高中数学人教B版必修一第二章2.4.1《函数的零点》 教学设计

《函数的零点》课堂教学设计一．教学内容本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。

1．知识背景2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。

建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。

方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

二．教学目标知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。

（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件。

（3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。

过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。

情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想,理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。

三．教学重点重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点．具体流程设计一、创设情境画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x[师生互动]师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。

生：独立画图，独立思考。

设计意图：通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。

再次利用《几何画板》绘制函数122+-=x x y 、223y x x =-+的图像，并观察它们的图像与对应的一元二次方程2210x x -+=、223=0x x -+的根的关系。

[师生互动]师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．设计意图：利用《几何画板》的帮助，使学生的认知起点与新知识平顺对接，形成零点概念的初步认识。

几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，为学生 归纳方程与函数的关系铺好了台阶。

二、组织探究对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点(zero point)． 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．[师生互动]师：引导学生仔细体会理解零点的概念，进而感悟其中的思想方法生：结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法．设计意图：通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识三、意义构建函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． [师生互动]师：引导学生就将由图象得到的概念进一步深化，得到函数零点的求法。

生：得到函数零点的求解方法，第一:代数法,即求解函数对应的方程； 第二：几何法，画出函数图像，找出零点。

设计意图：深刻认识图象与函数性质的关系，并掌握用几何法求函数的零点。

二次函数()20y ax bx c a =++≠零点个数的判定方法：师生互动]师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析 ，总结概括形成结论，并进行交流。

设计意图：让学生对特殊的函数零点产生直观认识，深化零点概念四、探索研究（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象①在区间[3,1]-上有零点______；(3)f -=______，=)1(f _______,()(3)1f f -⋅_____0（>或<）． ②在区间[2,4]上有零点______；)2(f ·(5)f ____0（>或<）．结论：二次函数零点的性质 （1）当函数的图象通过零点时（不是二重零点）函数的值变号. （2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象①在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（>或<）． ②在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（>或<）． ③在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（>或<）.结论：零点存在性定理 如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内至少存在一个零点，即存在(),c a b∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.注意：（1）此性质成立的前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；（2）零点c 并不一定是唯一的，但一定存在；（3）()()0>•b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点的充分条件。

但是若函数)(x f y =是一次、二次函数时，则()()0>•b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点的充要条件。

[师生互动]师：引导学生结合教师所提出的问题及函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。

设计意图：如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，这样设计，有得于营造气氛，调动学生的积极性，内容由浅入深，既展现了知识的形成过程，又体现了能力的培养，符合素质教育的思想。

五、例题研究例题1：求函数223y x x =--+的零点，并指出0y >，0y =时，x 的取值范围.解：由2230x x --+=得，123,1x x =-= ∴函数223y x x =--+的零点为-3，1.223y x x =--+=()214x -++,画出图象，由图象观察可得：当31x -<<时，0y >当3x <-或1x >时，0y <，∴函数的零点为-3 ，0y >时，x 的取值范围是()3,1-0y <时，x 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞.例题2：求函数3222y x x x =--+∵3222x x x --+()()222x x x =---()()221x x =--()()()211x x x =--+∴函数的零点为-1,1,2三个零点把x 轴分成四个区间：(],1-∞-，[]1,1-，[列表→描点→连线说明：求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解,而作它的图象，可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再进行适当的取点。

因式分解的方法主要有：提取公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法等. [师生互动]师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．设计意图：体现零点存在的判定思想，让学生自己动手做数学，玩数学，体会数学，感受成功，在这些综合性、趣味性强的练习中，充分体现了尝试教学和愉快教学。

六、尝试练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ； （3）x x 692-=-； （4）532522+=+x x x2．求出下列函数的零点，并画出函数的草图：（1）33)(3+--=x x x f ； （2）(1)(2)y x x x =--； （3）2(1)(1)(3)y x x x =-++；（4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．[师生互动]师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数，并再次明确学习目标生：认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用，并总结出确定函数零点的一般步骤。

设计意图：拓展学生思维，培养思考能力，突出数形结合的思想。

七、作业反馈1． 教材P 77练习A 第1、2题； 2． 求下列函数的零点： （1）302++-=x x y ；（2）)23)(2()(22+--=x x x x f ．。