函数的性质综合应用

一、选择题1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12D ．y ＝x 32．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0152等于( ) A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋13．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫134．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－12，2D.⎝⎛⎦⎤－12，2 5．(2016·威海模拟)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}6．(2016·杭州高三联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．可能为0 B ．恒大于0 C ．恒小于0D ．可正可负7．(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁RQ 被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，现有关于函数f (x )的如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1x －1.其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．(2016·孝感模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.10．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(把正确的序号都填上) ①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝x 2；③f (x )＝sin x ； ④f (x )＝cos 2x .11．(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3，1≤x ≤3，x －3，x >3，若在其定义域内存在n (n ≥2，n ∈N *)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n ，则n 的最大值是________；若n ＝2，则f (x n )x n的最大值是________．12．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，给出下列命题： ①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．D 2.D3．C [由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53<f (2)， 即f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．]4．D [令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 13t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a2≤1，g (1)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2.] 5．C [由题意可知f (－x )＝f (x )，则(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，即(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a .则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0， 解得x <0或x >4.故选C.]6．C [由x 1x 2<0，不妨设x 1<0，x 2>0.∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0，知f (x )为奇函数， 又由f (x )在(－∞，0)上单调递增，得 f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.]7．C [命题①，因为f (x )＝0或f (x )＝1，即f (x )∈Q ，所以f (f (x ))＝1，故①错误；命题②，因为x 和－x 要么同为有理数，要么同为无理数，所以f (－x )＝f (x )，故②正确；命题③，因为T 为有理数，所以x ＋T 和x 要么同为有理数，要么同为无理数，所以f (x ＋T )＝f (x )，故③正确；命题④，取B ，C 两点在x 轴上，A 点在直线y ＝1上，由两直线距离是1，可知BC 边上的高为1，所以三角形的边长是233，当A 的横坐标为有理数x 1时，B ，C 的横坐标分别为x 1±33，为无理数，所以④也成立．故选C.] 8．C [在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 22＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f [－(x －3)]＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1，即y ＝1x －1，于是f (x )＝1x －1，所以④正确．] 9．－x 2＋22x －120解析 ∵f (x )在R 上是周期为4的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．由f (x ＋4)＝f (x )，可得f (x －12)＝f (x )．设－2≤x ≤0，则0≤－x ≤2，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，当10≤x ≤12时，－2≤x －12≤0，f (x )＝f (x －12)＝－(x －12)2－2(x －12)＝－x 2＋22x －120. 10．①③④解析 因为f (x )＝f (2a －x )(a ≠0)，所以函数f (x )的对称轴为x ＝a .所以准偶函数的定义等价于“若函数f (x )存在对称轴x ＝a (a ≠0)，则称f (x )为准偶函数”．因为函数f (x )＝|x ＋2|的对称轴为x ＝－2，所以f (x )＝|x ＋2|是准偶函数；因为f (x )＝x 2只有一条对称轴是x ＝0，不满足准偶函数的定义，所以f (x )＝x 2不是准偶函数；因为x ＝π2是函数f (x )＝sin x 的一条对称轴，所以函数f (x )＝sin x 是准偶函数；因为x ＝π是函数f (x )＝cos 2x 的一条对称轴，所以函数f (x )＝cos 2x 是准偶函数．综上，应填①③④. 11．3 4－23解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3，1≤x ≤3，x －3，x >3的图象，如图，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n的x 1，x 2，…，x n 的个数就是直线y ＝kx 与y ＝f (x )的图象的交点个数，由图知直线y ＝kx 与y ＝f (x )的图象的交点个数最多有三个，所以n 的最大值是3.当n ＝2时，f (x n )x n 的最大值就是直线y ＝kx 与－x 2＋4x －3(1≤x ≤3)的图象相切时k 的值，由判别式可得k ＝4－23(k ＝4＋23不合题意舍去)，即f (x n )x n 的最大值是4－2 3.12．②③解析 ①因为|f (x )|＝⎩⎨⎧f (x )，|x |≥2－1a，－f (x )，0<|x |<2－1a，而F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1，－x <0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)。