高中数学：直接证明与间接证明练习

高中数学:直接证明与间接证明练习

1．(天津一中月考)用反证法证明命题:“a ,b ∈N ,若ab 可被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除．”时,假设的内容应该是( B )

A ．a ,b 都能被5整除

B ．a ,b 都不能被5整除

C ．a ,b 不都能被5整除

D ．a 能被5整除

解析:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立从而进行推证．命题“a ,b ∈N ,如果ab 可被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除．”的否定是“a ,b ∈N ,如果ab 可被5整除,那么a ,b 都不能被5整除”,故选B.

2．(河北邢台模拟)用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个钝角”,假设正确的是( C )

A ．假设三角形的三个内角都是锐角

B ．假设三角形的三个内角都是钝角

C ．假设三角形的三个内角中至少有两个钝角

D ．假设三角形的三个内角中至少有两个锐角

解析:“至多有一个”的否定是“至少有两个”．故选C.

3．若a ,b ,c 是不全相等的正数,给出下列判断:

①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立．

其中判断正确的个数是( C )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析:由于a ,b ,c 不全相等,则a －b ,b －c ,c －a 中至少有一个不为0,故①正确；②显然正确；令a ＝2,b ＝3,c ＝5,满足a ≠c ,b ≠c ,a ≠b ,故③错误．

4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,a ,b 为正实数,A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2,B ＝f (ab ),C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ,则A ,B ,C 的大小关系

为( A )

A ．A ≤

B ≤

C B ．A ≤C ≤B

C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A

解析:因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b

, 又f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 在R 上是单调减函数, 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ab a ＋b , 即A ≤B ≤C .

5．设x ,y ,z ∈R ＋,a ＝x ＋1y ,b ＝y ＋1z ,c ＝z ＋1x ,则a ,b ,c 三个数( C )

A ．至少有一个不大于2

B ．都小于2

C ．至少有一个不小于2

D ．都大于2

解析:假设a ,b ,c 都小于2,

则a ＋b ＋c ＜6,

而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6,与a ＋b ＋c ＜6矛盾,

∴a ,b ,c 都小于2不成立．

∴a ,b ,c 三个数至少有一个不小于2,故选C.

6．在等比数列{a n }中,a 1＜a 2＜a 3是数列{a n }递增的( C )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析:当a 1＜a 2＜a 3时,设公比为q ,

由a 1＜a 1q ＜a 1q 2得

若a 1＞0,则1＜q ＜q 2,即q ＞1,

此时,显然数列{a n }是递增数列,

若a 1＜0,则1＞q ＞q 2,即0＜q ＜1,

此时,数列{a n }也是递增数列,

反之,当数列{a n }是递增数列时,

显然a 1＜a 2＜a 3.

故a 1＜a 2＜a 3是等比数列{a n }递增的充要条件．

7．设a ＝3＋22,b ＝2＋7,则a ,b 的大小关系为 a ＜b .

解析:a ＝3＋22,b ＝2＋7,两式的两边分别平方,可得a 2＝11＋46,b 2＝11＋47,显然67,所以a ＜b .

8．已知点A n (n ,a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点,B n (n ,b n )为函数y ＝x 图象上的点,其中n ∈N *,设c n ＝a n －b n ,则c n 与c n ＋1的大小关系为 c n ＞c n ＋1 .

解析:由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝

1n 2＋1＋n , ∴c n 随n 的增大而减小,∴c n ＋1＜c n .

9．(长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1,在区间[－1,1]内至少存在一点

c ,使f (c )＞0,则实数p 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－3，32 . 解析:若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立,

则⎩

⎨⎧

f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32,

故满足题干要求的p 的取值范围为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－3，32. 10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则△A 2B 2C 2是 钝角 三角形．

解析:由条件知,△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形,假设△A 2B 2C 2是锐角三角形． 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，