理论力学(周衍柏)绪论及第一章
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
第一章 质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。
已知升降机的初速度为零。
解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。
求此直线与椭圆的焦点M 的速度。
已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。
解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。
理论力学教程(第三版)第一章 周衍柏编
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。
S 1.10 一质点沿着抛物线 y2 = 2 px 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 − 2k 倍。 C 如此质点从正焦弦 ⎜⎛ p , p ⎟⎞ 的一端以速度 u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为 r 。
1.28 重为W 的不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直
的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它
对椭圆的压力。
1.29 一质量为 m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 2mg cosθ ，式中θ 为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
C
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到 O 点所需的时间。
1.41 试导出下面有心力量值的公式：
I F = mh2 dp−2 2 dr
S 式中 m 为质点的质点，r 为质点到力心的距离，h = r2θ = 常数， p 为力心到轨道切线的垂
Y 直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
S 止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ 及任何时刻两段绳中的张力T 及
T′。
a
C
IT
T
•
•
T′
2m
Sm • T′
Y 1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体。当滑轮以
匀速转动时，物体以匀速 v0 下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？
1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是 ，式中 、 、 是沿 、 、 轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。
式中 为速度矢量与 轴间的夹角，且当 时， 。
1.13假定一飞机从 处向东飞到 处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为 ，而空气相对于地面的速度为 。 与 之间的距离为 。飞机相对于空气的速度 保持不变。
假定 ，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为
假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为
1.2答：质点运动时，径向速度 和横向速度 的大小、方向都改变，而 中的 只反映了 本身大小的改变， 中的 只是 本身大小的改变。事实上，横向速度 方向的改变会引起径向速度 大小大改变， 就是反映这种改变的加速度分量；经向速度 的方向改变也引起 的大小改变，另一个 即为反映这种改变的加速度分量，故 ， 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况
由
得
即速度 的大小就决定了轨道的形状，图中 对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故 有一极小值 ，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射 其为地球半径。 为地面上发射时所需的初动能，图示 分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。 .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。
1.10一质点沿着抛物线 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 倍。如此质点从正焦弦 的一端以速度 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
理论力学教程周衍柏
理论力学教程周衍柏《理论力学教程》是由周衍柏编写的一本力学学科的教材。
该教程主要涵盖了力学的基本概念、原理和计算方法，适用于大学力学课程的教学和学习。
第一章介绍了力学的基本概念和研究对象。
力学研究物体在力的作用下的运动规律，分为静力学和动力学两部分。
静力学研究物体平衡的条件和平衡状态，动力学研究物体在力的作用下的运动规律和能量变化。
第二章详细介绍了质点的运动规律。
讨论了质点的位移、速度和加速度的定义和计算方法，以及质点在直线上的运动和曲线上的运动。
介绍了质点的直线运动中的均匀运动和变速运动，以及曲线运动中的圆周运动。
第三章讨论了刚体的运动规律。
刚体是指无论在受力作用下还是不受力作用下，各部分之间的相对位置和相互间的距离保持不变的物体。
详细介绍了刚体的平动和转动，以及刚体的匀速旋转和变速旋转。
第四章介绍了力的作用、合力和力矩的概念。
力是产生物体运动或形变的原因，合力是多个力合成后的结果，力矩是力对物体产生转动的效果。
讨论了力的叠加原理和解析法，以及力的平衡条件和平衡的判定方法。
第五章讨论了静力学力学系的平衡条件和平衡的判定方法。
静力学力学系指在静止时，物体所受到的各个力及其力矩之间的平衡关系。
介绍了力的杠杆原理和力的分解原理，以及力矩的计算方法和力的平衡条件。
第六章介绍了动力学力学系的平衡条件和平衡的判定方法。
动力学力学系指在运动时，物体所受到的各个力及其力矩之间的平衡关系。
讨论了动力学力学系中的杠杆原理和力的合成原理，以及动力学平衡条件的计算方法。
第七章讨论了万有引力和弹性力的性质和计算方法。
介绍了万有引力的概念和计算公式，以及弹性力的概念和弹性势能的计算方法。
讨论了物体在重力和弹性力作用下的平衡位置和平衡条件，以及重心和回复力的概念。
第八章介绍了刚体的平衡条件和平衡的判定方法。
讨论了刚体在力和力矩作用下的平衡关系，以及刚体平衡条件和刚体静力学平衡的判定方法。
详细介绍了刚体平衡的三个条件和平衡关系的计算方法。
理论力学第一章
一、力学的分类
宏观系统(h不起作用) 高速运动
低速运动 (v远远小于c)--经典力学 （以对象分）
低速运动——量子力学 微观系统(h起作用)
(v接近c)--相对论力学
（以观点分）
运动学
动力学 静力学
质点力学 质点组力学 刚体力学 连续介质力学
M点速度的方向： cos
x
M
, cos
y
M
bc
2 2
1
3
(a b) sin
bc
2 2
( a b)
csc
3
b c
4
2
1 x
3
a b 2
aM
a
x y
2 2
b c
4
2 2
1 x
3
a b
• 要求记笔记
评分比例：20~30+80~70%
第一章 牛顿力学的基本原理
§1.1 质点运动的描述方法
一、参照系与坐标系 1.参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只 能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为 参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
应用
四、理论力学的发展史
早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静 力学基础。 意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。 波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。 德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度 的概念。 英国伟大科学家牛顿(1643~1727)在1687年版的《自然哲学的数学原 理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体 力学等。是力学奠基人。 瑞士的伯努利(1667~1748)提出虚位移原理。 瑞士的欧拉(1707~1783)出版著作《力学》用微分方程研究。
理论力学(周衍柏)第一章质点力学
（1）矢量形式的运动学方程
rr(t)
理论力学：Theoretical mechanics 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
② 观察者是站在参照系的观察点上； ③ 不特别说明都以地球为参照系。
2. 坐标系
理论力学：Theoretical mechanics 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
ji
解： 确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船
理论力学：Theoretical mechanics
:0 牵连速度， ： 绝对速度， :相 对 速度
ji
由：
0
0
c2i
r d
dt
j
c1 cosi c1 sin
j
i
选取极坐标, 得
理论力学：Theoretical mechanics
0:人行走速度， ： 风速(相对于地)， :风 相对于人的速
度 由：
得： 理论力学：Theoretical mechanics
得： 解得：
y
2
2
理论力学：Theoretical mechanics
因此：x 4,y 4
风速： x2y2 4 2km/h
理论力学第一章质点力学(3)
这时 闭合路径积分等于零
F dr F dl 0
（保守力定义之三）
L
※ 假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运
动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。
□保守力的判据：
由场论知 F dl F ds 0
L
S
L 为任意
F 0
Fz Fy 0, y z
即：
cosq sinq 7q 6 7dq
98p 2 70p
例2 （P38）在上题中，如
Fx 2x 3y 4z 5, Fy z x 8, Fz x y z 12
则结果如何？
解：略
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
16
§1、8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
通过求解
阻力，则叫单摆。如单摆从幅角 q0（ q0不一定很小）
的地方自由落下，试用两种不同方法（机械能守恒与 运动定律 ）求摆锤通过最低点时的速度。
解： （1）机械能守恒
1 2
mv2
mgl
0
mgl
cosq0
于是得到 v 2gl 1 cosq0
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
27
（2）运动定律求解
Fx x 2y z 5, Fy 2x y z, Fz x y z 6
求此质点沿螺旋线 x cosq, y sinq, z 7q 运行自q=0至 q=2p时，力对质点所作的功。
解： 先检验一下，作用力是不是保守力？
Fz Fy 11 0, y z
Fx Fz 11 0, z x
微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse）
积分形式 力对时间的积累
dP Fdt
理论力学第一章绪论
柔性体（受拉力平衡） 反之不一定成立．
刚化为刚体（仍平衡）
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
23
§1-3 约束和约束反力
自由体：凡能在空间自由运动的物体. 非自由体：物体在运动时受到一定限制，使其在某些方向的运
动成为不可能，这种物体就叫非自由体。
约束：对非自由体的位移起限制作用的物体或限制条件. 主动力：主动使物体具有运动趋势的力称为主动力，如重力． 约束反力：约束对非自由体的作用力，由主动力引起．
10
3 理论力学成绩确定
作业 20% 卷面考试 80% 卷面成绩要达到50分
11
学习参考书
教材：建筑力学第一分册理论力学（第4版） ．重庆大 学 邹昭文 程光均 张祥东编．高教出版社 理论力学 Ⅰ（第七版）．哈尔滨工业大学理论力学教研 组编．高教出版社 理论力学解题指导和习题集（第3版）．王铎 程靳主 编．高教出版社
33
五、 固定铰链支座
支座： 将结构物或构件连接在墙、柱、机器的机身等支承 物上的装置。 固定铰支座：用光滑圆柱铰链把结构或构件与支承底板连 接，并将底板固定在支承物上而构成的支座。
34
五、 固定铰链支座
约束特点： 由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成． 约束力：与圆柱铰链相同，通过铰心,方向不定，故常用通 过铰心且相互垂直的两个分力表示。
适当考勤，作为平时成绩计入总成绩
1
绪论
*理论力学的研究对象和内容 *学习目的和学习方法 *教学参考书
2
理论力学的研究对象和内容
理论力学 是研究物体机械运动一般规律的一门学科 机械运动： 物体在空间的位置随时间的变化。
说明：机械运动是物质在各种运动形式中最简单的一种运动。
理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案
阿第一章思考题解答1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t t t ∆+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ∆对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。
在0→∆t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。
1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r V 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。
事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度r V 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度rV 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θr 即为反映这种改变的加速度分量，故2θ r r a r -=，.2θθθr r a +=。
这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。
质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。
因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。
有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。
有人也许还会问：某时刻若b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。
这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
1.2某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？
1.3曲柄 以匀角速 绕定点O转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线 运动。求连杆上 点的轨道方程及速度。设 ， 。
1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。
1.4 在怎样的运动中只有 而无 ？在怎样的运动中又只有 而无 ？在怎样的运动中既有 而无 ？
1.5 与 有无不同？ 与 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论.
1.6人以速度 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？Байду номын сангаас
1.7雨点以匀速度 落下，在一有加速度 的火车中看，它走什么路经？
1.4答：质点在直线运动中只有 ，质点的匀速曲线运动中只有 ；质点作变速运动时即有 。
1.5答： 即反应位矢 大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而 只表示 大小的改变。如在极坐标系中， 而 。在直线运动中，规定了直线的正方向后， 。且 的正负可表示 的指向，二者都可表示质点的运动速度；在曲线运动中 ，且 也表示不了 的指向，二者完全不同。
1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章4-8质点力学
dv m dt F R v2 Fn Rn m 0 Fb Rb (1) ( 2) (3)
R RN Rn Rb
2
2
R R Rn Rb
2
2
2
4个方程4个未知数,可解
例题1 力仅是时间的函数
自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：
（3）初始条件
t 0， r r0， v v0
（4）求解运动微分方程
r r (t )
x x( t ) y y( t ) z z(t )
2. 非自由质点
• 解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替
d r d r • 运动微分方程 m F (r , , t ) R 2 dt dt
dt dt ds v sec f ( ) sec t t ( ) d ds d v g g
消去参量 可得运动方程
本问题还可在直角坐标系中处理，见 P25
例题3
力是坐标的函数
m r F ( x , y , z )
F ( x , y , z ) k x x i k y yj k z z k
2 力学相对性原理和伽利略变换
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权 的、等价的。 在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能 判断该惯性系相对于其它惯性系的运动。
觉不 而 行 舟
《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》伽利略 1632
(ii) 牛顿的绝对时空观
• • • • • 自由质点 非自由质点 受力分析 写出运动微分方程矢量式 建立适当的坐标系分解标量方程 解微分方程
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)介绍《理论力学教程 (周衍柏)(第四版)》是一本经典的力学教材，由著名力学学者周衍柏编写。
本教程系统讲解了理论力学的基本概念、原理和方法，是理论力学领域的入门教材。
本文档将对该教程的主要内容进行介绍，并以Markdown文本格式输出。
第一章：基本概念1.1 力学的研究对象力学是研究物体运动规律的科学，它将物体分为质点和刚体两个研究对象。
质点被简化为没有具体形状和大小的点，刚体则具有固有形状和大小。
1.2 运动的描述运动可以通过位置、速度和加速度等量来描述。
位置是描述物体在空间中的位置关系，速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率。
1.3 牛顿力学的三大定律牛顿力学的三大基本定律为惯性定律、动量定律和作用反作用定律。
惯性定律描述了物体在无外力作用下保持匀速直线运动的性质，动量定律描述了物体受力作用下速度发生变化的规律，作用反作用定律描述了力的相互作用导致的物体运动规律。
第二章：质点运动学2.1 一维直线运动一维直线运动是质点只沿一条直线方向运动的情况。
可以通过物体的位移、速度和加速度来描述其一维直线运动规律。
2.2 二维平面运动二维平面运动是质点在平面内任意方向上运动的情况。
可以通过物体的平面位置、速度和加速度来描述其二维平面运动规律。
2.3 相对运动相对运动是指两个运动物体相对于彼此的运动情况。
可以通过相对速度来描述两个物体之间的相对运动规律。
第三章：质点动力学3.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了质点受力作用下速度的变化规律，即力等于质量乘以加速度。
3.2 动量定理动量定理描述了质点受力作用下动量的变化规律，即力是动量随时间的变化率。
3.3 机械能守恒定律机械能守恒定律适用于只受重力和弹性力作用的质点，描述了质点机械能（动能和势能之和）在运动过程中的守恒性质。
第四章：刚体静力学4.1 刚体的概念刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体。
刚体静力学研究的是刚体受力平衡时的性质和规律。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章9质点力学
dr dr d d 1 / u d 1 du du r 2 h dt d dt d dt u d d 2 d dr du d du d u 2 2 r h h h u dt dt d d d d 2
1 2
k' r E mr r
2 2 2
因为能量总是大于零, 所以轨道是双曲线的一支 右图为粒子散射图. O为 原子核(力心), 质点轨道 的对称轴是通过力心及 其最近距离点c的直线oc, 因此轨道的两条渐近线 和oc相交的角度是一样的. 可看出质点通过力心附 近的偏转角
2 m v k' cot , or cot 2 2 k' mv 2
与实验结果比较 定义：n —入射粒子束单位时间内通过垂直于粒子束的 单位截面积的粒子数。 dN —单位时间内在～＋d内散射的粒子数 散射截面 d dN
n
d d
dN n 2 d d 2 d
此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要
பைடு நூலகம்
抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足
p (u ) h 3 u
2
那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。 稳定与不稳定：当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道 后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来
轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度
第二宇宙速度
3. 当 e 1
E0
双曲线 脱离太阳
仿照地球： v
2GM s 42.2 103 m / s Rs
地球相对太阳的速度： ve 30 10 3 m / s
3 v v v 12 10 m/s 行星脱离太阳的速度： e
理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案
er e F r F r 0
e F r F r e e 0 0
由于坐标系的选取只是数学手段的不同， 它不影响力场的物理性质， 故在三维直角坐标系中 仍有 F 0 的关系。在直角坐标系中
r xi yj zk,Fr Fx r i Fy i j Fz r k
第一章思考题解答
1.1 答：平均速度是运动质点在某一时间间隔 t t t 内位矢大小和方向改变的平均快慢 速度，其方向沿位移的方向即沿 t 对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或 某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在 t 0 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。 1.2 答：质点运动时，径向速度 V 和横向速度 Vθ 的大小、方向都改变，而 a 中的 r 只反映 r r 了 Vr 本身大小的改变， a 中的 r r 只是 Vθ 本身大小的改变。事实上，横向速度 Vθ 方 向的改变会引起径向速度 Vr 大小大改变， r 2 就是反映这种改变的加速度分量；经向速 度 Vr 的方向改变也引起 Vθ 的大小改变，另一个 r 即为反映这种改变的加速度分量，故
dt
而
dr 只表示 大小的改变。如在极坐标系中， dr j 而 dr r i r 。在直线运动中，规 r r dt dt dt
dr dr dr 的正负可表示 dr 的指向，二者都可表示质点的运 。且 dt dt dt dt
定了直线的正方向后，
动速度；在曲线运动中
dr dr ，且 dr 也表示不了 dr 的指向，二者完全不同。 dt dt dt dt
Fb 与Rb 大小不等， a b 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，
理论力学(周衍柏)绪论及第一章
（3）极坐标下的运动学方程
r r(t)
(t)
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐 标确定。
（4）自然坐标形式的运动学方程 s s(t)
对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运 动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。
质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如 柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运 动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分 析方法。 2、轨道
2R
求加速度
aaxy
4 R 2 4 R 2
cos 2t sin 2t
a
ax2 ay2 4R2
二、极坐标系
1、速度：
注意: i , j 方向都变化，乘积函数求导。
①先求：
di i i 1d
d 0
同理： ②速度分量式：
绪论
一、物理学与人类文明 1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间
物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。 也使中国人“九天揽月”成为可能。
神州六号发射瞬间
神州七号照片
哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞
机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历 时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。
(2) 位置描述
①质点相对某参照系的
位置，可由位矢r 确定;
②坐标描述：
直角坐标系:
r
xi
yj
zk
极坐标系：
P(r, )
自然坐标系：
P
s
二、运动学方程及轨道
理论力学：_第1讲-绪论-第1章(1)s
也不能是复印的，必须是手写的。 参考书
书名均为“理论力学” 1 西工大、北航、南航；
2 清华大学；
3 范钦珊主编
16
理论力学 第一部分
静力学
17
引言
z 静力学的研究对象
物体在力系作用下的平衡条件。
z 静力学的主要任务 受力分 析
理论 力 学 的 基 础
公理：是为反复的实践所证实的、而为人们所
公认的真理（相对真理）。
公理 1 力的平行四边形法则
F1
FR
作用于物体上同一点的两个力 可合成一个合力，此合力也作
A
F2
用于该点，合力的大小和方向 由以这两个力为边所构成的平
F1
F2 FR
行四边形的对角线来表示。
A
F R = F1 + F 2
26
公理 2 二力平衡公理 作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的充分必 要条件是：这两个力的大小相等、方向相反、 作用在同一直线上。 说明： ① 对刚体，上面的条件是充 分必要条件。对变形体是
1、 正确理解和掌握基本概念；
2、 熟练掌握基本定理和公式；
3、 课后及时看书复习，注意归纳总结；
4、 认真、及时地完成课后作业；
5、 有问题及时答疑。
一定要自己做！
11
中国科学院院士、原大连理工大学校长 钱令希 为《理论力学理论与解题指南》写的序
学工程的人都要学力学，有一系列的力学 课程要学。头一门是理论力学，是入门的课，但 是入门却不太容易。很多人也许会有跟我一样的 经验，理论力学讲的道理比较基本和简单，好象 很容易明白，可是一做习题，却不知从何下手， 苦思苦想，很多题还是做不出来。等别人做出来 一看，也很简单，用的也都是自己明白的知识。 以后学到材料力学和结构力学时，内容似乎逐12 渐
理论力学 周衍柏第一章
v’’
v’ v
解得
v 4i 4 j
2
例6: 小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点。假定水流 速度C1沿河宽不变，而拉绳子的速度为C2. 求船的轨迹.
解:取岸为靜系，水流为动系，船为质点， 并建立如图极坐标系
由:
θ 绝对速度v — —船对岸（径向分量已 知） x 相对速度v — —船对水(未知) A 牵连速度v0 — —水对岸（已知） dr c2 dt c2 dr c2 vr vor vr d rd c1 sin r c1 sin c1 sin v vo v dt
2) 非光滑约束
dv (1) m dt F f 2 v Fn Rn ( 2) m 0 Fb Rb ( 3)
2 2 f RN Rn Rb
R
2 2 f 2 Rn Rb
4个方程4个未知数,可解
二、运动微分方程求解
给出初始条件： t t0时, r t0 r , v t0 vo
可解得质点 的运动规律
2)平面极坐标:
若质点在 xOy 平面上运动:
2 F (r , , r , t ) r , r m r 或 F (r , , r , t ) , m r 2r
到达河中间时：
x t t
时
dx 2c vx y dt d v dy u y dt
dy u dt
dy udt
0 0
y
t
y ut
d cd d y ,x ,t 2 4u 2u
（2）当 d 2 y d 时
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章1-3质点力学
r
r0
t dr v dt
t0
2 例1 已知质点的运动方程 r 2t i 19 2t j
求：1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度以 及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解： （1）
x 2t ,
y 19 2t 2
消去时间参数
1 2 y 19 x 2
8 tg 7558 2
1
dr v 2i 4tj dt
-2
dv a 4 j dt
（ 3）
方向沿y轴的负方向 a 4 m s 2 r v 2ti 19 2t j 2i 4tj
t
d 2 h0 2 v0
, hc h0 1 2 h v2 0 0
2 g h0 d 2 2 h0
2 g h0 d 2
0
显然只有
v
2 0
时才可能击中
2 极坐标系
极坐标系：空间p的位置（r，）
当p沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线. 沿矢径方向
j p r c v i
2 （ 2） r 2 2 i 19 2 2 j 4 i 11 j t 2 dr v 2i 4tj m/s v t 2 2i 8 j dt
v2 2 8 8.25 m/s
2 2
• 自然坐标系，切向、法向加速度 • 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速 度、牵连(加)速度.
§1.1
1 质点
运动的描述
具有一定质量的几何点
自由质点：可以在空间自由移动的质点. 确 定它在空间的位置需要三个独立变量.
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一、物理学与人类文明 1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间 物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。 也使中国人“九天揽月”成为可能。
神州六号发射瞬间
神州七号照片
哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞
机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历 时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。
2 2 2 v | v | v v v 大小： x y z
方向：用速度与三个坐标轴方向的方向余弦表示 vx vy cos( v ,i ) cos v cos( v , j ) cos v v v vz cos( v ,k ) cos v v
核磁共振
X光机
4、20 世纪初相对论和量子力学的建立，诞生了近代 物理，开创了微电子技术的时代。如：半导体芯片、电 子计算机等。
半导体芯片
5 、 20 世纪 60 年代，激光器诞生。激光物理的进展使激 光在制造业、医疗技术和国防工业中的得到了广泛的应用。 如：大家熟悉的微机光盘就是用激光读的；光导纤维等。
(a b) sin
c
故M点速度分量： x
y
bc cos bc cot (a b) sin ab
6、20世纪80年代高温超导体的研究取得了重大突破，为 超导体的实际应用开辟了道路。如：磁悬浮列车等。80年代， 我国高温超导的研究走在世界的前列。
7 、 20 世纪 90 年代发展起来的纳米技术，使人们可以 按照自己的需要设计并重新排列原子或者原子团，使其 具有人们希望的特性。
美国赖斯大学 “纳米车”， 长4nm，还不到人头发丝直径的万 分之一。每分钟能跑２纳米 .
7 8 哈尔滨工业大学理论力学教研室 ，理论力学，高教出版社，2009 H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison
Wesley,1980
第一章 质点力学
§1.1 运动的描述方法
一、参照系与坐标系 1.参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位臵只 能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为 参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
二、力学的分类
宏观系统(h不起作用) 高速运动 (v接近c)--相对论力学
低速运动——量子力学 微观系统(h起作用)
低速运动 (v远远小于c)--经典力学 （以对象分）
（以观点分）
运动学
动力学 静力学
质点力学
质点组力学 刚体力学 连续介质力学
（1）矢量形式的运动学方程
r r (t )
当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。 （2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。 （3）极坐标下的运动学方程
2、加速度：
dvx dvy dvz dv a i j k dt dt dt dt axi a y j az k
| a | 大小：a
a x x 分量式： y a y z a z
dr dx dy dz 1、速度：v i j k dt dt dt dt i y j z k x vx i v y j vz k
由位置矢量： r xi yj zk
,vy y ,vz z 分量式： vx x
解：如图所示建立坐标系 M点的坐标为：
x b sin y a cos
消去参数 得轨道方程
x2 y2 2 1 2 a b
由：
x b sin y a cos
计算速度
b cos a sin y
得M点速度分量：x
因为： yB (a b)cos B (a b)sin 再由已知得： y c 故：
(t ) r
ds s dt
3、加速度（ 瞬时加速度矢量）：
v dv 定义 a lim t 0 t dt 2 d dr dr ( ) r dt dt dt 2
加速度的方向一定指向轨道的凹侧
§1.2 速度、加速度分量表示式
一、直角坐标系
2 陈世民.理论力学简明教程, 高教出版社, 2001 3 刘焕堂.理论力学原理与方法,厦大出版社,1997
4 胡慧玲等.理论力学基础教程,高教出版社,1986
5 卢圣治.理论力学基本教程，北师大出版社，2004 6 同济大学航空航天与力学学院、基础力学教学研究部，理论力学，同济
大学出版社，2004
r xi yj zk
极坐标系：
P(r , )
o
自然坐标系：
P
s
P( s )
二、运动学方程及轨道 1、运动方程
描述物体在参考空间中任一瞬时位臵的数学表达式称为运 动学方程。 质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位 臵，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度 和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的 首要任务。一般常用的方程有
8 、生命科学的发展也离不开物理学。脱氧核糖核酸 （ DNA ）是存在于细胞核中的一种重要物质，它是储存和传 递生命信息的物质基础。1953年生物学家沃森和物理学家克 里克利用 X 射线衍射的方法在卡文迪许（著名实验物理学家） 实验室成功地测定了DNA的双螺旋结构,威尔金斯、沃森和克 里克分享1962年诺贝尔生理学或医学奖。
r r (t ) (t )
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位臵也可用极坐 标确定。
（4）自然坐标形式的运动学方程 s s (t ) 对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运 动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。 质点在参考系中的位臵还可用其它的方法确定，例如柱 坐标法或球坐标法。 2、轨道 质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, 运动学方程中 消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。 三、位移、速度、加速度 1、位移： 是由初位臵引向末位臵的矢量，是质点位臵 矢量的增量. r r(t t ) r(t )
法国达朗伯(1717~1785)出版著作《动力学专论》达朗伯原理。 法国拉格朗日(1736~1813)出版名著《分析力学》。
六、《理论力学教程》的内容框架
质点力学 质点组力学 刚体力学 转动参照系
分析力学
主要参考书目：
1 周衍柏.理论力学教程（第三版）,高教出版社,1986
2 肖士珣.理论力学简明教程，人民教育出版社，1983
杭州湾跨海大桥是一座横跨中国杭州湾海域的跨海大桥，它 北起浙江嘉兴海盐郑家埭，南至宁波慈溪水路湾，全长36公
里，是目前世界上最长的跨海大桥
万里长城 摩索拉斯陵墓 埃及金字塔 The Pyramids of Egypt
国家游泳中心的选定方案——〔H2O〕3(“水立方”)
由中国建筑工程总公司、澳大利亚PTW公司、澳大利亚ARUP公司组成的 联合体设计的〔H2O〕3(“水立方”)，融建筑设计与结构设计于一体，设计 新颖，结构独特，与国家体育场比较协调，功能上完全满足2008年奥运会 赛事要求，而且易于赛后运营。
DNA结构发现者英国科学家莫里斯.威尔金斯
DNA的双螺旋结构
航空母舰
海洋石油钻井平台
我国祖先的功绩
赵州桥又名安济桥，全长50.82米，桥面宽9米，是一座单孔坦拱式 桥梁。 赵州桥由隋朝著名工匠李春主持设计建造。他创造的坦拱式、敞 肩式建桥法，在当时堪称独步，桥梁质量上乘。赵州桥结构合理，外 型秀丽，富有民族风格，素有“奇巧固护，甲于天下”的美誉。
② 观察者是站在参照系的观察点上；
③ 不特别说明都以地球为参照系。 2. 坐标系
为了定量研究的空间位臵，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位臵（方法）。 3、质点及位臵的描述 (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽 略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体 的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。 (2) 位臵描述 ①质点相对某参照系的 位臵，可由位矢r 确定; ②坐标描述： 直角坐标系:
2 2 ax a2 a y z
方向：用加速度与三个坐标轴方向的方向余弦表示 ax ay cos( a,i ) cos a cos( a, j ) cos a a a az cos( a,k ) cos a a
[例1]设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动 （如下图所示），而B以匀速度c 运动，求椭圆规尺上M点 的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b,OBA .
哈勃太空望远镜所观察到的离地球7000光年的巨鹰星云
人类登月
―嫦娥二号”于2010年10月1日在西昌卫星发射中心发射升空
1969年7月 人类第一次登月 阿波罗11号宇宙飞船
2、带电粒子在电场磁场中偏转的规律在科学技术中的应 用。如：电视机显像管等。
电视机
电子枪
3、核物理的研究使放射线的应用成瘤的伽玛刀、 核磁共振，超声波，X光机等。
三、理论力学的研究对象
理论力学：是研究宏观物体机械运动规律的一门学科。 机械运动：是物体在空间的位臵随时间的变化。
四、理论力学的研究方法