1.4 命题的形式及等价关系(答案)

1.4 命题的形式及等价关系

【基础训练】

1. 下列语句是命题的个数为（D）

（1）请起立！（2）a2+1>0 （3）明天天晴。（4）91是质数。

（5）中国是世界上人口最多的国家。（6）这道数学题有趣吗？

-=-则x -y =a -b 。（8）任何无限小数都是无理数。

（7）若x y a b

A、3个

B、4个

C、5个

D、6个

2.原命题：“菱形的对角线必互相垂直”，则该命题的（B）

A、逆命题与否命题正确

B、逆否命题正确

C、逆命题与逆否命题正确

D、逆命题正确

3. 命题“对任意的x ∈R，x3 +x2 +1 ≤ 0”的否定是(C)

A.不存在x ∈R，x2 +x+1≤ 0B存在x ∈R，x2 +x+1≤ 0

C.存在x ∈R，x2 +x+1> 0 D 对任意的x∈R，x2 +x+1>0

4. 设原命题是“若ab ≤0,则a ≤ 0或b ≤ 0", 写出它的逆命题、否命题与逆否命题；并分别判断他们的

真假.

答案：逆命题：若a ≤ 0或b ≤ 0, 则ab ≤ 0 逆命题是假

否命题：若ab > 0 则a > 0且b >0",否命题是假

逆否命题：若a >0,b> 0", 则ab > 0, 逆否命题是真

5. 写出命题：“若两个实数的积是有理数，则这两个数都是有理数”的逆命题、否命

逆否命题，并判断其真假.

答案：逆命题：若两个数都是有理数，则两个实数的积是有理数(真)否命题：

若两个实数的积是无理数，则这两个数不都是有理数(真)逆否命题：

若两个数不都是有理数，则这两个实数的积是无理数(假)

2

=

6. 设原命题是“当c>0 时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们

的真假．

答案：逆命题：当c>0 时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；

否命题：当c>0 时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：

当c>0 时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．

【拓展提高】

7. 设非空集合S ={x m ≤x ≤n}满足：当x∈S 时，有x2 ∈S ，给出如下三个命题：①若m =1, 则S ={1}；

②若m =-1

2

, 则

1

4

≤n ≤1；③若n =

1

2

, 则

≤m ≤0 ．其中正确的命题的个数为（D）

A. 0个

B.1个

C.2个

D.3个

8. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,b∈P ，都有a +b 、a -b、ab 、a

b

∈P（除数b ≠ 0 ）

则称P 是一个数域，例如有理数集Q 就是数域，有下列命题：

①数域必含有0,1这两个数；②整数集是数域；

③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集；

则其中正确命题的序号是①④.（把你认为正确的命题的序号都填上）

9. 判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明。

证明：设任意的两个奇数为2m +1、2n +1，m∈Z,n∈Z

则(2m +1)2 - (2n +1)2 = 4(m -n)(m +n +1)

若m 与n 同为奇数或偶数，则(m-n)为偶数

所以(2m +1)2 - (2n +1)2 = 4(m -n)(m +n +1) 是8

的倍数若m 与n 为一奇数一偶数，则（m+n+1）为

偶数

所以(2m +1)2 - (2n +1)2 = 4(m -n)(m +n +1) 是8 的倍数

综上可知：(2m +1)2 - (2n +1)2 = 4(m -n)(m +n +1) 是8 的倍数，所以命题为真命题

10. 已知命题p ：方程x2 +mx +1= 0 有两个不相等的实负根，命题q ：方程4x2 + 4(m - 2)x+1= 0 无实

根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．

解析：由命题p 可以得到：∆=m2 -4>0且-m <0∴m > 2

由命题q 可以得到：∆=[4(m- 2)]2 -16 < 0∴1

∵p 或q 为真，p 且q 为假∴p,q 有且仅有一个为真

当p 为真，q 为假时，

2

1

m

m

⎧

⎨

≤

⎩

f

或

2

3

m

m

⎧

⎨

≥

⎩

f

∴m ≥3

当p 为假，q 为真时，

2

13

m

m

≤

⎧

⎨

⎩p p

，∴1

所以，m 的取值范围为m ≥3或1