高三数学一轮复习每日一练1
最新高考数学一轮复习-第三周-每日一练【含答案】
第三周[周一]1．(2023·长春模拟)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i3＋i a 等于()A ．－3 B.13C ．3D ．－13答案A 解析因为a －i 3＋i ＝(a －i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3a －1－(a ＋3)i 10＝3a －110－a ＋310i 为实数，则－a ＋310＝0，即a ＋3＝0，所以a ＝－3.2．(2023·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3－12sin x ，若θa ＝f ((cos θ)sin θ)，b ＝f ((sin θ)sin θ)，c＝－fa ，b ，c 的大小关系为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案A解析因为f (－x )＝(－x )3－12sin(－x )3－12sin f (x )，所以f (x )在R 上是奇函数．所以c ＝－f f 对f (x )＝x 3－12sin x 求导得，f ′(x )＝3x 2－12cos x ，令g (x )＝3x 2－12cos x ，则g ′(x )＝6x ＋12sin x ，当12<x <1时，g ′(x )>0，所以g (x )则当12<x <1时，g (x )>＝34－12cos 12>34－12×1>0，即f ′(x )>0，所以f (x )因为θ所以cos θ>12>sin θ，因为y ＝xsin θ(0，＋∞)上单调递增，所以(cos θ)sin θ>(sin θ)sin θ.令h (x )＝x ln x ＋ln 2，则h ′(x )＝ln x ＋1，所以当0<x <1e 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x >1e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h (x )≥＝1e ln 1e ＋ln 2＝ln 2－1e ，而2e >e ，即2>1ee ，所以ln 2>1e ，即ln 2－1e >0.所以x ln x >－ln 2，即x x >12，则(sin θ)sin θ>12，所以(cos θ)sin θ>(sin θ)sin θ>12且(cos θ)sin θ<1，所以f ((cos θ)sin θ)>f ((sinθ)sin θ)>即a >b >c .3．(多选)(2023·锦州模拟)如果有限数列{a n }满足a i ＝a n －i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则称其为“对称数列”，设{b n }是项数为2k －1(k ∈N *)的“对称数列”，其中b k ，b k ＋1，…，b 2k －1是首项为50，公差为－4的等差数列，则()A ．若k ＝10，则b 1＝10B ．若k ＝10，则{b n }所有项的和为590C．当k＝13时，{b n}所有项的和最大D．{b n}所有项的和可能为0答案BC解析{b n}的和S2k－1＝50k－k(k－1)2×4×2－50＝－4k2＋104k－50＝－4(k－13)2＋626，对于选项A，k＝10，则b1＝b19＝50－4×9＝14，故A错误；对于选项B，k＝10，则所有项的和为－4×9＋626＝590，故B正确；对于选项C，{b n}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626，当k＝13时，和最大，故C正确；对于选项D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程无正整数解，故D错误．4．(2023·大连模拟)甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，k(0<m<n<k)的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了N(N≥2)次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么N＝________.答案5解析N次游戏所取卡片数字总和为N(m＋n＋k)＝22＋9＋9＝40，又m＋n＋k≥1＋2＋3＝6，且m＋n＋k为40的因数，所以(m＋n＋k)min＝8，且N＝2,4,5.当N＝2时，m＋n＋k＝20，因为丙得9粒石子，则k≤8，所以甲得石子数小于16，不符合题意；当N＝4时，m＋n＋k＝10，因为丙得9粒石子，则k≤6，为了使甲获得石子数最多，k＝6，m＝1，n＝3，此时甲最多得21粒石子，不符合题意；当N＝5时，m＋n＋k＝8，因为丙得9粒石子，则k≤5，为了使甲获得石子数最多，k＝5，m＝1，n＝2，此时甲最多得22粒石子，甲、乙、丙三人每次得石子数如表所示，第1次第2次第3次第4次第5次甲55552乙22221丙11115故做了5次游戏，N＝5.5．(2023·大连模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bc(1＋cos A)＝4a2.(1)证明：b＋c＝3a；(2)若a＝2，cos A＝79，角B的角平分线与边AC交于点D，求BD的长．(1)证明因为bc (1＋cos A )＝4a 2，所以4a 2，所以bc ＋b 2＋c 2－a 22＝4a 2，即(b ＋c )2＝9a 2，所以b ＋c ＝3a .(2)解如图，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22＝b 2＋c 2－2bc ·79＝(b ＋c )2－2bc －149bc ，又b ＋c ＝3a ＝6，所以bc ＝9，b ＝c ＝3，由角平分线定理可得AB BC ＝AD DC ＝32，所以AD ＝35×3＝95，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＋32－2×953×79，所以BD ＝465.[周二]1．(2023·娄底模拟)某地春节联欢晚会以“欢乐中国年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为()A ．48B ．72C ．120D ．240答案C解析若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有A 22·A 44＝48(种)不同的分配方法，若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有A 33·A 24＝72(种)不同的分配方法，综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法．2．(2023·保山模拟)折纸艺术起源于中国．折纸艺术是用一张完整的纸用折叠的方法而成就的各种人物、动物或草木的形态的方法．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动．现有一张半径为6，圆心为O 的圆形纸片，在圆内选定一点P 且|OP |＝4，将圆翻折一角，使圆周正好过点P ，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O ，P 两点距离之和最小的点为M ，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点M 的轨迹为曲线C ，在C 上任取一点Q ，则△QOP 面积的最大值是()A ．22B ．25C ．23D ．4答案B解析如图所示，设折痕为直线l ，点P 与P ′关于折痕对称，l ∩OP ′＝M ，在l 上任取一点B ，由垂直平分线的性质可知|PB |＋|BO |＝|BP ′|＋|BO |≥|OM |＋|MP ′|＝|OP ′|，当且仅当M ，B 重合时取等号．即折痕上到O ，P 两点距离之和最小的点为M ，且|PM |＋|MO |＝|OP ′|＝6>|OP |＝4.故M 的轨迹是以O ，P 为焦点，且长轴长为2a ＝6的椭圆，焦距2c ＝|OP |＝4，c ＝2，故短半轴长b ＝5，所以当Q 为椭圆上(下)顶点时，△QOP 的面积最大，最大值为12×2c ×b ＝2 5.3．(多选)(2023·湛江模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点A (x 1，y 1)为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B (x 2，0)，则下列结论正确的有()A ．0<x 2<aB ．∠F 1AB ＝∠F 2ABC ．x 1x 2＝abD ．若cos ∠F 1AF 2＝13，且F 1B —→＝3BF 2—→，则双曲线C 的离心率e ＝2答案AB解析由x 2a 2－y 2b2＝1，得y ＝b 2a2x 2－b 2(x >a )，所以y ′＝b 2a 2x b 2a2x 2－b 2，则在点A (x 1，y 1)处的切线斜率为y ′＝b 2a 2x 1b 2a 2x 21－b 2＝b 2x 1a 2y 1，所以在点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －y 1＝b 2x 1a 2y 1(x －x 1)，又x 21a 2－y 21b 2＝1，化简得切线方程为x 1x a 2－y 1yb 2＝1，所以x 1x 2a 2－y 1×0b2＝1，所以x 1x 2＝a 2，故C 错误；由x 1x 2＝a 2，得x 2＝a 2x 1，又x 1>a ，所以0<x 2<a ，故A正确；由F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，得|F 1B |＝a 2x 1＋c ，|BF 2|＝c －a 2x 1，故|F 1B ||BF 2|＝a 2x 1＋cc －a 2x 1＝cx 1＋a 2cx 1－a 2，由x 21a 2－y 21b 2＝1，得y 21＝b 2x 21a 2－b 2，所以|AF 1|＝(x 1＋c )2＋y 21＝(x 1＋c )2＋b2x 21a2－b 2＝c 2a2x 21＋2cx 1＋a 2＝cax 1＋a ，所以|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝cax 1－a ，所以|AF 1||AF 2|＝ca x 1＋aca x 1－a ＝cx 1＋a 2cx 1－a 2＝|F 1B ||BF 2|，设点A 到x 轴的距离为h ，则1AF B S △＝12|F 1B |h＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ，2AF B S △＝12|F 2B |h＝12|AF 2||AB |sin ∠F 2AB ，12AF BAF BS S △△＝|F 1B ||F 2B |＝|AF 1|sin ∠F 1AB|AF 2|sin ∠F 2AB，又|AF 1||AF 2|＝|F 1B ||BF 2|，所以∠F 1AB ＝∠F 2AB ，故B 正确；由上可得F 1B —→c ，BF 2—→－a 2x 1，因为F 1B →＝3BF 2—→，则a2x 1＋c ＝得x 1＝2a 2c，|AF 1|＝c a x 1＋a ＝c a ×2a 2c ＋a ＝3a ，|AF 2|＝c a x 1－a ＝c a ×2a 2c －a ＝a ，所以cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝9a 2＋a 2－4c 26a 2＝53－23e 2＝13，解得e ＝2，故D 错误．4．(2023·白山模拟)在正四棱锥S －ABCD 中，M 为SC 的中点，过AM 作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V2V 1的最大值是________．答案2解析记正四棱锥S －ABCD 的体积为V ，求V2V 1的最大值，由V 1＋V 2＝V 为定值知，只需求V 1的最小值，设过AM 的截面分别交SB 和SD 于E ，F ，平面SAC 与平面SBD 的交线为SO ，SO 与AM 相交于G ，如图，则SG ＝23SO ，令SE SB ＝x ，SFSD ＝y ，则SG →＝13(SD →＋SB →)＝13x SE →＋13y SF →，即有13x ＋13y＝1，V 1＝V S －AFM ＋V S －AEM ＝V F －SAM ＋V E －SAM ＝SF SD ·V D －SAM ＋SESB·V B －SAM ＝y ·12V D －SAC ＋x ·12V B －SAC＝V4(x ＋y )＝V4(x ＋y＋y x ＋≥V 3，当且仅当x ＝y ＝23时取等号，此时V 2V 1＝V －V 1V 1＝VV 1－1≤V V 3－1＝2，所以V 2V 1的最大值是2.5．(2023·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和T n .1b 1，a 1b 2，a 1b 3，…，a 12b 1，a 2b 2，a 2b 3，…，a 23b 1，a 3b 2，a 3b 3，…，a 3…n b 1，a n b 2，a n b 3，…，a n 解(1)因为S n ＝2n ＋1－2，当n ＝1时，S 1＝22－2＝2，即a 1＝2，当n ≥2时，S n －1＝2n －2，所以S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)，即a n ＝2n ，经检验，当n ＝1时，a n ＝2n 也成立，所以a n ＝2n ，则b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n .(2)由数阵可知T n ＝a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n )＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )，因为S n ＝2n ＋1－2，b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋2＋…＋n ＝n (1＋n )2＝n 2＋n2，所以T n ＝(2n ＋1－2)·n 2＋n 2＝(2n －1)·(n 2＋n )．[周三]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＋B ＝2π3，a ＝23，c ＝5，则sin A等于()A.45B.35C.34D.23答案B解析因为A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即23sin A ＝5sin π3，所以sin A ＝35.2．已知A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若OP →＝mAP →＋(2m －3)OB →(m ∈R )，则|PB →||PA →|等于()A ．2 B.12C ．3D.13答案A 解析∵AP →＝OP →－OA →，OP →＝mAP →＋(2m －3)OB →＝m (OP →－OA →)＋(2m －3)OB →，整理得(m －1)OP →＝mOA →＋(3－2m )OB →，当m ＝1时，0＝OA →＋OB →显然不成立，故m ≠1，∴OP →＝m m －1OA →＋3－2m m －1OB →，∵A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，∴m m －1＋3－2m m －1＝1，解得m ＝2，∴OP →＝2OA →－OB →，设PB →＝λPA →，λ≠1，∴OB →－OP →＝λ(OA →－OP →)，∴OP →＝λλ－1OA →－1λ－1OB →，∴λλ－1＝2，解得λ＝2，即|PB →||PA →|＝2.3．(多选)(2023·保山模拟)已知函数f 3g (x )的图象关于直线x ＝π3对称，若f (x )＋g (x )＝sin x ，则()A ．函数f (x )为奇函数B ．函数g (x )的最大值是32C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称D ．函数f (x )的最小值为－32答案BC解析因为f3所以f－x )3f 3令t ＝x 3＋π3，则f f (t )，即f f (x )，由g (x )的图象关于直线x ＝π3对称，可得g (x )，－f (x )＋g (x )＝f＝联立f (x )＋g (x )＝sin x ，得g (x )＝32sinf (x )＝12sin 故函数f (x )不是奇函数，函数g (x )的最大值是32，函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，函数f (x )的最小值为－12.4．(2023·鞍山质检)冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜．已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A 为其在前两次射击中没有被罚时，事件B 为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么P (A |B )＝________.答案13解析由题意得P (B )＝C 13C 15C 25C 320，P (AB )＝C 15C 25C 320，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 15C 25C 320÷C 13C 15C 25C 320＝13.5．(2023·延边模拟)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4.将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如图2.(1)求证：A 1O ⊥BD ；(2)求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；(3)若点F 在A 1C 上，是否存在点F ，使得直线DF 和BC 所成角的余弦值为357若存在，求出A 1FA 1C的值；若不存在，请说明理由．(1)证明因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ，AD ＝AE .所以A 1D ＝A 1E ，又O 为DE 的中点，所以A 1O ⊥DE .因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，且A 1O ⊂平面A 1DE ，所以A 1O ⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ，所以A 1O ⊥BD .(2)解取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE ⊥OG .由(1)得A 1O ⊥OE ，A 1O ⊥OG .以O 为原点，OG ，OE ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，A 1(0,0,2)，B (2，－2,0)，C (2,2,0)，D (0，－1,0)．所以A 1B —→＝(2，－2，－2)，A 1D —→＝(0，－1，－2)，A 1C —→＝(2,2，－2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．n ·A 1B —→＝0，n ·A 1D —→＝0，2x －2y －2z ＝0，－y －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝－1，所以n ＝(1,2，－1)．设直线A 1C 和平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C —→〉|＝|n ·A 1C —→||n ||A 1C —→|＝|2＋4＋2|1＋4＋1·4＋4＋4＝223故所求角的正弦值为223.(3)解存在点F 符合题意．设A 1F —→＝λA 1C —→，其中λ∈[0,1]．设F (x 1，y 1，z 1)，则有(x 1，y 1，z 1－2)＝(2λ，2λ，－2λ)，所以x 1＝2λ，y 1＝2λ，z 1＝2－2λ，从而F (2λ，2λ，2－2λ)，所以DF →＝(2λ，2λ＋1,2－2λ)，又BC →＝(0,4,0)，所以|cos 〈DF →，BC →〉|＝|DF →·BC →||DF →||BC →|＝4|2λ＋1|4(2λ)2＋(2λ＋1)2＋(2－2λ)2＝357，整理得16λ2－24λ＋9＝0，解得λ＝34，所以线段A 1C 上存在点F 符合题意，且A 1F A 1C ＝34.[周四]1．(2023·青岛模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x ||x －2|<4}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |－2<x ≤3}B ．{x |－2<x <3}C ．{－1,0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}答案A解析|x －2|<4⇒－4<x －2<4⇒－2<x <6，∴B ＝{x |－2<x <6}．则A ∪B ＝{x |－2<x <7}，图中阴影部分为∁(A ∪B )A ＝{x |－2<x ≤3}．2．(2023·郴州、湘潭联考)已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为()A.53π3B ．53πC.73π3D ．73π答案C解析设圆台的上底面的圆心为O 1，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点，则O 1A ＝1，设圆台的高为h ，球的半径为R ＝OA ＝2，则h ＝OO 1＝R 2－O 1A 2＝4－12＝3，所以圆台的体积V ＝13(4π＋4π·π＋π)×3＝73π3.3．(多选)(2023·白山模拟)某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．成绩60657075808590人数2335421下列结论正确的是()A ．这20人成绩的众数为75B ．这20人成绩的极差为30C ．这20人成绩的25%分位数为65D ．这20人成绩的平均数为75答案AB解析根据表格可知，这20人成绩的众数为75，故A 正确；极差为90－60＝30，故B 正确；20×25%＝5，所以25%分位数为12×(65＋70)＝67.5，故C 错误；平均数为60×2＋65×3＋70×3＋75×5＋80×4＋85×2＋9020＝74，故D错误．4．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n是它的前n项和，若a3a5＝64，且a5＋2a6＝8，则S6＝______.答案126解析设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a3a5＝64，得a24＝a3a5＝64，而a4>0，解得a4＝8，又a5＋2a6＝8，则a4q＋2a4q2＝8，于是2q2＋q－1＝0，而q>0，解得q＝12，a1＝a4q3＝64，所以S61－12126.5．(2023·大连模拟)国学小组有编号为1,2,3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23，答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该同学答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．(1)令随机变量X n表示n名同学在第X n轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Y n表示n名挑战者在第Y n轮比赛结束．①求随机变量Y n(n∈N*，n≥2)的分布列；②证明：随机变量Y n的数学期望E(Y n)单调递增，且小于3.(1)解由题设，X3的可能取值为1,2,3，P(X3＝1)＝23×12＝13，P(X3＝2)＝23×12×12＋13×23×12＝518，P(X3＝3)＝1－13－518＝718，因此X3的分布列为X3123P13518718(2)①解Y n 的可能取值为1,2，…，n ，每位同学两题都答对的概率为p ＝23×12＝13，则答题失败的概率为1－23×12＝23，所以当Y n ＝k (1≤k ≤n －1，k ∈N *)时，P (Y n ＝k)－1×13；当Y n ＝n 时，P (Y n ＝n)－1，故Y n 的分布列为②证明由①知，E (Y n )＝错误－1×13＋－1(n ∈N *，n ≥2)．E(Y n ＋1)－E (Y n )＝－1×13＋(n ＋－－1>0，故E (Y n )单调递增．又E (Y 2)＝53，所以E (Y n)＝E (Y 2)＋[E (Y 3)－E (Y 2)]＋[E (Y 4)－E (Y 3)]＋…＋[E (Y n )－E (Y n －1)]，所以E (Y n )＝53＋＋…－1＝531－233－2－1<3，故E (Y 2)<E (Y 3)<E (Y 4)<E (Y 5)<…<E (Y n )<3.[周五]1．(2023·淄博模拟)已知集合A ＝{x |2x >1}，B ＝{x |ln x >1}，则下列集合为空集的是()A ．A ∩(∁RB ) B.(∁R A )∩BC ．A ∩B D.(∁R A )∩(∁R B )答案B解析集合A ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，集合B＝{x|ln x>1}＝{x|x>e}，所以∁R A＝{x|x≤0}，∁R B＝{x|x≤e}，对于A，A∩(∁R B)＝{x|0<x≤e}，故选项A不满足题意；对于B，(∁R A)∩B＝∅，故选项B满足题意；对于C，A∩B＝{x|x>e}，故选项C不满足题意；对于D，(∁R A)∩(∁R B)＝{x|x≤0}，故选项D不满足题意．2．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，且对∀x∈R，f(x＋4)＝f(－x)恒成立，则下列选项中不正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(3)＝0C．f fD．f(x)是以8为周期的函数答案D解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)x＋2)＝－f(－x)，2－x)＝－f(x)，又f(x＋4)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，故－f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，A正确；f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(3)＝f(1)＝0，B正确；f f f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f f所以f f C正确；又f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，D错误．3．(多选)(2023·邵阳模拟)若函数f(x)＝2cosωx(cosωx－sinωx)－1(ω>0)的最小正周期为π，则()A．f＝－62B．f(x)在π2，3π4上单调递增C．f(x)在0，5π2内有5个零点D ．f (x )在－π4，π4上的值域为[－1，1]答案BC解析f (x )＝2cos ωx (cos ωx －sin ωx )－1＝2cos 2ωx －2cos ωx sin ωx －1＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝2cos ωx 由最小正周期为π，可得π＝2π2ω，解得ω＝1，故f (x )＝2cos x对于A ，f ＝2cos －π12＋＝2cosπ6＝62，故A 错误；对于B ，当x ∈π2，3π4时，2x ＋π4∈5π4，7π4⊆[π，2π]，此时f (x )单调递增，故B 正确；对于C ，令f (x )＝2cos x 0，即x 0，所以2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，当x ∈0，5π2时，满足要求的有x ＝π8，x ＝5π8，x ＝9π8，x ＝13π8，x ＝17π8，故有5个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈－π4，π4时，2x ＋π4∈－π4，3π4，则x ∈－22，1，故f (x )∈[－1，2]，所以D 错误．4．(2023·齐齐哈尔模拟)一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新数据的方差相比原数据的方差的增加值为________．答案2解析一个数由4改为2，另一个数由6改为8，故该组数据的平均数x 不变，设没有改变的6个数分别为x 1，x 2，…，x 6，原数据的方差s 21＝18[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 6－x )2＋(4－x )2＋(6－x )2]，新数据的方差s 22＝18[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 6－x )2＋(2－x )2＋(8－x )2]，所以s 22－s 21＝18[(2－x )2＋(8－x )2－(4－x )2－(6－x )2]＝2.5．(2023·苏州调研)已知抛物线y 2＝a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点F .(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交椭圆于C ，D 两点，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设r ＝|AC |，s ＝μ|CD |，t ＝|DB |.①当μ＝2时，是否存在直线l ，使得r ，s ，t 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得r ，s ，t 成等差数列，求μ的范围．解(1)由题意知抛物线的焦点F (c ,0)，由于e ＝c a ＝32，即，则有a 24＝32a ，因此a ＝23，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝3，故抛物线的标准方程为y 2＝12x ，椭圆的标准方程为x 212＋y 23＝1.(2)设l ：x ＝my ＋3(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将直线与抛物线联立，2＝12x ，＝my ＋3，整理得y2－12my－36＝0，Δ＝144m2＋36×4>0，1＋y2＝12m，1y2＝－36，于是x1x2＝(my1＋3)(my2＋3)＝m2y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝9，2＋4y2－12＝0，＝my＋3，得到一元二次方程(m2＋4)y2＋6my－3＝0，Δ>0，3＋y4＝－6mm2＋4，3y4＝－3m2＋4，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋m2·(y1＋y2)2－4y1y2＝12(m2＋1)，|CD|＝(x3－x4)2＋(y3－y4)2＝1＋m2·(y3＋y4)2－4y3y4＝1＋m236m2(m2＋4)2＋12m2＋48(m2＋4)2＝43(m2＋1)m2＋4，|AC|＋|DB|＝|AB|－|CD|＝12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4.①当μ＝2时，s＝2|CD|，假设存在直线l，使得r，s，t成等差数列，即|AC|＋|DB|＝4|CD|，即有12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4＝4×43(m2＋1)m2＋4，整理得12m2＝203－48，方程无解，因此不存在l满足题设．②若存在直线l，使得r，s，t成等差数列，只需使得方程12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4＝2μ×43(m 2＋1)m 2＋4有解即可．整理得m 2＝3＋23μ－123，故m 2＝3＋23μ－123>0，解得μ[周六]1．(2023·泉州质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝4i ，则z ·z 等于()A ．－8B ．0C ．8D ．8i 答案C 解析因为(1－i)z ＝4i ，所以z ＝4i 1－i ＝4i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋4i 2＝－2＋2i ，所以z ＝－2－2i ，因此，z ·z ＝(－2＋2i)(－2－2i)＝4＋4＝8.2．(2023·娄底模拟)已知夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积之比为k (常数)，那么这两个几何体的体积之比也为k .则椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为(注：椭圆的面积S ＝πab ，其中a ，b 分别为长半轴、短半轴的长)()A.43πa 2b B.43πab 2C.43πa 3 D.43πb 3答案B 解析如图所示，直线y ＝h 交半椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(y ≥0)于A ，B 两点，交半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≥0)于C ，D 两点，由题意可得|AB ||CD |＝＝abb2－h2b2－h2＝ab，将半椭圆x2a2＋y2b2＝1(y≥0)和半圆x2＋y2＝b2(y≥0)绕着x轴旋转一圈后，利用垂直于y轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S，S′，由题意可知SS′＝14π·|AB|·|CD|14π·|CD|2＝ab，设半椭圆x2a2＋y2b2＝1(y≥0)绕x轴旋转一圈所得的几何体体积为V，半圆绕x轴旋转一圈所得的几何体体积为V′，则VV′＝ab，所以V＝abV′＝ab·4πb33＝4πab23.3．(多选)(2023·青岛模拟)在x的展开式中，下列说法正确的是()A．常数项是1120B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为256D．各项的系数之和为256答案AC解析x的通项公式为T k＋1＝C k828－k(－1)k x8－2k，对于A，常数项为C4824(－1)4＝1120，故A正确；对于B，第四项的系数为C3828－3(－1)3＝－1792，第六项的系数为C5828－5(－1)5＝－448，故B错误；对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；对于D，令x＝1，得各项的系数之和为1，故D错误．4.如图是甲烷的球棍结构，它的分子结构为正四面体结构(正四面体是每个面都是正三角形的四面体)，碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点．已知相邻的两个氢原子之间的距离为7，若不计原子大小，该正四面体内放入一个圆柱，使得圆柱的下底面在正四面体的底面内，则当该圆柱的表面积取得最大值时，圆柱的底面半径为____________．答案233＋66解析如图，不计原子大小后，设5个原子所确定的四面体为正四面体ABCD ，则其棱长为7，若使圆柱最大，则圆柱的上底面为一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆，设截面正三角形边长为x ，x ∈(0,7)，设正四面体的高AO 交截面于F ，连接EF ，BO ，圆柱的高为h ，则EF ＝32x ×23＝33x ，BO ＝32×7×23＝733，AO ＝763，由几何关系可得AF AO ＝EF BO ，则AO －h AO ＝EF BO ＝x 7，则圆柱的高h＝AO ＝6(7－x )3，圆柱底面半径为r ＝13×32x ＝36x ，所以圆柱表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝＋2π×36x ×6(7－x )3＝x 2＋723πx ，故当x72π4＋2时，S 取得最大值，此时r ＝36x ＝36×(4＋2)＝233＋66.5．(2023·柳州模拟)已知函数f (x )＝2sin x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求g (x )＝f (x )－ln(x ＋1)在区间0，π6上的最小值；(2)证明：sin 12＋sin 13＋sin 14＋…＋sin 1n >ln n ＋12(n>1且n ∈N *)．(1)解由题意知当a＝1时，g (x )＝2sin x －x －ln(x ＋≤x 则g ′(x )＝2cos x －1－1x ＋1，令u (x )＝2cos x －1≤x 则u ′(x )＝－2sin x ＋1(x ＋1)2，令v (x )＝－2sin x ≤x 则v ′(x )＝－2cos x －2(x ＋1)3<0，所以v (x )在区间0，π6上单调递减，即u ′(x )在区间0，π6上单调递减．又u ′(0)＝1，u 1＋1<0，所以u ′(0)·u ，故存在x 0u ′(x 0)＝0，所以u (x )(即g ′(x ))在区间(0，x 0)上单调递增，0又g ′(0)＝0，g ＝3－1－1π6＋1>0，g ′(x )>0，所以g (x )在区间0，π6上单调递增，最小值为g (0)＝0.(2)证明由(1)可知g (x )＝2sin x －x －ln(x ＋1)≥g (0)＝0在区间0，12上恒成立，所以2sin x ≥x －ln(x ＋1)，令h (x )＝x －ln(x ＋≤x 则h (0)＝0，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1≥0，所以h (x )在区间0，12上单调递增，所以当0<x ≤12时，h (x )>0，即x －ln(x ＋1)>0，x >ln(x ＋1)，所以2sin x≥x＋ln(x＋1)>2ln(x＋1)，即sin x>ln(x＋1)，12上恒成立，所以sin 12sin13＋sin14＋…＋sin1n>ln32＋ln 43＋…＋lnn＋1n＝·43·…ln n＋12.。
高三数学第一轮复习单元测试题—_集合与函数
高三数学第一轮复习单元测试题—_集合与函数(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高三数学第一轮复习单元测试题— 集合与函数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．8 2．已知集合M ＝｛x |0)1(3≥-x x ｝，N ＝｛y |y ＝3x 2＋1，x R ｝，则MN ＝（ ）A ．B ．{x |x 1}C ．｛x |x 1｝D ．{x | x 1或x 0}3．有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ； ②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ； ④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .其中真命题的序号是A ．③、④B ．①、②C ．①、④D ．②、③ 4．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ （ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝5．函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是 （ ）A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<6．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．),31(+∞-B ．)1,31(-C ．)31,31(-D ．)31,(--∞7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．R x x y ∈-=,3B ．R x x y ∈=,sinC ．R x x y ∈=,D ．R x x y ∈=,)21(8．函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点 )2,0(P （如图2所示），则方程0)(=x f 的根是=x （ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ） A ．12()()f x f x > B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x =D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）A ．7,6,1,4B ．6,4,1,7C ．4,6,1,7D ．1,6,4,7 11．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f （x ）表示弧AB 与弦AB 所 围成的弓形面积的2倍，则函数y =f （x ）的图象是（ ） 12．关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______.14．设f （x ）＝log 3（x ＋6）的反函数为f －1（x ），若〔f －1（m ）＋6〕〔f －1（n ）＋6〕＝27，则f （m ＋n ）＝___________________．15．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．16．设()xx x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为_____________ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数b x a x x f lg )2(lg )(2+++=满足2)1(-=-f 且对于任意R x ∈,恒有x x f 2)(≥成立. （1）求实数b a ,的值; （2）解不等式5)(+<x x f .18（本小题满分12分）20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？19．（本小题满分12分）已知函数,),,( 1)(2R x b a bx ax x f ∈++=为实数⎩⎨⎧<->=)0( )( )0()()(x x f x x f x F （1）若,0)1(f =-且函数)x (f 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式; （2）在（1）的条件下, 当]2 ,2[-∈x 时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;（3）设0<⋅n m , ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?20．（满分12分）已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （f （x ）－x 2+x ）=f （x ）－x 2+x . （1）若f （2）=3,求f （1）;又若f （0）=a ,求f （a ）;（2）设有且仅有一个实数x 0,使得f （x 0）= x 0,求函数f （x ）的解析表达式.21．（本小题满分12分）设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22．（本小题满分14分）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g （a ）.（1）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f （x ）表示为t 的函数m （t ）；（2）求g （a ）；（2）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a ．参考答案（1）1．C ．{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选择答案C ．2．C ．M ＝｛x |x 1或x 0｝，N ＝｛y |y 1｝故选C3．B ．选由ca r d()B A = ca r d ()A + ca r d ()B + ca r d ()A B 知ca r d ()B A = ca r d ()A +ca r d ()B ⇔ca r d ()A B =0⇔φ=B A .由B A ⊆的定义知ca r d ()≤A ca r d ()B .4．D ．{}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D ．5．A ．∵ 2log 1x y x =- ∴21y x x =- 即221x x y =- ∵1x> ∴11111x x x =+>-- 即2log 01x y x =>-∴函数2log (1)1x y x x =>-的反函数为2(0)21x x y x =>-. 6．B ．由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B ．7．B ．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A ．8．C ．利用互为反函数的图象关于直线y =x 对称，得点（2，0）在原函数)(x f y =的图象上，即0)2(=f ，所以根为x =2.故选C9． B ．取特值()()22,2,2,121->=-==f f x x a ，选B ；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为1-=x ,开口向上的抛物线, 由12x x <, x 1+x 2=0，需分类研究12x x <和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B ;10．B ．理解明文→密文（加密），密文→明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=d m d c z c b y b a x 43222，于是密文14，9，23，28满足，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=6417,428322329214a b c d d d c c b b a ，选B ； 11．D ．当x =2π时,阴影部分面积为14个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时12()2[]24222f ππππ-=-=<,即点（2,22ππ-）在直线y =x 的下方,故应在C 、D 中选;而当x =32π时, ,阴影部分面积为34个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即32()2[]222f ππππ-=⨯-=+32π>,即点（3,22ππ+）在直线y =x 的上方,故选D ．12．B ．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：（1）当t =0或t >1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t <1时方程①有4个根；（3）当t =1时，方程①有3个根.故当t =0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t =0或t =1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104k<<此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21x t -=的解有8个，即原方程的解有8个；当14k =时，方程②有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个；故选B ． 13．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.14．f －1（x ）＝3x －6故〔f －1（m ）＋6〕〔f －1（x ）＋6〕＝3m3n ＝3m ＋n＝27m ＋n ＝3f （m ＋n ）＝log 3（3＋6）＝2．15．1ln 2111(())(ln )222g g g e ===．16．由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<。
高中数学一轮复习练习册教师版1
高中数学：函数一、源于教材 2.1函数概念、若f(x)=,则f(-1)的值为223x2、函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 . 、如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y的对应关系，则能表示y是x的函数的图象是（填序号）. 4、已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）。
、设f(x)＝，求证：⑴f()＝－f(x) (x≠－1，x≠0) x111⑵求f()＋f()＋……＋f()＋f(1)＋f(2)＋……＋f(2010)＋f(2011)＝201120102 2.2函数的单调性与最值21、已知函数f(x)=x-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为 . 22、函数f(x)=ln(4+3x-x)的单调递减区间是 .3、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是 . 4、已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 5、根据（图１）函数f(x)的图像（包括端点），分别指出函数的定义域和值域，单调区间以及在每个单调区间上是增加的，还是减少的。
6、函数f(x)的图像如图２所示，写出它的定义域、值域。
1 0图1 图2 2.3 函数的奇偶性31、函数f（x）=x+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 . 、已知f（x）=是奇函数，则实数a的值为 . x、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x-2x，则在R上f(x)的表达式为x5、设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2-3，则f(-2)= . 6、判断下列函数的奇偶性222（1）∈指数与指数函数1、已知x＞y＞1，1＞a＞0，判断下面结论的正误： 11y－a－a－x－yaax⑴x＜y ⑵a＜a ⑶x＜y⑷a＜a 1242、已知a＜，则化简的结果是42x35、当x＞0时，函数f(x)=(a-1)的值总大于1，则实数a的取值范围是. x4、若函数f(x)=a-1 (a＞0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a等于ax5、函数y=a（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是 . 26、化简下列各式（其中各字母均为正数）:3412（1）a·a·a（2）（3）、求下列函数的单调递增区间：22（1）28、按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。
高三数学第一轮复习试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 下列各数中，无理数是（）A. √3B. -√2C. 3/4D. 1.4143. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线4. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (0, 1)C. (1, 2]D. (2, +∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数B. 若两个函数的图像关于x轴对称，则这两个函数互为反函数C. 若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数互为反函数D. 若两个函数的图像关于直线y = x对称，则这两个函数互为反函数7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a和b，使得f(a) + f(b) = 0，则a + b的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 09. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∩ (3, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)10. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ________.12. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则|z|^2 = ________.13. 函数f(x) = log2(3 - 2x)的定义域为 ________.14. 若等比数列{an}的公比q = -2，且a1 = 3，则第5项a5 = ________.15. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(-1) = ________.16. 若不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为 ________.17. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) + f(2) = ________.18. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________.19. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(1)的值为 ________.20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的第4项a4 = ________.三、解答题（每题20分，共60分）21. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，求a，b，c的值。
高三数学每日一练习题
高三数学每日一练习题高三学生在备战数学考试的过程中，每天都需要进行一些练习题来巩固知识、提高解题能力。
下面是一道高三数学每日一练习题，希望能够帮助同学们夯实数学基础，迎接考试的挑战。
1.已知函数y=f(x)的图像如下图所示，求函数y=f(x)的值域。
（插入图1）解析：对于给出的函数图像，我们可以通过观察来确定其值域。
从图上可以看出，当x取任意实数时，y的取值范围为[-2,2]，即y∈[-2,2]。
因此，函数y=f(x)的值域为[-2,2]。
2.已知正方形ABCD的边长为a，点E在AB上且AE:EB=1:2，连接DE并延长交BC于F点，连接AF并延长交BE于G点，求证：DG⊥GF。
（插入图2）证明：为了证明DG⊥GF，我们可以利用数学推理来解决问题。
首先，由于点E在AB上且AE:EB=1:2，可以得知AE为AB的1/3长，EB为AB的2/3长。
同时，因为正方形ABCD的边长为a，所以可以得出AE为a/3长，EB为2a/3长。
接下来，我们来观察三角形DAF和三角形CBF。
由于正方形的对角线相等且垂直，可以得知AF=CD=a。
又因为三角形DAF和三角形CBF有同一个边CF，所以它们的高也相等。
由于CF⊥AB，所以三角形DAF和三角形CBF的高都是CF。
因此，三角形DAF和三角形CBF是全等三角形，它们的两条边对应相等，即DF=FB。
再观察四边形ADFB，我们可以发现，在这个四边形中，AD=FB且DF=FB。
由于两条边相等且对边平行，所以四边形ADFB是一个平行四边形。
根据平行四边形的性质，我们可以得知对角线互相平分。
因此，AG=GB，并且AG=2b/3，GB=b/3。
最后，连接DG和GF。
由于AG=GB，所以点G在DG上。
又因为AF=CD，所以点F在DG上。
综上所述，可以得出结论：DG⊥GF。
通过以上证明，我们成功地证明了DG⊥GF。
3.已知曲线y=2x^2+2x+3的顶点为A，切线方程为y=3x+1，求顶点A的坐标。
高三文科数学第一轮复习综合训练题
高三文科数学第一轮复习综合训练题（五）一、选择题1．集合P={x|x 2=1}，Q={x|mx=1}，若Q ⊆P ，则m 等于 （ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0,1或-12．已知函数f （x ）=x-11定义域为M ，g （x ）=ln （1+x ）定义域N ，则M ∩N等于（ ）A ．{x|x>-1}B ．{x|x<1}C ．{x|-1<x<1}D ．φ 3．以下有关命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“1=x ”是“”0232=+-x x 的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题1,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x xR x p x xR x p 均有则使得4．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 5．函数[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈=,1,log )1,(,32x x x y x 的值域为（ ）A ．（0，3）B ．[0，3]C ．(]3,∞-D ．[)+∞,06(|log=x y 的图像大致是( )D 7． 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=- C ．cos(4)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-8．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ） A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．)42sin(1π++=x yD ．22sin y x =9．已知函数23)(23+-+=x xaxx f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，-3)B ． (-∞，-3)C ．(-3,0)D ．[-3,0]10． 已知函数f （221)1xxx x +=-则f （3）=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题： 13．若函数f （x ）=（x-1）（x-a ）为偶函数，则a=___________． 11．若=--∈=-)sin(),0,2(35)2cos(a a a πππ则且___________12．给出下列命题： ①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④8π=x是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；其中正确命题的序号是_______________．三、解答题：13．设条件p ：2x 2-3x+1≤0，条件q ：x 2-（2a+1）x+a （a+1）≤0，若p ¬是q ¬的必要不充分条件，求实数a 的去值范围．14．已知函数f （x ）=ax 3+bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导数f /(x)的 最小值为-12,求a,b,c 的值．15．已知函数.2321)3(,2)0(,cos sin cos2)(2+==+=πf f x x b x a x f 且（1）求a ，b 的值； （2）求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合；（3）写出函数)(x f 在[0，π]上的单调递减区间．。
高三数学试题及答案一轮
高三数学试题及答案一轮一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 在等差数列{a_n}中，若a_1 + a_3 + a_5 = 9，a_2 + a_4 + a_6 = 15，则a_7的值为：A. 7B. 9C. 11D. 133. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线C的一条渐近线方程为y = √2x，则双曲线C的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, 2]D. [1, √2]5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的数量积为：A. -1B. 0C. 1D. 36. 若直线l的方程为y = kx + 1，且直线l与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k的值为：A. 1B. -1C. √3D. -√37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f'(x) = 0的根为x = 1或x = 2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = 2C. x = 1和x = 2D. 无极值点8. 已知抛物线C的方程为y^2 = 4x，若抛物线C上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为：A. 4B. 5C. 6D. 79. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，且a = 3，b = 4，则三角形ABC的面积为：A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且f(1) = 0，f(2) = 0，则a + b + c的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，其前n项和为S_n，则S_5 = ________。
高考数学每日一练(3)-人教版高三全册数学试题
高三数学每日一练（29）——奇偶性（2）1．下列函数中既是奇函数又存在极值的是( )A ．3x y = B ．)ln(x y -= C ．xxe y = D ．xx y 2+= 2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．(2014·某某理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 5．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a <≠且 （1）求m 的值（2）判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性并加以证明（3）当1,a >(x ∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 的值高三数学每日一练（30）——奇偶性（3）1．(2014·某某某某灵宝实验高中月考)f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．－22．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- 4．已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.5．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1） 某某数c 的值；（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，某某数m 的取值X 围.高三数学每日一练（31）——奇偶性（4）1．下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A ．1y x=-B ．22y x =+C ．33y x =- D ．1log ey x =2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．（2015某某市3月质检）已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（ ）4．(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.（1）证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； （2）证明：函数y ＝f (x )是奇函数；（3）试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n N ∈＋)上的值域．高三数学每日一练（32）——奇偶性（5）1．(2014·某某某某专题练习)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 2．(2014·某某和平区期末)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递减，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (－1)，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <b <a3．(2014·某某统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞) D．(10，＋∞)4．(2014·某某某某一中调研)若f (x )＝3x ＋sin x ，则满足不等式f (2m －1)＋f (3－m )>0的m 的取值X 围为________．5．已知定义在(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数，且12()25f =． （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．高三数学每日一练（33）——奇偶性（6）1．如果函数xx f )21()(=（-+∞<<∞x ），那么函数)(x f 是 ( )A. 奇函数，且在)0,(-∞上是增函数B. 偶函数，且在)0,(-∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是增函数D. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数 2．偶函数)(x f 在区间],0[a （0>a ）上是单调函数，且0)()0(<⋅a f f ，则方程0)(=x f 在区间],[a a -内根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．定义两种运算：m n ⊕=，a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．已知R 上的不间断函数()g x 满足：（1）当0x >时，'()0g x >恒成立；（2）对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。
2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析
等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
最新高考数学一轮复习-第五周-每日一练【含答案】
第五周[周一]1．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于() A．2B．4或5C．5D．2或5答案D解析因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即a，b，c两两的夹角为0°或120°，当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋3＝5，当夹角为120°时，|a＋b＋c|＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝2，所以|a＋b＋c|＝2或5.2．(2023·永州模拟)已知函数f(x)＝a ln(x＋a)－ae(x＋a)＋bx＋a(b＋4)(a>0)，对于定义域内的任意x恒有f(x)≤0，则ba的最大值为()A．－2e B．－e C．e－1D．e 答案A解析不等式可化为a ln(x＋a)＋ab≤ae(x＋a)－(bx＋4a)，因为a>0，将不等式两边同时除以a得ln(x＋a)＋b≤1e(x＋a)－＋令t＝x＋a，原不等式等价于bat＋4≤1e t－ln t，设g(t)＝1e t－ln t，k(t)＝bat＋4，t>0，对g(t)求导可得g′(t)＝－1e t2－1t<0，则函数g (t )＝1e t －ln t 在(0，＋∞)上单调递减且下凸，要使b a t ＋4≤1e t－ln t 恒成立，则直线k (t )与曲线g (t )相切时ba 取得最大值，如图，当直线k (t )与曲线g (t )相切时，设切点坐标为(t 0，y 0)，则－1e t 20－1t 0＝b a ，且b a t 0＋4＝1e t 0－ln t 0，整理可得3＋ln t 0＝2e t 0，解得t 0＝1e ，此时ba＝－2e.3．(多选)(2023·蚌埠质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上相异的两点，则以下结论正确的是()A ．若x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝8B ．若|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为12C ．若△FAB 是以F 为直角顶点的等腰三角形，则|AB |＝42±4D ．若AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为±22答案BCD解析对于选项A ，只有当直线过焦点F 时，根据抛物线性质得|AB |＝|AF |＋|BF |＝p 2＋x 1＋p2＋x 2＝2＋x 1＋x 2＝8，此题不一定过焦点，故A 错误；对于选项B ，|AF |＋|BF |＝3，根据抛物线性质得|AF |＋|BF |＝p 2＋x 1＋p2＋x 2＝2＋x 1＋x 2＝3，即x 1＋x 2＝1，设AB 中点横坐标为x 0，x 0＝12(x 1＋x 2)＝12，则线段AB 的中点到y 轴的距离为12，故B 正确；对于选项C ，由题意知，直线AF ，BF 的斜率分别为π4，3π4，设直线AF ：y ＝x －1，联立＝x －1，2＝4x ，1＝3＋22，1＝2＋222＝3－22，2＝2－22，∴|AB |＝2|y |＝42±4，故C 正确；对于选项D ，设直线AB 的倾斜角为α，用α表示|AF |，|BF |，如图，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，作垂直于准线的直线AA 1，垂足为A 1.|AF |＝|AA 1|＝p ＋|FH |＝p ＋|AF |cos α，则|AF |(1－cos α)＝p ，即|AF |＝p1－cos α，同理可得|BF |＝p1＋cos α.由AF →＝2FB →得p 1－cos α＝2p 1＋cos α(A 上B 下)或p 1＋cos α＝2p1－cos α(B 上A 下)，解得cos α＝13或cos α＝－13，则直线AB 的斜率为±22，故D 正确．4．(2023·白山模拟)现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为________．答案1528解析将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；第二种是恰有两个班分到名额，有C 15C 13＝15(种)情况；第三种是三个班都分到了名额，有C 25＝10(种)情况．故恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为153＋15＋10＝1528.5.(2023·北京石景山区模拟)如图，在△ABC 中，AC ＝42，C ＝π6，点D 在边BC 上，cos ∠ADB＝13.(1)求AD 的长；(2)若△ABD 的面积为22，求AB 的长．解(1)因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠ADB ＝－13，因为∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝223，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin C ＝AC sin ∠ADC，所以AD ＝AC ·sin C sin ∠ADC ＝42×12223＝3.(2)由△ABD 的面积为22，得12BD ·AD sin ∠ADB ＝22，因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以sin ∠ADC ＝sin ∠ADB ＝223，又因为AD ＝3，所以BD ＝2，在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ＝32＋22－2×3×2×13＝9，所以AB ＝3.[周二]1．(2023·汕头模拟)已知函数f (x )＝ex (2x －1)x －1，则f (x )的大致图象为()答案C解析∵f (x )＝e x (2x －1)x －1，∴f ′(x )＝e x (2x 2－3x )(x －1)2，令f ′(x )>0⇒x ∈(－∞，0)∪32，＋∞∴f (x )在(－∞，0)和32，＋∞当x <0时，f (x )>0，故f (x )的大致图象为C 选项图象．2．(2023·深圳模拟)设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V 1，V 2和V 3，则()A ．V 1<V 2<V 3B ．V 2<V 1<V 3C ．V 3<V 1<V 2D ．V 3<V 2<V 1答案B解析设正方体棱长为a ，正四面体棱长为b ，球的半径为R ，面积为S .正方体表面积为S ＝6a 2，所以a 2＝S 6，所以V 21＝(a 3)2＝(a 2)3＝S 3216；如图，在正四面体P －ABC 中，D 为AC 的中点，O 为△ABC 的中心，则PO 是P －ABC 底面ABC 上的高．则BD ⊥AC ，AD ＝12b ，所以BD ＝AB 2－AD 2＝32b ，所以S △ABC ＝12×AC ×BD ＝12×b ×32b＝34b 2，所以正四面体P －ABC 的表面积为S ＝4S △ABC ＝3b 2，所以b 2＝33S .又O 为△ABC 的中心，所以BO ＝23BD ＝33b .又根据正四面体的性质，可知PO ⊥BO ，所以PO ＝PB 2－BO 2＝63b ，所以V 22S △ABC ××34b 2×63b ＝172b 6＝172×＝3648S 3；球的表面积为S ＝4πR 2，所以R 2＝S 4π，所以V 23＝136πS 3.因为136πS 3>1144S 3>1216S 3>12163S 3＝3648S 3，所以V 23>V 21>V 22，所以V 2<V 1<V 3.3．(多选)(2023·邯郸模拟)已知f (x )是定义在R 上的函数，f (x )－f (－x )＝0，且满足f (x ＋1)为奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝－cos πx2，下列结论正确的是()A ．f (1)＝0B ．f (x )的周期为2C ．f (x )的图象关于点(1,0)中心对称D ．f ＝－22答案ACD解析因为f (x ＋1)为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (－0＋1)＝－f (0＋1)，所以f (1)＝0，A 正确；因为当x ∈[0,1)时，f (x )＝－cos πx2，所以f (0)＝－cos 0＝－1，因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)，所以2不是f(x)的周期，B错误；因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0，可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，周期为4，所以f f×253＝f f又当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos πx 2，所以f cos π4＝－22，D正确．4．(2023·沈阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数是f′(x)，对于任意的实数x都有f(x)＝f(4－x)，当x≠2时，xf′(x)>2f′(x)恒成立，则不等式f(x2)<f(|x|＋2)的解集为_______．答案(－2，－1)∪(1,2)解析当x<2时，由(x－2)f′(x)>0知，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，2)上单调递减；当x>2时，由(x－2)f′(x)>0知，f′(x)>0，则f(x)在(2，＋∞)上单调递增，又对于任意的实数x都有f(x)＝f(4－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，综上，若f(x2)<f(|x|＋2)，则|x2－2|<|x|，当x<－2，即x2－2<－x时，x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)<0，此时－2<x<－2；当－2≤x<0，即2－x2<－x时，x2－x－2＝(x－2)(x＋1)>0，此时－2≤x<－1；当0≤x <2，即2－x 2<x 时，x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)>0，此时1<x <2；当x ≥2，即x 2－2<x 时，x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)<0，此时2≤x <2，综上，不等式的解集为(－2，－1)∪(1,2)．5．(2023·大庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝n .(1)(2)已知c n n 为奇数，2，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和S 2n .(1)证明当n ＝1时，可得a 1＝1，当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝n ，得a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝n －1(n ≥2)，上述两式作差可得a n ＝12n －1(n ≥2)，因为a 1＝1满足a n ＝12n －1，所以{a n }的通项公式为a n ＝12n －1，n ∈N *，所以1a n＝2n －1，因为当n ≥2时，1a n －1a n －1＝2n －1－(2n －3)＝2(常数)，(2)解c nn 为偶数，所以c 1＋c 3＋…＋c 2n －1＝1＋5＋9＋…＋(4n －3)19＝(2n －1)n19，c 2＋c 4＋…＋c 2n－17＋17－111＋…＋14n －1－＝n3(4n ＋3)，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(2n －1)n 19＋n 3(4n ＋3).[周三]1．(2023·南京模拟)已知复数z 满足i z ＝2－i ，其中i 为虚数单位，则z 为()A ．－1－2iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i答案C解析z ＝2－i i ＝(2－i )×(－i )i ×(－i )＝－1－2i ，则z ＝－1＋2i.2．(2023·蚌埠质检)若椭圆C ：x 2m ＋y 22＝1的离心率为63，则椭圆C 的长轴长为()A ．6 B.263或26C ．26D ．22或26答案D解析当焦点在y 轴上时，由e ＝63＝2－m 2，解得m ＝23，符合题意，此时椭圆C 的长轴长为22；当焦点在x 轴上时，由e ＝63＝m －2m ，解得m ＝6，符合题意，此时椭圆C 的长轴长为2m ＝2 6.3．(多选)(2023·怀化模拟)下列结论中，正确的有()A ．数据1,2,4,5,6,8,9的第60百分位数为5B ．已知随机变量X ～E (3X ＋1)＝6，则n ＝5C ．已知经验回归直线方程为y ^＝b ^x ＋1.8，且x ＝2，y ＝20，则b ^＝9.1D ．对变量x 与y 的统计量χ2来说，χ2值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越大答案BC解析对于A 项，7×60%＝4.2，所以第60百分位数为6，故A 项错误；对于B 项，因为X ～所以E (X )＝np ＝13n ，所以E (3X ＋1)＝3E (X )＋1＝n ＋1＝6，解得n ＝5，故B 项正确；对于C 项，由经验回归直线必过点(x ，y )，可得20＝2b ^＋1.8，解得b ^＝9.1，故C 项正确；对于D 项，由独立性检验可知，χ2值越大，判断“x 与y 有关系”的把握性越大，故D 项错误．4．(2023·廊坊模拟)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过x 轴上方的焦点F 1的直线与双曲线上支交于M ，N 两点，以NF 2为直径的圆经过点M ，若|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为____________．答案y ＝±63解析如图所示，由双曲线的定义|MF 2|＝2a ＋|MF 1|，|NF 2|＝2a ＋|NF 1|，所以|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＋|MF 1|＋|NF 1|＝4a ＋|MN |.因为|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，所以|MF 2|＋|NF 2|＝2|MN |，即4a ＋|MN |＝2|MN |，|MN |＝4a .令|MF 1|＝x ，在△MNF 2中，MF 2⊥MN ，所以|MF 2|2＋|MN |2＝|NF 2|2，即(2a ＋x )2＋(4a )2＝(6a －x )2，解得x ＝a ，即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a ，又在Rt △F 1MF 2中，a 2＋(3a )2＝(2c )2，所以2c 2＝5a 2，又c 2＝a 2＋b 2，所以2b 2＝3a 2，即a b ＝63，所以y ＝±a b x ＝±63x .5.(2023·邵阳模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB ＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O为AB的中点，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1)求证：平面PCD⊥平面AFGB；(2)求平面PDE与平面ABCD夹角的正切值．(1)证明如图所示，取AO的中点H，连接HD，HP，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∠DAO＝60°.∵O为AB的中点，即有四边形BCDO是平行四边形，∴OD∥BC，∠DOA＝∠CBO＝∠DAO＝60°.∴△OAD为正三角形，∴AD＝2，HD⊥AO.在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝60°，∴△AOP为边长为2的正三角形，∴AP＝2，PH⊥AO.∴AP＝AD，又F为PD的中点，∴AF⊥PD.∵HD⊥AO，PH⊥AO，HD∩PH＝H，HD，PH⊂平面PHD，∴AO⊥平面PHD，即AB⊥平面PHD.∵PD⊂平面PHD，∴AB⊥PD.∵G为PC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴A，F，G，B四点共面，又∵AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面AFGB，∴PD⊥平面AFGB.∵PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面AFGB.(2)解∵PH⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH⊂平面PAB，∴PH⊥平面ABCD，由(1)知，PH，HD，AB两两互相垂直，以H为坐标原点，HD，HB，HP所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则H (0，0，0)，P (0，0，3)，D (3，0，0)，，52，于是HP →＝(0，0，3)，PD →＝(3，0，－3)，DE →－32，52，设平面PDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·PD →＝0，·DE →＝0，－3z ＝0，＋52y ＝0，取x ＝5，则n ＝(5，3，5)，易知HP →＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，设平面PDE 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，HP →〉|＝|n ·HP →||n ||HP →|＝5353×3＝553.∴sin θ＝1－cos 2θ＝2753，tan θ＝sin θcos θ＝275.∴平面PDE 与平面ABCD 夹角的正切值为275.[周四]1．(2023·沈阳模拟)设集合A ＝{x ∈N |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于()A ．{－1,0}B ．{x |－1≤x <1}C ．{0}D ．∅答案C解析∵B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，A ＝{x ∈N |－1≤x ≤3}＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0}．2．(2023·安庆模拟)已知第二象限角α满足sin(π＋α)＝－23，则sin 2β－2sin(α＋β)cos(α－β)的A ．－19B ．－459C.19D.459答案D 解析由题意知sin α＝23，且α为第二象限角，所以cos α＝－53，于是sin 2β－2sin(α＋β)cos(α－β)＝sin[(α＋β)－(α－β)]－2sin(α＋β)cos(α－β)＝－[sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)]＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2×23×＝459.3．(多选)(2023·怀化模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n －a n ＋1－2a n a n ＋1＝0(n ∈N *)，数列{b n }的前n项和为S n ，且b n －1＝23S n (n ∈N *)，则下列结论正确的是()A.12023∈{a n }B n 项和C n ＝n 2＋n －3n ＋12＋32C ．数列{a n a n ＋1}的前n 项和T n <14D.b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b 10a 10＝19×3112＋32答案BCD解析由a n －a n ＋1－2a n a n ＋1＝0，得1a n ＋1－1a n＝2，又1a 1＝2，2，公差为2的等差数列，则1a n ＝2n ，则a n ＝12n ，则12023∉{a n }，A 错误；由b n －1＝23S n ，可得b 1－1＝23S 1＝23b 1，又当n ≥2时，b n －1－1＝23S n －1，则b n －b n －1＝23b n ，整理得b n ＝3b n －1，则数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，则b n ＝3n (n ∈N *)，bn 项和C n ＝(2－3)＋(4－32)＋…＋(2n －3n )＝(2＋4＋…＋2n )－(3＋32＋…＋3n )＝n (2＋2n )2－3(1－3n )1－3＝n 2＋n －3n ＋12＋32，B 正确；a n a n ＋1＝14n (n ＋1)＝则数列{a n a n ＋1}的前n项和T n ＝－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －<14，C 正确；n 项和为A n ，则A n ＝2×3＋4×32＋…＋2n ·3n ，3A n ＝2×32＋4×33＋…＋2n ·3n ＋1，两式相减得－2A n ＝2×3＋(2×32＋2×33＋…＋2×3n )－2n ·3n ＋1，整理得A n ＝(2n －1)3n ＋12＋32，则当n ＝10时，A 10＝19×3112＋32，D 正确．4．(2023·汕头模拟)与圆C ：x 2＋y 2－x ＋2y ＝0关于直线l ：x ＋y ＝0对称的圆的标准方程是________．答案(x －1)2＝54解析圆C ：x 2＋y 2－x ＋2y ＝0的圆心为，半径为52，点C l：x＋y＝0对称的点为C(x－1)2＝5 4 .5．(2023·永州模拟)为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表(m≤40，m∈N)：购买新能源汽车(人数)购买传统燃油车(人数)男性80－m20＋m女性60＋m40－m(1)当m＝0时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用比例分配分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与均值；(2)定义K2＝∑(A ij－B ij)2B ij(2≤i≤3,2≤j≤3，i，j∈N)，其中A ij为列联表中第i行第j列的实际数据，B ij为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数．基于小概率值α的检验规则：首先提出零假设H0(变量A，B相互独立)，然后计算K2的值，当K2≥xα时，我们推断H0不成立，即认为A和B不独立，该推断犯错误的概率不超过α；否则，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为A和B独立．根据K2的计算公式，求解下面问题：①当m＝0时，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，请分析性别与是否购买新能源汽车有关；②当m<10时，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，若认为性别与是否购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性购买新能源汽车？附：α0.10.010.005xα 2.706 6.6357.879解(1)当m＝0时，采用比例分配分层随机抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人．由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C22C14C36＝1 5，P(X＝2)＝C12C24C36＝3 5，P (X ＝3)＝C 02C 34C 36＝15.则X 的分布列为X 123P153515E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(2)①零假设为H 0：性别与是否购买新能源汽车无关联．当m ＝0时，A 2,2＝80，B 2,2＝0.5×0.7×200＝70，A 2,3＝20，B 2,3＝0.5×0.3×200＝30，A 3,2＝60，B 3,2＝0.5×0.7×200＝70，A 3,3＝40，B 3,3＝0.5×0.3×200＝30，K 2＝(A 2，2－B 2，2)2B 2，2＋(A 2，3－B 2，3)2B 2，3＋(A 3，2－B 3，2)2B 3，2＋(A 3，3－B 3，3)2B 3，3＝(70－80)270＋(20－30)230＋(60－70)270＋(40－30)230＝20021≈9.524，∵9.524>7.879＝x 0.005，∴根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.②K 2＝(80－m －70)270＋(20＋m －30)230＋(60＋m －70)270＋(40－m －30)230＝2(10－m )221.由题意可知2(10－m )221≥2.706，整理得(10－m )2≥28.413，又m ∈N ，m <10，∴m ≤4，∴m 的最大值为4，又80－4＝76，∴至少有76名男性购买新能源汽车．[周五]1．(2023·邵阳模拟)在复平面内，复数3－i－1＋i 为虚数单位)对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析依题意3－i －1＋i ＝(3－i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2－i ，对应的点的坐标为(－2，－1)，在第三象限．2．(2023·烟台模拟)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若点A ，B 到y 轴的距离之和为42，则p 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，直线AB 的斜率k ＝tan 45°＝1，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为故直线AB 的方程为y ＝x ＋p 2，＝x ＋p 2，2＝2py ，消去y 得x 2－2px －p 2＝0，则Δ＝(－2p )2－4×1×(－p 2)＝8p 2>0，x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝－p 2<0，可知x 1，x 2异号，由题意可得|x 1|＋|x 2|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2p )2－4(－p 2)＝22p ＝42，解得p ＝2.3．(多选)(2023·温州模拟)S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在a ，b ，c ∈R ，使得S n ＝a ·b n ＋c ，则()A ．a ＋c ＝0B ．b 是数列{a n }的公比C ．ac <0D ．{a n }可能为常数列答案ABC解析设等比数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，S n ＝na 1，显然是一次函数形式不是指数函数形式，故不满足题意，所以D 错误；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n，所以c ＝a 11－q ，a ＝－a 11－q，b ＝q ，即a ＋c ＝0，ac ＝－a 21(1－q )2<0，所以ABC 正确．4．(2023·保山模拟)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角都小于120°时，费马点与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角，即该点所对三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，已知A (－1,0)，B (1,0)，C (0,2)，M 为△ABC 内一点，当|MA |＋|MB |＋|MC |的值最小时，点M 的坐标为________，此时sin ∠MBC ＝________.答案215－510解析由题设，△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC ，根据已知坐标得示意图如图所示．根据费马点定义知，M 在AB 的垂直平分线OC 上，且△AMB 是顶角为120°的等腰三角形，所以∠MAB ＝30°，故OM ＝33OA ＝33由∠MBC ＝∠OBC －∠MBO ，而sin ∠OBC ＝25，cos ∠OBC ＝15，sin ∠MBO ＝12，cos ∠MBO ＝32，所以sin ∠MBC ＝sin ∠OBC cos ∠MBO －cos ∠OBC sin ∠MBO ＝25×32－15×12＝215－510.5．(2023·兰州模拟)已知函数f (x )＝1x ＋a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝4时，求f (x )的零点个数；(2)设函数g (x )＝f (x )＋x 2－2x －1x 2＋x ，讨论g (x )的单调性．解(1)当a ＝4时，f (x )＝1x＋4ln x ，则f ′(x )＝－1x 2＋4x ＝4x －1x 2，当x f ′(x )<0，函数f (x )当x f ′(x )>0，函数f (x )所以f (x )min ＝f 4(1－ln 4)<0，又f e 3－12>0，f (1)＝1>0，所以存在x 1x 2f (x 1)＝f (x 2)＝0，即f (x )的零点个数为2.(2)函数g (x )＝f (x )＋x 2－2x －1x 2＋x ＝a ln x ＋x －1x ＋1，定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2，当a ≥0时，g ′(x )>0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令h (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，g ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a <－12时，Δ<0，h (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2是方程h (x )＝0的两个根，且x 1<x 2，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a，又x 1＝(a ＋1)－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，则当x ∈(0，x 1)时，h (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )在(0，x 1)上单调递减；当x ∈(x 1，x 2)时，h (x )>0，g ′(x )>0，函数g (x )在(x 1，x 2)上单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，h (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )在(x 2，＋∞)上单调递减．综上所述，当a ≥0时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，函数g (x )[周六]1．(2023·泉州质检)已知集合A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x ||x |<3}，则A ∪B 等于()A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(－3,2)D ．(－5,3)答案D解析因为A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x ||x |<3}＝{x |－3<x <3}，因此A ∪B ＝(－5,3)．2．(2023·安庆模拟)为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组[30,40)，第二组[40,50)，第三组[50,60)，第四组[60,70)，第五组[70,80)，第六组[80,90]．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为()A ．43.5分钟B ．45.5分钟C ．47.5分钟D ．49.5分钟答案C解析由频率之和为1得，10×(0.01＋0.02＋0.03＋2a ＋0.01)＝1，解得a ＝0.015，由10×0.01＝0.1<0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25，故第25百分位数位于[40,50)内，则第25百分位数为40＋0.25－0.10.3－0.1×10＝47.5.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.3．(多选)(2023·沈阳模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，点P 在正方体的面CC 1D 1D 内(含边界)移动，则下列结论正确的是()A ．当直线B 1P ∥平面A 1BD 时，直线B 1P 与直线CD 1所成角可能为π4B ．当直线B 1P ∥平面A 1BD 时，点P 轨迹被以A 为球心，54为半径的球截得的长度为12C ．若直线B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2D ．当直线B 1P ⊥AB 时，经过点B ，P ，D 1的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为62，2答案BCD解析对于A ，如图1，连接CB 1，CD 1，B 1D 1，由正方体性质知，CB 1∥DA 1，CD 1∥BA 1，由于CB 1⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，则CB 1∥平面A 1BD ，同理可证CD 1∥平面A 1BD ，又CB 1∩CD 1＝C ，CB 1，CD 1⊂平面CB 1D 1，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，由B 1∈平面CB 1D 1，平面CB 1D 1∩平面CC 1D 1D ＝CD 1，且P 在正方体的面CC 1D 1D 内，所以要使直线B 1P ∥平面A 1BD ，则B 1P ⊂平面CB 1D 1，即P ∈CD 1，又△CB 1D 1为等边三角形，故P 在CD 1上运动时，直线B 1P 与直线CD 1所成角的取值范围为π3，π2，故A 错误；对于B ，由A 分析知，直线B 1P ∥平面A 1BD ，点P 轨迹为线段CD 1，如图2，取CD 1的中点H ，连接AD 1，AH ，而△ACD 1为等边三角形，则AH ＝AD 21－HD 21＝2－12＝62，以A 为球心，54为半径的球截CD 1的长度为＝12，故B 正确；对于C ，由B 1C 1⊥平面CC 1D 1D ，显然B 1D 1，B 1C 与平面CC 1D 1D 所成的角均为π4，所以若直线B 1P 与平面CC 1D 1D 所成的角为π4，则点P 的轨迹是以C 1为圆心，C 1D 1为半径的圆的14，如图3所示．所以点P 的轨迹长度为14×2π＝π2，故C 正确；对于D ，若B 1P ⊥AB ，而AB ∥CD ，则B 1P ⊥CD ，而CD ⊥平面BB 1C 1C ，B 1∈平面BB 1C 1C ，又平面BB 1C 1C ∩平面CC 1D 1D ＝CC 1，故点P 的轨迹为线段CC 1，过D 1作D 1E ∥BP 交AA 1于E ，连接BE ，易知截面BPD 1E 为平行四边形，如图4，当P 与C 或C 1重合时，截面为矩形，此时面积最大，为2；当P 为CC 1的中点时，截面为菱形，此时面积最小，为12×3×2＝62，所以截面面积的取值范围为62，2，故D 正确．4．(2023·武汉调研)(x －1)(2x ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为________．答案－48解析(2x ＋1)6的通项公式为T k ＋1＝C k 6×(2x )6－k ×1k ＝26－k ×C k 6×x6－k ，所以(x －1)(2x ＋1)6的展开式中含x 2的项为C 56·(2x )·x －C 46·(2x )2＝(12－60)x 2＝－48x 2，所以(x －1)(2x ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为－48.5．(2023·青岛模拟)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 的上顶点，△AF 1F 2为等腰直角三角形，其面积为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为k 1，k 2，△WPQ 的面积为S .从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①S ＝22；②k 1k 2＝－12；③W 为原点O .注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解(1)记|F 1F 2|＝2c ，由题意知|AF 1|＝|AF 2|＝a ,2c ＝2a ，∴12AF F S △＝12a 2＝1，解得a ＝2，∴b ＝1，c ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)选②③为条件：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，不妨设点P 在第一象限，则由k 1k 2＝－12，可得k 1＝22，此时直线WP 的方程为y ＝22x ，与x 22＋y 2＝1联立，解得∴S ＝22；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，则k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－12，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0，将y ＝kx ＋t 代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k2，∴2t 2－21＋2k 2＋2(t 2－2k 2)1＋2k 2＝0，即1＋2k 2＝2t 2.|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋k 2·1＋2k 2－t 21＋2k2，∵点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k 2，∴S ＝12·|t |1＋k 2·22·1＋k 2·1＋2k 2－t 21＋2k 2＝22，综上，①成立．选①③为条件：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，不妨设点P 在第一象限，则由S ＝22，可得S ＝12x 1·2y 1＝x 1·y 1＝22，又x 212＋y 21＝1，解得∴k 1k 2＝－12；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，将y ＝kx ＋t 代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋k 2·1＋2k 2－t 21＋2k 2，∵点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k 2，∴S ＝12·|t |1＋k2·22·1＋k 2·1＋2k 2－t 21＋2k 2＝2·|t |·1＋2k 2－t 21＋2k 2＝22，即1＋2k 2＝2t 2，∵y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2，∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝t 2－2k 21＋2k 22t 2－21＋2k 2＝t 2－2k 22t 2－2＝1－t 22t 2－2＝－12，综上，②成立．选①②为条件：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，设W (0，y 0)，根据椭圆的对称性，不妨设点P 在第一象限，则Q (x 1，－y 1)，∴S ＝12x 1·2y 1＝x 1·y 1＝22，又x 212＋y 21＝1，解得∴k 1k 2＝(y 1－y 0)(－y 1－y 0)x 1·x 1＝y 20－12＝－12，∴y 0＝0，∴W (0，0)为坐标原点，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设W (x 0，kx 0)，直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，将y ＝kx ＋t 代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋k 2·1＋2k 2－t 21＋2k 2，点W 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k 2，∴S ＝12·|t |1＋k 2·22·1＋k 2·1＋2k 2－t 21＋2k 2＝2·|t |·1＋2k 2－t 21＋2k 2＝22，即1＋2k 2＝2t 2，∵y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋2k 2，则由k 1k 2＝(y 1－kx 0)(y 2－kx 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝－12，即(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋2(y 1－kx 0)(y 2－kx 0)＝0，得x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋2y 1y 2－2kx 0(y 1＋y 2)＋2k 2x 20＝0，即(1＋2k 2)2x 20－(4k 2－4t 2＋2)＝0，∵1＋2k 2＝2t 2,4k 2－4t 2＋2＝0，∴x 0＝0，即W (0,0)，综上，③成立．。
高三数学试卷每日一卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，若存在实数$a$，使得$f(a)=0$，则$f'(a)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若向量$\vec{a}=(1,2,3)$，向量$\vec{b}=(2,1,-1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A. 8B. 7C. 6D. 53. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$cosA=\frac{1}{2}$，$cosB=\frac{3}{4}$，则角C的大小为（）A. $30^\circ$B. $45^\circ$C. $60^\circ$D. $90^\circ$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，则$S_6$的值为（）A. 30B. 36C. 42D. 485. 函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点$(2,1)$，则$a$的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公比$q=3$，则$a_5$的值为（）A. 18B. 24C. 30D. 368. 若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$时取得极值，则$a$、$b$、$c$之间的关系为（）A. $a+b+c=0$B. $a+b+c=1$C. $a+b+c\neq0$D. $a+b+c\neq1$9. 已知函数$f(x)=\ln x$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，则$f(x)$的反函数在区间$(0,+\infty)$上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 不单调D. 无法确定10. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上连续，则$f(x)$的图像在x轴上的对称轴为（）A. x=1B. x=0C. x=-1D. 无对称轴二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，若$f'(x)=0$，则$x$的值为______。
2014届高三数学每日一练1(含答案)
1、不等式11-<x 的解集是_____________________()2,02、不等式11<x的解是_______________10><x x 或 3、若集合{}{}a x x B x x A ≥=≤=,2，满足{}2=B A ，则实数______=a 24、若函数)(x f 的反函数()x x f 21log =-，则_________)(=x f ()R x x f x ∈=2)(5、若正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，高位4，则异面直线AD BD 与1所成角的大小是_________________（结果用反三角函数值表示）5arctan6、若球21,O O 表面积之比421=S S ，则它们的半径之比_______21=R R 2 7、函数x x y cos sin 2-=的最大值为___________58、函数x x y 2sin cos 22+=的最小值是_____________2-19、函数)3(log )(3+=x x f 的反函数的图像与y 轴的交点坐标是__________()2-0，10、在相距2千米的A,B 两点处测量目标点C ，若,60,75 =∠=∠CBA CAB 则A,C 两点之间的距离为______________千米611、一个高为2的圆柱，底面周长为π2，该圆柱的表面积为__________π612、若函数()()()R b a a bx a x x f ∈++=,2)(常数是偶函数，且它的值域为(]4,∞-，则该函数的解析式_________)(=x f 42)(2+-=x x f13、已知,20π<<x 化简： ()x x x x x 2sin 1lg 4cos 2lg 2sin 21tan cos lg 2+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅π 答案：0 14、已知函数11log )(--=x mx x f a 是奇函数()1,0≠>a a ①求m 值 ②解关于x 的不等式()0>x f 答案：（1）1-=m（2）当1>a 时，1>x ；当10<<a 时，1-<x15、设函数()R x m x x x x f ∈+⋅+=cos sin 32cos 2)(2（1）化简函数()x f 的表达式，并求函数()x f 的最小正周期（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，是否存在实数m ，使函数()x f 的值域恰为？，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2721若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由。
高三数学基础训练题集1-10套
高三数学基础训练一一．选择题：1．复数，则在复平面内的对应点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知，则A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为( )A． B． C．D．4．经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为( )A． B．C．D．5．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则( )A．B．C． D．6．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．65 7．下列函数中最小正周期不为π的是A．B．g（x）=tan（）C． D．8．命题“”的否命题是A． B．若，则C． D．9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A．6 B．24 C．12 D．3210．已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是A．B．C．D．二．填空题:11．函数的定义域为．12．如图所示的算法流程图中，输出S的值为．13．已知实数满足则的最大值为_______．14．已知，若时，恒成立，则实数的取值范围______ 三．解答题:已知R．（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值，并指出此时的值．高三数学基础训练二一．选择题：1．在等差数列中， ,则其前9项的和S9等于 ( )A．18 B．27 C．36 D．92．函数的最小正周期为 ( )A． B． C． D．3．已知命题p: ,命题q :,且p是q的充分条件，则实数的取值范围是：( )A．(-1,6) B．[-1,6] C． D．4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
，153~160号）。
2021年高考数学一轮复习 基础题每日一练1(含解析)文
2021年高考数学一轮复习 基础题每日一练1（含解析）文一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）1．给定函数①y ＝x12 ，②y ＝log 12 (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析： ①y ＝x 12 为增函数，排除A 、D ；④y ＝2x ＋1为增函数，排除C ，故选B. 答案：B2.．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)解析 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案 D3．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )． A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案 D4．执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )．A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040解析 由题意得，p ＝1×1＝1，k ＝1＜6；k ＝1＋1＝2，p ＝1×2＝2，k ＝2＜6；k ＝2＋1＝3，p ＝2×3＝6，k ＝3＜6；k ＝3＋1＝4，p ＝6×4＝24，k ＝4＜6；k ＝4＋1＝5，p ＝24×5＝120，k ＝5＜6；k ＝5＋1＝6，p ＝120×6＝720，k ＝6不小于6，故输出p ＝720. 答案 B5．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析 将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0. 答案 D二．填空题。
高三数学一轮复习测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2(x)D. y = -x2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则下列等式中不正确的是（）A. a1 + a2 = 2a1 + dB. a1 + a3 = 2a2C. a1 + a4 = 2a3 + dD. a1 + a5 = 2a43. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, -2)C. (-1, 2)D. (1, 2)4. 在三角形ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°5. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 = 2，b3 = 8，则b5的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 1286. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 椭圆7. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，a3 = 9，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 6D. 98. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 39. 在三角形ABC中，若AB = AC，则下列结论正确的是（）A. ∠A = ∠BB. ∠A = ∠CC. ∠B = ∠CD. ∠A = ∠B = ∠C10. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的值域是（）A. [-2, 2]B. [0, 2]C. [2, +∞)D. (-∞, 2]二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a5 = 9，则a1 =______，d = ______。
每日一卷高三数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列各式中，不是基本初等函数的是（）A. y = x^2B. y = log2xC. y = sinxD. y = e^x2. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 1]上的极值点是（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. 不存在3. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a, b, c应满足（）A. a > 0, b = 0, c = 0B. a < 0, b = 0, c = 0C. a > 0, b ≠ 0, c ≠ 0D. a < 0, b ≠ 0, c ≠ 04. 下列各数中，属于实数集R的是（）A. √(-1)B. iC. √4D. π5. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 双曲线D. 双曲线的一部分6. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值是（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 35，S10 = 105，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2x，则f(x)的对称轴是（）A. x = 1B. x = -1C. y = 1D. y = -19. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列的第4项a4等于（）A. 8B. 4C. 2D. 110. 下列各函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^411. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，则圆C的半径r等于（）A. 1B. 2C. √5D. 512. 若直线l的方程为2x + 3y - 6 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离d等于（）A. 1B. 2C. √5D. 3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的顶点坐标是______。
2021年高三数学一轮复习 第一单元专项练习 文
一、选择题（每小题4分，共32分。
）1. 若集合，，则（）A. B.C. D.2. 给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A. B.C. D.3. 函数的值域为（）A. B.C. D.4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为A. B.C. D.5. 求导数运算正确的是（）A. B.C. D.6. 在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.7. 函数①，②，③，④，其中在上单调递减的函数序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④8. 函数在上的最大值为1，求的取值范围（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）9. 条件，条件，则是的______________条件。
10. 已知定义在R上的函数是周期函数，且满足，函数的最小正周期为______________。
11. 函数则______________。
12. 函数的定义域为______________。
13. 函数的单调递减区间是______________。
14. 下列命题中：①若函数的定义域为R，则一定是偶函数；②若是定义域为R的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知，是函数定义域内的两个值，且，若，则是减函数；④若是定义在R上的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数。
其中正确的命题序号是___________________。
卷Ⅱ三、解答题（共5个小题，共44分）15. 已知函数是定义在上的偶函数，且时，。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域；（Ⅲ）设函数的定义域为集合，若，求实数的取值范围。
16. 已知函数，其中实数。
（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，试求的单调区间。
17. 已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有，且当时，。
（1）求证：是偶函数；（2）求证：在上是增函数；（3）解不等式。
18. 已知函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数的取值范围。