单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究

摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。对单摆运动进行分析。其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。从而验证单摆周期公式。并对影响单摆周期的因素展开研究。最后总结出影响单摆周期的因素。

关键词：数学模型 ； 单摆运动 ； 周期公式

单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。单摆问题是物理学中经典问题。从阅读物理学史并可知道，早在 1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。但现在这个故事的真实性受到怀疑 ,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。他还指出周期与摆球质量无关。他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重 100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens ）。由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。事实上，反过来重力加速度是 1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。他在巴黎用一个周惠更斯期为 2s 的单摆 (即秒摆 )，测出摆长为 3.0565英尺，从而计算出2/2.9s g =。惠更斯于 1657 年取得了关于摆钟的专利权。惠更斯最伟大的著作《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》于 1673 年在巴黎问世。这本书共分 5部分，第一与或第五部分讨论时钟，第二部分讨论质点在重力作用下的自由落体运动以及沿光滑平面或曲面所作的约束运动，并证明了在大摆动下约束在旋轮线上的物体等时降落的性质，第三部分建立渐屈线理论，第四部分解决了复摆问题。这是人类第一次系统地研究约束运动的论著。1659 年，在对单摆的研究中，他导出了摆动周期和沿着摆的长从静止开始的自由落体时间之间

mg

θcos mg

的关系。他发表在《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》第四部分的结果[1]，相当于g

l

T π

2=在推导过程中，惠更斯使用了一个忽略周期与摆幅相关性的一个近似。这样引入的误差在小的摆幅下可以忽略中学物理中与惠更斯有关的内容还有弹性碰撞理论、向心力理论、光的波动说。从方法上看，惠更斯沿着伽利略开创的实验与逻辑推理相结合的道路继续前进。和伽利略在物理研究中所采用的相对简单的数学工具相比较，惠更斯把无穷小几何方法带进了力学领域。

单摆是伽利略科学研究活动的起点,此外,单摆与自然哲学中一个历史悠久的主题。通过参阅前人研究成果，基于普通物理实验，本文将对单摆运动周期公式规律及影响单摆周期的因素展开研究。 1单摆运动学公式

单摆作为一种理想的模型，我们研究的单摆问题是在地球表面附近的情况。简单复述如下。如图1所示, 设摆球质量为m ，半径为r ，悬

挂点O 到小球质心的长度为l （摆线长）， 且地球R l r <<<<摆球所受地球引力视为

恒力mg ，且切向力θsin -mg F =切它总是指向 平衡点，在小球开始左右摆动时其运动学方 程为t F mg rl ml D ϖθθθcos sin '

'

'=++，或

t ml

F

m r D ϖθϖθθcos sin 02'''=++ 图1单摆受力分析

Figure one pendulum stress analysis

其中，θ、'

''

θθ和分别表示小球的角位移、角速度和角加速度，r 为阻力常数，

l g

=

0ϖ为固有角频率。引入l

g =0ϖ，20ωm ，2

0ωml 作为新的基本量纲以代替原来的M ，L ，T 量纲，则方程中各个量可以改写成

02ωβm r

=

，mg F ml F f ==2

ω，0ωωωd = 由此可得到描述单摆运动的无量纲化微分方程为：

t f dt d dt d ωθθ

βθcos sin 22

2=++

其中，t f ,,,ωβ都是无量纲物理量，也就是纯数。 验证如下，以方括号表示原来的量纲。

1100--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T ωω ，110--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T d ωω ，110--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡MT MT m r ω ，2

2--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡MLT MLT mg F 2单摆运动特点判定[2]

众所周知，弹簧振子振动是围绕着平衡位置作周期性运动，其运动规律符合简谐运动，而单摆运动规律与其相似。目前，判别一个振动系统是否作简谐振动，常用的简谐运动的判断依据：

kx f -= （1）

02

0'

'=+x x ω （2） )cos(0a t A x +=ω （3）

（1）式中f 是振子受的反向的与其位移x 成正比的线性回复力；（2）式是振子运动微分方程；（3）式说明振子的位移可以用时间的余弦函数表示。在力学中，做简谐振动的系统振子一定受线性回复力kx f -=的作用，并且该力必须是保守性质的力。

简谐运动的本证特征：首先做简谐振动的系统必须具有动能和势能，二者相互转化，总机械能守恒。动能和势能缺一不可，一个周期内动能和势能的平均值相等。简谐振动缺少势能是不允许的。其次振动所受的回复力应是系统的保守内力，系统才具有相关的势能。第三，线性回复力总是指向稳定的平衡位置。

以上分析可以得出做简谐振动的两个特点：1）受保守力的线性回复力； 2）振动系统的机械能守恒。[3]

在如图（1）的单摆系统中根据牛顿第二运动定律，若视小球为质点（l r <<），质点的运动学方程为：

θsin mg mg -=切

θθ

sin 22mg dt d ml -=

θθsin 2

2l g

dt d -= 当θ取很小值时（0

5<θ），则θθ≈sin ，上式则为，θθl g

dt

d -=22。