控制工程基础程第四章习题答案

2007机械工程控制基础第四章习题答案
第4章 频率特性分析
4.1什么是系统的频率特性？
答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。

系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。

4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B 。

求该系统的频率特性。

解：由系统频率特性的定义知：ϕωj e A
B j G =
)( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t
o ，试求系统的幅频特性与
相频特性。

解：由已知条件得：s s X i 1)(=，9
8
.048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：)
9)(4(36)()()(++==
s s s X s X s G i o 得系统频率特性：)
9)(4(36
)(ωωωj j j G ++=
，其中
幅频特性为：2
2
811636
)()(ω
ωωω+⋅+=
=j G A
相频特性为：9
arctan
4
arctan
)(ω
ω
ωϕ--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。

已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。

若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)2
2sin(π
-=t x oss 。

试确定k 和c 。

解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为：
k
cs s s G ++=
2
1
)(，得系统频率特性为： ω
ωωjc k j G +-=
21
)(。

图（题4.6）
其中，幅频特性为2
222)(1)(ωωωc k j G +-=
，相频特性为2
arctan
)(ω
ω
ωϕ--=k c 由题意，当输入信号为t t f 2sin 2)(=时，2=ω，由其与稳态输出信号)
2
2sin(π
-=t x oss 对应关系知：2222)(1
21)(ω
ωωc k j G +-==，2arctan 2)(ωωπωϕ--=-=k c 解得4=k ，1=c 。

4.8设系统的闭环传递函数为1
)
1()(12++=s T s T K s G B ，当作用输入信号t R t x i ωsin )(=时，试
求该系统的稳态输出。

解：系统的频率特性为)
arctan (arctan 21
2
2
221212111)1()(ωωωωωωωT T j B e T T K jT jT K j G -⋅++=++= 则系统的稳态输出为)arctan arctan sin(11212
1
2
222ωωωωωT T t T T RK
x oss +-++=
4.9设单位反馈控制系统的开环传递函数为1
10
)(+=s s G K ，当系统作用以下输入信号时，试求系统的稳态输出。

(1) )30sin()(0
+=t t x i
解：系统的闭环传递函数为：11
10
)(1)()(+=+=
s s G s G s G K K B
11
arctan 2121101110)(ω
ω
ωωj B e j j G -⋅+=+=。

此题中，1=ω，得频率特性为：
02.5122
10
1110)(j B e j j G -⋅=+=
ω，由此得：
4.11 已知系统传递函数方框图如图所示，现作用于系统输入信号t t x i 2sin )(=，试求系统的稳态响应。

系统传递函数如下： （3）1
5
)(+=
s s G ,1)(=s H 解：65
)()(1)()(+=+=s s H s G s G s G B ，得：6236
565)(ω
ωωωj B e j j G -+=+=
当2=ω时，)4.182sin(79.0)62
arctan 2sin(40
5
)(03-=-=
t t t x oss 。

4.12试绘制具有下列传递函数的各系统的nyquist 图。

(6) )21)(
5.01(1
)(s s s G ++=
；
解：ωωωωωωω2arctan 5.0arctan 2
241125.01
)
21)(5.01(1
)(+-++=
++=
j e j j j G
实频特性：2
222
25.6)1(1)(ω
ωωω+--=u ，虚频特性： 22225.6)1(5.2)(ωωωω+--=v
(8) )
10016()
1)(12.0(5.7)(2
++++=
s s s s s s G 解：
4.15试绘出具有下列传递函数的系统的波特图。

（6）)
12.0()
10(5.2)(2++=
s s s s G
解：系统频率特性)
12.0()()
1
1.0(25)(2
++=
ωωωωj j j j G ，显然，系统由一个比例环节、两个积分环节、一个惯性环节(52.011==
T ω)和一个微分环节(101
.011==T ω)组成，故可用叠加法作
出其bode 图如下：
也可直接作出其bode 图，步骤如下：
① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式，即各典型环节传递函数的常数项为1。

得：)
2.01()()
1.01(25)(2
ωωωωj j j j G ++=。

②根据比例环节的K 值，计算K lg 20：95.3425lg 20lg 20==K
③在半对数坐标系上，找到横坐标为ω＝1、纵坐标为K A lg 20)(1==ωω的点，过该点作斜率为—20νdB ／dec=40dB ／dec 的斜线，其中ν=2为积分环节的数目。

④计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列原则依次改变)(ωA 的斜率：若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB ／dec ；若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB ／dec ；若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB ／dec 。

此题中，52.011==
T ω，101
.01
2==T ω。

因)(ωA 在51==T ωω处过惯性环节，则斜率减去20dB ／dec ，成为-60dB ／dec ；)(ωA 在102==T ωω处过微分环节，则斜率增加20dB ／dec ，成为-40dB ／dec 。

⑤如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。

⑥对数相频特性曲线画法同前。

-40
-20 20 40
0.01 0.1 1 10 100
dB 幅频特性
-1800
-900 00
0.01
0.1
1
10
100
相频特性
900 5
（8）)
14.0)(104.0(650)(2
++=s s s s G
解：系统频率特性：
显然，系统由一个比例环节、两个纯微分环节、两个惯性环节组成，故可用叠加法作出其bode 图。

也可直接作bode 图，步骤略。

4.19 已知单位反馈系统的开环传递函数为)
11.0)(105.0(10
)(++=s s s s G K ，试计算系
统的r M 和r ω。

解：由题意知，10
15.005.010
)(1)()(2
3+++=+=
s s s s G s G s G K K B -40
-20
20
40 0
0.01
0.1 1
10
100
dB 幅频特性 -900
00
0.01
0.1 1
10
100
相频特性
900 2.5 60 25
1800 -40
-20 20 40
0.01
0.1 1
10
100
dB 幅频特性
-1800
-900 00
0.01
0.1
1
10
100
相频特性
900 5
令
0)(==r
d dA ωωωω并化简可得：0}])05.0()15.010[(10{'123
22=-+--r r r ωωω
得：0405.000015.02
4
=-+r r ωω，7.662
=r ω，1
165.8-=s r ω
故有：838.1)(===r
A M r ωωω。