第八章空间法

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2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

2009-2010外层空间法

营救制度
（3）履行保护和归还的费用由发射当局支付；（ 4）“发射当局"一词包括国际组织，但该组织必须宣布接受《协定》所规定的权利和义务，且该组织的多数会员国为《协定》及《外空条约》的缔约国。
责任制度
《空间物体所造成损害的国际责任公约》规定，各国对其在外层空间所从事的活动及其宇航器对他国造成损失的，应承担国家责任。这种责任通过赔偿的机制实现。赔偿损失的范围包括自然人生命的丧失、身体受伤或健康的其他损害，国家、自然人、法人、国际组织的财产的损失和损害。
登记制度的主要内容
1.该制度规定发射到外层空间的物体必须在一个发射国登记，若一个空间物体有两个以上发射国，应由各该国共同决定由其中哪一国登记该空间物体。 2.空间物体应在两个登记册上登记，登记国设置和保管一份登记册，联合国建立一个总登记册，由联合国秘书长保存。 3.发射国应将发射的空间物体的有关资料提供给秘书长登记，这些资料包括：(1)发射国或几个发射国的国名；(2)空间物体的适当标志或其登记号码；(3)发射的日期和地域或地点；(4)基本的轨道参数(交点周期、倾斜角、远地点、近地点)；(5)空间物体的一般功能。若登记国切实知道其所登记的物体己不复在地球轨道内，应尽速通知联合国秘书长。
保护外空环境
保护外空环境
保护外空环境
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太空垃圾是人类在进行航天活动时遗弃在太空的各种物体和碎片，它们如人造卫星一般按一定的轨道环绕地球飞行，形成一条危险的垃圾带。太空垃圾可分为三类：一是用现代雷达能够监视和跟踪的比较大的物体，主要有种种卫星、卫星保护罩及各种部件等，这类垃圾目前已达8000多个；二是体积小的物体，如发动机等在空间爆炸时产生的，其数量估计至少有几百万；三是核动力卫星及其产生的放射性碎片，到 2000年，这类卫星送到地球轨道上的碎片达3吨。 • 据统计，目前约有3000吨太空垃圾在绕地球飞奔，而其数量正以每年2％—5％的速度增加。科学家们预测：太空垃圾以此速度增加，将会导致灾难性的连锁碰撞事件发生，如此下去，到2300年，任何东西都无法进入太空轨道了。

第8章MATLAB系统空间分析法

第8章MATLAB系统空间分析法MATLAB系统空间分析法是一种基于MATLAB软件进行地理空间数据处理和分析的方法。

该方法结合了地理信息系统（GIS）和MATLAB工具箱的功能，提供了一种强大的工具来处理和分析地理数据。

在MATLAB系统空间分析法中，首先需要导入地理空间数据。

可以使用MATLAB的文件读取和处理功能，导入各种地理空间数据格式，如Shapefile、Raster等。

导入数据后，可以使用MATLAB的地理数据处理函数对这些数据进行处理和分析。

例如，可以使用地理点对象、地理线对象和地理多边形对象等来表示不同类型的地理空间数据，并使用相关工具箱函数计算地理距离、区域面积等。

接下来，可以使用MATLAB的空间分析函数进行各种空间分析。

其中包括邻接分析、缓冲区分析、空间插值、空间统计等多种方法。

例如，可以使用邻接矩阵和地理网络分析函数计算地理空间网络的邻接关系和最短路径。

可以使用缓冲区分析函数计算地理空间数据的缓冲区范围，并分析其中包含的其他地理实体。

可以使用空间插值函数进行地理空间数据的空间插值，以预测和分析地理现象的分布和变化。

可以使用空间统计函数计算地理空间数据的聚集性、相关性、分布模式等。

MATLAB系统空间分析法还支持可视化分析。

可以使用MATLAB的绘图功能将地理空间数据展示为地图，结合地图投影和符号制图方法进行地理数据的可视化。

可以使用图层控制和标注功能对地图进行图层管理和标记。

可以使用交互操作和动画效果来浏览和分析地理空间数据。

总之，MATLAB系统空间分析法提供了一种综合利用MATLAB软件和地理信息系统功能进行地理空间数据处理和分析的方法。

通过这种方法，可以快速高效地处理和分析地理空间数据，并从中提取有用的信息和知识，为地理学、环境科学、城市规划等领域的研究和决策提供支持。

高考数学复习第八章立体几何与空间向量确定球心位置的三种方法

确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。

高等代数课件第八章

由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.

高等代数教案第章欧氏空间

（线性双射），其次，它保持向量的内积不变. 因而欧氏空间的同构映射保持向量的长度不变，保持
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《高等代数》教案-8-第 8 章欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ，（2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化；难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念

《外层空间法》PPT课件

制度）。
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第一节外层空间法的概念与发展
• 一、外层空间法的概念 • 1、外层空间是指空气空间以外的全部空间。 • 2、外层空间法，简称空间法或外空法，是有关外
层空间的法律地位以及各国探测和利用外层空间活动的法律。它是现代国际法的一个新的分支。 • 3、外层空间法调整的对象主要是国家之间在探索和利用外层空间活动中所发生的关系。
• ４．不在环绕月球或飞向、飞绕月球的轨道上以及在月球上或月球内放置载有核武器和大规模毁灭性武器的物体。
• ５．禁止在月球上使用武力或以武力相威胁，从事任何敌对行为或以敌对行为相威胁。
• （三）条约和协定不禁止使用军事人员进行科学研究或把军事人员用于任何其他的和平目的。
• 三、外层空间活动的制度
• 二、外层空间法的发展 • （一）在联合国主持下制定的有关外层空间的国
际文件有： • 1.1967年1月27日《关于各国探索和利用外层空间
包括月球和其他天体的活动的原则条约》。 • 2.1968年4月22日《关于营救宇航员、送回宇航员
和归还发射到外层空间的实体的协定》。 • 3.1972年3月29日《空间物体造成损害的国际责任
• 3.归还。 • 无论在何地发现了发生意外的宇航员，都应立
即把他们安全地交还给发射当局的代表。
• (三)责任制度 • 1.责任主体。
• （１）国家对其在外层空间从事的活动，无论是政府从事的，还是非政府从事的，都要承担国际责任。
• （２）空间物体造成损害的责任承担者是发射国。当两国或数国共同参与一项发射活动时，一个空间物体有几个发射国，这些发射国对该外空物体造成的损害负共同和分别的责任。
• （３）当一个空间物体对另一个空间物体造成损害，并由此对第三国造成损害，这两个空间物体的发射国应承担共同和分别的责任，其赔偿责任应按该两国过失的程度分摊。

空气空间法

空气空间的法律地位
第一，完全自由论。这一学说主张，空中完全自由，认为空气空间和公海一样是开放的，完全自由的。第二，有条件自由论。这一学说主张原则上空气空间是开放的和完全自由的，但国家享有自保权。必要时，国家对其领土上空有进行干预的权利。比如，国家为了保障其本国的利益，可以制订各种航空规则，在其领空飞行的航空器必须遵守。第三，海洋比拟论。此学说把空间与海洋相类比，像海洋分为公海和领海一样，空间也分为公空和领空，一国对空主权只能向上延伸一定的高度，超过此高度应该是无主的和自由的，但领空有多高，说法不一。
设定特殊区域的要求
国家设置特殊区域时,应当遵循国际航空法规国家设置特殊区域时应当遵循国际航空法规定的要求. 定的要求特殊区域的范围和说明应当合理,以免空中航特殊区域的范围和说明应当合理以免空中航行受到不必要的阻碍. 行受到不必要的阻碍特殊区域的说明及其变更应当公布,尽快通知特殊区域的说明及其变更应当公布尽快通知各缔约国及国际民用航空组织. 各缔约国及国际民用航空组织关于禁区的规定,对本国和外国从事同样性质关于禁区的规定对本国和外国从事同样性质的飞行的民用航空器不得有区别对待,在非常的飞行的民用航空器不得有区别对待在非常情况下或在紧急时期内,一国关于暂时限制或情况下或在紧急时期内一国关于暂时限制或禁止航空器在其全部或部分领土上空飞行的禁应不分国籍使用于所有其他国家的航空器. 令,应不分国籍使用于所有其他国家的航空器应不分国籍使用于所有其他国的基本规则的公约 1919年10月13日在巴黎签订的《巴黎航空公日在巴黎签订的《年月日在巴黎签订的是世界上第一个关于航空的国际协定。约》是世界上第一个关于航空的国际协定。 1928年2月20日在哈瓦那签订了《泛美航空公日在哈瓦那签订了《年月日在哈瓦那签订了约》； 1944年12月7日在芝加哥签订了《国际民用航日在芝加哥签订了《年月日在芝加哥签订了空公约》。（我国1974年2月15日承认该公约）》。（我国日承认该公约）空公约》。（我国年月日承认该公约

第八章国际空间法-2014

外层空间的法律制度
• 5.对损害承担国际责任；6.对发射物体保持管辖和控制权；7.国际合作及互助；8. 物体须登记。
• 四、外层空间的国家责任问题 • 国家负专属责任。 • 1971年《赔偿责任公约》：一外空物体对另一外
空物体造成损害应负过失责任；一外空物体对地面物体造成损害应负绝对责任。
• 受害的国家或自然人、法人向发射国提出索赔要求。如苏联核动力卫星“宇宙954号”坠毁事件。
• 目前定期国际航空业务基本上由双边航空协定安排。
航空运营权利
• 国际民用航空组织：有广泛的监督权，其通过的规则对各国有较强的约束力。总部在蒙特利尔。
• 国际航空私法条约：1929年《华沙公约》，1955 年《海牙议定书》，1999年《蒙特利尔公约》，等等。
《统一国际航空运输某些规则的公约》，对中国生效，它取代了《华沙公约》及修正其的系列公约、议定书。影响航空承运人和国际航空运输中旅客的切身利益，涉及一国法院的管辖权。
• 1.功能论； 2.空气构成说；3.人造卫星近地轨道最低限度说。 4.不划界限论。
• 三、外层空间的法律制度 • 1967年《外空条约》被称为“外层空间宪
章”： 1.外空不得据为己有；2.平等利用外空；3.和平原则。 • 外空五个条约规定的原则和规则： 1.共同利益原则：对各国开放，为全人类谋福利。 2. 不得占有。3. 遵守国际法。4. 援助宇航员；
• 一国指定的航空公司，根据本国政府与外国政府签订的航空运输协定，在协议航线上经营航空运输业务，在外国取得的飞越、经停该国或在该国上下旅客、货物、邮件的权利。
航空运营权利
• 国际民用航空运输业务的条约：1929年《华沙公约》；1944年《国际航空运输协定》：空中五大自由，前两项为过境权，后三项为商业性的运输业务权； 1944年《国际航班过境协定》：过境权中的两项权利；《芝加哥公约》承认国内载运权，把各国民航分为定期和不定期航班。

外层空间法

（二）中国航天事业的发展宗旨和发展原则（三）中国航天事业的发展成果
二、中国关于外空的原则立场
ห้องสมุดไป่ตู้1．外层空间不得据为己有，各国应该在主权平等的基础上，自由探索和利用外层空间，外空活动应为全人类谋利益。 2．对于联合国的外空机构和外空会议，我国一贯持积极态度。
3．关于外层空间的定义和外层空间与空气空间的界限问题，我国政府代表在1988年第31届外空委员会会议上已表明：
四、1974年登记公约
第一，登记国的确定及责任。
第二，登记情报的公开。第三，登记国对外层空间的实体具有管辖权和控制权。
五、1979年月球协定
第一，月球及其他天体的和平利用和非军事化。第二，月球及其自然资源是全人类的共同财产(第11条第1款)。第三，飞往月球的情报。
第四，月球环境的保护。
第五，缔约国报告探月活动的义务。第六，对月球上人和物的管辖和控制权。第七，缔约国的国家责任和监督权利。
第二节外层空间的法律体系
一、1966年外空条约
第一，和平利用外层空间原则。第二，自由平等原则。第三，合作和互助原则。
第四，国际责任、赔偿责任和登记国的管辖权。
第五，关于救助宇航员的规定。缔约国还应把宇航员视为人类派往外层空间的使节。
第六，本条约的适用。
二、1967年营救协定
第一，“发射当局”的定义。
第三节外层空间的法律原则和制度
一、外层空间的法律原则
（一）为全人类谋福利原则（二）依照国际法自由探索和利用原则（三）不得据为己有原则（四）限制军事化原则
（五）援救宇航员原则
（六）国家责任和赔偿责任原则（七）对空间物体的管辖权和所有权原则（八）空间物体登记原则（九）保护环境原则

第八章空间法

3、根据《中华人民共和国民用航空法》，下列说法错误的是（）
A民用航空器不得具有双重国籍 B民用航空器未经批准不得飞出中国领空 C未注销外国国籍的民用航空器可以在中国申请国籍登记 D外国民用航空器的经营人，不得经营中国境内两点之间的航空运输

4、甲国发射的空间实体在外空撞击了乙国的空间实体，碰撞后乙国的空间实体的碎片落在丙国的地面上，对丙国造成了损害。对于丙国的损失，根据《空间物体造成损害的国际责任公约》，由谁来承担责任？ A 甲国单独承担责任 B 乙国单独承担责任 C 甲国和乙国都不承担责任 D 甲国和乙国共同承担责任

第二十一条旅客死亡或者伤害的赔偿
一、对于根据第十七条第一款所产生的每名旅客不超过100，000特别提款权的损害赔偿，承运人不得免除或者限制其责任。

二、对于根据第十七条第一款所产生的损害赔偿每
名旅客超过100，000特别提款权的部分，承运人证明
有下列情形的，不应当承担责任：

(一)损失不是由于承运人或者其受雇人、代理人的

5、根据外空法的有关规定，对发射到外层空间的实体行使管辖权的主体是（） A 国际宇航组织 B 联合国秘书长 C 航天器登记国 D 航天器所有人
二、多项选择题

1、甲国和乙国共同进行一项外空的探测活动，且签订了条约，下列条约的内容违反国际法的有哪些？（） A 条约规定某处外空归甲国和乙国共同所有 B 将该处外空用于实验某种新型的具有很小杀伤力的武器 C 条约规定双方负有相互救助宇航员的义务 D 条约规定在探测活动中造成第三国损害时，双方分担赔偿责任

2、下列有关国际民航安全制度的公约有（） A《国际民用航空公约》 B《东京公约》 C《海牙公约》 D《蒙特利尔公约》

第八章--城市空间分布体系

社会又有了分工的时候，就会有执行某种中心职能的企业单位应运而生。它得以存在的条件是必须最大程度地接近被服务的人口，而且要有一定数量的顾客。维持一个中心职能单元存在所需要的最起码的人口或最起码的购买力就叫某中心职能的门槛值
中心地提供的职能都有一定的服务范围中心性 ( centrality ) 与中心地等级根据中心地所执行职能的数量，也就可以把中心地划分成高低不同的等级①中心地等级越高，它提供的中心职能越多，人口也越多 ②高级的中心地不仅有低级中心地所具有的职能，而且具有低级中心地所没有的较高级的职能 ③中心地的级别越高，数量越少，彼此间距就越远，它的服务范围也就越大
1958年
公式：∑ Iij = ∑ PiPj 设：Vi = ∑ Iij Dijb
+ PiPi Diib
Pi
则：Vi =∑ Pj
Dijb
+ Pi
Diib
其中：Vi 为i城市的总潜能;
Dii 为i城市地域面积的平均半径;
其他符号与引力模式中的符号意义相同
美国人口潜力图
• 五、城市空间扩散 • 1、空间扩散的基本概念 • 传染扩散 • 等级扩散 • 重新区位扩散 • 2、空间扩散的研究状况 • 阻力作用 • 障碍的作用
• 第三节核心与边缘理论 • 一、均衡增长与不均衡增长 • 均衡增长论纳克斯（R.Nurkse）。恶性循环，供给
方面：低的储蓄能力，引起资本不足，造成生产力低下，导致供给水平低，进而又影响储蓄能力，引起资本不足……如此循环不断。需求方面：由于购买力低，缺乏投资诱因，部分地造成资本不足，造成生产力低下，导致收入少，购买力低……如此循环不息。 • 不均衡增长赫希曼（A.O.Hirschman）。有些落后国家之所以落后，错误的投资策略。他认为，对不发达国家来说，多部门的齐头并进，多元发展，是不现实的。最现实的办法是在各部门之间，保持某种比例的不均衡增长。不均衡就有压力，压力本身推动发展。 • 不发达国家的资金有限，效果小，而且还会互相抵消。因此，应该集中有限的资金，投入重点地区和主导部门，通过横向水平关联效应，吸引相同产业的发展和集中；通过前向关联效应，利用主导部门的产品发展再加工的企业；通过后向关联效应诱发原材料生产，扩大经济效果。

第八章内积间

第八章内积空间 §8.1 欧氏空间（一）1. 设1,....,mu u 和1,....,mv v 是内积空间V 的两组向量,且i j iju v δ=,证明:这两组向量均线性无关.证明: 设1....,m m a u a u ϑ++=两边依次用1,....,mv v 组内积,可得12....0.m a a a ====即1,....,mu u 线性无关,同理可得1,....,mv v 线性无关.2.n 维内积空间V 中,,S T 是其子空间,则().S T S T ⊥⊥⊥+=+ 证明:若(),x S T ⊥∈+即,,s S t T ∀∈∈有()0,x s t +=则分别取0t =和0s =, 可得0,0,xs xt ==即.x S T ⊥⊥∈I 反之, 若,x S T ⊥⊥∈I 即 0,xs xt ==则()0,x s t +=即().x S T ⊥∈+3.设S 是有限维内积空间V 的子空间,1,....,mu u 为S 的正规正交基,证明:,,u V v S ∀∈∈都有()()11....,r r u uu u uu u u v ---≤-等号成立当且仅当()()11.....r r v uu u uu u =++证明: 把S 的正规正交基扩充成V 的正规正交基,11,....,....,r r n u u u u +则()()11,,,.nri i i i i i u u u u v v u u ====∑∑左边()()()111,,....,niirri u u u u u u u u u==---∑()()()2111,....,,.nr r n n ii r u u u u u u u u ++=+=++=∑右边()()11,,n riiiii i u u u v u u===-∑∑()()()()2211,,,rni i ii i r u u v u u u ==+=-+∑∑左边≤右边,等号成立当且仅当()()()21,,riii u u v u =-∑0,=即当()(),,i i u u v u =,1,....,.i r =4.证明:内积空间V 中的向量1,....,mu u 线性相关,当且仅当1111.............0.........m m m mu u u u u u u u =证明:设1,....,mu u 在一组正规正交基之下的坐标为1,....,,m αα则1,....,mu u 线性相关⇔1,....,m αα线性相关⇔秩()1,....,.m m αα<(注意到秩'A A =秩A )⇔秩()()'11,....,,....,m m m αααα<.⇔()()'11,....,,. 0m m αααα=在正规正交基之下,向量的内积被坐标保持,即'.i j i j u u αα=从而命题成立5. 设11,....,,,....,n ne ef f 和1,....,ng g 都是内积空间V 的基底,且后面两组还是正规正交基,若1,....,i n ∀=而言,i g 和i f 都可由1,....,i e e 线性表示, 则必有1,....,,n a a ∈Ω使得 .i i i g a f =证明:由题意,有可逆的上三角矩阵,A B 使得()()11,....,,....,n n f f e e A=和()()11,....,,....,n n g g e e B=成立.则有()()()11111,....,,....,,....,n n n e e f f A g g B --==,从而()()111,....,,....,n n g g f f A B -=,注意到1A B -仍是上三角矩阵,设为1....0....00....000..0000n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭往证其对角线以上元素均为零即可.用数学归纳法,1i =时,111g a f =成立. 设当j i <时.j j j g a f =成立11....i i ig f f δδ=++,1111.....i i i i i g f f f δδδ---=++则i i ig f δ-与if 正交. 由归纳假设,把/j j jf g a =带入上式得111111/..../i i i i i i g f g a g a δδδ----=++,又与ig 正交,于是i i ig f δ-与自身正交,从而.i i i i i g f a f δ==6.设1,....,ne e 为内积空间V 的基底,则必存在基底1,....,nf f 使得.i j ij f e δ=证明: 取V 的一个正规正交基1,....,nu u 则有矩阵A ,使得()()11,....,,....,n n e e u u A =,取()()()'111,....,,....,.n n f f u u A -=则1,....,n f f 也构成一个基底. 设()()1'11,....,,(),....,n n A A ααββ-==,则'.i j i j ij f e βαδ==§8.2 对称变换与正交变换1. 设σ是n 维内积空间V 的对称变换，且v V ∀∈有()0,v v σ=则*0.σ=证明：任取,,u v V ∈则()()()()()()()02u v u v u v v u u v u v u v σσσσσσ=++=+=+=可得()0.u v σ=由,u v 的任意性可得*0.σ=2. 若1,....,k σσ都是内积空间V 的对称变换，且22*1....0,k σσ++=则*....0k σσ===证明：取V 的一个正规正交基 1,....,ne e ，()()11,....,,....,i n n ie e e e A σ=，则*0=221....k σσ++↔221 0k A A ++=，由i σ都是对称的，有'.i i A A =从而()1''1.,....,.0.k k A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

弹性力学第八章空间问题的解答

§8－3 半空间体在边界上受法向集中力
问题描述：
F
半空间体，体力不计，在水平面上受法
向集中力 F ，建立如图所示坐标系。
0
z
R
•
z 图：8－3
因为要用到位移势函数，不讲了，具体的推导过程见《弹性力学》第三版，许芝伦。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§8－4 按应力求解空间问题
z
xy z
yz x
xz y
2
2 z xy
（8－11）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§8－4 按应力求解空间问题
将物理方程（7－12）带入相容方程（8－10）和（8－11）
1
2 y z2
2 z y2
2
z2
2 y2
2 1
2
yz
yz
（c）
A zy
dxdy
z0
Afydxdy0
（d）
A
yzx xzy
dxdy
z0
A yfx xfy dxdyM （e）
（c），（d），（e）在任意横截面上都满足。
把（8－15）代入（c）
AzxdxdyAydxdy dxydysBAdx0
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
fz z
1 2 y
2 y2
1 1
2
fy
y
fz z
fx x
1
2 z
2 z2
1 1
2
fz
z
fx x
fy
y
1
2
yz

高等数学第八章

22 (3) 232 11 ．
因 | a b |2 (a b) (a b) |a |2 2a b | b |2 22 2 (3) 32 = 7 ，
故可得
| a b| 7 ．
二、数量积的坐标运算
设非零向量 a (x1 ，y1 ，z1) ， b (x2 ，y2 ，z2 ) ，则
于是可得向量 r (x ，y ，z) 的模的坐标表达式为 | r | x2 y2 z2 ．
向量 M1M2 的模即为点 M1 (x1 ，y1 ，z1) 和点 M2 (x2 ，y2 ，z2 ) 之间的距离，即 | M1M2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 ．
方向角为
2 ，， 3 ．
3
3
4
第三节
向量的数量积与向量积
一、数量积的定义及性质
定义 1 设 a，b 为空间中的两个向量，则数| a | | b | cos a ，b 称为向量 a，b 的数量积（也
称内积或点积），记作 a b ，读作“a 点乘 b”，即
a b | a | | b | cos a ，b ．
在空间直角坐标系中，设点 M1 的坐标为 (x1 ，y1 ，z1) ，点 M 2 的坐标为 (x2 ，y2 ，z2 ) ，则以 M1 为
起点、 M 2 为终点的向量为
M1M2 OM2 OM1 ．
因为 OM2 与 OM1 均为向径，所以 M1M2 OM2 OM1 (x2i y2 j z2k) (x1i y1 j z1k)
图8-7
交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) a+0=a a+(-a)=a
（二）向量的减法

高等数学第八章

第八章向量代数与空间解析几何(数学一)第一节向量代数中的若干运算一、向量的概念1.定义:既有大小又有方向的量称为向量。

2.坐标形式:),,(z y x a a a a =ρ3.模与方向余弦:记a ρ与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,,则 222cos zyxx aa a a ++=α,222cos zy x y aa a a ++=β, 222cos zyxz aa a a ++=λ且方向余弦间满足关系1cos cos cos 222=++γβα。

γβα,,描述了向量a ρ的方向,常称它们为向量的方向角(在0与π之间)。

a ρ的模可以表示为222zy x a a a a ++=ρ。

向量a ρ同方向上的单位向量常记为︒a ρ。

二、向量的运算设三个向量),,(321321a a a k a j a i a a =++=ρρρρ,),,(321321b b b k b j b i b b =++=ρρρρ, ),,(321321c c c k c j c i c c =++=ρρρρ,常数λ。

1.与差:加法 ),,(332211b a b a b a b a +++=+ρρ 减法 ),,(332211b a b a b a b a ---=-ρρ2.数乘:),,(321a a a a λλλλ=ρ3.数量积(i)定义:数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂⋅=⋅b a b a b a ρρρρρρ,cos ,称为b a ρρ,为数量积也称点积,记为b a ρρ⋅。

其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂b a ρρ,为向量b a ρρ,间夹角(在0与π之间)。

(ii)性质:①a a a ρρρ⋅=2;②0b a ρρ⋅表示向量a ρ在向量b ρ上的投影,a j b a bρρρρPr 0=⋅;③a b b a ρρρρ⋅=⋅。

(iii)计算:①232221a a a a ++=ρ;②332211b a b a b a b a ++=⋅ρρ。

第八章空气空间法

第八章空气空间法导读：本章主要介绍空气空间法的概念、特征及其历史发展；空气空间的法律地位；国际航空制度以及国际民航安全的法律保护；重点掌握：领空的法律地位；保护国际民航安全的相关条约的主要内容。

第一节空气空间法概述一、空气空间法的概念和特征空气空间法，又称国际航空法，是调整国家之间利用空气空间，进行民用航空活动所产生的各种关系的法律规则的总称。

空气空间法具有二个特征：（一）民用性国际航空法调整民用航空活动领域所产生的社会关系。

1944年《国际民用航空公约》明确规定：“本公约仅适用于民用航空器，不适用国家航空器”，“用于军事、海关和警察部门的航空器，应认为是国家航空器”。

（二）是平时法空气空间法是平时法，而非战时法，并不规定战争或武装冲突各方之间的权利和义务。

《国际民用航空公约》规定：“如遇战争，本公约的规定不妨碍受战争影响的任一缔约国的行动自由，无论其为交战国或为中立国。

如遇任何缔约国宣布其处于紧急状态，并将此事通知理事会，上述原则同样适用”。

二、空气空间法的历史发展①人类自远古以来就梦想能够象鸟一样在天空翱翔。

1783年11月21日，在巴黎使用蒙哥儿菲埃（Mongolifier）兄弟发明的热气球首次载人飞行获得成功，象征着人类开始征服空气空间。

1784年4月23日，巴黎发布警察命令，规定未经特别许可，禁止气球升空，被称为是第一部“航空法”。

1785年，布兰查德乘坐气球飞越英吉利海峡，1819年，法国塞纳省制定了第一部空中航行安全规章，规定气球载人应配备降落伞；在农民收割农作物之前禁止气球飞行。

1856年布里斯驾驶一种滑翔机进行飞行，逐渐接近了航空时代。

1898年，奥匈帝国和德意志换文签订了关于飞越边界军用气球的法律地位的协①参见邵津主编：《国际法》，北京大学出版社、高等教育出版社2008年12月第3版，第157页。

定。

1899年，第一次海牙国际和平会议达成了关于空战的临时协议，“缔约各国同意，在五年期限内，禁止气球或类似的其他新方法投掷抛射物或爆炸物”。

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