6-4平面曲线弧长

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高等数学(上册)-第5章第6讲(定积分的几何应用)[22页]

5
二、平面图形的面积
1. 直角坐标系中的平面图形的面积
在平面直角坐标系中求由曲线y f (x)，y g(x)和直线x a，x b围成图
形的面积A，其中函数f (x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f (x) g(x)，如图所示.
在区间[a,b] 上任取代表区间[x, x dx]，在区间两个端点处做垂直于x 轴的
A 1 r2 ( )d.
2
β
O
α
ρ 10
本讲内容
01 微元法 02 平面图形的面积 03 体积 04 平面曲线的弧长
11
三、体积
1.旋转体的体积.
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 y 周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴.
如圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体. 设一旋转体由连续曲线 y f (x)，直线x a， O a
直线，由于 dx 非常小，这样介于两条直线之间的图形可以近似看成矩形，因
此面积微元可表示为
[ f (x) g(x)]dx,
于是，所求面积A为
b
A a [ f (x) g(x)]dx.
若f (x) g(x)，则有
A
b
[ f (x) g(x)]dx.
a
综合以上两种情况，由曲线 y f (x)，y g(x)
y x 1(y)
d
c O
x 2(y) x
7
二、平面图形的面积例 1 求由两抛物线y x2与x y2 所围成图形的面积A .
解
解方程组
y x
x2，得到两抛物线的交点为(0，0)，(1，1)， y 2，
y
两抛物线围成的图形如图所示.
则所求面积 A 为
A

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s

2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12

0

3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2

第3讲圆周运动的角量描述

第四节圆周运动及其描述上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。

1 圆周运动的线量描述回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。

这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。

由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。

所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。

位置：s＝s(t)速度：dsdt v=τ加速度：22d sdtτ=aτ(1a)2nvR=a n(1b)(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。

质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。

2 圆周运动的角量描述极坐标系2.1 角位移除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。

如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。

在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。

注意：1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。

其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向1矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。

即为d θ的正方向。

2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y －>90，最后z －>90得到的结果，与先x->90，再z －>90，最后y －>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t ．．0．时，角位移．．．．．d ．θ．才是矢量．．．．。

3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。

高等数学第六章《定积分的应用》

第六章定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】定积分的元素法如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量；（2）U 对区间[]b a ,具有可加性；（3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积（1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力（1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法（1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解（法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。

小学奥数讲义6年级-4-圆与扇形-难版

圆是所有几何图形中最完美的。

当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O 点称为这个圆的圆心。

连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r 表示。

连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。

过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d 表示，显然d=2r 。

圆的周长（用字母C 表示）与直径的比，叫做圆周率。

圆周率用字母π表示，它是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。

圆的周长r 2d C π=π=。

利用等分圆周拼成近似长方形的方法可知圆的面积2r S π=。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周上任意两点间的部分叫做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。

如果扇形的半径为r ，弧所对圆心角的度数为n ，那么弧的长度180rn L π=。

从而扇形的周长r2180r n C +π=，扇形的面积Lr 21180r n S 2=π=。

公式：圆面积=2r π=214d π；扇形面积=2360nr π；圆周长=2r d ππ=；扇形弧长=180360n n r d ππ=；扇形周长=2180360n n r r d d ππ+=+；典型例题知识梳理【例1】★上面图形中的正方形的边长为4，求各个阴影部分面积的大小；【解析】图1，阴影的面积是两个扇形重合的部分，我们可以用两个扇形的面积减去正方形的面积。

π×42×41×2－2×2＝8π－4＝21.12 图2，方法1，阴影的面积是四个半圆的面积重合的部分，可以用四个半圆的面积和减去正方形的面积。

π×22×2－4×4＝8π－16＝9.12方法2，如下图，我们只要求出一个小弓形的面积，整个阴影的面积是8个这样的小弓形面积之和。

（π×22×41－2×2÷2）×8＝8π－16＝9.12 图3，阴影的面积有大圆的面积减去正方形的面积。

大学高数总习题六及课外习题课后参考答案及知识总结

总习题六★★★1．求由曲线32)4(x y -=与纵轴所围图形面积。

思路：曲线23(4),(4)y x x =-≤关于x 轴对称，又曲线的一条分支3/2(4)y x =-是关于x 的减函数，见图6-1可知用y 型或用对称性求图形面积较为简单。

解：曲线表达为3/24yx -=，它和y 轴的交点：（8,0±）∴51285332(2)4(2)4(83/588803/23/2=-=-=-=⎰⎰-y dy y dy y S ★★★2．求介于直线π2,0==x x 之间、由曲线x y sin =和x y cos =所围成的平面图形的面积。

解：⎰-=π20cos sin dx x x S24)sin (cos )cos (sin )sin (cos 24/54/54/4/0=-+-+-=⎰⎰⎰πππππdx x x dx x x dx x x★★★3．直线x y =将椭圆y y x 6322=+分成两块，设小块面积为A ，大块面积为B ，求B A /的值。

思路：由于x y =和y y x 6322=+的交点为)0,0(及)2/3 , 2/3(，12/3>，因此面积较小的一部分用y 型做较简单，见图6-3解：较小部分区域表达为：A D ：⎩⎨⎧-≤≤≤≤2362/30y y x y y则sin 13/2/62093)84x ty t A y dytdt ππ=+-==-=-⎰⎰，3344B =+=+，∴/A B =★★★4．求椭圆13122=+y x 和13122=+y x 公共部分的面积。

思路：由图形的对称性可得所求面积是0=x 和x y =及22113y x +=所围在第一象限内区域1D 面积的8倍，见图6-4解： 1D：02y y x ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩∴1260088)cos 3y t D SS y dy tdt π==-=★★★5．求由曲线t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形面积。

第六章运动学基础2

a2
at 2
an2
(v2
c2 )a2 v2
(v2 )2
(1
v2 c2 v2
)a2
v4
2
c2 v2
a2
v4
2
a v3 (负号不合理舍去）
c
v2 c2 a v
§ 6-3 刚体的平动
一、定义 Translational motion of a rigid body
z 刚体在运动过程中，其上任
点的切向加速度和法向加速度的大小分别为：
a v 0 ,
an
v2
80
因为： a a2 an2 32 an
所以：
v2 80
an 32
即： ρ = 2.5 （m)
例6-7 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动的滚动（称为纯滚
动），设轮子转角=t，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表
示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速
5. 点的加速度
v vτ
a dv dv τ v dτ dv τ v dτ ds dv τ v2 dτ
dt dt dt dt ds dt dt
ds
dv τ v2 n
dt
①②
dτ 1 n
ds
at an
①切向加速度at---反映速度的大小随时间的变化率，方向沿切线方向。
v2
at dt , an
v
a
aE
v D
a
F a v
aG v =0
提示：图示各点的速度均为可能，在速度可能的情况下，点 C,E, F,G 的加速度为不可能，点 A,B,D 的加速度为可能
例6-5 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。

第03章06节平面曲线的曲率

第6节曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。

()s x 是单调增加的函数。

下面求弧长微分ds 。

()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。

图6.1y +离散数学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。

设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。

经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。

容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。

用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。

弧度制及其发展史

一、弧度制人生就像一脚漂亮的远射，弧度越大，人生就越精彩。

一提到弧度，大家一定会联想到射门弧度，弯曲弧度等。

但在数学中，弧度是一种度量单位，弧度的引入，给三角界带来了巨大的变革，把原本难以画出的三角函数图象变成完美的波浪曲线。

也是弧度的建立，给在各个领域，特别是战争领域中的测距问题带来非常大的方便。

让我们一起来领略一下弧度的威力吧！一直以来，六十进制作为一种计数法，早已被十进制淘汰，但作为角度和时间的度量却一直流传下来，这种制度是如此受欢迎，即使是在“公制化的创始地”法国也无法被替代。

这倒是很有趣的现象。

到了近代，出现了另一种度量制度——弧度制，1弧度就是圆上的弧长等于半径时所对的圆心角。

我们经常听说采用弧度制的原因是能够用较小的数字表示角。

实际上并非如此，采用弧度制的唯一原因是他能够简化许多公式，比如弧长公式将变成l=αr，扇形面积公式也将变得非常简单，弧度的应用去除了这些公式中“多余”的因子π/180.另一个事实是，弧度的采用将使得这个事实成立：一个很小的角和他的正弦值在数值上是近似相等的，也就是sinx/x在x趋于零时其极限值趋近于1，这种近似若采用弧度制将使得在x不是很小的时候就变得非常接近。

因此使得弧度制在微积分学中变得非常重要。

►数学史话弧度制的历史简介一、弧度制的发明——托勒密克劳迪亚斯托勒密大约于公元90年出生在希腊。

托勒密同斯特雷波一道为地理学和绘制学的研究奠定了基础。

托勒密在天文学、光学和音乐方面也颇有造诣。

真正创立了天文学，并且计算出诸多天体运行轨迹的是两千年前古罗马时代的托勒密。

虽然今天我们可能会嘲笑托勒密犯的简单的错误，但是真正了解托勒密贡献的人都会对他肃然起敬。

托勒密发明了球坐标，定义了包括赤道和零度经线在内的经纬线，他提出了黄道，还发明了弧度制。

当然，他最大也是最有争议的发明是地心说。

虽然我们知道地球是围绕太阳运动的，但是在当时，从人们的观测出发，很容易得到地球是宇宙中心的结论。

沪教版六年级数学上册第4章圆的周长和弧长(带答案)

1、复习圆的周长、及圆的弧长公式。

2、在基础训练部分，着重复习公式及计算的方法技巧；在巩固训练部分，加强对图形的分析，由易到难，解决平时学生易犯错误的题目，加深理解。

3、在教学中让学生感受到几何图形的美。

圆的周长与弧长一、上节回顾（课前回顾）圆的认识：O.r圆心：我们把圆中心的这一点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.半径：我们把连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,半径一般用字母r 表示.（在同一个圆里有无数条半径,所有半径的长度都相等.）直径：我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母d来表示。

结论：在同一圆内（或等圆）有无数条半径,无数条直径,所有的直径都相等,所有的半径都相等,直径是半径2倍,也就是“d = 2r”。

二、本节内容知识点一：圆的周长用字母C表示圆的周长，d表示直径，那么C= πd 或C= 2πr .（直径大小一般用字母∅表示）。

基础练习：（1）圆的周长总是它的直径的倍多一些。

这个倍数是个固定的数，把它叫做，用字母表示。

（2）一个圆的半径是2.5厘米，它的直径是厘米，圆的周长是厘米。

（3）一个圆的周长是50.24分米，它的直径是分米，半径是分米。

（4）一个圆的半径是2厘米，半径扩大3倍，直径扩大倍，圆的周长就扩大倍。

（5）两圆的半径之比为3∶2，则它们的周长之比为；（6）周长为6π的圆的半径为。

经典例题：例1、（1）一个时钟的时针长10cm，时针尖12小时走了cm。

62.8（2）一个半圆形的窗户，它的直径是1米，这个半圆形的一周用米材料。

2.57（3）如果圆的直径扩大原来的5倍，那么圆的周长扩大为原来的倍；5如果圆的半径增加3cm，那么圆的周长增加cm。

18.84一个直径为2cm的圆的周长，正好等于另一个圆周长的1，则另一个圆的半径是cm。

44例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系式是（）AA．a=b B．a<b C．a>b D．不能确定例3、一辆自行车车轮的外直径是75cm，如果车轮以每分钟100圈的速度行驶，那么通过1413m的公路需要多少分钟？6分钟例4、两个皮带轮用皮带相连，大轮的直径是1.5m，小轮的直径是0.5m，大轮转一圈，小轮转几圈？3例5、在一个边长为4厘米的正方形内画一个最大的圆，并在其余部分涂上阴影，求阴影部分的周长。

微积分第七章习题答案

7.2 平面图形的面积习题7.21. 求由下列各组曲线所围成的图形的面积：（1）212y x =与228x y +=（两部分都要计算）；解：根据2221,28y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得交点为()()2,2,2,2-，所以2212121442,86.233S x dx S S πππ-⎫==+=-=-⎪⎭⎰（2）1y x =与直线y x =及 2.x = 解：2113ln 2.2S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰（3）,xxy e y e -==与直线1x =。

解：()101 2.x xS e e dx e e-=-=+-⎰ （4）ln y x =，y 轴与直线()ln ,ln 0y a y b b a ==>> 解：ln ln .by aS e dy b a ==-⎰（5）21y x =-，23y x =；解：根据21,23y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为1212,,3939⎛⎛----+-+ ⎝⎭⎝⎭，所以2213S x x dx ⎫=--= ⎪⎝⎭ （6）112,,124y x y x y x ===+；解：根据2,114y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为48,77⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1,2114y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点为()4,2，所以4474071111221.2427S x x dx x x dx ⎛⎫⎛⎫=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰（7）()22,2,0y x y x y ==-=；解：根据()22,2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点为()1,1，所以()12220122.3S x dx x dx =+-=⎰⎰ （8）2,,2y x y x y x ===；解：根据2,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点为()()0,0,1,1，根据2,2y x y x⎧=⎨=⎩得交点为()()0,0,2,4所以()()12201722.6S x x dx x x dx =-+-=⎰⎰（9）()2,sin 0y x y x x x π==+≤≤；解：()20sin .2S x x x dx ππ=+-=⎰2.求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积。

【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型(解析版)

【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型（解析版）一、知识点1、圆周长：C＝πd＝2πr扩倍问题（1）：若圆的半径扩大到n倍，则直径扩大到n倍，周长扩大到n倍，面积扩大到n²倍扩倍问题（2）：若两个圆的半径比为n：m，则它们的直径比为n：m，周长比为n：m，面积比则为n²：m²构造圆在长方形中画一个最大的圆在长方形中画最大的半圆技巧：长的一半与宽比较，谁小谁是半径。

2、半圆周长：C＝πr＋d面积：πr²÷23、圆环＝大圆面积－小圆面积＝πR²－πr²圆环面积：S环4、扇形弧长：r nl π2360⨯=面积：2360r nS π=5、组合图形方中圆：正方形与圆面积之比为4：π圆中方：圆与正方形面积之比为π：2方中圆中方：大正方形面积是小正方形面积的2倍圆中方中圆：大圆面积是小圆面积的2倍割补法：重叠问题：整体减空白一、填空题。

（每道小题5分，共 40分）1. （1）一个圆的半经扩大到3倍，直径扩大到倍；周长扩大到倍；面积扩大到倍。

【解答】3，3，9。

（2）大圆和小圆的半径比是3：2，它们的直径比是，他们的周长比是，它们的面积比是。

【解答】3：2，3：2，9：4。

2. 在一个长10厘米、宽4厘米的长方形内画圆，圆的直径最大是厘米，能画个这样的圆且互不重叠。

【解答】如下图，4：2。

3. 如图，以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是3厘米，图中阴影部分的周长是厘米。

【解答】如下图，半径为3÷2＝1.5（厘米），连接BP 与CP ，因为BC 、CP 、PB 均为半径，所以△BCP 是等边三角形，那么∠PBC ＝∠PCB ＝60（度），弧长PB ＝60＝弧长PC ＝36060×3.14×3＝1.57（厘米），阴影部分的周长为1.57＋1.57＋1.5＝4.64（厘米）。

高等数学练习题解析第6章定积分及其应用

第6章定积分及其应用§6—1，2,3 定积分的概念、可积条件及定积分的性质A 类1．用被积函数f(x)=x 在[a,b]上连续，为便于计算，不妨把[a,b]分成n 等份，分点为,1,,2,1),(-=-+=n i a b n i a x i 每个区间长度为,,i i i x n ab x =-=∆ξ取1,2,,i n =，有和式 11()[()]nn i i i i b a if x a b a n n ξ==-∆=+-∑∑ )2)1((+-+-=n n n a b na n a b =)12)((nn a b a a b +-+- 当n 趋于无穷时，则上面和式极限为)(21)2)((22a b a b a a b -=-+-∑⎰=∞→-=∆=∴n i i i n b a a b x f xdx 122)(21)(lim ξ 2．利用定积分的几何意义，说明下列等式： a)⎰12xdx 表示直线y=2x 与x=1及x 轴所围面积，由三角形面积易知.1212121=⋅⋅=⎰xdx b)⎰-22cos ππxdx 表曲线y=cosx 从22ππ到-与x 轴所围面积，从图形知所围部分均在x 轴上半部分，且由对称性知它是从20π到所围面积的两倍，即⎰⎰=-222cos 2cos πππxdx xdx3．证明：∑⎰=→∆⋅=ni i i bax kf dx x kf 1)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b ani i i dx x kf x kf k )()(lim 1ξλ4．不妨设[,],()(),[,]\{}()()x a b f x g x x a b x f x g x ''''∈≠∈=且当时，则对任意分割.110b x x x x a n n =<<<<=- 总存在小区间不妨设为i i i i n n n n x x x ∆∈∆∆-'],[1使得对该分割有∑∑∑∑====∆+∆-∆=∆nk k k n k k k n k k k NK k kx x x x 1111''ωωωω（这里设)]),([inf )]([sup ')],([inf )]([sup ],[],[],[],[1111x f x f x g x g k k k k k k k k x x x x x x k x x x x x x k ----∈∈∈∈-=-=ωω∑∑≠=∆+∆-+∆-=ii i i n k nk k k n n n k k kx x x 1')'()'(ωωωωω∑=∆+∆-=nk k k n n n x x i i i 1')'(ωωω （1）时，当分割不妨设上可积，所以在δλεδδε<<∃>∀∴)()(,,0],[)(T b a x f 有εω<∆∑=nk k kx 1'（2）(')(')i i i i i i n n n n n n x x ωωωω-∆≤+∆[,][,][,][,](sup ()inf ()sup ()inf ())().x a b x a b x a b x a b f x g x f x f x T M λε∈∈∈∈≤-+-⋅< （3）其中[,][,][,][,]sup ()inf ()sup ()inf ()x a b x a b x a b x a b M g x g x f x f x ∈∈∈∈∆-+-由（1）（2）（3）得：∑∑==+=+<∆+∆-≤∆nk k k n n n nk k kM M x x x i i i 11)1(''εεεωωωω所以g(x)在[a,b]上可积，而()01()lim()nbkk zT k g x dx g x λξ→==∆∑⎰()0111lim [()()()]n nnk k k k k k T k k k g x f x f x λξξξ→====∆-∆+∆∑∑∑])()()([lim 1)(∑=→∆+∆-∆=nk k k n n n n T x f x f x g i i i i ξξξλ=⎰∑=∆=→bank k kT dx x f x f )()(lim1)(ξλ5．试将下列极限用定积分表示：（1）⎰∑===∞→1011lim xdx nin n i n 原式（2）∑⎰=∞→+=+=ni n dx x nin 1102211)(111lim 原式（3）⎰∑∑====∞→-∞→10111)cos(cos 1lim cos 1lim dx x n in n i n n i n n i n πππ原式6．根据定积分的性质，说明下列定积分哪一个的值较大：32)[12]a x x ≥在，上，且3222》，有222311x dx x dx <⎰⎰。

大一高数课件第六章 6-4-1

2
a
3
0
3 sin d a . 3 2

2
五、小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念直角坐标系下
求弧长的公式参数方程情形下极坐标系下
思考题
闭区间[a , b] 上的连续曲线 y f ( x ) 是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
的面积；
2 2 2
s a 0
1 2 d 1 2 ln 1 2 a 1 2 2
2
2 0
例6
解
r 3a sin cos a sin cos , 3 3 3 3 3
s r 2 ( ) r 2 ( )d
一、填空题： 1、曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为 ____________； 2、渐伸线 x a (cos t t sin t ) ， y a (sin t t cos t ) 上相应于 t 从 0 变到的一段弧长为______； r 1 自 3 至 4 一段弧长为 3、曲线 4 3 ____________ .
设曲线弧为 y f ( x )
( a x b) ，
o a
b
x
其中 f (x )在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为 x ，在[a , b]上任取小区间[ x, x dx]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长，小切线段的长
y
dy
(dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
弧长 s
r 2 ( ) r 2 ( )d .

高等数学考研知识点总结6

第六讲一元函数微积分的应用一、考试要求1、理解（了解）函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

2、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

3、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（*）4、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心等）及函数的平均值。

（数三、四只要求面积、旋转体的体积及简单的经济应用）二、导数的应用主要涉及如下几个方面 1、求曲线的切线及法线方程 2、判断函数的单调性、凹凸性 3、研究函数的极值和最值 4、证明恒等式（不等式） 5、求渐进线方程 6、函数作图7、方程根的确定 1、求曲线的切线与法线方程1、切线方程 ))((000x x x f y y -'=-2、法线方程 )()(1000x x x f y y -'-=-注：若0)(0='x f ，切线方程为)(0x f y =，法线方程为0x x = 若∞=')(0x f ，切线方程为0x x =，法线方程为)(0x f y =例1、设)(x f 是可导的偶函数，它在0=x 的某邻域内满足)(2)sin 1(3)(2222x o x x f ef x+=+-，求曲线)(x f y =在点))1(,1(--f 处的切线方程及法线方程。

例2、（021）已知曲线)(x f y =与⎰-=xtdt ey arctan 02在)0,0(处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞2、函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点函数的单调性与极值定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，① 如果在(a,b)内0)(>'x f ，则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加； ② 如果在(a,b)内0)(<'x f ，则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.定理：1)(取极值的必要条件)设)(x f 在0x 达到极大或极小值，并且在0x 的某个邻域内可微，则.0)('0=x f2）两个充分条件：（1）如果存在0>δ使得(i) )(x f 在),(00δδ+-x x 中有定义；（ii ）∈∀≤x x f ,0)('),(00x x δ-;（iii ）∈∀≥x x f ,0)('),(00x x +δ; 则函数)(x f 在0x 的达到极小值。

高等数学第六章第二节

ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b)
y c
c
求这一段弧长 .
36π 2 π
12(1x2
x21)2
dห้องสมุดไป่ตู้
x
448 2π
π2
(
x2
1) 2
d
x
0
15 1
三、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
内容小结
1. 平面图形的面积直角坐标方程
上下限按顺时针方向确定
边界方程参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s
(d x)2 (d y)2
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
直角坐标方程
1
3
3 y
s
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3
dy
1
O 1
x2y3 0 x
x y2
2. 试用定积分求圆
绕x轴
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .

大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结

第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

高等数学第六章定积分的应用习题课

A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
则所求的几何面积为 A 2 A1 18 a2
【例5】设由曲线
y

sin x (0
x

)，y
2
1
及x

0围成
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
则绕直线 y

1 2
旋转而成
的旋转体的体积微元dV
就是矩形S1
分别绕直线 y

1 2
旋转而成的旋转体的体积。
解: (1) 确定积分变量和积分区间：
绕直线 y 1 旋转如图，
y
2
1
取 x为积分变量,则 x [0, ].
2
(2) 求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
0
1 dy]
1 y2
[(arcsin1)2 2
1
(arcsin y)d(
1 y2 )]
0
3 [2
4
1 y2 arcsin y 2 y]10
3 2
4
通过例5，同样可求出绕平行于x 轴和平行于 y 轴的直线
旋转而成的旋转体的体积，见例6。
【例6】设由曲线 y sin x (0 x ), x 及 y 0围成
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x2 ,高为 2 4 x2 3 .
2
所以截面积为
A( x) 1 2 4 x2 2 4 x2 3

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三、参数方程情形
曲线弧为
x
y
(t)
,
(t)
(t)
其中 ( t )( , t ) 在 [,] 上具有连续导数 .
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])2 (t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
222
例 3 求星形线 x3y3a3(a0)的全长 .
0
2 0
1a2co 2xsdx s1,
故原结论成立.
四、极坐标情形
曲线弧为 rr() ()
其中 () 在 [,] 上具有连续导数 .
xyrr(())scions ()
d s(d)2 x(d)2 yr2()r2()d,
弧长
s
r2()r2()d .
例 5求极坐标系下曲线 ra si 3n 3的长 .
证设正弦线的弧长等于 s 1
2
s10
1y2dx2 0
1a2co2xsdx
2
1a2co 2xd s,x
0
设椭圆的周长为 s 2
2
s20
x2y2d,t
根据椭圆的对称性知
s 2 2 0 st i2 n 1 a 2 ct o 2 ds t
2
1a2co 2td s t
解
x acos3 t
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0t2 )
根据对称性 s4s1 第一象限部分的弧长
42 x2y2dt423asin tcotdst
0
0
6a.
例 4证明正弦线 yasix n(0x2)的弧长 xcot s
等于椭圆 y1a2sitn(0t2)的周长 .
x2 2y2 2的周长.
六、在摆线xa( t sint ),ya(1cost )上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标.
谢谢！
解 ra ,
s
r2 () r2 ()d
2
2
0
a22a2da 0
21d
ห้องสมุดไป่ตู้
a 2 1 4 2 l2 n ( 1 4 2 ). 2
五、小结
平面曲线弧长的概念弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式参数方程情形下极坐标系下
思考题
闭区间 [a,b]上的连续曲线 yf(x)
3、曲线 r 1 自 3 至 4 一段弧长为
4
3
____________ .
二、计算半立方抛物线y2 2(x1)3被抛物线y2 x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线xaco3st，yasin 3t的全长.
四、求心形线r a(1cos )的全长.
五、证明：曲线ysinx(0x2)的弧长等于椭圆
(a0 ) (03)
解 r3asi3 n2co3s1 3asin32co3s,
s
r2 () r2 ()d
3 0
a2 si3n 6a2 si3n 4 co 3 2 sd
a
3
0
sin
3
2
d
3 a. 2
例 6求阿基米德螺线 ra (a0 )上相应于从 0到 2 的弧长 .
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
练习题
一、填空题：
1、曲线y ln x上相应于 3 x 8的一段弧长为
____________；
2、渐伸线 x a(cost t sint) ， y a(sint t cost)
上相应于 t 从 0 变到的一段弧长为______；