高二文科数学——抛物线练习题

高二文科数学——抛物线练习题

【知识回顾】

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

（1）设00(,)P x y 是抛物线上的一点，则当焦点F 在x 轴上时，02

p

PF x =

+；当焦点F 在y 轴上时，02

p

PF y =

+。此公式叫做焦半径公式。 （2）设AB 是过抛物线2

2y px =的焦点F 的一条弦，则12||AB x x p =++。

一、选择题（每小题4分，共40分。答案填在答题表里） 1．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．x 2=

21y C . y 2=4x 或x 2=2

1

y D . y 2=4x 或x 2=4y 2．抛物线y = -2x 2的准线方程是( ) A .x = -

21 B .x =21 C . y =81 D . y = -8

1 3．动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x = -3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是

A . x y 122=

B . x y 62=

C . x y 32=

D .x y 242= 4．动点M 到定点(4,0)F 的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则点M 的轨迹是( ) A ．y 2=4x B ．y 2=16x C ．x 2=4y D ．x 2=16y

5．已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是

A .x y 162=

B .y x 82-=

C . x y 162=或y x 82-=

D . x y 162=或y x 82= 6．抛物线y 2+4x =0关于直线x +y =0对称的曲线的方程为（ ） A ．x 2= -4y B ．x 2=4y C ．y 2=4x D ．y 2= -4x

7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4，则m 的值为 ( )

A .4±

B .2-

C . 2-或4-

D .2± 8．设AB 是抛物线py x 22

=的焦点弦，B A 、在准线上的射影分别为11B A 、，则11FB A ∠等于（ ）

A . ︒45

B . ︒60

C . ︒90

D .︒120

9．抛物线y =x 2上的点到直线2x -y =4的距离最短的点的坐标是（ ）

A ．(41,

21) B ．(1,1) C ．(4

9

,23) D ．(2,4) 10．设F 为抛物线y x 42

=的焦点，点P 在抛物线上运动，点)3,2(A 为定点，使||||PA PF +为最小值时点P 的坐标是 ( ) A .⎪⎭

⎫

⎝⎛41,1 B .)1,2(- C .)1,2( D .)0,0( 二、填空题（每小题4分，共16分。答案填在试卷指定的横线上）

11．抛物线y 2= -8x 的焦点到准线的距离是

12．抛物线)0(12

<=m x m y 的焦点坐标是 13．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若621=+x x ，则

||AB 的值是

14．设AB 是抛物线x y 22

-=的过焦点的弦，4=AB ，则线段AB 中点C 到直线1x =的距离为

【附加题】

（12广东文）（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦

点1(10)F -，，且在(01)P ，在1C 上。

（1）求1C 的方程；

（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2

2:4C y x =相切，求直线l 的方程

高二文科数学第15周周练答卷 班别 座号 姓名

11． 12． 13． 14．

三、解答题（10+10+12+12=44分）

15．（编者自拟题）（10分）已知动圆P 过定点(1,0)A -，且与直线:1l x =相切。 （1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）若点P 的横坐标为2-，求||PA 。

16．（编者自拟题）（10分）已知直线1y kx =-与抛物线2

y x =有两个不同的交点,A B 。 （1）求k 的取值范围； （2）若AOB ∆O 为原点，求k 的值。

17．（编者自拟题）（12分）已知过点(1,2)P 的一条动直线l 与抛物线2

2x y =交于,A B 两点。

（1）若点P 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程；

（2）若点M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程。

18．（编者自拟题）（12分）已知过抛物线x y 42

=的焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点。 （1）若||5AB =，求直线l 的方程；（2）若2AF FB =，求直线l 的方程。

高二文科数学答案

【部分习题思路提示】

第8题：11||||,||||AF AA BF BB ==。

第9题：抛物线y =x 2上的点可表示为(x ,x 2)。

第10题：设点P 到准线的距离为d ，则||||PA PF +||PA d =+≥。

第14题：先求线段AB 中点C 到抛物线x y 22

-=的准线的距离。

（11） 4 （12） (0,

)4m （13） 8 （14） 2

5 三、解答题（10+10+12+12=44分）

15．解：（1）根据动圆P 过定点(1,0)A -，且与直线:1l x =相切，可知动圆圆心P 到定点A 的距离与到定直线l 的距离相等，可见圆心P 的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线，其中焦点到准线的距离为2，故所求的动圆圆心P 的轨迹方程为2

4y x =-。

（2）根据点P 到焦点A 的距离等于到准线l 的距离，可知||1(2)

3PA =--=

。

16．解：

（1）将1y kx =-代入2

y x =，得210x kx -+=。

要使直线与抛物线有两个不同的交点，就要使2

40k ∆=-≥，即2k ≤-或2k ≥，故所求的k 的取值范围是{|2k k ≤-或2}k ≥。

（

2）设,A B

两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则由（1），知1212,1x x k x x +==，其中

11221,1y kx y kx =-=-，于是

||AB

∴

===

==。

又设原点O 到直线1y kx =-，即10kx y --=的距离为d ，则

1||2AOB

d S AB d ∆=

⇒=⋅⋅= 2

=，得3k =±。 ∵3k =±满足（1）的结论，∴所求的k 的值为3k =±

17．解：（1）若直线l x ⊥轴，则条件显然不成立。

若直线l 不垂直于x 轴，则直线可设为2(1)y k x -=-，即(1)2y k x =-+，代入2

2x y =，得2

122240,2x kx k x x k -+-=∴+=，故线段AB 的中点的横坐标为k ，依题意知1k =，此时

直线方程可化为1y x =+，易知与抛物线2

2x y =有两个不同的交点。

∴所求的直线方程为10x y -+=。 （2）若直线l x ⊥轴，则条件显然不成立。

设动点M 的坐标为(,)x y ，则12

2

x x x k +=

=，其中(1)2y k x =-+，消去k ，得 (1)2y x x =-+，即22y x x =-+，这就是所求的动点M 的轨迹方程。

18．解：（1）易知抛物线x y 42

=的焦点的坐标为(1,0)，准线方程为1x =-。

当直线l x ⊥轴时，条件显然不成立，设所求的直线方程为(1)y k x =-，它与抛物线的交点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得

1212||||||(1)(1)2AB AF BF x x x x =+=+++=++。

将(1)y k x =-代入x y 42

=，得22

2

2

2

122

24

(24)0,k k x k x k x x k

+-++=∴+=。 再由||5AB =，得222

24

2

542k k k k

++=⇒=⇒=± 故所求的直线方程为2(1)y x =±-，即220x y --=与22

0x y +-=。

（2）当直线l x

⊥轴时，条件显然不成立，则由2AF FB

=，得1122(1,)2(1,)x y x y

--=-

，即1212122,23x x x x -=-∴=-+。

再由2

1

212

224,1k x x x x k ++==，得122

1

x x k ⎧=⎪=⎨⎪

=±⎩，其中121x x ==与条件不符，舍去。 故所求的直线方程为

1)y x =±-，即0y --=与0y +-=。

【附加题】解：（1）由题意得：1,11b c a b c ===⇔===

故椭圆1C 的方程为：2

212

x y += （2）①设直线:l x m =，直线l 与椭圆1C 相切m ⇔= 直线与抛物线2

2:4C y x =相切0m ⇔=，得：m 不存在

②设直线:l y kx m =+

直线l 与椭圆1C 相切222

(12)4220k x kmx m ⇔+++-=两根相等

22

1

021m k ⇔∆=⇔=+

直线与抛物线2

2:4C y x =相切222

2(2)0k x km x m ⇔+-+=两根相等

201km ⇔∆=⇔= 解得：2

k m ==或:(2)22k m l y x =-==±+