高中数学人教版选修4-6 第二讲 同余与同余方程 四 一次同余方程

解的过程如下： 若 （a，n）=c，且 c︱b 则 有c个解
找使左边成立的b a×d ≡1m od11
则 x≡b×d + n×e = bd + ne m odn.
（e取0，1，2，…，c-1）
我们已经学过了用辗转相除法求最大 公因数，现在我们用类似的方法来求同余 方程的解.
对于特殊的一次同余方程如：ax≡b m odn,
例二中我们用穷举法得到x≡15[mod 7] ， 此过程比较繁琐，而且我们不知道到底有没有 解，不可能试尽所有整数.我们介绍另一种求法.
一次同余方程 ax≡b m odn,
1、什么情况下有解： 若（a，n）︱b，则有解 .
2、若有解，解有几个： 解的个数为d＝（a，n）个.
一次同余方程 ax≡b m odn, 有解，
所以a!p 1...p a 1 p 1...p a 1 Z
a!
ab 1 a1 p 1p 2...p a 1
a!
b
1 a1
1
2 ... a 1
a !
1
mod
p
b
1 a1
1 a1
a a
1 1
! !
mod
p
b
mod
p

所以唯一解 x b 1a1 p 1 p 2... p a 1 mod p
x b 1 a1 p 1 p 2... p a 1 mod p
a!
证明：因为 p是素数且0<a<p 所以（a，p）=1，
因为 ax b (mod m)有唯一解，
因为
c
a p
p p 1
p 2...
a!
p a 1 N
所以 a！︱p(p-1)…(p-a+1)
因为 p是素数且0<a<p
因为（a，m）=1，所以ax b (mod m)有唯一解 再由欧拉定理知a φ（m） 1 (mod n) ， a a φ（m-1）b (mod m) a φ（m） b (mod m) b (mod m)所 以x a φ（m） b (mod m) 是ax b (mod m) 唯一解 推论 若p是素数0<a<p,则ax b (mod m)有唯一解.
a!
2、解同余式3x 7 (mod 13)
因为（13，3）=1
所以 3x 7 (mod 13)有唯一解
x b 1 a1 p 1 p 2... p a 1 mod p
a!
712 13 1...13 3 1 mod13
3!
11mod13
此题利用了1题的结论.1题的结论 是求解的一种方法需牢记.
剩余类环的运算法则: [a]+[b]=[a+b] [a][b]=[ab]
例一:模5的剩余类环是？
{ [0]，[1]，[2]，[3]，[4]；+，· } [0] [1]=[1]，[2] [3]= [6] ； [0] +[3]=[3]，[1]+ [4]= [5] ；
想一想，若在模5的剩余类环中我们只 知道[3][x]=[2] 那么x 的值是什么？
3、解同余式11x 15 (mod 24) 因为（11，24）=1 所以11x 15 (mod 24)有唯一解 又φ（24）= φ（3×23） = φ（3）= φ（23）=8 x a φ（m-1）b (mod m) 15×11 φ（24）-1（mod24）
15×11 8-1 （mod24）15×11 6 ×11（mod24） 15×（11 2）3 ×11（mod24） 15×11（mod24） -3 （mod24）
这就涉及到下面 要讲的同余方程.
第二讲 同余与同于方程
教学目标
1.掌握同余式的定义. 2.熟练掌握一次同余式解的存在 性及解的个数. 3.熟练运用一次同余式的解法.
1.类比一元一次方程引入同余方程的概念. 2.通过实例介绍同余方程解的判别方法及求 解方法.
提高学生学习数学的兴趣，能够 运用同余方程解决生活中的问题.
课堂小结
一、一次同余方程一般式：ax≡ b m odn
二、同余方程解的形式： x≡c m odn
三、同余方程有解的条件： （a，n）︱b 四、同余方程有个数： （a，n）
五、求同余方程解的方法：公式法、大衍求一术.
针对性练习
1、若（a，m）=1，则同余式ax b (mod m)有 唯一解x a φ（m-1）b (mod m)
知识回顾
什么是一元一次方程组
简单的说是含有一个未知数的方 程，如 3x+5=14. 剩余类定义：
所有与整数a模n同余的整数构成的 集合叫做模n的一个剩余类，记作[a].
导入新课
已经学习了剩余类、剩余类环的知 识，知道了关于剩余类的相关运算.
剩余类环：模n的剩余类集合中定义 了剩余类加法和剩余类乘法的运算，记作 {[0]，[1]，…，[n-1],+,- }.
其中a为正整数， a<n且（ a ，n）=1.介绍 另一种方法——大衍求一术.
对满足 ax ≡ 1 m odn ,其中a为正整数， a<n
且（ a ，n）=1的同余方程解的过程如下： 设k1=1，r1=a， 对n，a用带余除法： n=aq2+r2，记k2=-q2k1；
对a，r2用带余除法： a=r2q3+r3，记k3=k1-q3k2； 对r3，r2用带余除法：r2=r3q4+r4，记k4=k2-q4k3； 重复直到rn=1，最后的kn=kn-2-qnkn-1，x kn mod n
课堂练习
1. 大衍求一术适用的同余方程，ax 1 (mod n)，其中（ a ）为正整数，a （ < ）n，且（a，n）=（ 1 ）.
2. 一次同余方程ax b (mod n)，若有解
则（（a，n）︱b ），解的个数为（（a，n））.
3. 试确定同余方程3215x 160 (mod 235)是否有解，若有解有几个解（ D ）.
而 6×4=24 ≡ 1(mod 23) 故 x ≡ 4 ×7=28 ≡ 5(mod 23). 所以 解为x ≡ 5(mod 23).
6. 解同余方程31x 5 (mod 17).
解： 因为 (31,17)=1,且1|5 故 同余方程仅有以一个解 而 31×11=341 ≡ 1(mod 17) 故 x ≡ 5×11=55 ≡ 4(mod 17). 所以 解为x ≡ 4(mod 17).
例四、解同余方程 11x 1mod47
解：
因为 （11，47）=1 且 11<47
由于 47=11×4+3 ；11=3×3+2 ；3=2×1+1
所以 所以
得
q2=4，q3=3， q4=1，r4=1 k2=-4×1， k3 =1-3×（-4）=13 k4 =-4-1×13=-17
x≡- 17 m od47
[2][x]= [3] [2x]= [3] 52x - 3 2x≡ 3 m od5
含有未知数的同余式叫做同余方程.
含有一次未知数的同余方程叫做一次同余
方程，一般形式为 ax≡ b m odn , 其中n为正
整数，a，b为整数，且a不等于零. 若存在整
数c， 使得同余式 ac≡ b m odn , 成立，则 把 x≡cm odn , 叫做同余方程的解.
则（a，n）︱b.反过来，当（a，n）︱b时， 恰有（a，n）个解.
一次同余方程 ax≡b m odn,
例三、解一次同余方程 3x≡5m od11
解：
因为 （3，11）=1，且 1︱5 所以 有一个解
因为 3×4≡1m od11
所以 x≡5×4 = 20 m od11.
类似于例三这样的同余方程 ax≡b m odn
教学重难点
1.同余式方程解存在的条件. 2.一次同余式方程的解法.
掌握一次同余式方程的一、二种解法 （穷举法、辗转相除法、分数法(用同余的 性质求解)、公式法、大衍求一术）.
议一议
我们已经知道了一元一次方程，并熟 悉了它的求法.如：ax + b = c
在剩余类环中含有未知数，如模5剩 余类环中[2][x]=[3]，这样的式子我们叫 做同余方程.有剩余类环的性质，我们可 做出如下推导.
7. 解析同余方程58x 87(mod 47)是否 解，若有解有几个.
解 ： 原式化为 47x+ 11x （47+40）(mod 47).
即 11x 40(mod 47). 因为 (11,47)=1,且1|40 故 同余方程仅有以一个解.
再见
例二、在模7的剩余类环中解方程[2][x]=[3]. 解： 因为 [2][x]=[3]
所以 [2x]=[3]
即 7∣2x-3 推出 2x≡3[mod 7]
一次同余 方程
解得 x≡？[mod 7]
同余方程的解
在例二中我们解得x≡？[mod 7] ？是 多少什么情况下x有解，有多少解，解是什 么.下面我们将具体讨论这些问题.
A.有 B.无解 C.1个解 D.5个解
4. 下面对同余方程3x 7 (mod 13)的
解描述正确的（ A ）.
A. x 7 (mod 13)
B. x 7
C. x = 7
D.都不对
5. 解同余方程 6x ≡ 7 (mod 23).
解:
因为 (6,23)=1,且1|7 故 同余方程仅有以一个解