平行线易错点剖析
学生易错点解析初中数学平行线特征定理公式教案
初中数学中，平行线是一个非常重要的概念。
平行线的特征、定理和公式都是数学学习的基础。
然而，对于初中生而言，平行线的概念和相关知识点往往比较抽象，容易出现一些易错点。
在本文章中，我们将带领学生一起解析一些常见的易错点，同时介绍一些关于平行线特征、定理和公式的教案，以便学生更好地掌握相关知识。
一、平行线特征平行线是指在同一平面内，不相交但在平面内的点到两条直线的距离相等的线。
学生在初学阶段，往往会对平行线与垂直线的关系混淆。
以下是学生易错点的解析。
易错点1：认为垂直线就是平行线垂直线和平行线是完全不同的概念。
垂直线是指两个线段之间的夹角为90度的线，而平行线则是指在同一个平面内，两条不相交但在平面内的点到两条直线的距离相等的线。
易错点2：忘记加“//”符号在画平行线时，需要在两条直线上方加上“//”符号，表示这两条直线是平行的。
学生常常会忘记这个符号，导致造成误解。
二、平行线定理1.平行线的基本定理平行线的基本定理是说：如果直线L1与直线L2平行，且直线L2与直线L3平行，则直线L1与直线L3也是平行的。
这个定理在初中数学学习中非常重要。
2.平行线的性质平行线的性质有许多，其中比较重要的包括连结平行线上的任意两点形成的线段平行于这两条平行线，平行线的夹角相等等。
这些性质可以帮助学生更好地理解平行线的特征和定理，以及解题方法。
易错点：理解不透彻，不知道如何应用在学习平行线的定理时，学生最容易出错的就是理解不透彻，以及应用不得当。
特别是在解题过程中，学生往往会遇到不知道如何应用定理的情况。
因此，在教学中，需要重点加强实际解题的训练，帮助学生更好地理解定理和应用方法。
三、平行线公式平行线公式是指在平行四边形中，对角线相等的公式。
平行线公式也是初中数学中比较重要的知识点。
易错点：不会正确使用公式学生在学习平行线公式时，容易出现不会正确使用公式的情况。
这主要是因为学生对相关知识点掌握不够熟练，需要加强练习和掌握。
相交线与平行线易错点整理
1相交线与平行线易错点 易错点一：对几何语言描述不清楚而出错例1 判断题. （1）不相交的两条直线叫作平行线.（ ）（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行.（ ） （3）两直线平行，同旁内角相等.（）（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（ ）（5）-个角的两边分别平行（或垂直）于另一个角的两边，这两个角相等.（ ）（6）连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离（ ）易错点二：填空（重要知识点的应用）1：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（平行公理的推论，也叫平行的传递性）例题回顾：若AB//CD ，AB//EF ，则（ ）// （ ）,理由是（ ）2：.如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行.(平行线的判定公理的推论)例题回顾：若a ⊥b ，，c ⊥b ，则（ ）//（ ）,理由是（ ）3：经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
例题回顾：直线L 同侧有A ，B ，C 三点，如果A ，B 两点确定的直线与B ，C 两点确定的直线与B,C 两点确定的直线都与L 平行，则A,B,C 三点的 位置关系是（ ）其理论依据是（ ）4：经过直线外（上）一点有且仅有一条直线与已知直线垂直例题回顾：小亮在纸上画了如下图形，并标注了12∠=∠=90°.他画的是（ ）（填正确与错误），其理由是( )易错点三：相关结论的灵活运用1：如图：两条直线相交于一点形成 _____ ____ 对对顶角，三条直线相交于一点形成 _____ ____ 对对顶角，四条直线相交于一点形成 ________ _ 对对顶角，请你写出n 条直线相交于一点可形成 ___ ______ 对对顶角．易错点四：折叠问题易错点五：作图题易错点六：（拓展）能力提高2。
平行线的判定和性质典型错误分析
平行线的判定和性质典型错误分析一、依据错误1、学生没有将依据放于题目情境中考虑，把符合当前关系的依据填入，忽视题目整体。
如两角相等的多种依据。
1、等量代换2、两直线平行，同位角相等3、两直线平行，内错角相等4、同（等）角的补（余）角相等。
同角的补角相等这个依据在新课时并未提及，几乎所有的学生不理解其含义。
2、错误填写判定方法，学生没有理解两角的位置关系3、两角互补的多种依据。
1、两角互补的意义2、邻补角的意义3、两直线平行，同旁内角互补二、缺少条件学生基本能根据条件得到相应结论，写出过程，但现为几何说理起步阶段，学生容易遗漏条件，急于表达最终结论，说理不严密。
或条件和结论理不清，只是笼统的全部写下。
三、因果不匹配学生不能根据条件写出相应的结论，东拼西凑，自以为完成题目，实质未理解题目所需结论真正应由什么条件导出，未能整理出知识间的联系。
例如在较复杂的图形中，学生不容易找出已知角是由哪两条直线被哪条直线所截形成的内错角四、判定和性质混淆经过一段时间的练习，此类错误多数发生在中下水平学生上，尤其当判定和性质同时出现时，更是混淆其中，对判定和性质的认知度还不够，教师还需仔细讲解两者的区别。
这位学生已经完全将判定和性质混为一谈，没有体会出两者的联系和区别。
例如由角的关系得到线的平行，再由线的平行重新得到角的关系，此时两个结论同时出现，学生判断不出谁因谁果。
五、出现与题无关的结论或重复出现条件学生不能简明、有条理地表达，就把条件相应的结论全都写上，那题目所需结论也就囊括其中，不清楚哪些该舍哪些该留。
还有学生不能将题目整体考虑，做到一半发现缺少条件，以致重复出现，还要加强分析和推理能力。
例如根据角平分线，小角等于大角的一半，但是此题只需大角，不会将所得的结论与其他已知条件相结合，就索性把他认为需要的都写。
学生在几何学习中，在直观感知、逻辑分析、数学思考和规范表达等方面面临的困难可能更多，易出现各式问题，这对培养学生良好学习习惯提出更高的要求，作为教师应做好引导工作，逐步使学生积累经验，提高探索、分析、推理能力。
人教版数学七年级下册第五章《平行线和相交线》易错点剖析
《平行线与相交线》易错点剖析初学《平行线与相交线》，因知识不熟，理解不到位，掌握不准确，在应用解题时往往出现一些意想不到的错误，今天就让我们一起走进《平行线与相交线易错点剖析园》，识别错因，明确正解，做到清定义，会辨析，清条件，会使用，为将来新知识的学习奠定基础.一、概念模糊不清错选例1如图1，下列结论正确的是（）A. ∠5和∠2是对顶角 B. ∠1和∠3是同位角C. ∠2和∠3是同旁内角D. ∠1和∠2是同旁内角错解：选A或选B.剖析：对对顶角的概念理解不清，对对顶角的两个角的两边互为反向延长线的意义理解不准，导致粗心而选择A；对同位角的认知不清，缺失图形感，从而导致错选B.正解：选D.二、使用条件不清错选例2若∠1和∠2是同旁内角，且∠1=45°，则∠2的度数为（）A. 45° B. 135° C. 45°或 135° D. 不能确定错解：选B.剖析：一看到两个角是同旁内角，不管是否具备了“平行”的条件，就主观认为直线平行，偷梁换柱，默认直线是平行的，从而认为篡改题目要求，增加条目的条件，从而导致做出错误的选择.正解：如图2，∠1=45°，∠1和∠2是直线a,b被直线c所截，得到的一对同旁内角，当直线AC绕点A旋转时，只要不超越直线b,将始终满足给定的条件，但是却产生了无数个∠2，因此∠2的度数是无法确定，只有a∥c时，∠2的度数才为135°，这只是无数∠2中的一个，所以选D.三、审题不清错选例3如图3，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（）A. ∠D+∠DAB=180°B. ∠1=∠2C. ∠B=∠DCED. ∠3=∠4错解：选A 或选B 或选C.剖析：解题时，不能全面，准确审题，断章取义，一看到平行线，就自认为是找判定平行的条件，从而导致错选.正解：选D.四、考虑不全，漏解致错例4 已知∠1的两边分别与∠2的两边平行，则∠1和∠2的关系是 . 错解：填∠1=∠2；填∠1+∠2=180°.剖析：解答时，首先任意作一个角记作∠1，后在平面内任意选择一个不同∠1顶点的位置，作为∠2的顶点，最后根据题意，画出符合条件的∠2的两条边，画图时，注意画全面即可. 正解：画图如图3所示，图中的∠2都是符合题意的角，因此∠1和∠2的关系是相等或互补.五、作图轨迹与要领不能正确对应致错例5 如图4，点C 在∠AOB 的边OB 上，用尺规做出了CN ∥OA ，作图痕迹中，弧FG 是（ ）A. 以点C 为圆心，OD 为半径的弧B. 以点C 为圆心，DM 为半径的弧C. 以点E 为圆心，OD 为半径的弧D. 以点E 为圆心，DM 为半径的弧错解：选A 或选B 或选C.剖析：此题的实质是作一个角等于已知角，作图时，清楚三段弧的圆心和半径是作图的关键.第一弧：以点O 为圆心，OM 为半径的弧,注意OM 的长是任意长，在确定时，要做到不要太短，不容易画图；不要太长，不容操作；第二弧：以点C 为圆心，OD 为半径的弧 ； 第三弧：以点E 为圆心，DM 为半径的弧，这里要确定恰好是第三弧，这样正确的答案就可以确定下来了.正解：选D.六、分类不全致错例6 已知直线1l ∥2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、B 两点，点P 在AB 上．直线PC 与直线1l 的夹角记作∠1，∠CPD 记作∠3，直线PD 与直线2l 的夹角记作∠2. 试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；错解：如图5，∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1+∠2=∠3.理由如下：过点P 作PE ∥1l ，因为1l ∥2l ，所以PE ∥1l ∥2l ，所以∠1=∠CPE ，∠2=∠DPE ， 因为∠CPE +∠DPE =∠3，所以∠1+∠2=∠3.剖析：此题是一个典型的无图做题，在画图时，要根据题目的条件，准确确定点P 在直线AB 上的位置，应该有三种情况，一是点P 在线段AB 上；二是点P 在线段AB 的延长线上；三是点P 在线段BA 的延长线上，分类全面后，再逐一画图探解三角之间的关系. 正解：（1）当点P 在线段AB 上运动时，如图5，∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1+∠2=∠3. 理由如下：过点P 作PE ∥1l ，因为1l ∥2l ，所以PE ∥1l ∥2l ，所以∠1=∠CPE ，∠2=∠DPE ， 因为∠CPE +∠DPE =∠3，所以∠1+∠2=∠3.（2）当点P 在线段AB 延长线上运动时，如图6，三者的关系是：∠1=∠2+∠3. 理由如下：如图6：过点P 作PE ∥1l ，因为1l ∥2l ，所以PE ∥1l ∥2l ，所以∠1=∠CPE ，∠2=∠DPE ， 因为∠CPE -∠DPE =∠3，所以∠1-∠2=∠3即∠1=∠3+∠2；（3）当点P 在线段BA 延长线上运动时，如图7，三者的关系是：∠2=∠3+∠1. 理由如下：如图7：过点P 作PE ∥1l ，因为1l ∥2l ，所以PE ∥1l ∥2l ，所以∠1=∠CPE ，∠2=∠DPE ，因为∠DPE-∠CPE=∠3，所以∠2-∠1=∠3即∠2=∠3+∠1.练一练：1.已知同一平面内的三条直线a,b,c ，若a ⊥b,b ∥c,则a 与c （ ）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 重合2. 已知∠1的两边分别与∠2的两边互相垂直，则∠1和∠2的关系是 .3. 若两条平行线与第三条直线相交，那么一组同旁内角的平分线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 重合4. 若两条平行线与第三条直线相交，那么一组同位角的平分线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 重合5. 若两条平行线与第三条直线相交，那么一组内错角的平分线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 重合参考答案：1.B2. ∠1和∠2的关系是相等或互补.3.B4.A5.A.。
易错点12 立体几何中的平行与垂直(解析版)
易错点12 立体几何中的垂直与平行在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；题组一：基本性质定理 1．（2021年浙江卷）已知正方形1111ABCD A B C D -，,M N 分别是11,A D D B 的中点，则（ ）. A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B【答案】A【解析】如图，连结1AD ，//,MN AB ∴//MN 平面ABCD ，1,AB A D ⊥11A D AD ⊥，1A D ∴⊥平面1AD B ，11A D D B ∴⊥2．（2021新高考1卷多选题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P【答案】BD【解析】由点P 满足1BP BC BB λμ=+，可知点P 在正方形11BCC B 内．A 选项，当1λ=时，可知点P 在线段1CC （包括端点）上运动．1AB P △中，1AB =AP =1B P =1L AB AP B P =++不为定值，所以选项A 错误；B 选项，当1μ=时，可知点P 在线段11BC （包括端点）上运动．由图可知，线段11B C //平面1A BC ，即点P 到平面1A BC 的距离处处相等，1A BC △的面积是定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，所以选项B 正确；BCC 1B 1PABC A 1B 1C 1PABCA 1B 1C 1PC 选项，当12λ=时，分别取线段BC ，11B C 中点为D ，1D ，可知点P 在线段1DD （包括端点）上运动．很显然若点P 与D 或1D 重合时，均满足题意，所以选项C 错误．D 选项，当12μ=时，分别取线段1BB ，1CC 中点为M ，N ，可知点P 在线段MN （包括端点）上运动．此时，有且只有点P 与N 点重合时，满足题意. 所以选项D 正确．因此，答案为BD.3.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】 如图所示，联结，.因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，ABCA 1B 1C 1D D 1PAB C A 1B 1C 1MNP A BCA 1B 1C 1MN(P)BE BD N ABCD ECD △ECD ⊥ABCD M ED BM ⊂BDE EN ⊂BDE BM BDE △DE EN BDE △BD BM EN DE a =2BD a =， 所以，， 所以．故选B ．4.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【解析】 对于A ，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除； 对于B ，内有两条相交直线与平行，则；对于C ，，平行于同一条直线，则与相交或，排除； 对于D ，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．故选B ．题组二：线面平行5. （2021天津卷）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：1//D F 平面11A EC ；【解析】（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ， 所以()11,0,2D F =-,()112,2,0A C =,()12,1,2A E =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111222020m x y m AC E x y A z ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎪==⎩，令12x =，则()2,2,1m =-， 因为1220m D F ⋅-==，所以1D F m ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；6．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面三角形ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=，E 是PD 的中点． (1) 证明：直线CE ∥平面PAB ；BE ==BM=EN a ==BM EN ≠αβαββα∥αββα∥αβαββα∥αβαββα∥【解析】（1）取PA的中点F，连结EF，BF．因为E是PD的中点，所以EF AD∥，12EF AD=．由90BAD ABC∠=∠=得BC AD∥，又12BC AD=，所以EF BC∥，四边形BCEF是平行四边形，CE BF∥，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．7.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．题组三线线垂直8.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱111CBAABC-中，侧面BBAA11为正方形，FEBCAB，，2==分别为AC和1CC的中点，D为棱11BA上的点，11BABF⊥．（1）证明：DEBF⊥；【解析】（1）因为E F，是直三棱柱111ABC A B C-中AC和1CC的中点，且2AB BC==，所以15CF BF==，，连结AF，由11BF A B⊥且11//AB A B，则BF AB⊥，于是3AF=，所以，22AC=，由222AB BC AC+=，则BA BC⊥，故如图右图所示，建立空间直角B xyz-坐标系：EMDCBAP1212===⊄于是(2,0,0)(0,0,0)(0,2,2)(1,1,0)(0,2,1)A B C E F ，，，，， 设1B D m =，则(,0,2)D m ．于是，(0,2,1)BF =，(1,1,2)DE m =-- 由BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得BF ⊥DE ；9.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形．AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，BF ⊥A 1B 1． (1)略(2)已知D 为棱A 1B 1上的点，证明：BF ⊥DE ． 【解析】(2)取BC 中点M ，连接EM ，1MB ，1EA ， 因为,E F 分别为1AC CC ，的中点，所以//EM AB ，因为11//A B AB ，所以11//EM A B ，所以11,,,E M B A 四点共面， 因为侧面11AA B B 为正方形，所以1BB AB =，又AB BC =，所以1BB BC =，所以侧面11BB C C 为正方形， 又F 为1CC 中点，M 为BC 中点，由平面几何知识可知1BF B M ⊥， 又11A B BF ⊥，1111B MA B B =，所以BF ⊥平面11EMB A ，而DE ⊆平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.10．（2021新高考1卷）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；【解析】（1）因为在ABD △中，AB AD =，O 为BD 中点，所以AO BD ⊥， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面=BCD BD ，AO ⊂平面ABD ，AO BD ⊥，所以AO ⊥平面BCD ，又因为CD ⊂面BCD ，所以AO CD ⊥．11．(2021浙江卷)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．【解析】（1）因为ABCD 是平行四边形，∠ABC =120°，AB =1，所以60DCB ∠=︒，AB ∥DC ，DC =AB =1．因为M 为BC 中点，BC =4，所以CM =2．在DCM △中，由余弦定理得22212cos601422132DM DC CM DC CM =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯=所以DM =90CDM ∠=︒，所以DM DC ⊥，因为PD DC PDMD D PD PDM MD PDM ⊥=⊂⊂，，面，面，所以DC PDM ⊥面，所以DC PM ⊥．因为PM MD ⊥，DC MD D DC ABCD MD ABCD =⊂⊂，面，面，所以PM ABCD ⊥面，所以AB PM ⊥．题组四：线面垂直 12．（2016全国II ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将ΔDEF 沿EF折到ΔD EF '的位置，OD '=（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；【解析】（I ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO =⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．13．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥-P ABC中，==AB BC PA PB PC ===4AC =，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；【解析】(1)因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连结OB．因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知PO OB ⊥． 由⊥OP OB ，⊥OP AC 知PO ⊥平面ABC ．14.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；【解析】 （1）由已知得，平面，平面，O MPCBA11B C ⊥11ABB A BE ⊂11ABB A故．又，所以平面．题组五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱锥Q ABCD-中，底面ABCD是正方形，若2AD=，QD QA==，3QC=，（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；【解析】（1）证明：取AD的中点M，连接,QM CM，QD QA=，∴QM AD⊥2QM==，CM3QC=，222QC QM CM∴=+，∴QM CM⊥又,AD CM⊂平面ABCD，AD CM M⋂=所以QM⊥平面ABCD，又QM⊂平面QAD，所以平面QAD⊥平面ABCD.16（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、R t△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；11B C⊥BE1BE EC⊥BE⊥11EB CAB CDQMHAB CDQ【解析】 （1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB BE ，AB BC ，故AB 平面BCGE ． 又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC 平面BCGE ． 17．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；【解析】(1)由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF ．又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．18．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ． 又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM 平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．1．已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．⊥⊥⊥⊂⊥PFE D CBAMD CBA⊂⊂2．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“l ∥α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由“m α⊥且l m ⊥”推出“l α⊂或l α∥”，但由“m α⊥且l α∥”可推出“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件，故选B ．3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．证明：PB ∥平面AEC ；【解析】连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．4．如图，直三棱柱中，分别是的中点， （Ⅰ）证明：//平面；【解析】（Ⅰ）连结，交于点O ，连结DO ，则O 为的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥，又因为OD 平面，平面，所以 //平面；5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．证明：PB ∥平面AEC ；【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ，111ABC A B C -,D E 1,ABBB 1AA AC CB AB ===1BC 1A CDA 11AC 1A C 1AC 1BC⊂1A CD 1BC ⊄1A CD 1BC 1A CD=3AB AD AC ==，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB ；【解析】由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,． 由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //． 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，1BAA ∠=60°．证明1AB A C ⊥；【解析】取AB 中点E ，连结CE ，，，∵AB =，=，∴是正三角形，∴⊥AB ， ∵CA =CB ， ∴CE ⊥AB ，∵=E ，∴AB ⊥面， ∴AB ⊥；8．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=． 证明：平面PAB ⊥平面PAD ；B D1A B 1A E 1AA 1BAA ∠0601BAA ∆1A E 1CE A E ⋂1CEA 1A C D CB A P【解析】由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．9．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．证明：平面ACD ⊥平面ABC ；【解析】由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC =．又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =．又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥．所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角．在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=．所以平面ACD ⊥平面ABC ．10.如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC ．证明：平面AEC ⊥平面AFC ；【解析】连接BD ，设BD AC G ，连接,,EG FG EF ． 在菱形ABCD 中，不妨设1GB ，由120∠=ABC ，可得3AGGC ， 由⊥BE 平面ABCD ，AB BC 可知，AE EC ，又∵⊥AE EC ，∴3EG，⊥EG AC ， 在Rt EBG ∆中，可得2BE ，故22DF．在Rt FDG ∆中，可得62FG ． 在直角梯形BDFE 中，由2BD ，2BE ，22DF ，可得322EF ， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC ∩FG =G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC ．ABC DE。
“相交线与平行线”易错题
第五单元《相交线和平行线》易错题5.1相交线1.判断题: 同一平面内三条直线a 、b 、c ，若a ∥b,b ∥c,则a ∥c ；同理，若a ⊥b,b ⊥c,则a⊥c 。
( )【错解】正确【错题剖析】这句话的前半部分是成立的（如图1），但由此推出的后半部分不成立。
平行具有传递性，但垂直不具有传递性（如图2）如果a ⊥b,b ⊥c ，则a ∥c 。
【正确解答】错误【应对攻略】画图是解决问题的最简单也是最直接的办法,往往有意想不到的效果.【练习巩固】1.判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。
( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。
( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
( )2.判断题:只有过直线外一点才能画已知直线的垂线 ( )【错解】正确【错题剖析】此句错误的原因是受“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”这一事实的影响。
但画垂线可以过直线上一点，也可以过直线外一点来画。
正确说法是：经过直线上或直线外一点可以画已知直线的垂线。
【正确解答】错误【应对攻略】考虑问题要全面,全方面的多角度的分析,不能片面看问题.【练习巩固】判断(1)对顶角的余角相等.( )(2)邻补角的角平分线互相垂直.( )(3)平面内画已知直线的垂线，只能画一条.() (4)在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线.( )(5)如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么这条直线垂直于平行线中的另一条直线.( )(6)两条直线被第三条直线所截，两对同旁内角的和等于一个周角.( ) (7)点到直线的距离是这点到这条直线的垂线的长.( )(8)“过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”是公理.( )a bc 图1 图23. 如下图，直线AB 、CD 、EF 和射线OG 都经过O 点，则图中对顶角有（ ）对A 、 6B 、 7C 、 5D 、 8【错解】A.【错题剖析】这种题目很容易“重复”解,也很容易“遗漏”解.本题很容易把 ∠AOG 也数进去. 【正确解答】C.【应对攻略】观察图形需要仔细,要有两个防止:既要防止“重复”又要防止“遗漏”并且应按一定的顺序进行.【练习巩固】如图，BE 平分ABC ，BC DE //，图中相等的角共有（ ）A 、 3对B 、 4对C 、 5对D 、6对3.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：⑴ 如图a ，图中共有 对对顶角;C EA OB G F DE DCB AA BCD Oa b c A A B B CCD DO OEFGH图a图b图c⑵ 如图b ，图中共有 对对顶角; ⑶ 如图c ，图中共有 对对顶角;⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角;⑸ 若有2008条直线相交于一点，则可形成 对对顶角。
教学相交线和平行线时需要注意的易错点
教学相交线和平行线时需要注意的易错点相交线和平行线是几何学中的两个基本概念，是学生学习和掌握初中数学知识的重要环节。
但是，在教学过程中，由于知识点本身的难度和学生对知识点的疏忽，很容易出现一些易错点，影响学生的学习效果。
教师在教学相交线和平行线时需要注意哪些易错点呢？本文将从以下几个方面进行讨论。
一、易错点一：对相交线和平行线的基本概念理解不清相交线和平行线是初中数学中的两个最基本的几何概念，学生需要掌握相交线和平行线分别指哪些线段。
相交线是指彼此交叉的两条线段，交点为它们的交点；平行线是指在同一平面内两条不相交的直线，它们永远不会相交。
其中，教师需要特别注意对相交线和平行线的定义清晰化，让学生通过举例、画图等方式更好地理解这两个概念。
二、易错点二：对相交线的夹角概念理解不准确当我们掌握了相交线的定义之后，就需要了解其中的一个重要概念——夹角。
夹角是指两条相交线段之间的角度，它可以是锐角、直角、或者是钝角。
在教学过程中，教师需要引导学生正确理解夹角的概念，做到“看得懂”“说得清”，同时要教会学生利用角度计算器对夹角进行度数测量、角度转化等操作，从而巩固学生对夹角的认识。
三、易错点三：对相交线的性质理解不充分相交线是数学中的一种基本图形，除了了解它的定义和夹角的概念之外，学生还需要掌握相交线的一些重要性质。
例如，相交线夹角对应角相等；相邻角互补；垂直的两条直线互相垂直等。
在教学过程中，教师需要通过大量例题来让学生掌握这些性质，激发学生对相交线的兴趣，培养他们的观察力和思维能力。
四、易错点四：对平行线的性质理解不全面平行线是数学中的另一个基本图形，它是两条不相交的直线，它们在同一个平面上永远保持相同的间距。
在教学过程中，教师需要引导学生理解平行线的基本概念，同时也要重点强调平行线的三个重要性质——同位角相等、内错角补角相等和交叉线段成比例，让学生对平行线有更全面的认识。
五、易错点五：对平行线的证明方法掌握不熟练在初中数学中，我们需要学会如何证明平行线的性质。
七年级直线平行线易错题、经典题分析解答
七年级直线平行线易错题、经典题分析解答1.有以下命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个分析解答：选A．此题涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．考点：同位角、内错角、同旁内角；线段的性质：两点之间线段最短．分析：此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证，从而求解．解：①忽略了两条直线必须是平行线；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故①③④是错的．②是公理故正确；⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比方：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B．等角的补角相等．比方：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．∴②⑤是正确的．2．以下所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是〔〕A．②③B．①②③C．①②④D．①④分析解答：选C。
判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．故．3. 如图，与∠α构成同旁内角的角有〔〕A．1个B．2个C．5个D．4个分析解答：选C。
位置关系判断的一对角互为同旁内角。
考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：根据同旁内角的定义，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．解：根据同旁内角的定义可知：与∠α构成同旁内角的角有5个．故选C．判断是否是同旁内角，必须符合三线八角中，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．4.如下列图，同位角共有〔〕A．6对B．8对C．10对D．12对分析解答：选C．此题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和．解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，增加射线GM、HN后，射线GM 与直线CD，射线HN与直线AB，射线GM与射线HN 各增加2对，共增加6对，总共10对．5．下面3个命题：①两条相交直线被第三条直线所截，同位角不相等；②直角都相等；③同角的余角相等，其中真命题有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个分析解答：选D．此题考查的是对命题、真命题、假命题概念的掌握情况，同时对相交线、平行线、角考点：同位角、内错角、同旁内角；余角和补角．分析：①此命题与“两直线平行同位角相等”是同一命题，故正确；②③显然正确．解：①两直线平行，同位角相等；则两直线不平行，同位角不相等，正确；②直角都是90°，当然相等，正确；③根据数量关系，同角的余角一定相等，正确．6．图中所标出的角中，共有同位角〔〕A．2对B．3对C．4对D分析解答：选D．判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是考点：同位角、内错角、同旁内角分析：此题考查同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．解：根据同位角的定义，图中∠3与∠4，∠4与∠5，∠7与∠1，∠5与∠2，∠2与∠3是同位角，共5对．7．如图，其中同旁内角有〔〕A．2对B．4对C．6对D．8对分析解答：选C ．判断是否是同旁内角，必须符合“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间．考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：根据同旁内角的定义，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间．解答：解：由同旁内角的定义可知：以AB 为截线，有一对同旁内角；以BC 为截线，有一对同旁内角；以CD 为截线，有2对同旁内角；以AD 为截线，有2对同旁内角．故图中有6对同旁内角，8．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如下列图的图形，则共可得同旁内角〔 〕对．A ．4B ．8C ．12D ．16分析解答 ：选D ．在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏 考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分1l 、2l 被3l 所截，1l 、2l 被4l 所截，1l 、3l 被4l 所截，2l 、3l 被l4所截，3l 、l4被1l 所截，l3、l4被2l 所截1l 、4l 被3l 所截，2l 、4l 被3l 所截来讨论．解答：解：1l 、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8=16对．9．如图，假设两条平行线EF ，MN 与直线AB ，CD 相交，则图中共有同旁内角的对数为〔 〕A．4 B．8 C．12 D．16分析解答：选D．解答此题的关键在掌握同旁内角的概念，注意要对截线的情况进行讨论．考点：同位角、内错角、同旁内角．专题：分类讨论．分析：此题旨在考查同旁内角的定义，要正确解答应把握以下几点：1、分清截线与被截直线，2、作为同旁内角的两个角应在截线的同旁，被截直线之间．解答：解：以CD为截线，①假设以EF、MN为被截直线，有2对同旁内角，②假设以AB、EF为被截直线，有2对同旁内角，③假设以AB、MN为被截直线，有2对同旁内角；综上，以CD为截线共有6对同旁内角．同理：以AB为截线又有6对同旁内角．以EF为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角，以MN为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角，综上，共有16对同旁内角．故10．以下说法不正确的选项是〔〕A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．平行于同一直线的两直线平行分析解答：选A．此题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决此题考点：平行线．分析：根据平行线的定义及平行公理进行判断．解答：解：A中，假设点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．B、C、D是公理，正确．11．以下语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④假设两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个分析解答：选C．此题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．考点：平行线；相交线；对顶角、邻补角；垂线．分析：根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断．解答：①一条直线有无数条垂线，故①错误；②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；④假设两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．所以错误的有4个．12．以下语句：①同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中〔〕A．①、②是正确的命题B．②、③是正确命题C．①、③是正确命题D．以上结论皆错分析解答：选A．熟练掌握平行公理以及平行线的定义，是解决此类问题的关键．注意平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．考点：平行线；垂线；平行公理及推论．分析：根据平行公理、垂直的定义和平行线的定义进行判断即可．解答：解：①同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，正确；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，正确；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以错误．故①、②是正确的命题，13．以下说法中可能错误的选项是〔〕A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，有且只有一个交点D．假设两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直分析解答：选A．此题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键考点：平行公理及推论；相交线；垂线．分析：根据平行公理和相交线、垂线的定义利用排除法求解．解答：解：A、应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；C、两条直线相交，有且只有一个交点，正确；D、假设两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，直线垂直的定义，正确．14．以下选项中正确的选项是〔〕A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角相等C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行分析解答：选D．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解考点：平行公理及推论．分析：根据对顶角的性质、平行线的性质、点到直线的距离概念、平行线的公理逐个进行判断，可知D正确．解答：解：A中，只能说对顶角相等，而不是相等的角都是对顶角，错误；B中，两直线平行，同旁内角互补，而不是相等，错误；C中，距离应是垂线段的长度，而不是线段本身，错误；D中，这是平行公理，正确．15．过一点画已知直线的平行线〔〕A．有且只有一条B．不存在C．有两条D．不存在或有且只有一条分析解答：选D．此题的关键在分类讨论，是易错题考点：平行公理及推论．专题：分类讨论．分析：分点在直线上和点在直线外两种情况解答．解答：解：假设点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；假设点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．16．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是〔〕A．第一次左拐30°，第二次右拐30°B．第一次右拐50°，第二次左拐130°C．第一次右拐50°，第二次右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°选A．点评：此题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．考点：平行线的判定．专题：应用题．分析：两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．解答：解：如下列图〔实线为行驶路线〕：A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．17．如图，要得到a∥b，则需要条件〔〕A．∠2=∠4 B．∠1+∠3=180°C．∠1+∠2=180°D．∠2=∠3选C．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，考点：平行线的判定．分析：在复杂的图形中具有相等关系的两角要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．解答：解：A、∵∠2=∠4，∴c∥d〔同位角相等，两直线平行〕；B、∵∠1+∠3=180°，c∥d〔同旁内角互补，两直线平行〕；C、∵∠1+∠2=180°，∴a∥b〔同旁内角互补，两直线平行〕；D、∠2与∠3不能构成三线八角，无法判定两直线平行．故不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系18．如图，以下说法中，正确的选项是〔〕A．因为∠2=∠4，所以AD∥BCB．因为∠BAD+∠D=180°，所以AD∥BCC．因为∠1=∠3，所以AB∥CDD．因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC选D 。
初一数学下册 【相交线与平行线】重难易错点
初一数学下册| 【相交线与平行线】重难易错点七年级数学下册相交线与平行线重难易错点一、重点、难点重点：复习正面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用.难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用.二、易错讲解1、平行线的性质【例题】如图，B C⊥A E于点C，C D∥A B，∠B=55°，则∠1等于()A.35°B.45°C.55°D.65°【解析】利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°。
【答案】∵B C⊥A E，∴∠A C B=90°∴∠A+∠B=90°又∵∠B=55°∴∠A=35°又C D∥A B∴∠1=∠A=35°【误区纠错】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质。
2、平行线的判定【例题】如图，直线a，b被直线c所截，若满足，则a，b平行。
【解析】根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时，a∥b.其他合理答案亦可。
【答案】∵∠1=∠2，∴a∥b(同位角相等两直线平行)故可填∠1=∠2。
【误区纠错】分不清三线八角，以及平行线的判定方法是解题的误区。
二、知识点整理1、一条边公共，另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
2、有公共的顶点，两边互为反向延长线，具有这种位置关系的角，互为对顶角3、对顶角相等。
4、两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
（更多内容关注微信公众号：初一数学语文英语）5、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短.7、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离.8、同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.直线A B与直线C D平行,记作“A B∥C D”.注意：①“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行；②平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行；③“不相交”就是说两条直线没有公共点。
中考数学易错题系列之几何推理平行线与相似三角形常见错误
中考数学易错题系列之几何推理平行线与相似三角形常见错误在中考数学考试中，几何推理是一个常见的考点。
而在几何推理中，平行线与相似三角形的题目经常会出现，并且容易引起一些错误。
下面我将列举一些常见的错误并给出相应的解析，希望能帮助大家提高对这类题目的理解和解题能力。
1. 平行线定理的错误应用在解决平行线问题时，学生常常会错误地使用平行线的性质。
举个例子，考虑以下问题：已知直线AB与直线CD平行，AB =5cm，CD = 8cm，AC = 6cm，求BD的长度。
有些学生可能会错误地应用平行线定理，认为由于AB与CD平行，所以∠ACB与∠CBD是平行线交线与AB的两个交线，从而∠ACB =∠CBD。
然后他们可能会使用相似三角形的比例关系求解，得出BD = 3.75cm。
然而，这是错误的。
因为平行线定理只能用于线与线之间的关系，而不能用于角与线之间的关系。
所以，在这个问题中，我们不能简单地认为∠ACB与∠CBD是相等的。
正确的解法是利用三角形的内角和为180°来解决。
我们可以通过找到关于三角形ACD的第三个角来解决这个问题。
根据三角形的内角和为180°，我们可以得到∠ACD的大小为180° - ∠CDA - ∠CAD。
由于AB与CD平行，所以∠CDA = ∠ACB。
又因为∠ACB与∠CAD是对内角，所以它们互补，即∠CAD = 180° - ∠ACB。
将这些结论代入∠ACD的表达式中，我们可以得到∠ACD = 180° - ∠CDA - (180° -∠ACB) = ∠ACB。
因此，我们可以得出∠ACB = ∠ACD。
然后，我们可以利用相似三角形的性质求解这个问题。
根据三角形的相似性质，我们可以得出AC/AB = CD/BD。
代入已知条件，我们可以得到6/5 = 8/BD。
通过解这个简单的方程，我们可以得到BD = 40/3= 13.33cm。
2. 相似三角形比例的错误使用在解决相似三角形的问题时，学生经常会错误地计算比例。
相交线与平行线易错点剖析
相交线与平行线易错点剖析Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】相交线与平行线错解示例一、对对顶角概念理解不透彻例1如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角．错解：如图，对顶角为：（1）∠AOC与∠BOD ；（2）∠AOF与∠BOD ；（3）∠COF与∠DOE ；（4）∠AOC与∠BOE ．错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．正解：（1）∠AOC与∠BOD ；（2）∠BOE与∠AOF；（3）∠COF与∠DOE；（4）∠COE与∠DOF．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角）二、对“三线八角”理解有误例2 如图，按图中角的位置，判断正确的是（）A. ∠ 1 与∠ 2 是同旁内角B. ∠ 1 与∠ 4 是内错角C. ∠ 5 与∠ 7 是同旁内角D. ∠ 4 与∠ 8 是同位角错解：选A、B、D．错解分析：本题考查的是：当两条直线被第三条直线所截时，如何准确地找到同位角、内错角、同旁内角．要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点：在被截直线的内部，截线两旁的角叫做内错角；在被截直线的内部，截线同旁的角叫做同旁内角；在被截直线的上方（或下方），截线同旁的角叫做同位角．其次要搞清楚被哪条直线所截.正解：选 C ．三、对平行线概念理解不透彻例3同一平面内，不相交的两条线是平行线．错解：对．错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．若是射线或线段有可能不相交.所以说法是错误的．正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线．四、混淆了平行线的判定定理例4 同旁内角相等，两直线平行．错解：正确．错解分析：错解混淆了两直线的判定条件．正解：同旁内角互补，两直线平行．五、对平行线传递性错误的扩展例5 平面上有三条直线a，b，c，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c．错解：正确．错解分析：此题错认为垂直也有传递性，平行有传递性，而垂直是没有传递性的．正解：a与c的关系是a∥c（这也是平行线判定的一种方法）．六、对平行线的判定应用不熟练例6 如图，已知直线AB，CD被直线EF，GH所截，∠1+∠2=180°，则．错解：因为∠1+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可知EF∥GH．错解分析：虽然“同旁内角互补，两直线平行”，但∠1与∠2是对直线AB，CD而言的，不能判定EF，GH的关系．正解：AB∥CD．七、不能很好地识别几何图形例7如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD= 50°，则∠A= ，∠B= .错解:两条平行线ABBC所截，同位角相等，得∠B=∠ACD=50°，∠A=∠BCE=90°—∠B=40°.错解分析: 对几何图形观察认识不清楚而出错，简单观察三条直线中，AB，CD被第三条直线AC所截时，∠A与∠ACD是内错角，AB，CD被第三条直线BC 所截时，∠B与∠BCE是内错角，∠B与∠ACD不是内错角.正解:由两直线平行，内错角相等得∠A=∠ACD=50°，∠B=90°—∠A=40°.答案：50° 40°例8 如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能说明EG和FH也平行吗错解：因为EG平分∠BEN，所以∠BEG =12∠BEN．同理，因为FH平分∠DFN，所以∠DFH =12∠DFN．又因为AB∥CD，所以∠BEN =∠DFN；从而∠BEG =∠DFH．所以EG∥FH．错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提．认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而∠BEG和∠DFH不是直线EG，FH被某条直线所截得的同位角，所以由∠BEG=∠DFH不能判定EG∥FH．∠BEN，正解：因为EG平分∠BEN，所以∠BEG =∠GEN =12同理，因为FH平分∠DFN，所以∠DFH =∠HFN =1∠DFN，2又因为AB∥CD，所以∠BEN =∠DFN，从而∠GEN =∠HFN．而∠GEN，∠HFN是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，所以EG∥FH．例9如图，△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．错解：因为∠1+∠2=180°，所以EF∥AB．所以∠3+∠BDE =180°．因为∠3=∠B，所以∠B+∠BDE =180°．所以DE∥BC．错解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB．虽然∠1和∠2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角，但由于它们不是同旁内角, 所以尽管∠1＋∠2=180°, 也不能得到EF∥AB．正解：因为∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，所以∠2+∠4=180°．所以EF∥DB(同旁内角互补，两直线平行)．所以∠3+∠BDE=180°(两直线平行, 同旁内角互补)．因为∠3=∠B，所以∠B+∠BDE=180°．所以DE∥BC( 同旁内角互补，两直线平行)．。
直线平行的易错题
直线平行的易错题
直线平行的易错题主要包括以下几个方面：
1. 判断是否是同位角或内错角来判断两直线是否平行。
在判断时，需要注意是否是同位角或内错角，并且需要注意两直线是否被第三条直线所截。
2. 判断是否是同旁内角来判断两直线是否平行。
在判断时，需要注意是否是同旁内角，并且需要注意两直线是否被第三条直线所截。
3. 判断是否是垂直于同一条直线的两条直线平行。
在判断时，需要注意是否是垂直于同一条直线的两条直线，并且需要注意垂直于同一条直线的两条直线不一定平行。
4. 判断是否是平行于同一条直线的两条直线平行。
在判断时，需要注意是否是平行于同一条直线的两条直线，并且需要注意平行于同一条直线的两条直线不一定平行。
5. 判断是否是根据交点数来判断两条直线是否平行。
在判断时，需要注意交点数只能判断两条直线是否相交，但不能判断两条直线是否平行。
以上是直线平行的易错题的主要内容，需要掌握平行线的性质和判定方法，注意平行线的定义和条件，避免出现上述错误。
北师大版数学五年级下册第三单元易错点
北师大版数学五年级下册第三单元易错点北师大版数学五年级下册第三单元主要涉及平行线和垂直线的认识、性质以及判断、物体的投影等内容。
在学习过程中，可能会出现一些易错点，以下将对这些易错点进行分析和解析。
第一个易错点是对平行线和垂直线的认识不清。
平行线是指在同一个平面内，永远不相交的两条直线；垂直线是指两条直线相交而且相互垂直。
在判断两条线是否平行或垂直时，要注意查看其线上的方向标志，例如箭头。
此外，还可以利用角的关系进行判断。
例如，两条直线如果分别与一条第三条直线成相等的对应角，则这两条直线是平行线。
第二个易错点是在绘制平行线和垂直线时容易出现不准确的情况。
绘制平行线时，可以利用直尺和铅笔，在直线上取两个点，然后用直尺连接这两个点，最后延长直线即可。
绘制垂直线时，可以利用直尺和铅笔，先画一条直线，然后在该直线上取一个点，再用直尺过该点作垂直于原直线的线，最后得到垂直线。
在绘制时，要注意直尺、铅笔的使用位置和手法，保持准确。
第三个易错点是审题不清导致问题解答错误。
在解答问题时，首先要搞清楚题目的要求和条件。
例如，在判断物体投影时，要根据题目给出的物体投影的形状和位置以及光源的位置，来确定物体的形状和位置。
此外，在计算投影时，要注意计算单位的统一，例如长度是否一致，角度的单位是否一致等。
第四个易错点是在解决实际问题时缺乏思路。
在解决问题时，可以利用已知条件来推导出未知的结果。
例如，在判断物体是否有投影时，可以通过分析光线和物体的相对位置关系，利用平行线和垂直线的性质，进行推理判断。
此外，还可以通过简单的绘图来辅助解题，绘制光线和物体的位置，从而更好地理解问题。
第五个易错点是计算错误导致结果不准确。
在进行计算时，要仔细分析每个步骤，避免出错。
例如，在计算面积时，要注意单位的转换和计算公式的正确性。
在进行减法运算时，要注意借位的原则和方法。
此外，还要注意小数的精确性和精确到几位小数。
在学习数学的过程中，我们要保持耐心和细心，认真掌握每个知识点的理解和应用。
相交线、平行线中易错的问题
相交线、平行线中易错的问题汇总相交线与平行线是平面几何的基础，学生在学习中经常遇到问题，下面就学生在解题中出现的错误，分析如下． 一、概念不清例1 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝70 ，求∠BOD 的度数．例2.如图AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，则∠2= 度.练习.如图，A 、O 、B 在一条直线上，OC 是射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC.A ECFB O（1）OE 与OF 有什么位置关系？为什么？（2）如果射线OC 绕点O 旋转（在同一平面内），其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？由此你能得到什么结论？二、未弄清“三线八角”的意义及关系例1如图所示，下列各对角分别是什么角？（1）直线DE 和BC 被AB 所截得的∠ADE 和∠B ；被AC 所截而得的∠C 和∠DEC ．（2）直线AB 和AC 被BC 所截而得∠B 和∠C ；而DE 所截而得的∠ADE 和∠DEC ．ABCDE O BAC DE三、未弄清题意例1 如图所示，写出所有能够推出直线AB ∥CD 的条件．练习.如图，直线l 1∥l 2， ∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（A ）55° （B ） 60° （C ）65° （D ） 70°四、考虑不周例1.点P 为直线l 外一点，点A 、B 、C 为直线l 上三点，PA ＝4，PB ＝5，PC ＝2，则点P 到直线l 的距离（ ）A.是4B.是2C.小于2D.不大于2例2.下列说法不正确．．．是( ) A.两直线平行,同位角相等 B 两点之间直线最短 C.对顶角相等 D.半圆所对的圆周角是直角 练习.已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ; ②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ； ③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ； ④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c ． 其中正确的命题的是 ．（填写所有真命题的序号） 五、应用能力差例1 如图所示，直线a 、b 都与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180；④∠5＋∠8＝180，其中能判断a ∥b 的条件是（ ）A.①②B.③④C.①③④D.①②③④ 例2. 如图，AB ∥CD ，求证：∠E ＝∠A ＋∠C.AB E FC D1 23 4 5 6 7 8a7 31 5 62 8 4b c l 1l 2123练习1.如图，已知AB∥CD，∠BAE＝40°，∠ECD＝62°，EF平分∠AEC. 求∠AEF的度数.练习2. 如下图，已知CB⊥AB，点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC＋∠DCE＝90°. 求证：DA⊥AB.。
2022年 《平行线常见错误辨析》优秀教案
平行线常见错误辨析
平行线是初中数学的一个重要概念，但同学在学习这局部知识时，也常犯这样或那样的错误，现评析如下:
1有以下说法，1两条不相交的直线叫做平行线;2在同一平面内，两条不平行的线段必相交;3经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行;4如果直线a ∥b ，a ∥c ，那么b ∥c 其中，错误的有
个 个 个 个
辨析:说法1错在缺少前提条件:在同一平面内;说法2错在:平行线指的是直线，而线段、射线的平行指的是它们所在直线的平行;说法3、4
2假设两条直线被第三条直线所截，有以下几个结论，1同位角相等;2内错角相等;3同旁内角相等;其中正确的有
个 个 个 个
辨析:
3如图，以下说法中正确的选项是
A 因为，所以AD ∥ BC
B 因为，所以AD ∥ BC
C 因为，所以A
D ∥ BC
D 因为，所以AB ∥ CD 第3题
辨析:错选的原因是利用同位角、内错角、同旁内角的关系来判断直线平行时，没有弄清这些角是哪两条直线被哪条直线截得的 应选C
4如图，直线与直线、相交，且a ∥b ，那么以下结论:
1中，正确的有
个 个
个 个 第4题
辨析:常错选为C 原因把和相等遗忘了，它们为对顶角， 1 2 4 3 D A B C 1 2 3。
平行线判定的易错点
问题探究
以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ C ） A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
拓展应用
1.如图，下列能判定AB∥EF的条件有( C )
再见
分析：A. ∠1和∠4既不是同位角也不是内错角，如果∠1=∠4, 不能得到AB∥CD； B. ∠2和∠3是内错角,如果∠2=∠3, 那么根据平行线的判定, 可得AE∥DF；
C. 如果∠1=∠3既不是同位角也不是内错角 ， 那么不能得出AB∥DF； D. 既不是同位角也不是内错角如果∠2=∠4, 那么不能得到AE∥DC。
①∠B＋∠BFE＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
√
√
√
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
应用拓展
2.如图，∠E＝∠F，∠1＝∠2， （1）求证：AE∥PF； （2）求证：AB∥CD．
证明：（1）∵∠E＝∠F， ∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）
证明：（2）∵AE∥PF， ∴∠EAP＝∠APF， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAP＝∠2+∠APF， 即∠BAP＝∠APC， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
平行相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
易错分析
判定平行线易错点分析
1.容易找错同位角、内错角、同旁内角的位置关系 2.容易忽视同位角、内错角、同旁内角的数量关系 3.容易找错同位角、内错角、同旁内角所在的直线
易错点睛 如图所示,下列说法正确的是( B ) A. 如果∠1=∠4,那么AB∥CD B. 如果∠2=∠3,那么AE∥DF C. 如果∠1=∠3,那么AB∥DF D. 如果∠2=∠4,那么AE∥DC