江西师大附中2017-2018学年高一上学期月考数学试卷

江西师大附中2017-2018高一年级数学月考试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1.设则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得：，∴
故选：D
2.已知集合，则=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵，
∴=
故选：B
3.若全集，则集合的真子集共有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】C
【解析】
，真子集有
4.下列四个函数：（1），（2），（3），（4），其中定义域
与值域相同的是（）
A. （1）（2）
B. （1）（2）（3）
C. （1）（4）
D. （1）（3）（4）
【答案】C
【解析】
（1）y=x+1的定义域与值域都是实数集R，故定义域与值域相同；
（2）的定义域是实数集R，值域为[0，+∞），故定义域与值域不相同；
（3）函数y=x2﹣1的定义域是实数集R，值域为[﹣1，+∞），故定义域与值域不相同；
（4）函数的定义域与值域都是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
综上可知：其中定义域与值域相同的是（1）（4）．
故选C．
5.若（）
A. B. C. 3 D. 3
【答案】C
【解析】
由，得,∴，
∴,
故选：C
6.已知A,B是非空集合，定义，
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得：,
∴，
∴
故选：A
7.已知函数上为增函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵函数上为增函数，
∴，即.
∴，
故选：C
点睛：二次函数的单调性问题注意两点：第一点开口方向，第二点对称轴》
8.设函数，则的值为（）
A. B.
C. 中较小的数
D. 中较大的数
【答案】D
【解析】
∵函数
∴当时，;
当时，;
∴的值为a,b中较小的数
故选：C
9.下列四个函数中，在上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
对于A，在上为减函数，不符合；
对于B，在上为减函数，在在上为增函数，不符合；
对于C，在上为增函数，符合；
对于D，在上不单调，不符合；
故选：C
10.设集合，则下列关系中成
立的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵
∴在上恒成立，
∴当时，显然适合；
当时，，解得：，
综上，，即，又
∴
故选：A
点睛：二次型不等式恒成立问题，注意对二次项系数的分类讨论,体会“三个二次”的关系.
11.定义在[1,1]上的函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵函数在定义域[1,1]上单调递增，
∴，解得：，
∴不等式的解集为
故选：D
12.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的都有
则称和在上是“和谐函数”，区间为“和谐区间”，设
在区间上是“和谐函数”，则它的“和谐区间”可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
令，解得：，
∴它的“和谐区间”可以是
故选：C
点睛：本题以新定义为载体，考查二次不等式的解法.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知集合若，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
∵集合，
∴
∴实数a的取值范围为
故答案为：
14.函数的值域为________.
【答案】
【解析】
设，
则原函数可化为
又∵
∴，,∴，
∴函数的值域为
故答案为：
15.已知集合A,B均为全集的子集，且
=_______
【答案】
【解析】
∵全集U={1，2，3，4}，B={1，2}，
∴B={3，4}
∵ (A∪B)={4}，
∴3∈A
∴A∩(B)={3}
故答案为：{3}.
16.已知函数恒成立，则实数m的取值范围为_______ 【答案】
【解析】
,
当时，；
当时，；
当时，；
∴函数的最大值为7，又恒成立，
∴，
故答案为：
点睛：不等式的恒成立常规处理方法转化为函数的最值问题.绝对值函数的最值转化为分段函数的最值问题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.设全集，集合，集合.
求
【答案】
【解析】
,
点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18.已知全集
（1）若，求实数q的取值范围；
（2）若中有四个元素，求和q的值.
【答案】（1）；
（2），={1，3，4，5}
【解析】
试题分析：（1）若 =U，则A=，根据一元二次方程根的关系即可求q的取值范围；（2）若中有四个元素，则等价为A为单元素集合，然后进行求解即可．
试题解析：
（1）∵A=U，
∴A=，即方程x2﹣5qx+4=0无解，或方程x2﹣5qx+4=0的解不在U中．
∴△=25q2﹣16＜0，∴＜q＜，
若方程x2﹣5qx+4=0的解不在U中，
此时满足判别式△=25q2﹣16≥0，即p≥或p≤﹣，
由12﹣5q•1+4≠0得q≠1；
由22﹣5q•2+4≠0得q≠；
同理，由3、4、5不是方程的根，依次可得q≠，q≠1，q≠；
综上可得所求范围是{q|q∈R，且q≠，q≠1，q≠}．
（2）∵A中有四个元素，∴A为单元素集合，则△=25q2﹣16=0，
即q=±，
当A={1}时，q=1，不满足条件．；
当A={2}时，q=，满足条件．；
当A={3}时，q=，不满足条件．；
当A={4}时，q=1，不满足条件．；
当A={5}时，q=，不满足条件．，
∴q=，此时A={2}，
对应的∁U A={1，3，4，5}．
19.已知函数
（1）若，试判断并用定义证明的单调性；
（2）若，求的值域.
【答案】(1)单调递增；(2)
【解析】
试题分析：（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；（2）当，利用对勾函数的图象与性质可得的值域.
试题解析：
（1）当时，递增
证：任取且
则=
在上单调递增.
（2）当时，
令
所以的值域为.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
20.已知函数
（1）解不等式；
（2）求在上的最大值.
【答案】(1) (2) ①当时，
②当时，
③当时，
【解析】
试题分析：(1) 不等式可转化为
或或，解后求并集即可；（2），对a分类讨论，求函数的最大值.
试题解析：
（1）
或或
或或
或或
（2）
①当时，
②当时，
③当时，
21.已知集合
（1）若时，求实数a的取值范围；
（2）若时，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1)对分类讨论，明确集合B，由，可知：，从而得到实数a的取值范围；（2）当，讨论a，利用数轴确定实数a的取值范围.
试题解析：
（1）
（2）当
若
综上：
22.设二次函数满足下列条件：
①对恒成立；②对恒成立.
（1）求的值；（2）求的解析式；
（3）求最大的实数，使得存在实数，当时，恒成立.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
试题分析：（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．
试题解析：
（1）当x=1时，
（2）由已知可得……①
由……②
由恒成立对R恒成立
则
由对恒成立
恒成立
则
,
（3）恒成立，则使的图像在的下方，且m最大，则1，m为的两个根
由
∴.。