第13章 非正弦周期信号激励下的稳态电路分析
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非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i(t)
u(t)
o
T
t
t
脉冲电流
方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
基波分量单独作用：
jXC(1)
U S(1) 10 00V
+
XC(1)100 1 20 10 650 0
US( _
1
)
+
R Uo(1) _
U o(1)RR jXC (1)U S(1)8.4 9 5 2.5 67 V
24
三次谐波单独作用：
jXC(3)
US(3) 300V
+
X C (3)30 1 2 0 10 6 0 1.6 6 6 7U_S( 3 )
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面， 电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
u 3 1.4 2c7o 3 1 s6t(0 1.7 1 )9 mV 1.4 2s7i3 n 1(6t0 8.1 9 )9mV
u U 0 u 1 u 3 1 .5 5 70 s1 i0 6 n t0 0 1 .( 1 ) 5 1.4 2 s7 3 i n 16 t( 0 8.1 9 )9 m
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i(t)
u(t)
o
T
t
t
脉冲电流
方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
基波分量单独作用：
jXC(1)
U S(1) 10 00V
+
XC(1)100 1 20 10 650 0
US( _
1
)
+
R Uo(1) _
U o(1)RR jXC (1)U S(1)8.4 9 5 2.5 67 V
24
三次谐波单独作用：
jXC(3)
US(3) 300V
+
X C (3)30 1 2 0 10 6 0 1.6 6 6 7U_S( 3 )
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面， 电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
u 3 1.4 2c7o 3 1 s6t(0 1.7 1 )9 mV 1.4 2s7i3 n 1(6t0 8.1 9 )9mV
u U 0 u 1 u 3 1 .5 5 70 s1 i0 6 n t0 0 1 .( 1 ) 5 1.4 2 s7 3 i n 16 t( 0 8.1 9 )9 m
电路第五版课件第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频
20
正弦量的平均值：
T 1 Iav = | Imcost | dt T 0 0.637Im 0.898I
相当于正弦电流经 全波整流后的平均值。
|u(t)| dt
对同一非正弦量,不同类型的仪表测量结果不同:
直流仪表(磁 电系仪表)表 针的偏转角
交流仪表(电 磁系仪表)表 针的偏转角
全波整流(磁 电系仪表)表 针的偏转角
即该波形移动半周期后与横轴对称 1 T f(t) 则 a0 = f ( t) d t = 0 T 0 a 2k = b 2 k = 0 ①无直流分量； ②不含偶次谐波，又称奇 谐函数。 a2k+1 = b2k+1 = 0 即展开式中不含奇次谐波。 又称偶谐函数。
o
T/2 T
t
a0是 f(t) 在一个周期内 与横轴围成的面积。 u
26
§13-4 非正弦电流电路的计算
1.分解: 把给定电源的非正弦 周期电流或电压作傅 里叶级数分解。
②电路中含有非线性元件。例如整流电路等。
非正弦周期交流信号的表示
f (t) = f (t + nT)
2
实践中常见的非正弦周期信号 u
方波
i t
锯齿波
o u
T
o i
t
T 2T
通过显像管偏转 线圈的扫描电流 尖顶脉冲
数字电路、计算机的CP脉冲等 整流波
o
t
T 桥式或全波整流 电路的输出波形
o
t
T
晶闸管的触发脉冲等
∞
∞
Ikmcos(k1t+k)]2
则 I= = 1 T =
T 0
1 T
T
2 {I 0 + 2 I0
正弦量的平均值：
T 1 Iav = | Imcost | dt T 0 0.637Im 0.898I
相当于正弦电流经 全波整流后的平均值。
|u(t)| dt
对同一非正弦量,不同类型的仪表测量结果不同:
直流仪表(磁 电系仪表)表 针的偏转角
交流仪表(电 磁系仪表)表 针的偏转角
全波整流(磁 电系仪表)表 针的偏转角
即该波形移动半周期后与横轴对称 1 T f(t) 则 a0 = f ( t) d t = 0 T 0 a 2k = b 2 k = 0 ①无直流分量； ②不含偶次谐波，又称奇 谐函数。 a2k+1 = b2k+1 = 0 即展开式中不含奇次谐波。 又称偶谐函数。
o
T/2 T
t
a0是 f(t) 在一个周期内 与横轴围成的面积。 u
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§13-4 非正弦电流电路的计算
1.分解: 把给定电源的非正弦 周期电流或电压作傅 里叶级数分解。
②电路中含有非线性元件。例如整流电路等。
非正弦周期交流信号的表示
f (t) = f (t + nT)
2
实践中常见的非正弦周期信号 u
方波
i t
锯齿波
o u
T
o i
t
T 2T
通过显像管偏转 线圈的扫描电流 尖顶脉冲
数字电路、计算机的CP脉冲等 整流波
o
t
T 桥式或全波整流 电路的输出波形
o
t
T
晶闸管的触发脉冲等
∞
∞
Ikmcos(k1t+k)]2
则 I= = 1 T =
T 0
1 T
T
2 {I 0 + 2 I0
非正弦周期电路分析
f(=w/2p)=1/T
u i
☣除了主要的基频成分外， 0
wt
波形还含有大量谐波成分。
2p
非正弦周期电路的基本概念
1.3 傅立叶级数的三角形式
设 f(t)为电压或电流的非正弦周期函数，其角频率为
w ，即 :
式中， T为周期函数f(t) ，k =0, 1, 2,
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，可展开为傅 立叶级数，即:
从
中看到，如果电流波形有较大畸变，将导
致is1 / is较小 ，因此功率因数也会很小。
根据
可得:
电力电子技术的基本概况
T=1/f
非正弦周期电路的基本概念
利用波形对称性，可简化下式中系数ah和bh的计算:
表3.1是根据函数的对称性及所需要的条件，分别 给出了ah和bh的表达式。
对称性函数的傅立叶系数
对称性 条件 偶函数 奇函数
半波
电路和磁路的基本概念 ah 和 bh
h为偶数 h为奇数 h为奇数
对称性 条件
偶拓扑
偶函数 及半波
奇拓扑
奇函数 及半波
电路和磁路的基本概念
ah 和 bh
h为奇数或偶数
h为奇数
h为偶数
h为奇数或偶数 h为奇数 h为偶数
非正弦周期电路的基本概念
例 求图中所示非正弦周期信号f(t)
f(t) A
的傅里叶级数展开式。
-T-T/2 0 T/2 T t
解 由图可知f(t)在一个周期内的表达式为:
is us is1
生了严重畸变的波形。 0
wt
✼假设输入的电压为标准
j1
idis
的正弦电压:
w = w1，f = f1
非正弦信号电路的分析
非正弦信号电路的分析
• 引言 • 非正弦信号电路的基本概念 • 非正弦信号电路的稳态分析 • 非正弦信号电路的暂态分析 • 非正弦信号电路中的元件特性 • 非正弦信号电路的应用实例
01
引言
目的和背景
研究非正弦信号在电 路中的传输和处理方 式
为电路设计和优化提 供理论支持
分析非正弦信号对电 路性能的影响
非正弦信号的分解
02
非正弦信号可以分解为一系列正弦信号的叠加，每个正弦信号
具有不同的频率和幅度。
线性时不变电路对非正弦信号的响应
03
根据叠加性原理，线性时不变电路对非正弦信号的响应等于各
个正弦信号分量单独作用时响应的叠加。
傅里叶变换在电路分析中的应用
01
傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，通过傅里叶变换
二极管
晶体管
运算放大器
在非正弦信号下，二极管的导 通与截止状态取决于信号的幅 度和极性。正向偏置时导通， 反向偏置时截止。对于幅度较 大的非正弦信号，二极管可能 进入非线性工作状态。
晶体管在非正弦信号下的放大 作用受到信号频率和幅度的影 响。在高频或大幅度信号下， 晶体管可能进入饱和或截止状 态，导致非线性失真。
电感元件
电感在非正弦信号下的阻抗与信号频率成正比。对于高频信号，电感表现出高阻抗，而对于低频信号，电感阻抗较低 。因此，电感对高频信号具有较强的阻碍作用。
电容元件
电容在非正弦信号下的阻抗与信号频率成反比。对于高频信号，电容表现出低阻抗，允许信号通过；而 对于低频信号，电容阻抗较高，阻碍信号通过。
有源元件在非正弦信号下的特性
可以得到信号的频谱分布。
02 03
傅里叶变换在电路分析中的应用
• 引言 • 非正弦信号电路的基本概念 • 非正弦信号电路的稳态分析 • 非正弦信号电路的暂态分析 • 非正弦信号电路中的元件特性 • 非正弦信号电路的应用实例
01
引言
目的和背景
研究非正弦信号在电 路中的传输和处理方 式
为电路设计和优化提 供理论支持
分析非正弦信号对电 路性能的影响
非正弦信号的分解
02
非正弦信号可以分解为一系列正弦信号的叠加，每个正弦信号
具有不同的频率和幅度。
线性时不变电路对非正弦信号的响应
03
根据叠加性原理，线性时不变电路对非正弦信号的响应等于各
个正弦信号分量单独作用时响应的叠加。
傅里叶变换在电路分析中的应用
01
傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，通过傅里叶变换
二极管
晶体管
运算放大器
在非正弦信号下，二极管的导 通与截止状态取决于信号的幅 度和极性。正向偏置时导通， 反向偏置时截止。对于幅度较 大的非正弦信号，二极管可能 进入非线性工作状态。
晶体管在非正弦信号下的放大 作用受到信号频率和幅度的影 响。在高频或大幅度信号下， 晶体管可能进入饱和或截止状 态，导致非线性失真。
电感元件
电感在非正弦信号下的阻抗与信号频率成正比。对于高频信号，电感表现出高阻抗，而对于低频信号，电感阻抗较低 。因此，电感对高频信号具有较强的阻碍作用。
电容元件
电容在非正弦信号下的阻抗与信号频率成反比。对于高频信号，电容表现出低阻抗，允许信号通过；而 对于低频信号，电容阻抗较高，阻碍信号通过。
有源元件在非正弦信号下的特性
可以得到信号的频谱分布。
02 03
傅里叶变换在电路分析中的应用
电路原理课件-非正弦周期电流电路分析
Z ( j3 ) I 0.125e j179.95 V U 3m 1 3m Z ( j5 ) I 0.0416e j0.01 V U 5m 1 5m
U 7 m Z ( j71 ) I 7 m 0.0208 V
(4) 将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相 叠加，求出电压响应。
基波电流单独作用时：
i1 cos 1t mA
1e j90 mA I1 m
Z (j ) I 50e j90 V U1 m 1 1m
当3次、5次、7次谐波单独作用时：
1 e j90 mA I 3m 3 1 e j90 mA I 5m 5 1 e j90 mA I7m 7
n 1
值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决 定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函 数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间 起点的选择有关。
§82 线性电路对周期性激励的稳态响应
步骤：
1、将周期性激励分解为傅里叶级数； 2、根据叠加定理，分别计算激励的直流分量和各 次谐波分量单独作用时在电路中产生的稳态响应； 3、将直流分量和各谐波激励所产生的时域响应叠 加，即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应。
An a b
2 n 2 n
an θn arctan bn
A0 f (t ) An sin( nω1t θn ) 2 n 1
其中， A0 a0
A0 f (t ) An sin( nω1t θn ) 2 n 1
A0 常数项（直流分量） 2 A1 sin(ω1t θ1 ) 基波(fundamental wave)
a0 1 2 T
电气学院《电路-非正弦周期电流电路和信号的频谱》课件
k =1
例 周期性方波 的分解
直流分量 t
三次谐波
t
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (coswt + 1 cos 3wt + 1 cos 5wt + )
π
13-4 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： f (w t) = A0 + Ak m cos(kw t + k ) k =1 2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量； 3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
（2）基波分量作用：角频率为w （正弦稳态分析）求y1; （3）二次谐波分量作用：角频率为2w （正弦稳态分析）求y2;
………………
4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例：图示电路中 us (t) = 40 + 180 coswt + 60 cos(3wt + 45)
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + Ukm cos(kwt + k ) k =1
则： U =
U
2 0
+ U12
+
13第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
OT 2Tt对所有的k，a2k= b2k=0 a0=0
不包含直流分量和偶次谐波分量。
4. 函数的对称性与计时起点的关系 在傅里叶级数中，Akm与计时起点无关，而k与计时起点 有关，由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也随计时 起点变动而变动。 由于系数ak和bk与初相k有关，所以函数的奇偶性质就可
则有： P U 0 I 0 U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 ... U k I k cos k ... U km I km Uk , Ik , k uk ik 式中： 2 2 即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功 率的代数和。
f ( t ) a0 a1 cos1t b1 sin1t a2 cos21t b2 sin21t ...... ak cosk1t bk sink1t ......
a0 ak cosk1t bk sink1t
k 1
A0 Akm cosk1t k
( 10-2 )
( 10-1 )和( 10-2 )中系数称为傅里叶系数，各系数关系为： bk 2 2 k arctan Akm ak bk A0 a0 a k bk Akm sin k ak Akm cos k 谐波分析： 式( 10-2 )中第1项A0称为周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)； 上式第2项称为1次谐波(或基波分量)，其周期与f(t)相同； 其它各项称为高次谐波，即2次、3次……。
i
R C
I m 3
47.130V A 10.8346.4 A 3 j 3.15
i3 10.83 cos31t 46.4 A
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
非正弦周期信号电路的稳态计算
非正弦周期信号电路的稳态计算对于非正弦周期信号激励的稳态电路，无法用直流电路或正弦交流电路的计算方法来分析计算，而必须先把非正弦周期信号激励用傅里叶级数分解为不同频率的正弦分量之和，然后再分别计算各个频率分量激励下的电路响应。
最后用叠加定理把各响应分量进行叠加获得稳态响应。
其计算过程的主要步骤可分为三步：(1)把给定的非正弦周期激励源分解为傅里叶级数表达式，即分解为直流分量与各次谐波分量之和，根据展开式各项收敛性及所需精度确定所需谐波项数;(2)分别计算直流分量和各频率谐波分量激励下的电路响应。
直流分量用直流电路分析方法，此时电感短路、电容开路;对于不同频率的正弦分量，采用正弦电路相量分析计算方法，这时需注意电路的阻抗随频率而变化，各分量单独计算时应作出对应电路图;(3)应用叠加定理把输出响应的各谐波分量相加得到总的响应值，注意叠加前应把各谐波响应表达成时域瞬时式(因为不同频率的相量式相加是无意义的)。
下面用具体例子来说明线性电路的周期非正弦稳态分析。
例6-2-1 电路如图6-2-1所示，已知，，，电源电压，基波角频率，试求流过电阻的电流及电感两端电压。
图 6-2-1解：本题的激励电压源已分解成各次谐波分量，因此可直接进行各次谐波的计算。
对于直流分量的计算，可用一般直流电路的解题方法，画出对应直流电路如图6-2-2a所示，已知，则得对于基波分量，其对应电路如图6-2-2b所示，，ab端入端阻抗：图 6-2-2电感两端电压：即有：，对于三次谐波分量，其等效电路如图6-2-2c所示，，其入端阻抗为：电感两端电压：即有：，对于五次谐波，等效电路如图6-2-2d所示，有，ab端入端阻抗为：电感两端电压：即有：，最后得到流经电阻的电流值为：从计算结果可看出，电路对不同频率的分量呈现不同的特性。
当三次谐波激励时，入端阻抗特别大，因此产生的电流分量较小，这是由于接近电路谐振频率点的缘故。
下面讨论非正弦周期信号的有效值和功率问题。
电路 第五版邱关源 第十三章
bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ
13非正弦周期电流电路和信号的频谱(龙).ppt
2、更普遍的情形，也是本章重点研究的情形则是线性电路 中，当激励是非正弦周期函数时，各部分的稳态响应也将是非正弦 周期电压和电流。
3、在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激励作用下， 电路中也会出现非正弦电流 。
二、非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f( t ) f( t nT )
Hale Waihona Puke 周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
A km ~ k 1 的图形
o 相位频谱
3 5 7
1 1 1 1
kω1
k ~ k1 的图形
返 回 上 页 下 页
§3 有效值、平均值、平均功率
一、有效值
非正弦周期电流i的有效值定义为：
I
1 T
i I o Ikmcos( k t 1 k)
T 2 T 0
f ( t ) cos( k 1t ) dt
1 0
2
f ( t ) cos( k 1t ) d 1t f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 T 0
bk
T 2 T 0
f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 0
π : u 30 120 cos 1000 t 60 cos( 2000 t ) V 例1 已知 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 L2 30 10mH A3 c d C2 25F u _ b V2
C1
25F V11 V a +
A2
上 页
下 页
解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
3、在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激励作用下， 电路中也会出现非正弦电流 。
二、非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f( t ) f( t nT )
Hale Waihona Puke 周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
A km ~ k 1 的图形
o 相位频谱
3 5 7
1 1 1 1
kω1
k ~ k1 的图形
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§3 有效值、平均值、平均功率
一、有效值
非正弦周期电流i的有效值定义为：
I
1 T
i I o Ikmcos( k t 1 k)
T 2 T 0
f ( t ) cos( k 1t ) dt
1 0
2
f ( t ) cos( k 1t ) d 1t f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 T 0
bk
T 2 T 0
f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 0
π : u 30 120 cos 1000 t 60 cos( 2000 t ) V 例1 已知 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 L2 30 10mH A3 c d C2 25F u _ b V2
C1
25F V11 V a +
A2
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解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱
2010年11月20日星期六
f(t) A t1 o
T/2
移动半个周期，得 移动半个周期， 另半个周期的镜像 t
T
结束
所以即使f(t)不是“ 对称， 所以即使 不是“镜”对称， 不是 只要它的正、负半周与横 只要它的正、 轴围成的面积相等， 轴围成的面积相等， 就有A 。 就有 0=0。 另外， 另外，对某些 f(t)，求A0 ， 时也可以不用积分。 时也可以不用积分。
k
结束
t
ω1t
π
m
1
1
0
Em
T 4
f1(t1)
T 4
2Em [1−cos(kπ)] − = kπ 0 k 为偶数 = 4E m kπ k 为奇数 π 结果见教材P320。 结果见教材 。
2010年11月20日星期六
-π
o
-Em
π
ω1t
t1
则新旧函数的关系为： 则新旧函数的关系为： f(t) = f1 t− T = f1(t1) − 4
13
(2) 若f(t)是偶函数 是偶函数 即满足 f(t)= f(−t) − 则 b k= 0 。 2 A0 = T ak = 4 T
T 2
u
结束
f(t) dt f(t) cos(kω1t)dt
-T/2
o i
t
T/2
0
T 2
0
T - 2
t o
T 2 T
(3) 若f(t)是奇函数 是奇函数 即满足 f(−t) = − f(t) − bk = 4 则 ak= 0，只求 k即可： ，只求b 即可： T
2010年11月20日星期六 11
锯齿波的振幅频谱图 i
I
T/2 -T/2
f(t) A t1 o
T/2
移动半个周期，得 移动半个周期， 另半个周期的镜像 t
T
结束
所以即使f(t)不是“ 对称， 所以即使 不是“镜”对称， 不是 只要它的正、负半周与横 只要它的正、 轴围成的面积相等， 轴围成的面积相等， 就有A 。 就有 0=0。 另外， 另外，对某些 f(t)，求A0 ， 时也可以不用积分。 时也可以不用积分。
k
结束
t
ω1t
π
m
1
1
0
Em
T 4
f1(t1)
T 4
2Em [1−cos(kπ)] − = kπ 0 k 为偶数 = 4E m kπ k 为奇数 π 结果见教材P320。 结果见教材 。
2010年11月20日星期六
-π
o
-Em
π
ω1t
t1
则新旧函数的关系为： 则新旧函数的关系为： f(t) = f1 t− T = f1(t1) − 4
13
(2) 若f(t)是偶函数 是偶函数 即满足 f(t)= f(−t) − 则 b k= 0 。 2 A0 = T ak = 4 T
T 2
u
结束
f(t) dt f(t) cos(kω1t)dt
-T/2
o i
t
T/2
0
T 2
0
T - 2
t o
T 2 T
(3) 若f(t)是奇函数 是奇函数 即满足 f(−t) = − f(t) − bk = 4 则 ak= 0，只求 k即可： ，只求b 即可： T
2010年11月20日星期六 11
锯齿波的振幅频谱图 i
I
T/2 -T/2
第十三章_非正弦周期信号(课件)讲解
D
R 输入正弦波 输出半波整流
2、信号本身为非正弦量
i
t
u
t
T/2
u
0 t
0
脉冲波
锯齿波
方波电压
3、正弦交流电压、电流的畸变或电路中出现不同频率的电源。
u
u1
t
u +
0
u2
t
u =
0
u3
t
0
4.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时
＋UCC
直流电源
＋
uS
－
交流电源
输出波为非正弦波
5.计算机内的脉冲信号
T
t
二、非正弦周期信号
定义 随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。
u ( t)
0
t
上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号
波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍
的正弦波的合成波。
以一个周期的情况为例进行分析：
u ( t)
U1m u1
u1与方波同频率, 称为方波的基波 u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。 u3
并按照k是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波(基波)、 3次谐波……。
k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的奇次谐波；k为偶
数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。而把2次以上的谐波均 称为高次谐波。
三、讨论范围及方法 1、范围：非正弦周期电源作用下的线性电路。
2、方法：谐波分析法（变换法） 谐波分析法—以线性电路的迭加定理为理论基础，把非正 弦周期电流电路的计算转化为不同频率的正弦交流电路的 计算。
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
13第十三章非正弦周期电流电路和
一、有效值
def
I
1
T i2dt
T0
设非正弦电流函数可分解为 i(t) I0 Ikm cos(k1t k )
则：
I
k 1
1
T
T 0
I0
k 1
Ikm
cos (k1t
k
2 ) dt
I 02
I12
I
2 2
I
2 3
I02
I
2 k
二、平均值
def
Iav
1 T
T
i dt
0
如正弦电流的平均值为
Anm
4Em/
4Em/3 4Em/5
4Em/7
0 1
31 51 71 n1
几种特殊函数的傅立叶级数展开式的分析：
f(t)
1. f (t)为奇函数(原点对称)， f (t)= -f (-t)，则
f (t) bk sin( k1t) (a0 0, ak 0) k 1
2. f (t)为偶函数(轴对称)，f (t)= f (-t)，
并联谐振，开路
ω1
1 L1(C2 C3 )
串联谐振，短路
例：电路如图所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，
us(t ) 12 15 2 cos(t ) 16 2 cos(2t)V
在稳态时，uR(t)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波 电压相同，求：
（1）us(t)的有效值；
则
f (t) a0 ak cos(k1t) (bk 0) k 1
3. f (t)为奇谐波函数(镜对称)，
f (t)= -f (t+T/2)，则
f (t)
Akm cos(k1t k )
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ak 0
－T/2
f (t)
T/2
t
（3）奇谐波函数
T f (t ) f (t ) 2
a2 k b2 k 0
T/2
T
t
例1 解
周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
iS
Im
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U 0 1.57 mV
5000 mV U1 2
12.47 89.2 mV U3 2
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 )
1 1 6 1k 12 1C 10 1000 10 1 L 106 10 3 1k XL>>R
R
iS
C
u
L
( R jX L ) ( jX C ) X L X C L Z ( 1 ) 50k R j( X L X C ) R RC
高次谐波
f (t ) A0 Akm cos(k1t k )
k 1
也可表示成：
Akm cos(k1 t k ) ak cos k1 t bk sin k1 t
f (t ) a0 [ak cos k 1 t bk sin k 1t ]
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波 五次谐波 七次谐波
t
直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
等效电源
iS
Im
t
T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
ห้องสมุดไป่ตู้
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
例2
π 已 知 : u 30 120 cos 1000t 60 cos(2000t ) V. 4 求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
L1 A1 C1 40mH A2 25F V V11
30 d
c
L2
V2 10mH A3
第13章 非正弦周期信号激励下的 稳态电路分析
重点
1.周期函数分解为付里叶级数 2.非正弦周期函数的有效值和平均功率 3.非正弦周期电流电路的计算
13.1
非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周 期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
100 sin 3 106 t 3
（2） 对各种频率的谐波分量单独计算： （a) 直流分量 IS0 作用
I S 0 78.5A
电容断路，电感短路:
R
IS0
u0
U 0 RI S 0 20 78 .5 106 1.57 mV
（b)基波作用 i s1 100 sin 106 t
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
13.4
1. 计算步骤
非正弦周期交流电路的计算
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号；
（2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号
分别应用相量法计算；
（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于 开路、L相于短路。） （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若
i ( t ) I 0 I km cos( kt k )
k 1
则有效值:
I
1 T 1 T
T
0
i 2 t d ( t ) I 0 I km coskt k d ( t ) k 1
2
T
0
利用三角函数的正交性得：
I
I
2 0 k 1
I
2 km
2
I
结论
I I I
2 0 2 1 2 2
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波 分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若
i ( t ) I 0 I k cos( kt k )
Z (1 ) 50KΩ
i s1 100 sin 106 t μ A
100 10 6 5000 I Z ( ） U1 50 mV 1 1 2 2 (c)三次谐波作用 i 100 sin 3 106 t s3 3 1 1
31C
3 10 1000 10
2. 计算举例 例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH 、C 1000pF I m 157μ A、 T 6.28S
R
iS
iS
Im
C
u
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：
Im 2Im 1 iS (sin t sin 3t 2 3 1 sin 5t ) 5
C2 25F
a
+
u
_
b
解
i a +
L1 40mH iC1 C1 25F 30 c d
L2 10mH iL2 C2 25F
u
_ b
(1) u0=30V作用于电路，L1、 L2 短路， C1 、 C2开路。 L1 L2 30 iL20 iC10 c d C2 C1 i
0
a
+
u0
_ b
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
(2) u1=120cos1000t V作用
k 1
1 P T
T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：
P U 0 I 0 U k I k cos k P0 P1 P2 ......
k 1
( k uk ik )
P U 0 I 0 U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2
f ( t ) f ( t kT )
例1
半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3
脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例4 交直流共存电路 +V
Es
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量 基波（和原 函数同频） 二次谐波 （2倍频）
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 ) Anm cos(n1t n )
0
bk
1
2
0
f (t ) sin k 1 td ( 1 t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
f (t ) f ( t )
（2）奇函数
bk 0
－T/2
f(t)
T/2
t
f (t ) f (t )
f(t)
(4) 余弦奇次分量。
O T/4
T/2
t
T/2 T/4
O T/4
T/2
t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数
2
0
sin ktd (t ) 0
2
0
cos ktd (t ) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
k 1
则其平均值为：
I AV
1 T
T
0
i (t )dt I 0
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u( t ) U 0 U km cos( kt uk )
i ( t ) I 0 I km cos( kt ik )
k 1
IS0
is1
is3
is5
Akm
iS
Im
矩形波的频谱图
t T/2 T
0
3
5
7
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
例2
给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
I 5m
2 2 3.14 10 6 rad/s T 6.28 10 6
1 I 1m 20μA 5
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 78.5
is 3
A
A
i s1 100 sin 106 t A
100 is5 sin 5 106 t A 5
ak
2
2
0
i S (t ) cos kt d (t )
0
2Im
1 sin kt k
2 K