湖南省2020届高三六校联考数学理
湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
湖南省2020届高三年级下学期4月六校联考理科科数学试题及答案
姓名准考证号湖南省2020届高三六校联考试题数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =U （ ） A.()0,4 B.∅C.()2,-+∞ D.[)2,-+∞2.若复数z 满足211z i i i=++g （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 3.已知条件p ：1k =,条件q ：直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c a b << B. c b a << C. a c b << D.b c a <<5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。
湖南省六校2020届高三数学4月联考试题 理
湖南省六校2020届高三数学4月联考试题 理考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝ A ．2＋2i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－2i2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于A ．2B ．3C ．4D ．15．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx －2，则函数在x ＝－1处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －2＝06．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C(0，1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定7．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝A ．6B ．3 2C ．3D ．2 38．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b ，0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN＝90°，则C 的离心率为A.72 B.52C. 2D. 3 9．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：2020＋100＝2119，则称(m ，n)为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n)的值，那么值为2020的“简单的”有序对的个数是A ．30B ．60C ．96D ．10010．若x 1是方程xe x＝1的解，x 2是方程xln x ＝1的解，则x 1x 2等于A ．eB ．1 C.1eD ．－111．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝⎛⎦⎥⎤712，1312 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，171212．已知函数f(x)＝e x－ax －1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－12e 2，eB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－12e 2，1∪⎝⎛⎦⎥⎤e －1，e 2－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－12e2，e －1e ∪()e －1，e D ．(e －1，e)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖南省湘西市雅丽中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省湘西市雅丽中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U=R，集合，则=（）A． B．C． D．参考答案：B2. 已知i为虚数单位，复数，，若复数z是纯虚数，则（）A．1 B．C．2 D．4参考答案：C，若复数是纯虚数，则，所以.所以，则.故选C.3. 是虚数单位，若，则等于A、1B、C、D、参考答案：C4. 已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是() A．(2，＋∞) B．2，＋∞)C．(3，＋∞) D．3，＋∞)参考答案：B5. 下列命题中错误的是A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，，那么直线平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D根据面面垂直的的性质可知，D错误。
6. 已知函数有两个极值点，且，则直线的斜率的取值范围是A. B.C. D.参考答案：A7. 若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是(A).a＝－1或3 (B).a>3或a<－1 (C).a＝－1 (D).－1<a<3参考答案：C8. 下列函数中定义域为R，且是奇函数的是A ．=x 2+xB ．=tanxC ．=x+sinxD ．=参考答案：C9. 小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）A. 72B. 56C. 48D. 40参考答案：A 【分析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。
2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)
2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x −1}，B ={x|−1<x <2}，则A ∪B =( )A. (1,2)B. [1,2)C. (−1,+∞)D. [−1,+∞)2. 在复平面内，复数21+i 对应的点与原点的距离是( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 若p ：a <b ；q ：3a −3b <5−a −5−b ，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知a =ln 34，b =5lg3，c =3−12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a5. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为( )A. 一尺五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸6. 函数f(x)=e x −1e x +1cosx 的部分图像大致为( )A.B.C.D.7. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定8. 若点A 是棱长为2的正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P ，则点P 到点A 的距离大于2的概率为( )A. 1−π6B. 1−π4C. 1−π3D. π69. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =( )A. 1+12+13+...+110 B. 1+12!+13!+...+110! C. 1+12+13+...+111 D. 1+12!+13!+...+111!10. 已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω>0)，且对于任意的x ∈R ，有f (x +π2)=f (x −π2)，设ω的最小值为ω0，记g(x)=|cos (ω0x +π6)|，则下列区间为函数g(x)的一个递减区间的是( )A.B.C.D.11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f′(x)<0，且f(2)=−12，则不等式xf(x)<−1的解集为( )A. (−∞,−12)∪(12,+∞) B. (−12,12) C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,2)12. 已知某四棱锥的三视图如图所示(网格小正方形边长为1)，则该四棱锥的表面积为( )A. √5+7B. 3√5+7C. 7+2√5D. 3√5+4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x 4的项的系数_______．14. 已知数列{a n }的首项a 1=2，且a n+1=12a n +12(n ∈N ∗)，则数列{1an −1}的前10项的和为__________．15. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．16. 已知P 为抛物线y 2=4x 上动点，Q 为圆(x −3)2+y 2=1上动点，则距离|PQ|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a −c =2bcos C ．(1)求sin(A+C 2+B)的值；(2)若b =√3，求c −a 的取值范围．18. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形；PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =AC ，点F 为PC 的中点． (Ⅰ)求证：PA //平面BFD ； (Ⅱ)求二面角C −BF −D 的余弦值．19. 已知圆M:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线l:x −√3y +4=0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于B ，且动点N 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设动点N 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 1与曲线C 交于不同两点P,Q ，点P,Q 在直线x =4上的射影依次为D,E ，求证：直线PE 与直线QD 相交于一个定点，并求出这个定点．20. 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得表数据．(1)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断该高三学生的记忆力x 和判断力是正相关还是负相关：并预测判断力为4的同学的记忆力．(参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2)21. (1)求函数f(x)=lnx x的最大值；(2)若函数g(x)=e x −ax 有两个零点，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|x+a|+2|x−1|(a>0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)−5<0的解集为(m,n)，且n−m=4，求a的值．3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2}；∴A∪B=(−1,+∞)．故选：C．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算．2.答案：B=1−i解析：解：21+i则1+i对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2．故选B．即得．化简21+i本题考查复数的运算，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查了充分条件、必要条件的判断及充要条件的定义，属于基础题．令f(x)=3x−5−x，根据f(x)的单调性，结合充分必要条件的定义即可判断．解：令f(x)=3x−5−x，则f(x)为R上的单调递增函数，若3a−3b<5−a−5−b，则3a−5−a<3b−5−b．即f(a)<f(b)，所以a<b.所以p是q的必要条件；反之，若a<b，则f(a)<f(b)，所以3a−5−a<3b−5−b，即3a−3b<5−a−5−b，所以p是q的充分条件；所以p是q的充要条件．故选：C．4.答案：B解析：a =ln 34<ln1=0，b =5lg3>50=1，0<3−12<30=1，∴a <c <b ，故选：B ．5.答案：B解析：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }，公差为d ， 则{a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5, 解可得，d =−1，a 1=13.5，根据题意即求a 12=13.5+11×(−1)=2.5 故选：B ．由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础题．6.答案：A解析：本题为识图题，考查函数的奇偶性以及图象的选取，题目常规． 采用排除法解题，首先判断出函数为奇函数，可排除选项B 、D ，又由，可排除选项C ，故题目得解．解：函数的定义域为R ，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，故排除选项B 、D ， 又，故排除选项C ．故选A ．7.答案：B解析：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题．由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．8.答案：A解析：本题考查几何概型的计算，关键在于掌握正方体的结构特征与正方体、球的体积公式．根据题意，分析可得，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，与点A 距离小于等于2的点在以A 为球心，半径为2的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点P 到点A 的距离小于等于2的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案． 解：如图：根据题意，分析可得，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，与点A 距离小于等于2的点在以A 为球心，半径为2的八分之一个球内，其体积为V 1=18×43π×23=43π， 正方体的体积为23=8，则点P 到点A 的距离小于等于2的概率为：π6， 故点P 到点A 的距离大于2的概率为1−π6， 故选A ．9.答案：B解析：k =1，T =1，S =1；k =2，T =12，S =1+12；k =3，T =12×3，S =1+12+12×3；k =4，T =12×3×4，S =1+12!+13!+14!，…，10>10不成立，继续循环． 10.答案：A解析：本题主要考查=Asin(ωx +φ)的图像与性质，考查了两角和与差公式，属于中档题．将原函数化简为f(x)=2sin (ωx −π3)，根据已知条件得到π为f(x)的一个周期，故|2πω|≤π，得ω≥2，所以ω0=2，所以g(x)=|cos(2x +π6)|，然后根据函数图像的对称性，即可得出函数g(x)的递减区间． 解：f(x)=√3sinωx −cosωx =2sin (ωx −π3)， 由f(x +π2)=f(x −π2)得f(x +π)=f(x)， ∴π为f(x)的一个周期， ∴|2πω|≤π，得|ω|≥2， ∵ω>0，∴ω≥2，∴ω0=2，∴g(x)=|cos(2x +π6)|，其图象是将函数g(x)=cos(2x +π6)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴对称得到，∴令kπ<2x +π6<kπ+π2,k ∈Z ， ∴kπ2−π12<x <kπ2+π6,k ∈Z ，令k =0，得−π12<x <π6．∴只有A选项满足要求．故选A．11.答案：C解析：解：由题意作草图如下，f(x)在R上递减；当x>0时，f(x)<−1x ，且其交点是(2,−12)，当x<0时，f(x)>−1x，其交点是(−2,12)，所以解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选C．由函数f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)<0，且f(2)=−12得条件作出函数f(x)的草图，讨论求不等式xf(x)<−1的解集．本题考查了学生的作图能力及导数的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．12.答案：B解析：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥，是正方体的一部分，计算出各个面的面积，可得答案．解：三视图对应的几何体的直观图如图：是正方体的一部分，是四棱锥，AD =CE =BC =2，AB =DE =√5，AE =3，BE =2√2， cos∠ABE =2×22×5=√1010， sin∠ABE =3√1010，S △ABE =12×2√2×√5×3√1010=3，则该四棱锥的表面积为：2×√12+22+12×2×2+12×2×2+12×2×√5+3=7+3√5． 故选B ．13.答案：32；10解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于4，求出r 的值，即可求得含x 4的项的系数． 解：在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是25=32，通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅x 10−3r ，令10−3r =4，求得r =2， 可得含x 4的项的系数是C 52=10，故答案为32；10．14.答案：1023解析：本题考查由递推关系求通项公式，属于中档题.构造等比数列是解决本题的关键． 解：∵a n+1=12a n +12(n ∈N ∗)∴a n+1−1=12(a n −1) ∴{a n −1}是以a 1−1=1为首项，以12为公比的等比数列． ∴a n −1=(12)n−1，即1an−1=2n−1，故{1a n −1}是以1为首项，2为公比的等比数列，由等比数列求和公式知：S 10=210−1=1023． 故答案为1023．15.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．16.答案：2√2−1解析：解：设圆心为O ，则PQ =OP −OQ =OP −1，O 点坐标(3,0)， 设P 坐标(x,y)，则OP =√(x −3)2+y 2=√(x −1)2+8≥2√2， ∵圆半径为1，∴PQ 最小值为2√2−1．故答案为：2√2−1．设圆心为O，则PQ=OP−OQ=OP−1，求出OP的最小值，即可得出结论．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和配方法的灵活运用．17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a−c=2bcosC=a2+b2−c22ab×2b，整理可得，a2+c2−b2=ac，cosB=a2+c2−b22ac =12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB=√32，所以asinA =csinC=bsinB=2，从而a=2sin A，c=2sin C．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：(Ⅰ)证明：连结AC，BD与AC交于点O，连结OF．∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．∵点F为PC的中点，∴OF//PA．∵OF⊂平面BFD，PA⊄平面BFD，∴PA//平面BFD．(Ⅱ)解：如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA =AD =AC =1，则A(0,0,0),P(0,0,1),C(√32,12,0)，B(√32,−12,0),D(0,1,0)，F(√34,14,12)．∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34,34,12)． 设平面BCF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 由n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{y =0−√34x +34y +12z =0，∴{y =0z =√32x，令x =1，则z =√32，∴n ⃗ =(1,0,√32)． ∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ．∵OF //PA ，∴OF ⊥AC ． ∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ． ∵OF ∩BD =O ，∴AC ⊥平面BFD ．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BFD 的一个法向量，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)． ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√1+4×1=√217，∴二面角C −BF −D 的余弦值是√217．解析：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF ，利用三角形中位线的性质，证明OF//PA ，再利用线面平行的判定定理证明PA//平面BFD ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面BCF 、平面BFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C −BF −D 的余弦值．19.答案：解：(Ⅰ)由已知可得点M 到直线 l 的距离 d 满足 d =√12+(√3)2=2=r，所以圆M:x 2+y 2=4，设动点N(x,y),A(x 0,y 0),B(x 0,0)，由AB →=2√33NB →，可知{x 0=x y 0=2√33y ，代入到圆方程， 化简可得x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线l 1的方程为x =my +1，(1)当m =0时，直线l 1⊥x 轴，则四边形PQED 为矩形． 此时直线PE 与QD 相交于点H (52,0)．(2)当m 变化时，猜想直线PE 与QD 相交于点H (52,0)． 证明如下：由{x =my +13x 2+4y 2=12，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4，∵PH →=(5−x 1,−y 1)=(3−my 1,−y 1),HE →=(3,y 2),(32−my 1)y 2−32(−y 1)=32(y 1+y 2)−my 1y 2=32(−6m 3m 2+4)−m(−93m 2+4)=0 ∴PH →//HE →，即P,H,E 三点共线， 同理可得Q,H,D 三点共线，猜想成立．解析： 本题主要考查了动点的轨迹方程和圆锥曲线的综合题．(1)由圆M:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线l:x −√3y +4=0相切，求出半径，即可得到圆的方程，然后由AB →=2√33NB →，求出点A 的坐标，代入圆的方程即可得到曲线C 的方程；(2)设直线l 1的方程为x =my +1，由m =0得到直线PE 与QD 相交于点H (52,0)，猜想一般情况也如此，联立方程组，得到P,H,E 三点共线，Q,H,D 三点共线，证明猜想成立．20.答案：解：(1)x −=6+8+10+124=9，y −=2+3+5+64=4，∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4x−2=12+24+50+72−4×9×436+64+100+144−4×81=0.7．a ̂=4−0.7×9=−2.3．∴y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.7x −2.3； (2)因为0.7>0，所以高三学生的记忆力x 和判断力是正相关， 由y ^=0.7x −2.3，取y =4，解得x =9． 故预测判断力为4的同学的记忆力为9．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题． (1)由已知求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取y =4求得x 值得答案．21.答案：解：(1)对f(x)=lnx x求导数，f′(x)=1−lnx x 2．在0<x <e 时，f(x)为增函数，在x >e 时f(x)为减函数， ∴f(x)≤f(e)=1e ，从而f(x)的最大值为1e ．(2)①在a =0时，g(x)=e x 在R 上为增函数，且g(x)>0，故g(x)无零点．②在a <0时，g(x)=e x−ax 在R 上单增，又g(0)=1>0，g(1a)=e 1a −1<0，故g(x)在R 上只有一个零点．③在a >0时，由g′(x)=e x −a =0可知g(x)在x =lna 时有唯一极小值，g(lna)=a(1−lna)．若0<a <e ，g(x)极小=a(1−lna)>0，g(x)无零点， 若a =e ，g(x)极小=0，g(x)只有一个零点，若a >e ，g(x)极小=a(1−lna)<0，而g(0)=1>0． 由(1)可知，f(x)=lnx x在x >e 时为减函数，∴在a >e 时，e a >a e >a 2，从而g(a)=e a −a 2>0． ∴g(x)在(0,lna)与(lna,+∞)上各有一个零点． 综上讨论可知：a >e 时，f(x)有两个零点．解析：(1)求出f′(x)=1−lnx x 2.利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值．(2)①在a =0时，②在a <0时，③在a >0时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|x +a|+2|x −1|={−3x +2−a,x ≤−a,−x +a +2,−a <x <1,3x +a −2,x ≥1,所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则f(x)min =f(1)=a +1． (2)由(1)结合题意可得{f(1)=a +1<5,3n +a −2=5,则{0<a <4,n =7−a 3, ①当f(−a)=2+2a ≥5时，−m +a +2=5，解得m =a −3，即{32≤a <4,7−a3−a +3=43,解得a =3．②当f(−a)=2+2a <5时，−3m +2−a =5，解得m =−3−a 3，即{0<a <32,7−a 3−−a−33=103≠43,故此时a无解． 综上，a =3．解析：本题主要考查求函数的最值，绝对值不等式的解集问题． (1)先去绝对值，得到函数的单调区间，进而可得f(x)的最小值；(2)由(1)结合题意可得{f(1)=a +1<53n +a −2=5,则{0<a <4n =7−a 3,①当f(−a)=2+2a ≥5时，解得a =3，②当f(−a)=2+2a <5时，a 无解.所以a =3．。
2020届湖南省长郡中学高三第六次诊断考试数学(理)试题
2020届湖南省长郡中学高三第六次诊断考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2B m m A =∈，则A B 的所有元素之和为（ ）A ．21B ．17C ．15D ．132.已知复数z 在复平面上对应的点的坐标为（-1,1）,则( ) A. z-1是实数B. z-1是纯虚数C. z-是实数D. z+是纯虚数3.设R x ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且b a⊥，则a b +=（ ）1011 C.3134.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足：12125lg 2E m m E -=其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是26.7-,天狼星的星等是 1.45- 则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.15．将(2)nx -的展开式按x 的降幂排列，若第三项的系数是40，则n =（ ）.A 4 .B 5 .C 6 .D 76. 正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2396150a a a +-+=，则11S =（ ） A ． 55 B ． 45 C ．36 D ．357． ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：①如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥;②如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥;③如果//,m αβα⊂，那么//m β;④如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.48．已知命题p ：x ∃∈（0，2π），tanx ≤sinx ，命题q ：直线l 1：2x －my ＋3＝0与直线l 2：x ＋my －1＝0相互垂直的充要条件为m ＝ ） A ．q ⌝ B ． p ∧q C ． ()p q ⌝∨ D ． p q ⌝∧9. 已知三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面互相垂直，AC =3AB =,BC CD BD ===则球O 的体积为（ ）A ．43π B ．C ． 36πD ．323π10.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min π6x x -=，则ϕ的值是（ ）A ．π4B ．π6C ．π3 D ．π211.已知函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围( ) A ． 11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． ()0,+∞12.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >， 201920192020202011,01a a a a -><-，下列结论正确的是( )A ．20192020S S >B ．2019202110a a ->C ．2020T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南省普通高中高三下学期六校联考数学(理)试卷参考答案
,!
+!,!-.51#31
" #
%1#51
' #
31!"%1%
51
% #
31#%1&51
)9;
51&31!"%1(51%31#%1)
!"#$%&'()*+$,-!!" 2020届湖南省普通高中高三下学期六校联考数学（理）试卷
&EF 4U%+)*
jk .0/
" #
1
" #
<" #
" &
!<!"# !"
# 1
槡<! " 槡<
!%
$$4jk /,./ -:
)!.!-.Jlm"'&01
"'&# "'&#
2
"'&1 "'&1
f"'&09(#"1 n2I?E0>?o7pq!g"'&0)#'&14"#1
"1!g
#'&1
1槡% "'&#
4=8>"1
"'&# #2 "'&1 #! # "'&# "'&1
#'&1
#
1
!
" #
!f
"1#%4
*"#1
2020年湖南省娄底市涟源第六中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省娄底市涟源第六中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合且,若，则( )A.－3≤m≤4B.－3<m<4C.2<m<4D.2<m≤4参考答案：D2. 是虚数单位，(A) (B) (C) (D)参考答案：答案：D3. 函数的图象的大致形状是（）参考答案：C4. 执行如图所示的程序框图，若输出的k=8，则输入的k为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得这6次循环中k的值是以a为首项，1为公差的等差数列，根据输出的k=8，得出结论．【解答】解：设输入k的值为a，则第一次循环，n=5，继续循环，第二次循环n=3×5+1=16，继续循环，第三次循环n=8，继续循环，直到第6次循环，n=1，结束循环，在这6次循环中k的值是以a为首项，1为公差的等差数列，输出的k=8，∴8=a+6，∴a=2，故选C．5. 在△ABC中， ==，则sinA：sinB：sinC=（）A．5：3：4 B．5：4：3 C．：：2 D．：2：参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2=k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值．【解答】解：△ABC中，∵ ==，∴==，即==，即==bc，即 2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2，设2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2=k，求得 a2=5k，b2=3k，c2=4k，∴a=，b=，c==2，∴由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=：：2，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理，属于中档题．6. 已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=A. B. 4 C. 2 D.参考答案：D【分析】本题根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B． C.D．参考答案：C原几何体是一个圆柱与半个圆锥的组合体，体积为．8. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（）A. 升B. 升C. 升D. 升参考答案：B分析：设自上而下各节的容积分别为公差为，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和．详解：设自上而下各节的容积分别为，公差为，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴，解得，∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为：（升）．故选B．点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9. 已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答：解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．10. 执行如图所示的程序框图，如果输出的是，那么输入的正整数是（）A. B. C.D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a是f（x）=2x-的零点，若0<x0<a，则f（x0）的值与0的大小关系是______________．参考答案：f （x0） < 0略12. 已知函数，，则的单调递增区间为．参考答案：（或），根据正弦函数的单调性可得，解得得，又的单调递增区间为，故答案为或.13. 在数列{a n}中，a1=1，a n?a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．参考答案：﹣2【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1?a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n?a n+1=﹣2，得a2=﹣2，又a n﹣1?a n=﹣2（n≥2），∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．参考答案：3【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．15. 已知向量a=(1，-2)，b=(x，y)，若x，y∈[1，4]，则满足的概率为．参考答案：16. 将函数的图象向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能值等于参考答案：17. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为 .参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届湖南六校联考理科数学分析与研讨
S 5 ， m -1， k 3 2
S 7,m 1,k 5 22
S 3, m 2, k 7
人平 4.2 分 正确 D：42
错 A：0 B：8 C：0
14、记 sn 为数列an
的前
n
项和，若 a1
1，a n 1
2sn 1(n N ) ，
则a3 a4 a5 a6 ______． 答案：360 解析： n 2 时， an 2Sn1 1，两式相减得 an1 an 2an an1 3an .
又∵ B 0，2 ，∴ B , ，
3
6 6 2
∴ sin B 1 ，1 ............................11分 6 2
∴ 2 3 sin B 3,2 3 ， ∴ 2b-c 的 取 值 范 围 为 - 3，2 3 。 6
公公的第 n 个儿子的年龄为 an ，则 a3 （ C ）
A.17
B.23
C.29
D.35
解析：由题意可知九个儿子的年龄构成的数列为等差数列，其公差为-3，则
9a1
98 3
2
207
，解得 a1
35 ，即 a3
29
，故选
C
人平 2.9 分 正确 C：29
错 A：19 B：1 D：0
错误三、基本技能、方法、常见数学思想运用不熟练，导致失分。
B1 AD C1 的平面角的余弦值为
3 ? 若存在，求出 A1D 的值，若不存在，说明
4
C1D
理由.
21、（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) aex cos x(a R, x ) . 2
（1）证明：当 a 1时， f (x) 有最小值，无最大值； （2）若在区间 ( , ) 上方程 f (x) 0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围.
2020届湖南省百所重点高中高三12月大联考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省百所重点高中高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．若向量()3,2a =v ，()1,b m =-v ，且a b //v v ，则m =（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】若1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，且a b //r r，则有12210x y x y -=，列出方程可求得m. 【详解】//r r Q a b ，12210∴-=x y x y ，代入得32(1)0-⨯-=m ，解得23m =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量平行的等价条件，属于基本题.2．设集合{}(2)0A x =<，{}12B x x =-<<，则（ ） A ．{}12A B x x ⋂=-<< B ．{}04A B x x ⋃=≤< C ．{}02A B x x ⋂=≤< D ．{}12A B x x ⋃=-<<【答案】C【解析】对集合A ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合A ，再与B 进行交、并运算，从而得到答案. 【详解】因为{|04}A x x =≤<，{|12}B x x =-<<， 所以{|02}A B x x =≤<I ，{|14}A B x x ⋃=-<<. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力.3．设函数()()()ln ,0,1,0,x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩若()f x 是奇函数，则()2e g =（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【答案】A【解析】先求出()2e -f 的值，再根据奇函数的性质()()f x f x -=-，可得到()2e f 的值，最后代入()22e (e )1=+fg ，可得到答案.【详解】 ∵()f x 是奇函数()()222e e ln e 2∴=--=-=-f f()()22e e 13g f ∴=-=-．故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列判断正确的是( )A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若m γ⊥，n γ⊥，则//m nC ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：对于A ，由αγ⊥，βγ⊥，得//αβ或α与β相交，故A 错误； 对于B ，由m γ⊥，n γ⊥，利用线面垂直的性质可得//m n ，故B 正确；对于C ，由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，得m n ⊥或//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故C 错误；对于D ，由//αβ，m α⊂，n β⊂，得//m n 或m 与n 异面．∴判断正确的是B ．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 5．函数()348xxf x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】分别计算()110f =-<，302f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到答案. 【详解】因为()110f =-<，302f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且()f x 为增函数 故()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题7．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭ZC ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 8．设tan 211a ︒=，则sin17cos17sin17cos17︒+︒=︒-︒（ ）A ．221aa - B ．221-a a C ．21a a - D ．241aa - 【答案】A【解析】先对式子进行化简,分子分母同时除以cos17︒,再利用正切的和角公式求解可得,原式tan62=-︒,根据诱导公式可得tan 211tan31︒=︒=a ,进而利用倍角公式求解即可 【详解】()sin17cos17tan171ta tan 4n 5tan 45117tan 1745tan 62sin17cos17tan171tan17︒︒︒︒+︒++===-+=---︒︒︒︒︒︒︒︒-,因为tan 211tan31︒=︒=a , 所以222tan 312tan 621tan 311︒︒==-︒-a a ,故2sin17cos172sin17cos171︒+︒=︒-︒-aa 故选：A 【点睛】本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题 9．已知函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．)⎡+∞⎣C ．(,-∞D ．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，然后分离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能确定m 的取值范围. 【详解】 因为函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，所以()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又因为2122e 2e x x +-+≥=，所以m ≤ 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键. 10．在直角坐标系xOy 中，直线l ：4y kx =+与抛物线C ：21y x =-相交于A ，B 两点，()0,1M ，且MA MB MA MB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】联立消y ，得250x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12+=∴x x k ，125x x =-，因为MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，列出等式可得k 的值，然后可求得OA OB ⋅u u u r u u u r的值.【详解】由24,1,y kx y x =+⎧⎨=-⎩得250x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12+=∴x x k 125x x =-，1122(,1),(,1)=-=-u u u r u u u rMA x y MB x y因为MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，则()()()2121212331MA MB x x kx kx k x x ⋅=+++=+u u u r u u u r ()1239k x x +++()2251390k k =-+++=，所以22k =．所以()()()2121212121416358169OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=⨯-++=u u u r u u u r ．故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解是解决本题的关键.11．棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为（ ）A ．BC ．D【答案】D【解析】由边长为a 的正四面体可求得外接球的半径，接着求出正三棱锥的侧棱长，从而算出正三棱锥的表面积S 及体积V ，最后代入公式13Sr V =，可得内切球的半径r . 【详解】由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球，且其外接球的直径为AE ，易求得正四面体ABCD 的高3=AF a ，外接球的半径为4a ．设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为23AE a h ==+，所以6h a =．因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2EB EC ED a ===， 则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直．易求得正三棱锥E BCD -的表面积2S =，体积31132E BCD V -=⋅=．设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由31324S r a ⋅=，得12r =． 故选：D【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球与内切球的半径问题，属于难题. 12．设()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()cos 0sin x f x f x x '-<，则不等式()23sin 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,00,33ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】B 【解析】令()()sin f x h x x =，易得()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，因为()()cos 0sin x f x f x x '-<，可知()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解. 【详解】 令()()sin f x h x x=，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，∴()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，由()()cos 0sin xf x f x x'-<，得()()sin cos 0f x x f x x '⋅-⋅<，∴()()()2sin cos 0sin f x x f x x h x x'⋅-⋅'=<，则()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 将()sin 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则32x ππ<<．又()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．∴()h x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin3ππ⎛⎫⎪⎝⎭>f f x x ，即()33h x h h ππ⎛⎫⎛⎫>=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则03x π-<<． 综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决本题的关键.二、填空题13．设向量(1,a =v ，2b =v ，1cos ,3a b =-vv ，则()a ab ⋅+=v v v ______．【答案】7【解析】先求出a u u r 的值，然后代入公式22=uu r r a a ，cos ,ab a b a b =u u v u v v v v v ，可得到答案。
湖南省2020届高三六校联考数学理
湖南省如19年六校联考数学（理）考试试题卷湘潭市一中、长沙市一中、师大附中、岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中时量120分钟满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知全集U= {0,1,2,3,4,5},集合A= {0,1,3},集合B= {0,3,4,5},则（）A . A -B 3 B. A 一B = U C. A " （C U B） = 1 D. （C U A） . B = B2、下列说法中正确的是（）.A. “x >5”是“ x>3”必要不充分条件；B.命题“对V x W R,恒有x2+1>0”的否定是“ 3x = R ,使得X2+1E0”.C. ? mCR,使函数f（x）=x2+mx （x C R）是奇函数D.设p, q是简单命题，若p v q是真命题，则p/\q也是真命题；3、两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数R2 如下，其中拟合效果最好的模型是（）A.模型1 （相关指数R2为0.97）B.模型2 （相关指数R2为0.89）C.模型3 （相关指数R2为0.56 ）D.模型4 （相关指数R2为0.45）4、在三角形OAB中，已知OA=6, OB=4,点P是AB的中点，则OPAB=（）A 10B -10C 20D -205、如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（A73 c 5 <3 c 20 c ;A -B 飞-C —D 32_ . 4 4 ……―—6、已知cos（a+—）=一（a 为锐角）则sin^=（6 5A包 B.110 10）：V、? 11 11 ----- M H *1）2百正视图左视图VC.3 -4 3107、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 F,过抛物线上一点A(3,y)向准线l 作垂线,垂足为B ，若AABF 为等边三角形, 则抛物线的标准方程是().21 2A. y =-xB. y =x222.C. y =2xD. y =4x 8、已知函数 f (x)= x 2-2ln x与g(x)=sin(cox +中)有两个公共点，则在下列函数中满足条 件的周期最大的g(x)=(A . sin(2nx - -) B. sin(—x - -)C. sin(nx ——)D. sin(nx + — )2 2 22 2、填空题(本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.)(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长x = 4 cost度单位，已知曲线C 的参数方程是1x 4co (t 为参数)，直线l 的 j =3sint极坐标方程是P (cos 0 -sin 8) +1 = 0 ,则直线l 与曲线C 相交的交点 个数是.10.如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，且AB=2PA = 4. PC 切圆O 于C, Q 是PC 的中点，直线QA 交圆O 于D 点.则QA[jQD=.11、设x W R ,则函数y = |x | +J 2 -x 2的最大值是(二)必做题(12〜16题)12、设复数z = 3 (其中i 为虚数单位)，则z 2等于 i13、已知(1-x ：n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则含x 2项的系数=14、执行右边的程序框图，若输出的T=20,则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号）。
2020届湘赣粤高三(6月)大联考数学(理)试题(解析版)
2020届湘赣粤高三（6月）大联考数学（理）试题一、单选题1． 设集合M ={x |x 2－x －2＞0}，集合N ={x |2x -2>12），则M N =（ ）A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ＞2或x ＜－1}D ．{x |x ＞1或x ＜－1}【答案】A【解析】分别解出集合M 与集合N ，然后利用集合的基本运算，即可求解. 【详解】由题意知M =(－∞,－1)∪(2,＋∞)，由2122x -->，得21,1x x ->-∴>,所以N =(1,＋∞)， ∴M ∩N =(2,＋∞)， 故答案选：A 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，复数z =41i-，则|z －i|=（ ）A ．BC ．2D 【答案】D【解析】先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =计算可得答案.【详解】解：z =41i -=4(1)(1)(1)i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i 故选：D . 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 3．2019年12月12日我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强.下图是2020年1月26号到2月17号全国/湖北/非湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对比图，根据图象下列判断错误的是（ ）A ．该时段非湖北新增感染确诊病例比湖北少B ．全国新增感染确诊病例平均数先增后减C ．2.12全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的D ．2.12全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数 【答案】B【解析】根据图象进行分析即可得解. 【详解】由图可知A 、C 正确，2.12之前平均数先增后减，但2.12新增病例数突然猛增，使得平均数也突然增大，但不会影响中位数，选项B 错误，D 正确. 故选：B . 【点睛】本题考查的是从统计图中收集信息，并对收集到的信息作分析，掌握信息的收集与分析是解题的关键，属于常考题.4．已知()f x 是R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且当[)2,0x ∈-时，22,101()11,212x x x f x x x ⎧-≤<⎪⎪+=⎨⎪+-≤<-⎪⎩，则92f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．126B ．15C ．34D ．74【答案】A【解析】由已知可得函数的周期4T =，然后结合奇函数定义及已知函数解析式即可求解． 【详解】解：因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，9114222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 是R 上的奇函数，所以2211112225112f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭，9125f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.9112526f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了利用奇偶性及周期性及分段函数的性质求解函数值，属于基础题． 5．若5(1)(12)ax x ++的展开式所有系数之和为3-，则此展开式中不含下列哪一项（ ） A ．x 项 B ．2x 项C ．3x 项D ．6x 项【答案】C【解析】令1x =，结合展开式中的所有项系数之和为3-求得a 的值，再根据二项式展开式的通项可得含k x 项的系数，然后分析可得答案. 【详解】令1x =，得系数之和为53(1)3a +=-，所以2a =-， 因555(12)(12)(12)2(12)x x x x x -+=-+-，则展开式总含k x 项的系数为1155(2)2(2)k k k k C C ---+-（15k ≤≤，*k N ∈）， 其中3x 的系数为3322551(2)2(2)0(8)21040C C =⨯-+⨯-⨯-=+，故不含3x 项.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项式展开式的通项公式，考查逻辑思维能力和分析能力，考查计算能力，属于常考题. 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N ∈+=，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．*()2n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈ C ．*()2n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈【答案】A【解析】先根据递推关系求出首项，利用排除法即可得到结论． 【详解】解：因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N ∈+=， ∴当2n =时，22121(21)22a S a a a +==+⇒=； 把1n =代入检验，只有答案AB 成立，排除CD ； 当3n =时，331233(31)62a S a a a a +==++⇒=；排除B ； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用以及排除法在选择题中的应用，属于基础题． 7．已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解． 【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为3||cos ,2||a b m a a b b ⋅+⋅〈〉===-，所以m =-所以621cos ,422||||a b a b a b ⋅-+〈〉===-⨯，所以夹角,120a b ︒〈〉=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础题．8．由实数组成的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .则“10a >”是“1110S S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1110S S >得出110a >，再结合10111a a q =以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则11111001110S a S S S ⇔->=>. 充分性：0q ≠，由10a >可得101110a a q =>，充分性成立； 必要性：0q ≠，由101110a a q =>可得10a >，必要性成立.因此，“10a >”是“1110S S >”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查了等比数列定义的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.9．骰子，古代中国民间娱乐用来投掷的博具，早在战国时期就有.最常见的骰子是正六面体，也有正十四面体、球形十八面体等形制的骰子，如图是满城汉墓出土的铜茕，它是一个球形十八面体骰子，有十六面刻着一至十六数字，另两面刻“骄”和“酒来”，其中“骄”表示最大数十七，“酒来”表示最小数零，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的.现投掷铜茕三次观察向上的点数，则这三个数能构成公比不为1的等比数列的概率为（ ）A ．181B ．2729C ．1324D ．1972【答案】B【解析】先求所有的基本事件的总数，再通过列举法可得三个数能构成公比不为1的等比数列的情况共有16种，从而可得所求的概率. 【详解】投掷铜茕3次共有181818⨯⨯个基本事件，其中这三个数能构成公比不为1的等比数列的情况有（三个数由小到大排列）： 1，2，4；1，3，9；1，4，16；2，4，8；4，6，9；3，6，12；4，8，16；9，12，16，故这三个数能构成公比不为1的等比数列的情况共22816A =种，所以所求概率为162181818729P ==⨯⨯. 故选：B. 【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），注意有规律的枚举.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的圆()O b a >与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D 【答案】A【解析】作出图形，利用勾股定理得出1MF a =，利用双曲线的定义得出23MF a =，计算出1cos MFO ∠，然后在12MF F △中，利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由题意作出草图，如下：1F M 与圆O 切于M ，1F M OM ∴⊥，且1OF c =，OM b =，故2211MF OF OMa =-=.由双曲线的定义知2123MF MF a a =+=.在1Rt F MO 中，1cos aMFO c∠=， 在12MF F △中，由余弦定理，得()()2221223cos 22a c a a MF F a cc+-∠==⨯⨯，即22412c a =，故离心率3e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数2()sin cos cos =+f x x x x ，x ∈R ，则下列命题中：①()f x 的最小正周期是π21+；②()f x 的单调增区问是3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；③()()1sin 22f x f x x π+-=+；④将()f x 的图象向右平移4π个单位可得函数2sin sin cos y x x x =+的图象；其中正确个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】先将()f x 化为21()sin 2242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用周期公式和正弦函数的图象和性质可判断①②④正确与否，利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角变换公式可证③正确，从而可得正确的选项. 【详解】111()sin 2(1cos2)sin 222242f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为T π=，故①正确； 令222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，则3+88k x k ππππ-≤≤， 故单调增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以②正确；22()sin cos cos sin cos cos 2222f x f x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222sin cos sin cos 1sin2x x x x x =++=+.故③正确；将()f x 的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的解析式为： 2sin cos cos 444y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即cos2+1111sin 24sin 2cos222222x x y x x ππ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+=-+ ⎪⎝⎭ ()22112sin cos 12sin sin cos sin 22x x x x x x +=--+=+， 故④正确. 故选：D. 【点睛】 形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2'f x A x B ωϕ'=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．与三角函数图象有关的平移中，注意利用“左加右减”（注意仅对x 作变换）来帮助记忆. 12．在三棱锥A BCD -中，AB BC CD DA ====BD =A BD C --是钝角.若三棱锥A BCD -的体积为2.则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是（ ） A ．12π B ．373π C ．13πD ．534π 【答案】C【解析】取BD 的中点O ，可得AOC ∠为二面角A BD C --的平面角且BD ⊥平面AOC ；利用三棱锥A BCD -体积可构造方程求得AC ，将三棱锥A BCD -补为长方体BMDG HCFA -，则长方体外接球即为三棱锥的外接球，通过求解长方体外接球表面积即可得到结果. 【详解】如图（1），取BD 的中点O ，连接,AO CO ， AB BC CD DA ===，AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，AOC ∴∠为二面角A BD C --的平面角，BD ⊥平面AOC .取AC 的中点E ，连接OE ，设AC 2a =， 在AOC △中，732AO OC ==-=，OE AC ∴⊥，则22224OE a a =-=-，21111232423326A BCD AOCV SBD AC OE BD a a -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-=， 化简得：42430a a -+=，解得：3a =或1a =，当1a =时，60AOC ∠=，不合题意，舍去，23∴=AC .如图（2），把三棱锥A BCD -补形成长方体BMDG HCFA -，使三棱锥A BCD -的各棱分别是长方体的面对角线，则三棱锥A BCD -的外接球即为长方体BMDG HCFA -的外接球.设,,BM x BG y BH z ===，则(222222222x y x z y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得：1x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴外接球的直径为AM == ∴四面体ABCD 外接球的表面积为134134S ππ=⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，涉及到三棱锥体积的应用；解题关键是能够通过将三棱锥补为长方体，通过求解长方体的外接球来求得结果.二、填空题13．若点(),x y 在不等式组326042030x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的区域内，则目标成数z x y =-的最大值与最小值之和为_________. 【答案】2-【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z x y =-得y x z =-，利用数形结合即可的得到结论． 【详解】解：不等式组326042030x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩，所表示的区域如图：由题意可知(0,3)A ，(2,0)B -，(2,1)C ，当x y z -=的平行线经过点A 时，截距最大，z 有最小值，最小值为：3-，经过C 时，截距最小，此时z 最大：1，所以目标函数z x y =-的最大值与最小值之和为：2-． 故答案为：2-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 14．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N 只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488≈，ln1.50.4055≈，ln16007.3778≈，ln160009.6803≈）.【答案】199【解析】设过x 天能达到最初的16000倍，由题意列出方程：00(10.05)16000x N N +=，解方程求解即可得到答案. 【详解】设过x 天能达到最初的16000倍，由已知00(10.05)16000xN N +=，ln16000198.4ln1.05x =≈，又x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍.故答案为：199. 【点睛】本题考查指数型函数的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.15．设抛物线22y x =的焦点为F ，过焦点F 作直线MN x ⊥轴，交抛物线于M 、N 两点，再过F 点作直线AB 使得//AB OM 其中O 是坐标原点），交抛物线于A 、B 两点，则三角形ABN 的面积是___________. 5【解析】首先确定直线AB 方程，与抛物线方程联立后，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式可求得AB ，利用点到直线距离公式求得ABN 的高后，代入三角形面积公式可得结果. 【详解】 作图如下：由抛物线方程知：1p =，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB OM k k ∴==， 则直线AB 的方程为122y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由2212y x y x=-⎧⎨=⎩得：24610x x -+=， 设()11,A x y ，()22B x y ⋅，由韦达定理知：1232x x +=. 弦AB 是焦点弦，1252AB x x p ∴=++=， 又点N 到直线AB 的距离为22111521d +-==+ ∴三角形ABN 的面积为11555222S AB d =⨯⨯=⨯=.5【点睛】本题考查抛物线中的三角形面积的求解问题，涉及到抛物线焦点弦长公式的应用；解题关键是能够通过焦点弦长公式和点到直线距离公式求得三角形的底和高，进而求得结果.16．函数()121xxf x e eb x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是________.【答案】(()1,,1e ee e ---【解析】设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，设()1122t tg t e e +-=-，函数为奇函数，()1122'0t t g t ee+-=+>，函数单调递增，()()'0221g e e =<-，画出简图，如图所示，根据()2221e b e <<-，解得答案. 【详解】()1112122x x x x f x e e b x e e b x --=---=---，设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则12x t =+.原函数等价于函数11222tty e e b t +-=--，即11222tte e b t +--=有两个解.设()1122t t g t ee+-=-，则()()1122t t g t eeg t -+-=-=-，函数为奇函数.()1122'0t t g t ee+-=+>，函数单调递增，()00g =，112g e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，112g e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 当0b =时，易知不成立；当0b >时，根据对称性，考虑0x ≥时的情况，()()'0221g e e =<-， 画出简图，如图所示，根据图像知：故()2221e b e <<-，即1e b e <<-， 根据对称性知：()()1,,1b e e e e ∈---.故答案为：()()1,,1e ee e ---.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.三、解答题17．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ； （2）求角B .【答案】（1）b =c =（2）45︒（或4π）. 【解析】（1）计算出sin A 的值，由57b c =，可设5b k =，()70c k k =>，利用三角形的面积公式可求得k 的值，进而可得出边b 和c 的值；（2）利用余弦定理求得a 的值，利用正弦定理求得sin B 的值，再由b c <可知B 为锐角，由此可求得角B 的值. 【详解】（1）由4cos 5A =，及0A π<<，得3sin 5A ==. 由57b c =，可设5b k =，()70c k k =>，由2121sin 2122S bc A k ===，得k =b =，c =（2）由余弦定理得6a ===，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 3sin 652b A B a ==⨯=， 由bc <，知B 必为锐角，故45B ︒=（或π4）. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于中等题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，60,BAD AC ∠=︒平分BAD ∠.AB BC ⊥.AC CD ⊥.（1）设E 是PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（2）设PA ⊥平面ABCD ，若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】（1）利用向量运算可知1122CE AB AP =-+，即CE 能被平面PAB 内两个不共线的向量表示，而CE 不在平面PAB 内，即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面APC 及平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：111()222CE CA AE CF FA AP AD AB AP =+=+++=-+，即CE 能被平面PAB 内两个不共线的向量表示，且CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，且PD ⋂平面ABCD D =，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，故45PDA ︒∠=，从而PA AD =.不妨设23AC =，由已知可得3BC =，3AB =，2CD =，4=AD ，D 到AB 的距离为23.以A 坐标原点，AB ，AP 分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示.(0,0,0),(0,3,0),3,3,0),(23,2,0),(0,0,4)A B C D P .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又∵CD AC ⊥，∴CD ⊥平面PAC ∴(3,1,0)CD =-是平面PAC 的一个法向量.设平面PCB 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得(,,)(0,3,4)0,(,,)0,x y z x y z ⋅-=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩即得(0,4,3)n =.设所求的角为θ，则θ为锐角，则||42cos 255||||CD n CD n θ⋅===⨯⋅，即所求的二面角的余弦值为25. 【点睛】本题考查空间向量在解决立体几何问题中的运用，考查了利用向量证明线面平行以及求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴的两个端点分别为1A 、2A .短轴的两个端点分别为1B ，2B.菱形1122A B A B 的面积为e . （1）求椭圆的标准方程；（2）设()11,0,0,2M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，经过点M 作斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若0NA AB NB AB ⋅+⋅=，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）10x y -+=或310x y -+= 【解析】（1）由已知条件得出关于,,a b c 方程组求解即可；（2）方法一：先由已知得出AB 中垂线过N 点，设出直线l 的方程，,A B 点坐标，联立直线方程和椭圆方程，消去x 得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理得出,A B 点坐标关系，最后利用AB 中点在中垂线上得到关系式求解即可.方法二：先设出直线l 的方程，,AB 点坐标，由已知向量关系式化简为坐标关系，利用点差法得出,A B 点坐标关系，然后把直线l 方程与椭圆方程联立得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理即可得到等量关系，求解即可. 【详解】 解：（1）∵3c e a ==，∴2223c a =. 又因为菱形1122A B A B 的面积为2ab =，即有223a b =，即()2223aac -=，所以23a =，从而222,1c b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）由0NA AB NB AB ⋅+⋅=，知()0NA NB AB +⋅=，设NA NB NK +=，由向量加法的意义，知NK 是线段AB 的中垂线，设直线l 的方程为1x my =-，经过N 且与l 垂直的直线为12y mx =--. 设()()1122,,,A x y B x y ，由221,{33x my x y =-+=消去x ，得()223220m y my +--=， 于是有1212222226,2333m m y y x x m m m m +=+=⨯-=-+++. 关于A ，B 关于直线12y mx =--对称，故点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭必在此直线上，所以2231332m m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即2430m m -+=，所以1m =或3m =， 故所求的直线l 的方程为1x y =-或31x y =-，即10x y -+=或310x y -+=. 解法二：设()()1122,,,A x y B x y ，因为10,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以 ()1122212111,,,,,22NA x y NB x y AB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由题得()1122212111,,,022x y x y x x y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++⋅--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即 ()()()22222121210xx y y y y -+-+-=.①因为A 、B 在椭圆C 上，所以221133x y +=，所以222233x y +=.两式相减，得222212123()x x y y -=--，② 因为l 的斜率不为0，所以12y y ≠，将②代①，得()1221y y +=.③因直线l 经过(1,0)M -，设直线l 的方程为1x my =-， 由221,{33x my x y =-+=消去x ，得()223220m y my +--=，于是有12223my y m +=+，代入③得2413m m =+，解得1m =，或3m =. 故所求直线l 的方程为1x y =-或31x y =-，即10x y -+=.或310x y -+=. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线方程的求法，是高考中的压轴题常考题型，关键考查推理论证和运算求解能力，属于难题. 20．已知函数321()(1)()3xf x x e x a R x a --+∈= （1）当1a =-时，证明函数()f x 在区间()2,2-上有三个极值点； （2）若()1f x ≥-对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）求导()2()22xxf x xe x x x e x '=--=--，令()2=--xg x e x ，用导数法得到其单调性，再结合零点存在定理得到()f x '在区间(2,2)-有三个零点，然后用极值点的定义求解.（2）求导()()2()x f x x e x a x R '=-+∈，令()2x h x e x a =-+，则()1xh x e '=-，由（1）知min ()(0)12h x h a ==+，再分120a +和12a <-两种情况讨论求解. 【详解】（1）当1a =-时，321()(1)()3xf x x e x x x R =---∈， 则()2()22xxf x xe x x x e x '=--=--. 令()2,()1xxg x e x g x e '=--=-，当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，故()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以min ()(0)10g x g ==-<. 又22(2)0,(2)40g e g e --=>=->，故()g x 在区间(2,0)-及区间(0,2)内各有唯一零点.由此可知，()f x '在区间(2,2)-有三个零点：123(2,0),(0,2),0x x x ∈-∈=， 当1(2),x x ∈-时，()0f x '<，当()1,0x x ∈时，()0f x '>，当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,2x x ∈时，()0f x '>，从而知()f x 在(2,2)-上有三个极值点123,,x x x . （2）()()2()xf x x e x a x R '=-+∈， 令()2xh x e x a =-+，则()1x h x e '=-，由（1）的证明过程知min ()(0)12h x h a ==+. 当120a +时，即12a -时，有(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；(0,)x ∈+∞时，有()0f x '>，故()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以min ()(0)1f x f ==-，从而知x ∈R 时，恒有()1f x -. 当12a <-时，min ()(0)120h x h a ==+<.但2(2)0ah a e =>， 由()h x 在(,0)-∞上单调递减，故()h x 在(,0)-∞上有唯一零点0x ，从而知()f x '在(,0)-∞上有唯一零点0x ，且当()0,x x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,0x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,0x 上单调递增，故()0(0)1f x f <=-， 矛盾，舍去.综上，所求a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，导数与不等式恒成立以及零点存在定理的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.21．时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式. （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式——全概率公式.其特殊情况如下：如果事件12A A 相互对立并且()()01,2i P A i >=，则对任一事件B 有112212()()()()()()()P B P B A P A P B A P A P A B P A B =+=+.设*()n P n N ∈表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. ①用1n p -表示()2n p n ≥；②王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1511(2)1632n n p p n -=+；②有，理由见解析 【解析】（1）根据二项分布计算出行方式与前一天相同的概率，再计算X 的可能取值对应的概率，得出分布列； （2）①根据全概率公式计算n P ，②根据①判断1{}2n P -是等比数列，计算n P 的通项，得出结论．【详解】解：（1）设一把抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，则1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 666601236666111121(4)222232P C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=+++= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11(4)1(4)32P P ξξ=-<=. 由已知随机变量X 的可能取值为1，2，3；1121231(1)(4)(4)32321024P X P P ξξ==⋅<=⨯=； 2121441(3)(4)(4)32321024P X P P ξξ==<⋅<=⨯=； 352(2)1(1)(3)1024P X P X P X ==-=-==或21111111352(2)(4)(4)(4)(4)323232321024P X P P P P ξξξξ==<⋅+⋅=⨯+⨯=，所以随机变量X 的分布列为（2）①设1n A -表示事件“第1n -天王先生选择的是骑自行车出行方式”，n A 表示事件“第n 天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知()()()()1111()n n n n n n n n p P A P A A P A P A A P A ----==+∣∣()111511(4)1(4)1632n n n p P p P p ξξ---=⋅<+-⋅=+，即1511(2)1632n n p p n -=+. ②由①知1151,22162n n p p n -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11p =，所以数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为516的等比数列， 所以11115151,22162162n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为1151121622n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开小车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开小车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，等比数列的判断，属于中档题．22．已知圆C 的极坐标方程为()2cos 3ρρθ-=，直线l 的参数方程为cos 6sin 6x a t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a R ∈），假设极点与直角坐标原点重合，极轴与直角坐标的非负半轴重合. （1）求圆C 的直角坐标的标准方程，并指出圆心和半径；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点且AB =，求a 的值.【答案】（1）圆C 的标准方程为：()2214x y -+=，圆心()1,0C ，半径2r ；（2）1-或3【解析】（1）根据极坐标化直角坐标原则，可将圆C 的坐标方程化为直角坐标方程，整理可得圆的标准方程、圆心和半径；（2）将直线l 参数方程化为普通方程，根据垂径定理可利用弦长构造方程求得a 的值.【详解】（1）由()2cos 3ρρθ-=得：22cos 3ρρθ-=，即2223x y x +-=，整理可得圆C 的标准方程为：()2214x y -+=，圆心()1,0C ，半径2r .（2）由直线l参数方程可知其普通方程为：)3y x a =-30y --=， ∴圆心C 到直线l的距离12a d -==，AB ∴===1a =-或3a =.【点睛】 本题考查极坐标化直角坐标、参数方程化普通方程、直线被圆截得弦长问题的求解等知识，属于常考题型.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()|1|f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(][),82,-∞-⋃+∞（2）{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（Ⅱ）由题意，可将m 的值分为1m =-和1m >-进行分类讨论，当1m =-时，函数()315g x x =+-不过原点，且最小值为5-，此时满足题意；当1m >-时，函数()37,13,133,x m x g x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，再由函数()g x 的单调性及值域，求出实数m 的范围，最后综合两种情况，从而得出实数m 的范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-⋃+∞. （Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意： 当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖南省2019年六校联考数学（理）考试试题卷湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、 岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中时量120分钟 满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（ ）A .{}0=⋂B A B. U B A =⋃ C. {}1)(=⋂B C A U D. B B A C U =⋃)( 2、下列说法中正确的是（ ）．A ．“5x >”是“3x >”必要不充分条件；B ．命题“对x R ∀∈，恒有210x +>”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≤”．C ．∃m ∈R ，使函数f(x)＝x 2＋mx (x ∈R)是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题；3、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )A.模型1（相关指数2R 为0.97）B.模型2（相关指数2R 为0.89）C.模型3（相关指数2R 为0.56 ）D.模型4（相关指数2R 为0.45）4、在三角形OAB 中，已知OA=6，OB=4，点P 是AB 的中点，则=⋅（ ）A 10B -10C 20D -205、如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A33 B 335 C 332 D 3 6、已知54)6cos(=+πα（α为锐角）， 则=αsin （ ）A ．10433+B ．10433-C ．10343- D ．10343+ 7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点(3,)A y 向准线l 作垂线，垂足为B ,若ABF ∆为等边三角形, 则抛物线的标准方程是 ( ）． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x = D. 24y x =8、已知函数f (x )=x x ln 22- 与 g(x )=sin )(ϕω+x 有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x )=（ ） A ．)22sin(ππ-x B ．)22sin(ππ-x C ．)2sin(ππ-x D ．)2sin(ππ+x二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 的参数方程是）t t y t x 为参数(sin 3cos 4⎩⎨⎧==，直线l 的极坐标方程是01)sin (cos =+-θθρ，则直线l 与曲线C 相交的交点个数是______.10. 如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，且24AB PA ==．PC 切圆O 于C ，Q 是PC 的中点， 直线QA 交圆O 于D 点．则QA QD = ． 11、设x R ∈，则函数y= ||x 的最大值是 ．(二) 必做题（12~16题） 12、设复数iiz -=1 (其中i 为虚数单位)，则2z 等于13、已知()nx -1的展开式中只有第5 则含2x 项的系数= ______.14、执行右边的程序框图，若输出的T=20，则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号） 。
（①T ≥S ，②T ＞S ，③T ≤S ，④T ＜S ） 15. 设矩形区域Ω由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数cos y x =、2x π=±及1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是 ．16. 用g f e ,,三个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由字母e开始，相邻两个字母不能相同. 例如1=n 时，排出的字符串是eg ef ,；2=n 时排出的字符串是egf ege efg efe ,,,,…….记这种含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是e 的字符串的个数为na. 故2,021==a a .=4a=n a ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。
现张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为32，科目三考试合格的概率为21，且每次考试或补考合格与否互不影响。
（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。
（2）若张某不放弃所有考试机会，记ξ为参加考试的次数，求ξ的分布列与数学期望。
18．（本题满分12分）由五个直角边为2的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF ，沿AD 折起，使平面ADEF ⊥平面ACD. （1）求证：FB ⊥AD（2）求二面角C-EF-D 的正切值.图2图1A19、（本题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足14a =，且32454a a a 是、的等差中项，数列{}nb 满足11n n b b +=+，其前n 项和为n s ，且264s s a += （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式2(4)73n n nlog T b n λ+-+≥对一切n N +∈恒成立，求实数λ的取值范围。
20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。
该部件由5个A 零件和2个B 零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗10度电。
已知A 、B 两种零件毛坯采购价格均为4元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。
电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度, 超过5000度的部分每度电增加c （c > 0）元. 设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考虑人工成本的条件下, 问： (1) 每月若投入资金1万元, 可生产多少件部件?(2) 每月若有2万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?21. （本题满分13分）已知P （0，-1）与Q （0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一动点M （x,y)作Y 轴的垂线，垂足为N ，点E满足43=，且0=⋅。
1）求曲线C 的方程。
2）设曲线C 与x 轴正半轴交于点A ，任作一直线l 与曲线C 交于M N 、两点（M N 、不与A 点重合）且090MAN ∠=，求证l 过定点并求定点的坐标。
22、（本题满分13分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+ (1)a ≥（1）讨论()f x 的单调性与极值点。
（2）若21()1(1)2g x x x x =-->, 证明当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方. （3）证明2222ln 2ln 3ln 21(.2)234(1)n n n n N n n n +--+++<∈≥+湖南省2019年六校联考数学考试试题答案一、选择题：二、填空题：9、210、2QC QA QD =，212PC PA PB ==，因Q 是PC 的中点，所以3412==⋅PC QD QA ． 11、由柯西不等式，得2112212222222=+⋅-+≤-+⨯=-+x x x x x x ．或用基本不等式：||2x ≤=．12、2i 13、28 14 ② 15、阴影面积为2222(cos 1)(sin )2S x dx x x πππππ--=+=+=+⎰，故所求的概率为22P ππ+=． 16、答案：64=a3)1(22nn n a -+=解析：01=a 11222aa -== 22322a a -==33426a a -== 445210a a -==所以，112---=n n na a 所以，2212----=n n n a a 两式相减得：222--=-n n n a a当n 为偶数时，利用累加法得2422222-+++=-n n a a =342-n 所以，322+=n n a ；当n 为奇数时，利用累加法得2311222-+++=-n na a=322-n 所以，322-=n n a .综上所述: 3)1(22nn n a -+=三、解答题答案： 17、答案：解：设“科目二第一次考试合格”为事件A 1； “科目二补考考试合格”为事件A 2；“科目三第一次考试合格”为事件B 1； “科目三补考考试合格”为事件B 2； 则A 1、A 2、B 1、B 2相互独立。
（1）他不需要补考就可获得驾证的概率为：312132)()()(1111=⋅=⋅=⋅=B P A P B A P P …………………………………………5分（2）ξ的可能取值为2，3，4∵9431312132)()2(2111=⨯+⨯=+==A A B A p P ξ 942132312132)()3(12111=⨯⨯+⨯=+==B A A B A p P ξ91213231)()4(121=⨯⨯====B A A p P ξ …………………………………………9分∴ξ的分布列为389249144342)(==⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分18、答案： 解：法一：(1)作FO ⊥AD 于O ，连OB. .......................(1分） ∵等腰直角三角形AFD, ∴点O 为AD 的中点.而等腰直角三角形ABD ，∴BO ⊥AD, 而FO ∩BO=O ，∴AD ⊥平面FOB, ∴FB ⊥AD .....................（5分） (2) ∵等腰直角三角形ADB 和等腰直角三角形CDB,∴∠ADC=90°， ∴CD ⊥AD .....................（7分） 又 ∵平面ADEF ⊥平面ACD ，平面ADEF ∩平面ACD=AD ， ∴CD ⊥平面ADEF. 作DM ⊥FE ，连接MC ，∠DMC 即为二面角C-EF-D 的平面角. ...................（10分） 在直角三角形MDC 中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 ,∴tan ∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D 的正切值为2. ...................（12分） 法二：（1）作FO ⊥AD 于O ，连OB ，∵平面ADEF ⊥平面ACD ，∴FO ⊥平面ADC. ∵等腰直角三角形AFD, ∴点O 为AD 的中点.而等腰直角三角形ABD ，∴BO ⊥AD 如图，建立空间直角坐标系， ∴F （0,0,1），A （1,0,0），D （-1,0,0）,C （-1,2,0）,B （0,1,0）E （-2,0,1 ) .................(2分）)11,0(),0,02(-=-=，，FB AD ∵0=⋅,∴FB ⊥AD .................(5分）（2）显然平面DEF 的法向量)0,1,0(1=n ， ................(7分）平面CEF 中，)1,2,1()0,0,2(--=-=,∴平面CEF 的法向量)2,1,0(2=n ， ...............(10分） ∴,55),cos(21=n n ∴,2),(tan 21=n n ∴二面角C-EF-D 的正切值为2. .................(12分）19、答案：解（1）设等比数列{}n a 的公比为,q 则11,4n n q a q ->=354a 是2a 和4a 的等差中项 02524522423=+-+=⨯∴q q a a a 即12q q >∴=11422n n n a -+∴=∙= ................(3分）依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d = 又261116532(21)632,212n s s b b b b n ⨯+=∴+++=∴=∴=+ . ...............(6分） （2）124(21)22421n n n n n a T ++-=∴==-- . ...............(8分）不等式2(4)73n n nlog T b n λ+-+≥ 化为27(1)n n n n N λ+-+≥+∈ ..........(9分）271n n n λ-+≤+对一切n N +∈恒成立。