多面体与球的接切问题.

二、球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱Biblioteka Baidu中点。
球心：正方体的中心。
直径： “对棱”中点连线
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
三、 正方体的外接球
2R
3a
球直径等于正方体的（体）对角线
正方体的内切球, 棱切球,外接球 三个球心合一 半径之比为： 1: 2 : 3
§长方体与球
一、长方体的外接球
1 1 V S底面积 h S全面积 r 3 3
？
S底面积 h S全面积 r
S底面积 r 1 S全面积 h 4
1 r h 4
6 h a 3
6 r a 12
正四面体的内切球 还可利用截面三角 形来求
P
A
O
K C
O
F
A
H D B
B
E O1
6 r内切 a 12
.正四面体的外接球可 利用直角三角形勾股 定理来求
P
P
R O
R
A C M D B
O
A
M E
D
将正四面体放到正方体中， 2 得正方体的棱长为 a, 2 且正四面体的外接球 即正方体的外接球， 6 所以R＝ a. 4
2.棱长为a的正四面体的棱切球的半径_____
2 R＝ a 4
3.棱长为a的正四面体的内切球的半径_____
, 2 R 3a
A
O

S半球 S正方体
2 R2 3a 2 2 2 6a 6a 2
例. 已知球O的表面上有P、A、B、C 四点，且PA、PB、PC两两互相垂直， 若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积 和体积。
变式：将上面的条件改为 “PA=a,PB=b,PC=c”
3V 内切球半径公式：r= ，其中V为几何体的体积， S表 S表为几何体的表面积
2
结论： 3 1.边长为a的正三角形的外接圆半径r a 3
c 2.斜边为c的直角三角形的外接圆半径r 2
a b 3.长为a，宽为b的矩形的外接圆半径r 2
2 2
§正方体与球
正方体的内切球,外接球,棱切球
一、正方体的内切球
o
2R a
切点：各个面的中心。
球心：正方体的中心。
直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体棱长。
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高 分别为a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。
如果一个长方体有内切球， 那么它一定是 正方体
例：
例：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ）
§正三棱锥与球
P P A

P H OB M D C
A
O
H
C
A
O H B
C D
B
M
D
M
球心在高PH上， 即在锥体内部
球心与底面正Δ中 心H重合
球心在高 PH的延长 线上，即在 锥体外部
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上
度量关系：
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，外接圆半径为R，
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面的关系:
A
r R d
2
2
一球的球面面积为 256π cm ，过此 球的一条半径中点，作垂直于这条半径 的截面，求截面圆的半径和面积．
2
解：设 O 为球心，O′为截面圆圆心，如右图，则 OO′ ⊥O′A，O′A 为截面圆半径，OA 为球的半径． 根据球的表面积公式，则有： 2 4π· AO ＝256π，得 AO＝8 cm， 在 Rt△AO′O 中， 1 OO′＝ AO＝4 cm. 2 所以 AO′＝ AO2－OO′2＝ 82－42＝4 3(cm)． S 截面圆＝π· AO′2＝π· (4 3)2＝48π(cm2)． 所以截面圆半径为 4 3 cm，面积为 48πcm .
2 R棱切＝ a 4
6 R外接＝ a 4
正四面体的内切球, 棱切球,外接球 半径之比为：
3 :1: 3 3
正四面体的四条高相交于同一点，这点 叫做正四面体的中心。
正四面体的外接球、内切球是同心球， 球心即为正四面体的中心。
小结:常见的补形
正四面体常常补成正方体求外接球的半径
三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体
将半球补成整球
l a a ( 2a ) 6 a
2 2 2
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB. 设正方体棱长为a，易知：
OA 2 a , OB R , 2
2
B A
O
B
AB a
2 2
2 2 2 a a R 2
A. 3 2 B. 3 C. 6 6 D. 6
P A C D
解：
设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.
2 3 6 AH 2 3 2 3
PH PA2 AH 2 1 6 3 3 9 9 3
H

OB M
简单多面体与球 的接切问题
球的概念
1．球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集 合，叫做 球面 。 与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面．
3 2 2 a ( b) h 3
2
PA PH PM
2
, 即 a h 2R
2
或在RtΔAHO中，
AH HO AO
2 2 2
3 2 , 即（ b) ( h R ) 2 R 2 3
题目：
正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它 的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）
例：如图为某几何体的三视图，该几何 体的内切球体积为______
4 3 3
1 2 V四棱锥 = 3 4=12 3 1 1 2 S表 =3 + 3 4 2+ 3 5 2=36 2 2 3V 内切球半径r= =1 S表
§正四面体与球
1. 棱长 为 a 的 正 四 面 体 的外接球的半径为___