运筹学讲义(复习)

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对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少 •
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• 四、对偶单纯形法 • 五、灵敏度分析
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• （1）其对偶问题为： • • • • • • • (2)根据对偶问题互补松弛性质，由 知 • 有 第三章 运输问题 • 一、数学模型 设从Ai 到Bj的运输量为xij,（假定产销平衡） 则总运费： minZ= ∑∑ Cij xij 产量约束： ∑xij = ai i=1,2,…m, 销量约束： ∑xij = bj j=1,2,…n, 非负性约束： xij ≥0 •
代入对偶问题约束条件，可
，解得，原问题最优解为
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二、表上作业法 1、确定初始方案：最小元素法、西北角法和Vogel法。 2、解的最优性检验：闭回路法和对偶变量法（位势法） 3、解的改进。 三、进一步讨论 将产销不平衡的问题转换为产学模型 二、分枝定界法 • 分枝定界法(Branch and Bound Method) • 基本思想： 先求出整数规划相应的线性规划(即不考虑整数限制)的最优解， 若求得的最优解符合整数要求，则这个解就是原整数规划的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中 剔除部分非整数解。 然后，再在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解，这样通过求解一系列线性 规划问题，最终得到原整数规划的最优解。 • 定界的含义： 整数规划是在相应的线性规划的基础上增加变量为整数的约束条件，整数规划的最优解 不会优于相应线性规划的最优解。 对极大化问题来说，相应线性规划的目标函数最优值是原整数规划函数值的上界； 分枝定界法 例 maxZ= 5x1 +8 x2
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• 已知下列资料，要求绘制网络图，并计算最早开工、最迟开工及总时差，指出关键路线。 • 第六章 排队论 • 一、基本概念及肯道尔（D.G.Kendall）分类 • 1、队长 N(t)和排队长 Nq(t) • 2、等待时间 T(t)和逗留时间Tq(t) • 3、忙期B和闲期I • 4、记为Pn(t)时刻时系统处于状态n的概率分布。 • N(t)----N----L Nq(t)---- Nq----Lq T(t)----T----W • Tq(t)---- Tq-----Wq • B------B’ I------ I’ Pn(t)---- Pn • λn :当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率， λ • μn：当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率， μ • 记s系统中并行的服务台数 • 二、Poisson过程和负指数分布 状态平衡方程和状态转移，概率分布。 三、 M/M/S等待制排队模型 1、单服务台模型M/M/1/ ∞ 队长的分布和几个主要数量指标：平均队长L、平均排队长Lq、平均逗留时间W为、平均等 待时间Wq。 • 2、多服务台模型M/M/c/ ∞ • 队长的分布和几个主要数量指标：平均队长L、平均排队长Lq、平均逗留时间W为、平均等 待时间Wq。 • 第七章 决策分析 • 一、决策分析的基本问题 • 二、不确定型决策 • 乐观准则（max,max)、悲观准则（max, min)、折衷准则、 • 等可能准则（Laplace准则)、后悔值准则 • 三、风险型决策（决策树） • 一、期望值法 • 二、利用后验概率的方法及信息价值 • • • • •
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x1 + x2 ≤6 5x1 +9 x2 ≤45 x 1 , x 2 ≥0 x1, x2取整数
• 第一步,不考虑变量的整数约束,求相应LP(问题1)的最优解： x1=2+/4，x2 =3+3/4，Z1=41+1/4 • 第二步,定界过程 上界41+1/4； 下界为0。 • 第三步，分枝过程 将不满足整数约束的变量x1进行分枝，构造两个新的约束条件： x1≤ 2，x1 ≥ 3 分枝定界法 问题2：maxZ= 5x1 +8 x2 问题3： maxZ= 5x1 +8 x2 x1 + x2 ≤6 x1 + x2 ≤6 5x1 +9 x2 ≤45 5x1 +9 x2 ≤45 x1≤2 x1 ≥3 x 1 , x 2 ≥0 x 1 , x 2 ≥0 x1, x2取整数 x1, x2取整数 求解问题2相应的线性规划的最优解：x1=2，x2 =3+8/9，Z2=41+1/9 求解问题3相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =3，Z3=39 • 第四步，定界过程 下界39； 上界41+1/9。 • 第五步，分枝过程 将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件： x2≤ 3，x2 ≥ 4 分枝定界法 分枝定界法 分枝定界法 分枝定界法 • 分枝定界过程 分枝定界法 • 三、指派问题的数学模型及其解法---匈牙利法 • 设xij=0或1，为1时表示第i个人做第j事 • 为0时表示不指派第i个人做第j事 数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
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• 2、某医院昼夜24h各时段内需要的护士数量如下：2:00-6:00 10人，6:00-10:00 15人， 10:00-14:00 25人，14:00-18:00 20人，18:00-22:00 18人，22:00-2:00 12人。护士分别 于2:00,6:00,10:00,14:00,18:00,22:00分6批上班，并连续工作8小时。试确定：a、该医 院至少应设多少名护士，才能满足值班需要？b、若医院可聘用合同工护士，上班时间同正 式工护士。若正式工护士报酬为10元/h，合同工护士报酬为15元/h，问医院是否应聘合同 工护士及聘多少名？ 第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析 • 对偶问题的数学模型 原问题一般模型： 对偶问题一般模型： maxZ=CX min ω=Yb AX ≤b YA ≥C X ≥0 Y ≥0 • 对偶问题的基本性质 • 一、单纯形法计算的矩阵描述(表2-3，表3-4，见书P54） • 二、基本性质（P57） • 1、弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标函数值，不大于其对偶问题任意可行解的 目标函数值。 • 2、最优性。 • 3、强对偶性。 • 4、互补松弛性。 三、影子价格 • 对偶问题的经济解释 • • • 这说明yi是右端项bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。 若原问题的价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。 若原问题的价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。 • 影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件 下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。 对资源i总存量的评估：购进 or 出让
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第五章 网络计划 • 一、绘制网络图 • 二、计算时间参数和求关键路线 • 1、事项时间：最早和最迟
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• 2、工作时间：工序最早可能开工时间与工序最早可能完工时间，工序最迟必须开工时间与 工序最迟必须完工时间 • 3、时差：工序总时差，在不影响其紧后工序最迟必须开工时间的前提下，本工序可以推迟 的时间 • 工序单时差：在不影响其紧后工序最早可能开工时间的前提下，本工序可以推迟的时间 • 图上计算法和表上计算法。 • 三、网络优化
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两个顶点同是最优解，其连线上的每一点都是最优解，即无穷多个最优解 。 判据：最优单纯形表中存在非基变量的检验数等于σk = 0。 • 无界解 LP问题的可行域无界，目标函数无限增大，缺乏必要的约束 。 判据：若某个σk ≥0所对应的系数列向量Pk′≤0（有进基变量但无离基变量），则是无 界解。 • 无可行解 若约束条件相互矛盾，则可行域为空集。 判据：最终单纯形表中人工变量仍没有置换出去，则没有可行解。 • 人工变量问题 • 没有单位列向量的约束方程，需加入人工变量 。 • 人工变量最终必须等于0才能保持原问题性质不变，在目标函数中令其系数为-M。 • M为无限大的正数，若人工变量不为0，则目标函数永远达不到最优，所以必须将人工变量 逐步从基变量中替换出去。 • 如若到最终表中人工变量仍没有置换出去，那么这个问题就没有可行解，当然亦无最优解。 •
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第一章 线性规划及单纯形法 • 线性规划主要解决有限资源的最佳分配问题 • 决策变量 决策变量的取值要求非负。 • 约束条件 存在一组决策变量构成的线性等式或不等式的约束条件。 • 目标函数 存在唯一的线性目标函数（极大或极小）。 • 求解方法： 图解法 单纯形解法 线性规划标准型 • 标准型 目标函数极大化， 约束条件为等式， 右端常数项bi≥0， 决策变量非负。 • • 非标准型向标准型转化 • 目标函数极小化问题 只需将目标等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。 • 右端常数项非正 将约束等式两端同乘以 -1 • 约束条件为不等式 当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量； 当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量(也可称松弛变量)即可。 • 决策变量xk没有非负性要求 令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0， 用xk′、x k〃 取代模型中xk 线性规划解的概念 •基 m个线性无关的约束方程，称为一个基，用B表示。 称基矩阵的列为基向量，用Pj表示(j=1,2,…,m) 。 • 基变量 与基向量Pj相对应的m个变量xj称为基变量 其余的m-n个变量为非基变量。 • 基解 令所有非基变量等于零，求出基变量的值， 基解是各约束方程及坐标轴之间交点的坐标。 • 基可行解：满足非负性约束的基解。 • 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 • 线性规划的解题思路 线性规划问题可以有无数个可行解，最优解只可能在顶点上达到。 顶点对应的是基可行解，故只要在有限个基可行解中寻求最优解。 从一个顶点出发找到一个可行基，得到一组基可行解， 以目标函数做尺度衡量是否最优：若不是，则向邻近的顶点转移，换一个基再求解、检 验，如此迭代使目标值逐步改善，直至求得最优解。 解的可能性 • 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解