应出现在拆成的数中．把从2开始的若干个连续自然数相加．如果234(1)n a ++++-< ，而234(1)n n a ++++-+≥ ，则234(1)n n ++++-+ 与a 的差只可能为0，1，2，…，1n -．①当差为0时，将a 拆成234(1)a n n =++++-+②当差为1时，将a 拆成34(1)a n n =+++-+③当差为2，3，…，n -1中的数时，就将该数从2，3，…，n -1，n 中删除，其余数即为所拆之数．本题中234567835++++++=，比30大5，故将5去掉，30被拆成234678+++++质数、合数的灵活拆分［巩固］(2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播．A．7天B．8天C．9天D．10天［分析］由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．又123456728++++++=，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可．所以最多可以播7天．【例11】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【分析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数 第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3， ，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3， ，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4， ，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4， ，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数 11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4 11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4 11，得出十个连续自然数27722，27723，27724 27731，他们分别是2，3，4 11的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11++++(其中n！=1⨯2⨯3⨯ ⨯n)这10个连续合数来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201+++说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况．【例12】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是41445=+=+=+=+=+ +=．按题目要求分拆45有如下12种方法：4534254073811341332 =+=+=+=+=+=+=+17281926232229163114378414按题目要求分拆46有如下7种方法：=+=+=+=+=+=+=+462447391135133319273115379按题目要求分拆47有如下14种方法：=+=+=+=+=+=+=+472453444435426417401037=+=+=+=+=+=+=+因47．1136133417301631182919282324［拓展］求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？［分析］考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4⨯合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4⨯(2⨯n)＋合数即8n+合数(其中n＞1即可)当该数被8整除时，该数可表示为4⨯(2n)+8，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4⨯(2n)+9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4⨯(2n)+10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4⨯(2n )+27，n ＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4⨯(2n )+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4⨯(2n )+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4⨯(2n )+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4⨯(2n )+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43835-=经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351． P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【分析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷= ，14342÷= ，所以P 是3的倍数，所以3P =2． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，73． 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，89，461}、{2，3，5，7，89，641}(6252525=⨯.而且641都不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23整除，所以641是质数){2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，5，7，43，61，89}4． 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，它们都不是质数．【评注】我们注意到(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．5． 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大．若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3⨯3⨯3⨯3⨯3⨯2=486．6． (第五届“华杯赛”复赛第8题)把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?【分析】 3735292572331123231319513197111925111925131771317271117=++=+++=++=+++=++=++=+++=+++=++=+++ 共10种不同拆法．其中3⨯5⨯29=435最小拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军。
小学数学奥数习题---质数和合数
练习5
(1)算式1×2×3×…×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0?
(2)算式31×32×33×…×150的计算结果的末尾有几个连续的0?
例题6
张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问：一共有多少学生?每人种了几棵树?
二、质因数与分解质因数
（1）质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
（2）互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
（3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（4）分解质因数的方法：短除法
三、部分特殊数的分解
111=3×37 1001=7X11X13; 11111=41×271; 10001=73X1371995=3×5×7×19; 1998=2×3×3×3×37: 2007=3×3×2232008=2×2X2×251: 2013=3X11X61 10101=3X7×13X37.例题1
（1）在下面的方框中分别填入三个质数，使等式成立
ロ＋ロ＋ロ＝52
（2）已知长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
练习1
(1)两个质数的和是49，求这两个质数的积是多少?
(2)A、B、C为三个质数，A+B=16，B+C=24，且A<B<C，求这三个质数。
(3)三个质数的倒数之和为431／1547，这三个质数的和是多少?
专题二
第三节质数与合数
知识提要：质数与合数
小学奥数专题-质数与合数(一)
1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点:⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如:149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【例 2】 著名的哥德巴赫猜想是:“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
如6=3+3，12=5+7，等。
小学奥数必知质数与合数知识点讲解【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数必知质数与合数知识点讲解【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
质数与合数
质数：⼀个数除了1和它本⾝之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：⼀个数除了1和它本⾝之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把⼀个数⽤质数相乘的形式表⽰出来，叫做分解质因数。
通常⽤短除法分解质因数。
任何⼀个合数分解质因数的结果是的。
分解质因数的标准表⽰形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的公约数是1，这两个数叫做互质数。
【第⼆篇】
【质数合数】
【第三篇】
【质数与合数概念讲解】。
六年下册奥数试题-质数与合数 全国通用含答案
第3讲质数与合数知识网络1．质数与合数（1）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。
2．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
重点·难点要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
（2）关于质数1）质数有无限多个。
2）最小的质数是2。
3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
4）每个质数只有两个约数：1和它本身。
（3）关于合数1）合数有无限多个。
2）最小的合数是4。
3）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。
例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。
学法指导（1）对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。
判别269，用2至268中所有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。
（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。
如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。
那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。
（3）用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。
【六年级数学小升初】数的认识：质数、合数与分解质因数(含知识点、练习和答案)
【六年级数学小升初】数的认识：质数、合数与分解质因数（含知识点、练习和答案）知识点：质数与合数：1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
例如：30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
注意：（1）质数又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。
（2）最简分数：当分数的分子和分母互质时（只有公因数1），即为最简分数。
2、合数：一个数，如果除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数就叫做合数。
例如：4、6、8、9、12、24都是合数。
3、特别的：1既不是质数也不是合数。
自然数除了0和1外，不是质数就是合数。
如果把自然数（0除外）按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，就叫做分解质因数。
注意：每个合数都能写成几个质数相乘的形式。
其中的每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
例如：12=2×2×3，2和3就叫做12的质因数。
同步练习：一、单选题1、在1～10中，是偶数但不是质数的有（）个。
A、2B、3C、92、两个合数相加后，和是（）。
A、合数B、偶数C、奇数3、23和（）的乘积是质数。
A、1B、任何自然数C、质数4、（）的最大公因数一定是1。
A、两个奇数B、两个偶数C、两个合数D、两个不同的质数5、相邻的两个自然数的和一定是（）。
A、奇数B、偶数C、质数D、合数6、若b是质数，那么下面说法正确的是（）。
A、b一定是奇数B、b一定不是2的倍数C、b只有两个因数7、分子、分母是两个不同的质数，那么这个分数（）最简分数。
A、不一定是B、一定是C、一定不是8、如果正方形的边长是质数，那么它的面积和周长都是（）。
A、奇数B、合数C、质数D、偶数9、关于“2”，下列说法正确的是（）。
A、奇数和质数B、偶数和质数C、奇数和合数D、偶数和合数10、20以内的自然数中有质数（）个。
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练习2 有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质
数是多少？
规律总结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
参考 答案
其中六个质数的和是偶数。
2是唯一的质偶数，
60－偶数＝偶数
是解决质数与合数
即第七个质数是偶数。
问题的突破口
所以最小的质数是2。
典例精析
例1 两个质数的和是81，这两个质数的积是多少？
81－2＝79
79×2＝158
答：这两个质数的积是158。
例2 两个质数的和是60，两个质数积的最大值是多少？
例2 两个质数的和是60，两个质数积的最大值是多少？
例2 两个质数的和是60，两个质数积的最大值是多少？ 60＝7＋53＝13＋47＝19＋41＝23＋37＝29＋31 7×53＝371 13×47＝611 19×41＝119 23×37＝851 29×31＝899
举一反三
练习1 筐里有96个苹果，如果不一次拿出，也没一个个
地拿，要求每次拿出的个数相同，拿完时，又正好
参考
答案 不多少，有多少种不同的拿法？
96＝25 × 3
此题实际求96的
（5＋1）×（1＋1）＝12
因数个数，根据因
12－2＝10（种）
数个数定理求解。
练习2 有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质 数是多少？
答：两个质数积的最大值是899。
例3 240有多少个因数？
N=ar11 ×
ar2 2
×
a a r3
rn
3…… n
例3 240有多少个因数？ 240＝24 × 31 × 5 1 （4＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝20（个） 答：240有20个因数。
举一反三
练习1 筐里有96个苹果 , 如果不一次拿出，也没一个个 地拿，要求每次拿出的个数相同，拿完时，又正好 不多少，有多少种不同的拿法？
小学奥数全能解法及训练
质数和合数
精讲1 0、1
解法精讲
2＝1×2 7＝1×7
3＝1×3 5＝1×5
自然数 质数： 只有两个因数
4＝2×2
6＝2×3
合数： 有两个以上的因数
12＝6×2 8＝2×4
精讲2
5和7 1和35
21和22 4和13
互质数：
两个数的 最大公因数是1。
8 ＝2 ×4 9 ＝3 ×3
质因数：
一个数的因数 是质数。
精讲3 12＝2×2×3 8＝2×2×2
分解质因数：
一个数用质数相乘的 形式表示出来。
2 24
××22
12 6
×3
分解质因数方法： 短除法
24＝2×2×2×3
分解质因数标准形式：
N=a1r1×
ar2 2
×
a a r3
rn
3…… n
因数个数定理： P=(r1+1)×(r2+1)× (r3+1)×……×(rn+1)
24＝23 × 3
24因数个数： （3＋1）×（1＋1） ＝8（个）
一个特殊数 • 2是质偶数
质数与全数
一张质数表 • 熟记100以内 • 的质数表
一种性质 • 和差积商的
奇偶性
典例精析
例1 两个质数的和是81，这两个质数的积是多少？
偶数＋奇数 ＝奇数
2即是偶数， 又是质数。
典例精析
例1 两个质数的和是81，这两个质数的积是多少？