九章算术

九章算术

《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。

《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：

《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和几何三部分。

一、算术部分

1．分数

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为

假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。

关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。

《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚。

2．最大公约数与最小公倍数

《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。

如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”。将更相减损这一运算写成现代的图式就是

法实质上

是辗转相减法。辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致的。

《九章算术》在分数的加减运算中，已知用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数

的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最小公倍数。

3．比例算法

在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。

例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。用现代的方式来表达，即为公式：

或所求数∶所有数=所求率∶所有率。

这个题是欲将粟米换成粝米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有数”，粝米数即为“所求数”，按规定“粟率五十”为“所有率”，粝米30为“所求率”。于是得所求数为10×30÷50=6(升)，这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米。因而可以根据物与物的比率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应用问题大都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词。

在《九章算术》中，今有术应用特别广泛，是一种普遍的解题方法。与比率有关的其他一些算法一般都是在今有术的基础上演化而来的。

《九章算术》中另一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分。比例分配的意思，它是古代处理配分问题的一般方法，“衰分术曰，各置列衰(即所配的比率)，副并(得所配比率的和)为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，用“今有术”计算，就可以得到各所求数。例如衰分章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马(所食)，马主曰，我马食半牛(所食)，今欲衰偿之，问各几何”，依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各为所求率，4＋2＋1=7

《九章算术》中有相当复杂的比例问题，例如均输章中，既有按正比“列衰”也有按反比“列衰”的比例分配问题等等。因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的体系。

印度于五、六世纪间有“三率法”的算法。所谓三率法相当于

术。印度三率法传入阿拉伯国家，再传到西欧各国，于是欧洲在更晚的时期也有类似的算法，欧洲商人很重视这种算法，称它为“金法”。从《九章算术》的“今有术”逐渐演变到现在教科书中的比例，已有二千年的发展历史。

4．盈亏问题

《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)。”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数”。如以算筹演算大致如图1－24所示。

用现代的符号来表示：设每人出a1钱，盈b1钱；每人出a2钱，不足b2钱，求物价u 和人数v。依据术文得下列二公式：

当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数

因此上述的盈不足术实际上包含着三个公式。

《九章算术》的盈不足章的最前四个问题是正规的盈亏问题。而第五题是“两盈”问题，第六题是“两不足”问题则分子就得相减了，都是“以少减多”来进行的，第七题是“盈、适足”，第八题是“不足，适足问题。它们的解法也可以在盈不足术的基础上分别提出适当的公式。

盈不足章的第9到第20题，是一般的算术应用题，有些问题还相当难，初学者不易解答。如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量，这样任何