2.3连续型随机变量与随机变量的分布函数

0.7
X P
1
2
3 0.4
4 0.3
0.2 0.1
0, 0, x 1, 0.2, PX 1, 1 x 2, 0.3, F ( x) PX 1 PX 2, 2 x 3, 0.7, PX 1 PX 2 PX 3, 3 x 4, 1, 1, x 4.
x 1, 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4, x 4.
0, x 1, PX 1, 1 x 2, 即 F ( x) PX 1 PX 2, 2 x 3, PX 1 PX 2 PX 3, 3 x 4, 1, x 4. 0, 0.2, 0.3, 0.7, 1, x 1, 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4, x 4.
二、 连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给 出概率分布。而是用“概率密度函数”表示 随机变量的概率分布。
2.3.1 频率直方图
例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
x
证明 F ( x ) P{ X x }, 当 x 越来越小时,
P{ X x } 的值也越来越小, 因而当 x 时, 有
x
x
lim F ( x ) lim P{ X x } 0
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x } 的值也不会减小, 而 X ( , x ) , 当 x 时, X 必然落在 ( , )内.
所以 P{ X b} P{ X a } P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a ).
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
xk x
pk
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则 1 x x P( x X x x) lim lim x f (t )dt x 0 x x 0 x =f(x)， 故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
o
x
所以
x x0
lim F ( x ) lim P{ X x } 1.
x x
(4) lim F ( x ) F ( x0 ), ( x0 ).
即任一分布函数处处右连续.
0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p1 1, x x2 .
(3). 计算落入各子区间内观测值频数 ni = #{ xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, · · n}， ·, 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, · · m； ·,
子区间 (127.5, 131.5) 频数 6 频率 0.06
(131.5, (135.5, (139.5, (143.5, (147.5, (151.5,
100 A． x 2 , x 100, 0, x 100
10 B． x , x 0, 0, x 0
C． 1, 0 x 2, 0, 其他
1 3 1 D． 2 ， 2 x 2 , 0, 其他
提示：概率密度的的非负性 + 归一性
1
3/15
2
9/15
求（1）X的分布函数；（2）P{1 X 1}, P{0.5 X 0.5}. 答案
0, x 1, 1 / 15, 1 x 0, F ( x) 3 / 15, 0 x 1, 6 / 15, 1 x 2, 1, x 2.
x
f (t ) d t
则称 F(x)为 X 分布函数。
密度函数的性质
(1). f ( x) 0 ；
(2).
f ( x) dx 1；

这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与x轴所围 面积等于1。
例 下列函数中可作为某随机变量概率密度的是（ ）
135.5) 139.5) 143.5) 147.5) 151.5) 155.5)
12 24 28 18 8 4
0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4). 以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, „, m) 为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。
1. 概率密度函数 定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机 变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成
P(a X b) a f ( x)dx ,
b
(1)
则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
F ( x) P( X x)
需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点a处 取值，不是事件 {X=a} 的概率。但是，该值 越大，X 在a点附近取值的概率越大。
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f ( x)x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 f (x ) × △x 。 f (x ) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
Leabharlann Baidu
例2 设随机变量 X 的分布函数为
x 1, 0, 1 , 1 x 2, 4 F ( x) 3 , 2 x 3, 4 1, x 3.
求 X 的分布律.
解
X
1
1 4
2
2 4
3
1 4
P
练习题
1、设随机变量 X 的分布律为
X
P
-1
1/15
0
2/15
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 155, 128 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
X P 1 2 3 0.4 4 0.3
0.2 0.1
求X 的分布函数. 解 当 x 1时, F ( x) P{X x 1} 0
当1 x 2 时, F ( x) P{X x} P{ X 1} 0.2 当 2 x 3 时, F ( x) P{X x} P{X 1} P{X 2} 0.3 当 3 x 4 时, F ( x) P{X x} P{X 1} P{X 2} P{X 3} 当 x 4 时, F ( x) P{X x} 1
F ( x)
o


x1
x2
x
重要公式
(1) P{a X b} F (b) F (a ), ( 2) P{ X a } 1 F (a ).
证明 因为 { X b} { X a } {a X b},
{ X a } {a X b } ,
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = [1.87×(n−1)2/5 + 1]， 组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, · · m； ·,
由上例，得到如下结论： 1、X在单点上的概率都为0，即 P{ X x0 } 0
2、P{a X b} P{ X b} P{ X a}
P{a X b} F (b)
F ( x) P{ X x} 分布函数

F (a)
一、分布函数
1.概念的引入 对于随机变量 X ，既要知道 X 的取值, 以及 X 取 这些值的概率 ; 而且更重要的是想知道X 在任意有限 区间(a,b)内取值的概率.
例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率.
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?
F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
F ( x1 )
分布函数
2.分布函数的定义
2.3 连续型随机变量与随机变量的 分布函数
一、分布函数
二、概率密度函数
三、常见连续型分布
引例（1）求指针落在某个刻度如X=3的概率？
（2）求指针落在区间（4，5]的概率？ A的长度 0 解：(1) P{ X 3} P( A) 的长度
54 5 4 1 (2) P{4 X 5} P{ X 5} P{ X 4} 18 0 18 18 18
P{1 X 1} 5 / 15
P{0.5 X 0.5} 2 15
3.分布函数的性质
(1) 0 F ( x ) 1, x ( , );
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
o
x
x1
x2
( 3) F ( ) lim F ( x ) 0, F ( ) lim F ( x ) 1;
定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.
说明
(1) F (x) 表示X取值在－∞到x的概率，可用来研究随机 变量在某一区间内取值的概率情况.
( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.
例1
随机变量 X 的分布律为
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概 率分布情况。