极坐标与参数方程题型及解题方法89378
高考极坐标与参数方程大题题型汇总（附详细答案）
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sinx y 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )33，射线:3OM 与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y，又cos ,sinx y ;所以圆C 的极坐标方程是2cos. ---5分(2)设11(,)为点P 的极坐标，则有1112cos 3解得1113.设22(,)为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3cos )333解得2233由于12，所以122PQ，所以线段PQ 的长为 2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ayt （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin8．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值．解：（1）∵2222268(36si )n81xyy xy ，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1xy ；(5分）（2）把直线l 的参数方程431x t ayt （t 为参数）化为普通方程得：34340x y a ，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a da或376a，∴376a或92a．(10分）3．已知曲线C 的参数方程为sin51cos 52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin θ+cos θ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为sin51cos 52yx(α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将sincos yx代入并化简得：=4cos θ+2sin θ即曲线c 的极坐标方程为=4cos θ+2sin θ(2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225=234．已知曲线C ：2219xy，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上任一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sinxy（为参数），直线l 的直角坐标方程为2x y（2）设(3cos,sin)P ，P 到直线l 的距离10cos()23cossin 222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P 到直线l 的距离的最大值max52d 5．设经过点(1,0)P 的直线l 交曲线C ：2cos 3sinxy(为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60时，求||||PA PB 与||||PA PB 的值．解：（1）C ：22143xy．（2）设l ：11232x tyt（t 为参数）联立得：254120tt 212121216||||||45PA PB t t t t t t ，1212||||||5PA PB t t 6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2，若直线l 过点P ，且倾斜角为6，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB．解：（1）直线l 的参数方程为31,212,2x t yt 为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2x t yt 代入22(3)9xy ，得2(31)70tt ，127t t ，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PAt PBt ,7.PAPB7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x tyt （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB的值.解：（1）由42cos()4，展开化为2242(cos sin )4(cos sin )2，将代入,得22440xyx y ，所以，圆C 的直角坐标方程是22440xyxy.cos sinxy（2）把直线l 的参数方程22222x tyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22240tt.设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121222,40t t t t ，所以2121212()426t t t t t t .∴121212111126642t t PAPBt t t t .8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos10，曲线13cos :2sin x C y（为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194xy（2）曲线C 的标准方程是：210xy 设点(3cos ,2sin)M ，由点到直线的距离公式得：3cos 4sin 1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d ，此时98(,)55M 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122322x t yt（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1yx交于A ，B 两点.（1）求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为322,4，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l 的参数方程为122322x t yt ，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100tt ．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t ，1210t t ，所以12||||214AB t t ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t ，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM ．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6，（1）写出直线l 的参数方程。
(完整版)极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
参数方程与极坐标模块常见题型全归纳
参数方程与极坐标模块常见题型全归纳目录一、第一问破解方法：1参数方程化普通方程的方法 （1）代入消参法与和差消参法（2）恒等式消参法与平方消参法;2应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化 （1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; （2）曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;二、第二问破解方法：3坐标系与参数方程的最值（取值范围）问题的求解方法 （1）应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）；（2）化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值（取值范围）问题； （3）运用圆的几何特性求最值（取值范围）问题； 4直线的标准式参数方程中参数t 的几何意义的应用 （1）以定点为起点的线段的四则运算求值问题； （2）参数t 形式的弦长公式的运用； 5极坐标方程中ρ的几何意义的应用（1）以原点O 为起点的线段的四则运算求值问题； （2）应用ρ的几何意义表示两点间距离；6剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化——“数形结合思想”的运用（1）考查圆特有的的弦长公式AB =（2）通过图形关系分析代数关系； 7求曲线的极坐标方程（1）应用平面直角坐标系内求轨迹方程的基本思想求极坐标方程； （2）运用利用极坐标和直角坐标的特殊关系求极坐标方程.1 参数方程化普通方程的方法 1.1 代入消参法与和差消参法【例1】直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：代入消参法由3y t =-得3t y =-，代入42x t =-整理得220x y -+=. 方法二：和差消参法将3y t =-乘以2与42x t =-作差可得220x y -+=.【评注】代入消参法与和差消参法源于我们初中学过的解方程组的思想，其目的在于消去参数t .【变式1】潜在的参数范围的影响曲线43x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为____________.【解析】由消参法可得220x y -+=，因为0，故44x =-，所以曲线43x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为()2204x y x -+=≤. 【变式2】曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为______________.【解析】tan θ∈R ，所以x ∈R ，故曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为2y x =【变式3】注意tan θ和sin θ消参的区别 曲线2sin ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为______________.【解析】1sin 1θ-≤≤，所以11x -≤≤，故曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为2y x =(11)x -≤≤.【变式4】只有一个式子有参数直线1,sin x y θ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）的普通方程为_____________.【解析】sin y θ=,所以11y -≤≤，故直线1,sin x y θ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）的普通方程为1x =(11)y -≤≤.1.2 恒等式消参法与平方消参法【例2】参数方程2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为_____________.【解析】由2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩得cos 2,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩因为22sin cos 1θθ+=，故参数方程2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)1x y ++=. 【评注】本题采用22sin cos 1θθ+=这一恒等式消参，高中阶段常用的恒等式还有：（1）()10,1x xa a a a -⋅=>≠且；（2）222211122t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()2sin cos 1sin 2ααα+=+. 【变式1】给参数范围的消参 参数方程cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,πθ∈）化为普通方程为_____________.【解析】由[]0,πθ∈可知11x -≤≤，01y ≤≤，故该参数方程的普通方程为221x y +=(01)y ≤≤【变式2】平方消参法 参数方程sin cos ,sin cos x t t y t t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：由sin cos x t t =-得212sin cos x t t =-，同理212sin cos y t t =+，故该参数方程的普通方程为222x y +=.方法二：由sin cos ,sin cos x t t y t t =-⎧⎨=+⎩得sin ,2cos .2x y t y x t +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩又22sin cos 1t t +=，故该参数方程的普通方程为222x y +=.【变式3】注意隐藏的x 的范围 参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为_______________.【解析】因为πsin cos )4x θθθ=+=+，所以x ⎡∈⎣， 又因为()2sin cos 1sin2θθθ+=+，故21x y =+，所以参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为21x y =+()x ⎡∈⎣.【变式4】恒等式消参法与平方消参法对比参数方程(),2t tt tx e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为____________________. 【解析】方法一：2t t x e e -=+=≥，由(),2tt t tx e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得2,22.2t t yx e yx e -⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，因为1tte e -⋅=，故该参数方程的普通方程为221(2)416x y x -=≥. 方法二：由(),2t tt t x e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩平方得2222222,2.4t t t t x e e y e e --⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，两式作差可得221416x y -=，又2ttx e e -=+=≥，故该参数方程的普通方程为221(2)416x y x -=≥. 2 应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化 2.1 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程【例3】只有ρ和θ的极坐标方程将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）1ρ=；【解析】因为1ρ=，所以21ρ=，又222x y ρ+=，故直角坐标方程为221x y +=.（2）π3θ=. 【解析】因为π3θ=，所以tan θ=tan yxθ=，故直角坐标方程为y =. 【评注】在进行极坐标与直角坐标的互化时，下列公式必不可少： （1）222x y ρ+=； （2）tan yxθ=； （3）cos x ρθ=； （4）sin y ρθ=. 【变式1】极坐标方程中的ρ和θ在“=”的同侧 将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）()cos sin 1ρθθ+=；【解析】由cos x ρθ=和sin y ρθ=得该曲线的直角坐标方程为10x y +-=. （2）πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；【解析】因为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1cos sin 122ρθρθ-=，由cos x ρθ=和sin y ρθ=得该曲线的直角坐标方程为20x -=. 【变式2】极坐标方程中的ρ和θ在“=”的两侧 将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）2cos 2sin ρθθ=+；【解析】由2cos 2sin ρθθ=+得22cos 2sin ρρθρθ=+，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为22220x y x y +--=.（2）π2sin 3ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；【解析】由π2sin 3ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭得2sin cos ρρθθ=+，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为220x y y +--=.（3）8cos 1cos 2θρθ=-.【解析】由8cos 1cos 2θρθ=-得2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为24y x =.2.2 曲线的直角坐标方程化为极坐标方程【例4】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 （1）y x =；【解析】将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入y x =得sin cos θθ=，故所求极坐标方程为π4θ=. （2）222310x y x y ++-+=；【解析】将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入222310x y x y ++-+=得22cos 3sin 10ρρθρθ+-+=,故所求极坐标方程为22cos 3sin 10ρρθρθ+-+=.【评注】将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程只需将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标方程适当化简即可.【变式1】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 （1）()()22122x y -+-=；【解析】()()22122x y -+-=可化为222430x y x y +--+=将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式得22cos 4sin 30ρρθρθ--+=. （2）22134x y +=. 【解析】将c o s x ρθ=，sin y ρθ=代入22134x y +=得()()22cos sin 134ρθρθ+=, 即2222cos sin 134ρθρθ+=.3 坐标系与参数方程的最值问题（取值范围）的求解方法该题型是高考中的常考题型，在各类模拟试卷中也频繁出现，求解此类最值问题关键在于巧妙的构建不等关系，依据高中阶段建立不等关系的常用方法(利用三角函数有界性求取值范围，利用二次函数的单调性求最值，利用圆的几何对称性求最值)可分为三种类型求解. 3.1 应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）【例5】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）.（I ）求过椭圆C 的右焦点，且与直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数）平行的直线l 的普通方程；（II ）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值. 【解析】（I ）由椭圆C 的参数方程5co s,(3s i nx y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为221259x y +=，故椭圆C 的右焦点为(4,0). 直线42,3x t y t=-⎧⎨=-⎩ (t 为参数）化为普通方程为220x y -+=，因为直线l 过椭圆C 的右焦点，且与直线220x y -+=平行， 所以由直线的点斜式方程得1(4)2y x =-，故直线l 的方程为240x y --=. （II ）因为椭圆C 的参数方程为5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），不妨设(5cos ,3sin )A ϕϕ，则椭圆C 的内接矩形ABCD 面积15sin 2=45cos 3sin 430sin 230.2S ϕϕϕϕ⋅==≤ 故椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值为30.【评注】本题关键在于利用椭圆的参数方程将解析几何的最值问题转化为三角函数的最值问题进行求解，其中利用椭圆的内接矩形的对称性巧妙转化四个小矩形是本题的思维难点.本题第二问可推广为：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内接矩形的最大面积为2ab .【变式1】恒成立问题转化为求最值 已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点.（I ）求2x y +的取值范围；（II ）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（I ）将222x y y +=化为圆的标准方程得22(1)1x y +-=，其参数方程为cos ,1sin .x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），故(cos ,sin 1)P αα+，所以22cos sin 1x y αα+=++)1αϕ=++（tan 2ϕ=）,因为1sin()1αϕ-+≤≤，所以2x y +的取值范围为1⎡-⎣.（II ）0x y a ++≥恒成立等价于()a x y -+≥恒成立.()(cos sin 1)x y αα-+=-++π)14α=+-，所以()x y -+1，所以1a .【变式2】非特殊角求点 已知曲线1C 的参数方程为：4cos ,3sintx t y =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 曲线2C 的参数方程为：8cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （I ）化曲线1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（II ）若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值及此时Q 点坐标. 【解析】（I ）曲线1C 的普通方程为22(4)(3)1x y ++-=，它表示以点(4,3)-为圆心，1为半径的圆；曲线2C 的普通方程为221649x y +=， 它表示焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（II ）π2t =时，(4,4)P -，(8cos ,3sin )Q θθ，PQ 中点3(24cos ,2sin )2M θθ-++，直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为普通方程为270x y --=，故点M 到直线3C的距离3sin 13d θθ=--4cos 13θθ=-+)13θϕ=++(其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=-)， 故当sin(1θϕ)=-+时，即π2π2k θϕ+=-（k ∈Z ）时，d，此时π4cos cos(2π)=sin 25k θϕϕ=---=，π3sin sin(2π)=cos 25k θϕϕ=---=-， 从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d，此时329(,)55Q -. 【例6】已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 321（t 为参数）.（I ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C 经过伸缩变换',1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.【解析】（I ）因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 321（t 为参数），所以直线l 的普通20y --+=.曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.（II ）由',1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得',2'x x y y =⎧⎨=⎩代入到224x y +=得曲线:C '22''14x y +=， 于是由点(,)M x y 在曲线C '上得2214x y +=，从而可设点(2cos ,sin )M αα，则222224cos sin 2sin x y αααα-+=-+π2cos(2)33α=++，故πcos(2)13α+=-时，即π22ππ3k α+=+时，222x y -+取得最小值1， 此时ππ3k α=+（k ∈Z ），则1cos 2α=，sin α=或1cos 2α=-，sin α=.所以当点M的坐标为(1,2或(1,)2--时，222x y -+取得最小值1. 【评注】坐标变换一直深受高三一线出卷老师的喜爱，试想在控制好试题难度的情况下增加题目的知识维度何乐而不为呢？求解此类问题时，只要我们能够正确的理解坐标变换的含义，问题自然会迎刃而解.【变式1】参数方程下的坐标变换已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的22C .（I ）求曲线2C 的普通方程；（II ）已知点(1,1)B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，点P 为曲线2C 上任意一点，求22PA PB -的最大值.【解析】（I ）因为曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），故曲线2C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的普通方程为22143x y +=. （II ）曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，故(2,0)A -，因为点P 为曲线2C 上任意一点，所以可设(2cos )P θθ，又因为点(1,1)B ，所以222222(2cos 2))(2cos 1)1)PA PB θθθθ-=++----12cos 2θθ=++)2θϕ=++，其中tan ϕ=故当sin()1θϕ+=时，22PA PB -取得最大值2.3.2 化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值【例7】（2015·陕西高考卷）在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为13,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρθ=．（I ）写出圆C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】（I）将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，又222x y ρ=+，sin x ρθ=可得圆C的直角坐标方程为22x y +=，即22(3x y +-=.（II ）因为直线l的参数方程为13,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），不妨设1(3)2P t +，又C，则PC ==故当0t =时，PC 取最小值，此时P 点的直角坐标为30（,）. 【评注】题目中说P 为直线l 上一动点，动点从何而得？本题告诉我们一个重要的解题经验——需要动点坐标时我们可以向曲线的参数方程“借”.【变式1】抛物线相关的最值问题在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线N的极坐标方程为πsin()4ρθ+=（I ）求曲线N 直角坐标方程和曲线M 的直角坐标方程； （II ）求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离.【解析】（I ）由曲线M 的参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得21y x +=，即21y x =-，考虑到πsin cos )4x θθθ=+=+,故x ⎡∈⎣，所以曲线M 的直角坐标方程为21y x =-，x ⎡∈⎣.由曲线N的极坐标方程sin()4πρθ+=N 直角坐标方程为20x y ++=.（II ）不妨设曲线M 上一点200(,1)P x x -，其中0x ⎡∈⎣，则点P 到曲线N的距离2013()x d ++==考虑到012x ⎡=-∈⎣，所以当012x =-时，min 8d =. 又易知曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离等于曲线M 上的点与曲线N 的距. 【评注】本题很容易忽视x ⎡∈⎣这一隐含条件，本题给了我们一个解题经验：与抛物线上的点相关的最值问题往往可转化为二次函数进行求解.【变式2】已知曲线1C 的参数方程为21,42x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（I ）求曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，求12M M 的最小值. 【解析】（I ）因为曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，所以cos 2ρρθ-=，即2cos ρρθ=+，所以22(2)x ρ=+，化简得2440y x --=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2440y x --=. （II ）因为21,42x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）所以曲线1C 的普通方程为240x y ++=.因为1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，所以12M M 的最小值等于2M 到直线240x y ++=距离的最小值.设22(1,2)M t t -，则2M 到直线240x y ++=的距离d===，所以12M M的最小值为10.【变式3】由三角函数转化为二次函数求最值已知某圆的极坐标方程是2πcos()604ρθ--+=.（I）求圆的普通方程和参数方程；（II）已知圆上一动点(,)P x y，求xy的最大值和最小值.【解析】（I）由圆的极坐标方程2πcos()604ρθ--+=化为直角坐标方程可得224460x y x y+--+=，即22(2)(2)2x y-+-=.化为参数方程得2,2.xyαα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.（II）(2)(2)xyαα=+⋅+4sin cos2sin cosαααα++=+）,令πsin cos)4tααα=+=+，则t⎡∈⎣，22sin cos1tαα=-，所以23xy t=++2(1t=+，t⎡∈⎣.故当t=xy取得最小值1；当t=时，xy取得最大值9.【评注】第二问为什么会想到将此题化为二次函数求最值呢？事实上是因为“幂次”暴露了本题的求解思路，题目中的sin cosαα+是1次幂，而sin cosαα是2次幂，具有典型二次函数结构，本题也给我们提供了一条换元经验和一个解题技巧.换元经验：遇到含有sin cosαα±和sin cosαα的函数通常作如下换元：令sin costαα=±，则21sin cos2tαα-=±,t⎡∈⎣.解题技巧：三角函数求最值用什么方法，要看幂次说话，例如，2cos sin cosy x x x=+各项幂次均相同，可降幂结合引入辅助角公式化为三角函数最值问题，而2cos siny x x=+这类含有2次幂，1次幂的函数，则化为二次函数求最值.【变式4】设圆C的极坐标方程为2ρ=，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C上的一点(,)M m s作垂直于x轴的直线:l x m =，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ OM ON =+．（I ）求动点Q 的轨迹方程；（II ）设点(1,0)R ，求RQ 的最小值．【解析】（I ）因为圆C 的极坐标方程为2ρ=，所以圆C 直角坐标方程为224x y +=.由已知可得(0)N m,，设()Q x,y ，则由OQ OM ON =+得2,,x m y s =⎧⎨=⎩故,2,x m s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为(,)M m s 在圆C 上，所以动点Q 的轨迹方程为221164x y +=. （II ）根据（I ）的结论，可设点Q 的坐标为(4cos ,2sin )αα，其中α为参数， 又点(1,0)R ，所以(4cos RQ ==13=.故RQ 的最小值为3. 3.3 运用圆的几何对称特性求取值范围【例8】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（I ）求曲线2C 的直角坐标方程；（II ）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求PQ 的最小值.【解析】（I ）曲线2C 的极坐标方程cos ρθ=化为直角坐标方程得22x y x +=，即2211()24x y -+=. （II ）易知圆2211()24x y -+=的圆心21(,0)2C ，设(2cos )P αα，所以2PC ==== 所以当1cos 2α=时，2PC取得最小值，且2min 2PC =.故所求2min min12PQ PC r =-=. 【评注】本题不仅用到了前面提到二次函数求最值，而且还使用了几何对称思想，即利用圆的对称性求最值.运用圆的几何对称特性求取值范围时常用到以下结论：结论一：已知圆O 的半径为r ，圆O 上一点到与其相离的直线l 的距离为d ，圆心到该直线的距离为0d ，则max 0d d r =+，min 0d d r =-.结论二：已知圆O 的半径为r ，圆上一点到圆外一点A 的距离为d ，圆心到点A 的距离为0d ，则max 0d d r =+，min 0d d r =-.结论三：设圆A 上一点到圆B 上一点的距离为d ，两圆半径分别为12,r r ，两圆圆心之间的距离为0d ，若两圆相离，则max 012d d r r =++，min 012d d r r =--.【变式1】两圆上的点的最大、最小距离直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13c o s ,:4s i nx C y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为__________．【解析】由3co s ,4s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩得圆心为1C 1(3,4),1r =，由1ρ=得圆心为2C 2(0,0),1r =，故由平面几何知识知AB 的最小值为12||2C C-=2-523=-=.【例9】已知直线l的参数方程是,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【解析】（I ）因为圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由两角和差公式得ρθθ=，等式两边同时乘以ρ得2cos sin ρθθ=，将上式化为直角坐标方程得22x y +=-，所以圆C的直角坐标方程为22((122x y -++=， 所以圆心C的直角坐标为,)22-. （II ）直线l的参数方程是,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）， 则直线l普通方程为0x y -+=.所以圆心C 到直线l的距离5d ==，所以直线l 上的点向圆C=【评注】圆的几何最值问题围绕“圆心”思考，往往会让问题柳暗花明.本题第二问直接求解很难入手，若考虑直线l 上的点到圆心的距离的最小值，则问题迎刃而解.【变式1】在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，x 轴的正半轴为极轴，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为514,5183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(I) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程；(II) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.【解析】(I)曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，化为直角坐标方程为222440,x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=.由曲线2C 的参数方程514,5183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程为34150x y +-=.(II)由(I)可知曲线12,C C 分别为圆和直线.过曲线1C 的圆心(1,2)-作直线34150x y +-=的垂线，此时两切线所成角θ最大， 即cos θ最小，由点到直线距离公式可知4d ==，则1sin24θ=，所以27cos 12sin 28θθ=-=. 考虑到cos 1θ≤，且0θ≠，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围为7,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭.4 直线的参数方程中参数t 的几何意义的应用在近几年的高三模拟试题中，大量涌现出对参数t 的几何意义的考查，试题花样也层出不穷，要想解好此类问题，关键在于要熟悉基本概念和此类问题的解题的程序.直线参数方程的定义：直线l 的参数方程为：00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中α为直线l 的倾斜角，[)0,πα∈，直线l 必过定点()000,M x y .在直线的参数方程中，t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离.4.1 以定点为起点的线段的四则运算求值问题；【例10】 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,:2x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=.（I ）求圆C 的直角坐标方程；(II)设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【解析】（I）由ρθ=得220,x y +-=即22( 5.x y +-=(II)将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240,t -+=由于24420∆=-⨯=>，所以由韦达定理可得120t t +=>，1240t t ⋅=>，故120,0t t >>.又易知点P 在直线l 上，故由t的几何意义得：1212PA t t t P t B +==++=【评注】本题没有将直线的参数方程化为普通方程，而是从直线的参数方程的视角入手，保留直线的参数t 进行代数运算，这里采用的方法即是的几何意义的运用.使用此方法我们需要掌握以下知识点：已知直线l 经过定点()000,M x y ，直线l 与曲线C 相交于点1M ，2M 两点，若点1M ，2M 所对应的参数分别为1t ，2t ，则有：①弦长1212M M t t =-；②若定点()000,M x y 为弦12M M 的中点，则120t t +=； ③若弦12M M 的中点为M ，则点M 对应的参数122M t t t +=. 【变式1】运用参数t 几何意义求中点坐标在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2sin 10ρθ--=.设圆C 与直线l 相交于不同两点A ，B，且点(0,P .（I ）求线段AB 的中点M 的极坐标； (II)求PA PB +的值.【解析】（I ）由圆C的极坐标方程为2sin 10ρθ--=得2210x y +--= ①，将直线的参数方程代入①式可得2680t t -+=，由于2(6)4840∆=--⨯=>，所以由韦达定理得1260t t +=>，1280t t ⋅=>，所以120,0t t >>.所以线段AB 的中点M 对应的参数1232M t t t +==， 代入直线参数方程可得点M的直角坐标为3(22，故点M的极坐标为π)6. (II)考虑到点(0,P 在直线l 上，由参数t 的几何意义可知1PA t =，2PB t =，因为120,0t t >>，所以126PA PB t t +=+=.【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,2x t y =--⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A 、B 两点.（I ）求线段AB 的长度；(II) 极坐标系与直角坐标系xOy 中，取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，设点P的极坐标为3π)4，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【解析】（I ）将直线l的参数方程为2,2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为标准式得12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 得24100t t +-=， 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理得124t t +=-，1210t t ⋅=-，所以12AB t t =-==(II) 点P的极坐标为3π)4化为直角坐标得(2,2)-，所以点P 在直线l 上，线段AB 中点M 的参数1222M t t t +==-，由参数t 的几何意义可知，点P 到线段AB 中点M 的距离为2M t =.【变式3】t 的几何意义与三角函数综合运用在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(I)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；( II)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点,M N ，求PM PN +的取值范围． 【解析】(I)因为l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线，所以直线l 的参数方程为4cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 因为曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即2240x y x +-=.( II)将直线l 的参数方程代入2240x y x +-=整理得24(sin cos )40,t t αα+++=则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t αααα⎧∆=+->⎪+=-+⎨⎪⋅=⎩所以sin cos 0αα⋅>，又[)0,πα∈，所以π(0,)2α∈，所以可知10t <，20t <. 又点P 在直线l 上，所以1212π)4(sin cos )(()4PM PN t t t t ααα+=++=+=+=-.因为π(0,)2α∈，所以πsin()42α⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦，所以(PM PN +∈. 【例11】极坐标系与直角坐标系xOy 中，取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为28cos 1cos θρθ=-．（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，与x 轴的交点为F ，求11AF BF+的值． 【解析】（I ）曲线C 的极坐标方程为28cos 1cos θρθ=-，所以2sin 8cos ρθθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为28y x =.（II ）因为直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），易得直线l 与x 轴的交点为(2,0)F ，将直线l 的参数方程代入28y x =得22sin 8cos 160t t αα⋅-⋅-=,由韦达定理得1228cos sin t t αα+=，122160sin t t α⋅=-<， 所以由参数t 的几何意义可知1212121111t t AF BF t t t t -+=-==212sin α==.【评注】运用“直线参数t 的几何意义”这一解题方法时，往往需要韦达定理的辅助才能更好的进行运算.使用韦达定理时我们应熟练以下代数变形：（1）()()221212124x x x x x x -=+-；（2）12121211x x x x x x ++=；（3）21121211x x x x x x --==.4.2 参数t 【例12】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以错误！未找到引用源。
极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
高考极坐标与参数方程题型及解题方法
高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。
掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。
本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。
2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。
要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。
•根据这个周期，可以得到对应的关系式。
•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。
•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。
2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。
公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。
•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。
•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。
2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。
对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。
•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。
斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。
3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
极坐标与参数方程题型及解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法极坐标系是一种特殊的坐标系，它使用极轴（以原点为焦点）和极角来标识一个点。
极坐标系很方便表示和解决有关复平面中圆形定位或者曲线的问题，因此极坐标系经常会出现在数学题目中，可以提高解题的效率。
由极坐标可以唯一确定一个点的位置，也就是说，使用极坐标可以确定一个点的横纵坐标。
极坐标系的参数方程是指用参数方程的形式，用极坐标确定一个点的坐标。
参数方程表示为：x=rcosθ，y=rsinθ。
其中，r表示该点与原点的距离，θ表示该点与x轴正方向夹角的大小。
解极坐标方程的思路是，根据极坐标系和参数方程，我们可以先分析极坐标系中给出的两个参数和它们之间的关系，然后才可以求得它们组成的参数方程，最后将这个参数方程求出解析解，就可以得到该点的位置。
求解的过程可以分为两个步骤：1、求解极坐标系中的角θ：r=rcosθ.sinθ＝関数，根据极坐标系中给出的两个参数，可以求得θ的大小；2、求解极坐标系中的半径r：x=rcosθ，y=rsinθ，可以求得r的大小。
有了极坐标中的两个参数r和θ的大小，就可以求出参数方程的解析解，即求出该点的横纵坐标。
把极坐标系中参数求出来以后，可以利用两个步骤进行解题：第一步：把极坐标系的两个坐标(r，θ)代入原参数方程：x=rcosθ，y=rsinθ，得到：x=rcosθ，y=rsinθ.第二步：根据第一个步骤得到的结果，可以求出点P的横坐标和纵坐标，即可求得极坐标系中点P的位置。
总结以上，极坐标与参数方程可能出现在数学试题中，解题步骤是：首先分析极坐标系中给出的两个参数r和θ；其次把极坐标系中的参数代入参数方程；最后根据第一步的结果，求出点的位置。
在解出练习题的参数方程时，尽量利用极坐标系。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
具体方法如下：1)极坐标方程转直角坐标方程：begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y }{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho \sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴的夹角。
2)参数方程转直角坐标方程：begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$为$x,y$的函数，$t$为参数。
3)极坐标方程转参数方程：begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarr ow\begin{cases}r=f(\theta)\\ \theta=g(r)\end{cases}$$题型二：三个常用的参数方程及其应用1)圆的参数方程：begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
2)椭圆的参数方程：begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$为椭圆的长短半轴。
3)过定点倾斜角为$\alpha$的直线$l$的标准参数方程为：dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$为直线$l$上的一点，$p$为直线$l$到原点的距离。
极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
极坐标与参数方程题型及解题方法(1)
Ⅰ复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： 3、 参数方程{cos sin x r y r θθ==表示什么曲线？4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置6、参数方程的意义是什么？Ⅱ 题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t tt tx t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2tt与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()222222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t ⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤2x y +，最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222cos sin x y x yy tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin 422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D. 练习1、已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是 解析：极点的直角坐标为()0,0o ，对于方程sin 4πρθρθθ⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=，因此点到直线的距离为2练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C.（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+=∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C∴222)10()223()2(=+d ∴22=d∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．DAFEOBC解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θ+θ=ρsin cos 32 （4）利用参数方程求值域例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
坐标与参数方程题型解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法Ⅰ复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：ρθρθysin xcos ==3、 参数方程{cos sin x r y r θθ==表示什么曲线？4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？Ⅱ 题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t tt tx t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()222222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）222sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t ===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t ⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤2x y +.（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222cos sin x y x yy tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为()0,0o ，对于方程sin 4πρθρθθ⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C.（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+=∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为10)3()1(22=-+-y x（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C∴222)10()223()2(=+d ∴22=d∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程. 已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．DAFEOBC解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θ+θ=ρsin cos 32（4）利用参数方程求值域例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
极坐标与参数方程题型及解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法极坐标与参数方程题型及解题方法高考数学中，极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。
这些题目通常属于中等难度，要求掌握基本概念、基本知识和基本运算。
这类题目常以选考题的形式出现，也有可能出现在高考数学的选择题和填空题中。
极坐标与直角坐标的互化1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的曲线，我们可以直接代入公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，或两边同时乘以ρ等。
2.直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤：1) 运用ρ²=x²+y²，tanθ=y/x；2) 在[0,2π)内，由tanθ=y/x求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限（即θ的终边位置）。
解题时必须注意：①确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可。
②平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一。
当规定ρ≥0，0≤θ<2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点。
③进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：Ⅰ注意ρ、θ的取值范围及其影响。
Ⅱ重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用。
例1：在直角坐标系xOy中，直线I) 求C1，C2的极坐标方程；II) 若直线C3的极坐标方程为θ=π/4，设C2与C3的交点为M和N，求C2MN的面积。
解：(I) 因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2，C2的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.II) 将θ=π/4代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，得ρ1=2√2，ρ2=2/√2.故MN=ρ1-ρ2=2.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为2π/8-1/2=π/8-1/2.参数方程是一种表示曲线的方式，其中x和y都是关于一个参数t的函数。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略【考纲要求】（1）坐标系①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。
表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
④了解参数方程，了解参数的意义。
能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。
了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。
（2）参数方程①了解参数方程，了解参数的意义②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。
④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。
【热门考点】高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。
热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。
冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。
盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。
涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。
多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。
【常见题型】 知识块 能力层次 知识点 11年 12年 13年 14年 备注 十八、坐标系与参数方程 理解 54．坐标系 23 23 23 23 理解55．参数方程23232323一．极坐标方程与直角坐标方程的互化例1. （2011新课标1，第23题）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ay a =⎧⎨=+⎩(σ为参数) M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C 。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
方法如下：{222cos sin tan (0x y x y yx x ραραρρθ==⎧=+⎪⎨=≠+⎪⎩或(1)极坐标方程直角坐标方程221θθ=−−−−−−−−−−−−→←−−−−−−−−−−−−消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程(2)参数方程直角坐标方程−−→−−→←−−←−−(3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程1、已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为2sin cos 0θθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.题型二：三个常用的参数方程及其应用（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是： cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数（2）椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 （3）过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数对（3）注意： P 点所对应的参数为00t =，记直线l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则①12AB t t =-,②1212121212,0,0t t t t PA PA t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-⋅<⎪⎩，③1212PA PA t t t t ⋅=⋅=⋅2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2sin y t⎨=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.3、已知曲线1C ：12cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标； （2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值．4、已知直线l：1122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于两点,A B ，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.5、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin C y α⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求弦AB 的长．6、面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5 cos α，y ＝sin α（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ＋ π 4)=2．l 与C交于A 、B 两点.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P (0,－2),求：① |PA |＋|PB |，②PA PB⋅,③11PA PB+,④AB题型三：过极点射线极坐标方程的应用 出现形如：（1）射线OP ：6πθ=（0ρ≥）；（1）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）7、在直角坐标系xOy 中，圆C的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．8、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(65sin y αα⎨=-+⎩为参数), 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2l α=与C 交于,A B 两点，求AB 的值.9、在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的 极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．10、在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，其参数方程为cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A B 、，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值，并求出这个定值．11、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别是244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 是参数）和cos ,1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线:OM ([,])64ππθαα=∈与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为O ，Q ，求||||OP OQ ⋅的最大值.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
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精品文档Ⅰ复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：ρθρθysin xcos ==3、 参数方程{cos sin x r y r θθ==表示什么曲线？4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？参数方程极坐标Ⅱ 题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t t t tx t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()222222224t ttt x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到 202222222t t t t t y -->+≥⋅=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）222sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩ 解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤所以2x y +，最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222cos sin x y x yy tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ. 例2、极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为()0,0o，对于方程sin 4πρθρθθ⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=，因此点到直线的距离为2练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C.（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x∵θθρsin 6cos 2+=∴θρθρρsin 6cos 22+=∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为10)3()1(22=-+-y x（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C∴222)10()223()2(=+d ∴22=d∴公共弦长为22练习1、坐标系与参数方程. 已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θ+θ=ρsin cos 32（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
DAFEOBC解：直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0设所求的点为P （1+cos θ,sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=2|122sin cos 1|-+++θθ=|sin(θ+4π)+2| 当234ππθ=+时，即θ=45π时，d 取最小值1此时，点P 的坐标是（1-22，-22）练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（θ∈R ）的圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范解：由题设得4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ） 于是.28cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，所以2x y -练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,54253ty t x （t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为：θρρsin 22=又 θρθρρsin ,cos ,222===+y x y x .所以，曲线C 的直角坐标方程为：0222=-+y y x .（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2(34--=x y 令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ， 则5=MC∴15+=+≤r MC MN（5）直线参数方程中的参数的几何意义例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，①写出直线l 的参数方程;②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ， 得22231(1)(1)4,(31)202t t t t +++=++-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．练习1、求直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长.解：将方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，2)4πρθ=+分别化为普通方程：3410x y ++=，220,x y x y +-+=2172.105d d -=-=211211圆心C （，－），半径为＝，弦长＝2r 222100（6）、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.例6、已知ABC ∆的三个顶点的极坐标分别为55623A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,判断三角形ABC 的三角形的形状，并计算其面积.分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解析：如图，对于5566AOB BOC AOC πππ∠=∠=∠=，，， 又5,OA OB OC ===2222cos AC OA OC OA OC AOC=+-⋅⋅∠(225525cos6π=+-⨯⨯ 133=，AC ∴，BC =同理，，AC BC ∴=，ABC ∴∆为等腰三角形，5AB OA OB ===又，所以AB 边上的高h ==, 152ABC S ∆∴==练习1、如图，点A 在直线x=5上移动，等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°（O ，P ，A 按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程.解析：取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线5x =的极坐标方程为cos 5ρθ=，设A （0ρ，0θ），P (),ρθ，因点A 在直线cos 5ρθ=上，00cos 51ρθ∴=<> OPA∆Q 为等腰三角形，且0120OPA OP OA ρρ∠=︒==，而，，以及30POA ∠=︒00302ρθθ∴==-︒<>，且，把<2>代入<1>，得点P 的轨迹的极坐标方程为：()cos 305θ-︒=.Ⅲ趁热打铁1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 解析：D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、BAO x Cy P AO x解析：B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)23．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 BD解析：B 11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=12125t t -===12t -=4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解析：C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为45．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。