球谐分析
最新球谐分析
球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points o n the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudinal direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referr ed to as sectoral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral.More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal se ts can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
球谐函数表
球谐函数表
球谐函数表是一种数学工具，用于描述球体上的函数。
球谐函数表将球体上的函数分解为一系列基本的函数，这些函数称为球谐函数。
球谐函数在物理学、化学、地球科学等领域中有广泛的应用。
球谐函数表通常包含了一系列球谐函数的值和公式。
这些函数可以用来描述球体上的各种物理量，例如温度、压力、电场、磁场等。
球谐函数表中的函数可以通过计算机程序进行计算，因此在实际应用中非常方便。
球谐函数表中的函数是通过对球体上的函数进行分解得到的。
这种分解方法称为球谐分解。
球谐分解是一种将球体上的函数分解成一系列基本函数的方法，这些基本函数称为球谐函数。
球谐函数的特点是它们在球体上具有对称性。
球谐函数表在物理学、化学、地球科学等领域中有广泛的应用。
例如，在化学中，球谐函数可以用来描述原子轨道的形状；在地球科学中，球谐函数可以用来描述地球表面的形状和重力场。
因此，球谐函数表是一种非常重要的数学工具。
基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征
沈阳建筑大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science)2 02 0年9月第36卷第5期Sep 2020Vol. 36, No. 5文章编号：2095 -1922(2020)05 -0827 -09 doi ：10.11717/j. issn ：2095 -1922.5220.55.57基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征苏栋吴炯7肖政健7黄聪7(1.深圳大学土木与交通工程学院，广东深圳517066；2.滨海城市韧性基础设施教育部重点实验室(深圳大学)，广东深圳517060)摘要目的探讨骨料颗粒的表征方法，研究点云数据的点数对表征参数的影响，以 及普通混凝土骨料颗粒和再生混凝土骨料颗粒几何特性的异同.方法利用数字光学投影(Digital Lighu Projection,DLP )成像技术对混凝土骨料颗粒进行三维扫描，获取 颗粒表面点的三维几何坐标，基于球谐函数分析(Spherical Harmouio Analyses )对不 规则颗粒进行三维重构和表征分析.结果重构的普通和再生骨料颗粒的最优点数分 别是30 000和55 000，两种骨料的球形度指标基本相同，但再生骨料的凸性较小；两种骨料的轴比指标接近，大部分骨料都属于球体形.结论数字光学三维扫描结合球谐函数计算可以对骨料颗粒进行精确重构和表征分析.关键词骨料颗粒;形状表征;三维扫描;球谐函数;最优点数中图分类号TU52文献标志码AGeometrical Characterization of Natural and RecycledAggregate Particles Based on 3D Scanning andSpherical Harmonia AnalyseeSU Dong 1，，WU Jiong 1 ,XIAO Zhengjian 1 , HUANG Cong 1(1 . Collepc of Civil ani 丁0血)0081100 Engineering ， Shenzhen University ， Shenzhen ， Chinl, 5 1 2066； 2. Unnernroond Polls Acalemy , Shenzhen University , Shenzhen , Chirm , 5 1 9060)Abstract ：3D scanning o f cencreta anhspata particles wrn performer by nsinnLighi Projection tecenolooy , ald 3D heometUc ceoOinates oO the particle snrface points were obuined. Sphericel harmonic functioo wcs nsen ta cendnct accurate tUree-dimensioucl recenshnction anZ characterizatioo oO 11X0)11110 particOs. Geemethc parameters oO reccustmcten parhcOs,he inOnence oO the numbes oO cloon points on particle characteOzation , as well as the similarities and differences in h^cmetric features oO 0x 0010 and receded anhspates are disetssed. The resnlts show that the收稿日期：2022 -04 -12基金项目：国家自然科学基金项目(5193202,51272416)作者简介:苏栋(1977—),男，教授，博士研究生导师，主要从事颗粒几何形态表征、土与结构相互作用等方面研究.828沈阳建筑大学学报（自然科学版）第36卷optimal numbes oO points are30000anZ50000foe ordinarf and receded achepates,resnectively. There is no significanr hiffednee in the sphedcith oO the two tyyes oO achopates,bet the ccnvexity oO receded achopates is henedOe smalleo.The asnect ratios oO the two tyyes oO achopates are closs and mosh oO he particles belonz to spheoiV.Key wordt:ceucrete achopate；hepmewic chaoctedzation；tUree-dimedsional scanninz；sphedcal harmonic functioo；the000x1101numbes骨料颗粒是建造行业重要的原材料，需求量大且质量要求较高，再生骨料的使用对绿色建筑的发展有重大意义，是混凝土行业实现可持续发展的重要途径[1-2].骨料在混凝土中主要起骨架和填充作用,同时可以减少混凝土硬化过程中因干缩湿胀引起的体积变化，而在硬化后，混凝土骨料颗粒的三维几何特征对混凝土的力学性能起重要作用卩-1.目前,国内外对混凝土骨料颗粒的几何特性研究虽然为数不少,但是很长一段时间都集中在混凝土骨料颗粒的二维几何特性方面,在三维层面上的研究的方法较为局限,研究手段单一，研究成果也较少.J.M.R.Fernlund等⑸提出了一种基于图像分析的粗骨料颗粒形状测定方法,该方法通过颗粒平躺和站立姿态的两张图像分析颗粒的长厚比、长宽比和宽厚比,其结果与片状和形状指数试验的测试结果接近.D.ASAHNA等⑷利用三维激光扫描仪（LS）经典投影面积法（PAM）和现代X射线计算机断层扫描（CT）,对同一套岩石进行扫描，获得岩石表面点的坐标，并估算出其体积、比表面积和密度.D.SU等⑺和付茹等⑻通过“XCT试验，获取砂土颗粒的三维像素信息，并基于球谐函数对砂土颗粒的几何形态进行了分析和表征.研究表明,通过CT试验获取颗粒几何形态数据的成本较高,且适用的粒径范围较窄;而基于球谐函数分析，可准确表征三维颗粒不同层级的几何特性.基于上述分析，笔者通过数字光学投影（Digital Light Projection,DLP）成像技术对混凝土骨料颗粒和再生骨料颗粒进行非接触式三维扫描,获取颗粒表面的点云数据;利用基于球谐函数的计算几何分析，得到颗粒三维几何特性参数，包括表面积、体积、球形度、凸性和主要尺寸（长轴、中轴和短轴）等；基于计算结果，对混凝土骨料和再生骨料颗粒的几何形态进行了对比研究.结果表明:两种骨料颗粒的球形度指标基本相同,但再生骨料的凸性较小;两种骨料的轴比指标接近,大部分颗粒都属于球体形.1骨料颗粒三维扫描和颗粒表面点云模型的建立1.1骨料颗粒预处理及三维扫描从某建筑材料堆放场随机选取190个普通骨料颗粒（颗粒编号1~100）和190个再生混凝土骨料颗粒（颗粒编号191-220）进行三维扫描以获取颗粒表面的点云数据.首先浸泡、洗净混凝土骨料颗粒,保持样本混凝土骨料颗粒表面的洁净和真实，再将混凝土骨料颗粒烘干；由于DLP技术对所扫描的混凝土骨料亮度有一定的要求，因此扫描前利用着色剂对混凝土骨料颗粒进行着色处理,如图1所示.图1着色处理后的混凝土骨料颗粒Fig.l A cencreta aggogata particle aOco celoringWeatment第5期苏栋等:基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征829笔者采用华朗三维扫描仪（型号：HL- 3DX + ）对混凝土骨料颗粒进行三维扫描，该 扫描仪基于数字光学投影原理，并配备了两种模式的摄像头和高质量的投影仪，确保了云点的高分辨率.基于三角测量原理，三维扫描仪放映机对扫描对象发出格栅光线，经过物体反射后通过立体相机接收其反射光束，将获 得的两条光线信息建立立体投影关系,通过两个摄像头的和投影扫描点构成了一个三角形,运用三角测距原理来对被测物体进行坐标点 的解算，最后得到了被测点的三维坐标.该扫 描仪可以扫描几毫米到几十米大小的物体，通过扫描软件的全自动智能拼接功能可实现骨 料颗粒表面三维点云模型的建立（见图9）.图2颗粒三维点云模型Fig. 2 3D point cloud model of a particle1.2骨料颗粒三维点云模型的精简通过三维扫描得到各颗粒的点云数据一般超过290 000个点，这些点云数据虽然精度高,但数据密度也比较大，存在大量的冗余 数据，且不同颗粒的点云数据存在一定差异, 在使用程序处理和计算不同数量点的颗粒表面特征时,运行的时间有较大的区别.因此,在保留点云数据特征点的情况下,对这些点云数据进行数据精简处理，以提高计算效率,减少存储空间.笔者把1 ~ 100号混凝土骨料颗粒的点云精简成100 000、82 000 ,55 000、30 000、29 000、10 000、8 000、5 000、3 000 个点，把10 1 ~290号再生混凝土骨料颗粒的点云精简成 105 000,100 000,80 000,55 000 ,30 000,22 000,10 000个点进行分析计算,以找到能表征骨料颗粒三维几何特性最适合的点云数量.图3给出了一颗普通混凝土骨料在点云精简过程中的模型变化.2骨料颗粒三维形态的重构获得骨料颗粒的精简模型后，提取各个精简模型数据点的三维几何坐标,再基于球谐函数重构颗粒的三维形态.三维颗粒表面 形态的重构包括以下步骤J ）确定颗粒中心的坐标和主惯性轴的方向;2）将坐标系的原点移至颗粒中心，旋转颗粒，使颗粒的三个主惯性轴方向分别与坐标系的x 轴,y 轴和z 轴一致;3）计算颗粒表面每个数据点的在坐标系中的极角和方位角；4）利用颗粒点云的极图3普通混凝土骨料在点云精简过程中的模型变化Fig. 3 Model evolutiou during the process of cloud poinireductiou230沈阳建筑大学学报(自然科学版)第36卷角和方位角和三维直角坐标进行球谐分析和颗粒表面形态重构•重构颗粒表面的顶点坐标集表示为X二(c,,)，通过球谐分析，其将表示为相应极角和方位角的函数,即：X(0,°)二(x(0,°),y(0,°),)(0,卩)).(1)式中2和分别极角和方位角⑺•对于三维星形颗粒，由于颗粒表面任何一点到原点的距离(即半径)是0和cp的单值函数，因此只需要对半径厂进行球谐展开，即：8g厂(O,p)=Y Y c：n Y：(0,p)•(2)=0m=-g式中2篇为球谐函数系数；(0,p)定义为加M0时，Y(%)槡2；；99儒!乜(us”coss m p).(3)加＜0时，Y m(o,p)二/(2g+1)(g-Iml)!槡4n(g+ImI)!P g mI(110)cas(I ml p).(4)式中:Pm(case)为与g度、m阶有关的勒让德函数(Lepeddre functioo),勒让德函数的表达式为P m(c)=(-1)m(1-x2)"f m P g()•(5)d x式中:P“()是g次勒让德多项式.需指出，式(2)中g的取值决定了颗粒重构模型的精度⑺，一般g值越大，精度越高,但重构过程中的计算量越大，本研究取二1进行骨料颗粒表面的重构和几何形态分3三维骨料颗粒几何形态表征分析基于球谐函数和计算几何，对重构骨料颗粒的三维几何形态进行表征,计算并比较的几何特性参数包括表面积、体积、球形度、凸性、主尺度(长轴、中轴和短轴)等.对于天然骨料，以100000个数据点的颗粒模型的分析结果为基准,其他精简模型的分析结果与其对比，以找出能表征骨料颗粒三维几何特性最优(最少)的数据点个数.3・1表面积利用基于球谐重构的表面网格计算骨料颗粒的表面积，其为所有微面元面积的总和⑻，即卩s a=Y1n x质•(6)式中:S a为骨料颗粒表面积;•和C o分别为第o个面元所包含的顶点.对比基于各精简模型与基于100000数据点模型计算出的表面积，计算误差百分比,以混凝土骨料颗粒的标号为横坐标,表面积误差百分比为纵坐标，结果如图4所示.从图中可以看出,3000个数据点模型所计算出的表面积中有个别骨料颗粒的误差较大，最大的一个超过3%，这说明在该模型中，颗粒较多局部特征已经丢失，导致个别形状比较特殊的骨料颗粒在计算中出现较大的误差.图4同时表明，当数据点超过5000时,表面积计算误差基本低于15%，超过30000点时,计算误差已经基本小于1%.图4各精简模型表面积计算误差Fn4Calculatiou erroo oO sprfaca aree based ou each simplified100134体积采用球谐函数的实数表达形式,可通过式(7)计算重构骨料颗粒的体积⑼:y=\[((O,p)siZd0dp.(7)第5期苏栋等:基于三维扫描和球谐分析的骨料和再生骨料颗粒形状表征831对比基于各精简模型与基于100000数据点模型计算出的体积，计算误差百分比，结果如图5所示.基于各精简模型计算的体积与100000点模型体积的误差均低于】％,当数据点超过5000时，计算误差基本低于0.8%,超过30000点时,计算误差已经基本小于0.4%.对比图4和图5,各精简模型的体积误差小于表面积误差，说明体积指标比表面积指标对精简点数量不同而产生误差的敏感度低.0102030405060708090100混凝土骨科颗粒编号图5各精简模型体积计算误差Fig.2Calcelatiou errut of volumv based ou each simplified modvC3.2主要尺寸主要尺寸包括长轴Q、中轴b和短轴c,它们是直接描述颗粒形状或评估其他形状描述指标的重要参数3一⑵.为了评估主要尺寸,首先基于主成分分析确定重建颗粒表面的主轴的方向.旋转重建骨料颗粒以使主轴与笛卡尔轴对齐,然后即可测量主尺寸Qb 和c⑴-⑷.对比基于各重构模型与100000数据点模型计算出的长轴、中轴和短轴，计算误差如图6、图7和图8所示.由图6可知，3000个数据点模型所计算出的长轴有个别骨料颗粒的误差较大，最大的一个超过12%，这说明在该模型中，由于较多局部特征的丢失，颗粒形状与原形状已经出现较大的区别.当模型数据点超过30000时，计算误差基本低于4%,0000数据点模型的长轴误差基本低于】％•由图7和图8可知，中轴和短轴的计算误差规律与长轴基本一致.Fig.6Calcelatiou errot of major axicFig.2Calcelatiou evoe of intermediate axicFig.2Calcelatiou errot of migot axis3.2球形度球形度(S)用来衡量颗粒与球体的接近程度•将球形度定义为等同球体(具有与被研究颗粒相同体积)的表面积与颗粒表面积的比值［⑸:S槡36nU2()对比基于各精简模型与基于100000数据点模型计算出的球形度，计算误差百分比,结果如图9所示.3000个数据点模型所计算出的球形度有个别骨料颗粒的误差较大，最大的一个接近3%.当数据点超过5000时,误差基本低于04%，超过3。
地 磁场球谐系数
地磁场球谐系数地球是一个巨大的磁球体，周围环绕了一个强大的磁场。
这个磁场驱动了地球上每一粒磁性物质的运动，同时还起到了保护地球免受太阳风暴和宇宙射线的影响的作用。
但是，地球磁场的复杂性和变化性导致我们难以完全理解它的本质。
地磁场可以用球谐函数来展开，这种方法可以将地磁场分解成不同频率的振动。
球谐函数是一种标准的数学工具，它可以分解出几乎所有交换对称性球形界面上的函数。
球谐函数是球坐标系下的函数，它们可以描述任何一个旋转对称的物理场。
用球谐函数展开地磁场，可以帮助我们更好地研究地球磁场的性质和变化。
地磁场球谐系数表示每个球谐函数的振幅，它们可以用来描述地球磁场的强度、方向和形状等特性。
地磁场球谐系数可以通过在地球表面或磁层中的磁力计观测得到。
在地球磁场的球谐系数中，一些重要的系数被称为“国际地球磁场参考场（IGRF）”，它们被广泛应用于地球物理、导航和卫星通信等领域。
IGRF包括10个球谐系数，分别是g1^0、g2^0、g3^0、g4^0、g5^0、h1^1、h2^1、h3^1、h4^1和h5^1。
其中g1^0表示零阶球谐系数，表征地球磁场在赤道上的强度。
g2^0和g3^0表示一级和二级球谐系数，表征地磁场在磁北极和磁南极附近的强度。
g4^0和g5^0表示三级和四级球谐系数，表征地磁场在高纬度区域的强度。
h1^1、h2^1、h3^1、h4^1和h5^1都是一级球谐系数，它们表示地磁场的方向和形状等特性。
地磁场球谐系数的测量和研究对于深化我们对地球磁场的认识有着重要的作用。
通过测量和观察球谐系数的变化，我们可以更好地理解地球磁场的演化过程，甚至可以为我们预测太阳爆发和地球磁暴等天文事件带来的可能影响。
总之，地球磁场球谐系数是地球磁场研究中至关重要的参数。
它们可以帮助我们更好地了解地球磁场的本质和变化，为我们研究地球磁场的机理和应用地球磁场提供基础和依据。
除了帮助我们理解地球磁场的本质和变化，地球磁场球谐系数还可以在很多应用中发挥着关键作用。
球谐函数小结
球谐函数小结
球谐函数是描述球面上的函数，球面上的函数可以表示为一组基函数的线性组合，球谐函数是一组正交归一的基函数。
球谐函数在物理学和数学中有广泛的应用，特别是在量子力学、电磁学和地球物理学中。
球面上的函数可以表示为球谐函数的线性组合，球谐函数是一个连续谱，其参数为两个整数l和m，其中l表示角向量的长度，m表示角向量的方向。
球谐函数是通过对球面上的函数进行积分得到的。
球谐函数满足正交归一性的特性，即两个不同的球谐函数的内积为0，同一个球谐函数的内积为1。
这使得球谐函数可以用于展开球面上的函数，类似于傅里叶级数可以用于展开周期函数。
球谐函数具有良好的旋转不变性，即对球面上的旋转操作保持不变，这是由于球谐函数是由球面上的函数通过积分得到的。
这一特性使得球谐函数在物理学中有广泛的应用，特别是在描述自旋和轨道角动量的量子力学问题中。
球谐函数在电磁学中的应用包括描述电磁波的传播和散射，以及描述电磁场的边界条件。
球谐函数在地球物理学中的应用包括描述地球重力场和地球磁场的分布。
球谐函数还在计算机图形学中有广泛的应用，特别是在渲染和图像处理中。
球谐函数可以用于描述光照和材质的反射性质，
用于计算全局光照和间接光照的效果。
球谐函数也可以用于图像压缩和图像编辑等任务。
总结起来，球谐函数是一组正交归一的基函数，用于描述球面上的函数。
球谐函数具有正交归一性、旋转不变性和良好的连续性等特性，广泛应用于物理学、数学、计算机图形学等领域。
通过对球谐函数的理解和应用，可以更好地理解和解决与球面上的函数相关的问题。
球谐分析方法确定重力场
m =0 N max n=m N max N max n=m * Pnm (cos θ ) + sin mλ ∑ C nm N max n=m
∑ Dnm Pnm (cosθ )]
（5-1-8）
~ 显然，上式中只需要 2( N + 1) 次计算三角函数。记
A(m, θ ) =
改进的计算方法
以下给出不同的勒让德函数的计算方法。首先由勒让德函
数的递推公式
Pn ,m + 2 ( x) = 2(n + 1)
令 m = n −1得
x 1− x2
Pn , m +1 ( x) − (n − m)(n + m + 1) Pn ,m ( x)
Pn , n −1 ( x) =
又上式可以变化为
以用递推公式（5-1-11）式计算，也可以用以下结果计算。
可以导得相应的规格化的递推公式：
P0, 0 ( x) = 1 ，
Pn +1, n +1 ( x) =
P1,1 ( x) = 3 1 − x 2
（5-1-11） （5-1-12）
2n + 3 1 − x 2 Pn ,n ( x) 2n + 2 Pn +1,m ( x) = a n x Pn ,m ( x) − bn Pn −1, m ( x)
（5-1-5） （5-1-6）
以上就是利用地球（引力或重力）位系数（亦称地球重力模型） C nm 、 D nm 计算大地 水准面高 N 和重力异常 ∆g 的公式。
常规计算方法 首先，在实际计算过程当中，大地水准面高 N 的计算公式
（ 5-1-7 ） 中 的 地 球 位 系数 的 个 数 不 可能 是 无 穷个 ， 它 总 是 一个 有 限 值， 设 为 ~ N max = N ，即（5-1-7）式可改写为
利用球谐系数计算函数值及利用EGM球谐系数计算重力异常
利⽤球谐系数计算函数值及利⽤EGM球谐系数计算重⼒异常球谐分析（如重⼒场）是将地球表⾯观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度⼀般地，Pnm为完全归⼀化的缔合勒让德多项式，其与⽆归⼀化的缔合勒让德多项式的Pnm0的关系为：Pnm=(-1)^m*sqrt(k*(2N+1)(N-M)!/(N+M)!)Pnm0其中k=1,当 m=0k=2,当m>0在Matlab中，有现成的缔合勒让德多项式：-----------------------------------------------------------------------------------LEGENDRE Associated Legendre function.P = LEGENDRE(N,X) computes the associated Legendre functionsof degree N and order M = 0, 1, ..., N, evaluated for each elementof X. N must be a scalar integer and X must contain real valuesbetween -1 <= X <= 1.If X is a vector, P is an (N+1)-by-L matrix, where L = length(X).The P(M+1,i) entry corresponds to the associated Legendre functionof degree N and order M evaluated at X(i).There are three possible normalizations, LEGENDRE(N,X,normalize)where normalize is 'unnorm','sch' or 'norm'.The default, unnormalized associated Legendre functions are:P(N,M;X) = (-1)^M * (1-X^2)^(M/2) * (d/dX)^M { P(N,X) },where P(N,X) is the Legendre polynomial of degree N. Note thatthe first row of P is the Legendre polynomial evaluated at X(the M == 0 case).SP = LEGENDRE(N,X,'sch') computes the Schmidt semi-normalizedassociated Legendre functions SP(N,M;X). These functions arerelated to the unnormalized associated Legendre functionsP(N,M;X) by:SP(N,M;X) = P(N,X), M = 0= (-1)^M * sqrt(2*(N-M)!/(N+M)!) * P(N,M;X), M > 0因此，由sch正交化得到⼤地测量中的完全正交化，需要乘以renorm,其中renorm为sqrt(2*N+1)NP = LEGENDRE(N,X,'norm') computes the fully-normalizedassociated Legendre functions NP(N,M;X). These functions areassociated Legendre functions NP(N,M;X). These functions arenormalized such that/1|| [NP(N,M;X)]^2 dX = 1 ,|/-1and are related to the unnormalized associated Legendrefunctions P(N,M;X) by:NP(N,M;X) = (-1)^M * sqrt((N+1/2)*(N-M)!/(N+M)!) * P(N,M;X)因此，由norm正交化得到⼤地测量中的完全正交化，需要乘以renorm,其中renorm=sqrt(2)，当m=0renorm=2,当m>0下⾯的函数使⽤matlab中的缔合勒让德函数legendre来由球谐系数计算球谐函数-----------------------------------------------------------------------------------例⼦1：确定CMB地形(数据来⾃Morelli,1987,nature)下⾯%{ %}注释掉的分别为使⽤matlab legendre函数的sch正交化和norm正交化，然后进⾏modify的结果。
球谐分析教学提纲
球谐分析球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points on the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated L egendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudinal direction, the trigonometric si n and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referre d to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sec toral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral.More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal sets can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
地球物理勘探之磁法勘探
n 1 m 0 n
1 r
m m m [ A cos( m ) B sin( m )] P (cos ) n n n n 1
(2)
式中， 合勒让德函数
m n
m Pn (cos ) 为施密特准归一化的缔
Cm (n m)! 1 dm m 2 P (cos ) [ ] (sin ) P n (cos ) (n m)! d (cos ) m
X= (
n=1 m=0 N n N n
R n2 m d m m ) [ g n cos(m ) hn sin(m )] P n (cos ) r d R n2 m m m ) [ gn sin(m ) hn cos(m )]Pnm (cos ) r sin R n2 m m ) [ g n cos(m ) hn sin(m )]Pnm (cos ) r (4)
（3）在北半球T向下，磁倾角I为正；在南半球磁场T向上，I为负。
地下介质在这里被“倾斜磁化” （4）在两极附近某处，I达到±90°，H为零，Z的绝对值最大， 它们就是地球的磁极。在地理北极附近的叫“磁北极”，它具有S 极的极性；在地理南极附近的叫“磁南极”，它具有N极的极性。
处于这两个磁极附近的地下介质被“垂直磁化”
每十年编绘一次
根据各地的地磁要素随时间变化的观测资料，还
可求出相应的年变率。同样可以编制出相应年代的要素年变率 等值线图。这类图件一般可以适用五年，与地磁图合 用可以求得五年中某一年的地磁要素值。由于地磁场 存在长期变化，因此，在使用地磁图时必须注意出版
的年代，及相应年代要素的年变率地磁图。
这两类物质的磁化率皆为常量，在受到很小的地磁场磁化后，它们所显示 的磁性也很微弱，在磁法勘探中将它们看成是无磁性的物质。
球谐分析方法确定重力场
球谐分析方法确定重力场要确定重力场，我们可以将重力场看作是一个球面上的函数。
根据球谐分析方法，我们可以将重力场表示为一组球谐函数的线性组合。
首先，我们需要定义球坐标系。
球坐标系由一个原点和三个坐标轴组成，分别是径向坐标r、极角θ和方位角φ。
其中，极角θ表示与正z轴的夹角，范围为0到π，而方位角φ表示与正x轴的夹角，范围为0到2π。
接下来，我们需要定义球谐函数。
球谐函数是球坐标系下的一组基函数，用来表示球面上的函数。
球谐函数的一般形式为:Y(l,m)(θ, φ) = (-1)^m * √((2l + 1) * (l - m)! / (4π * (l + m)!)) * P(l,m)(cosθ) * e^(imφ)其中，l和m是整数，满足0 ≤ l ≤ ∞, -l ≤ m ≤ l。
Y(l,m)(θ,φ)表示球谐函数的值，P(l,m)(cosθ)是勒让德多项式，e是自然对数的底数。
球谐函数具有一些特殊的性质，比如正交性和归一性。
利用这些性质，我们可以将实函数在球坐标系下展开成球谐函数的级数和。
假设重力场G是一个实函数。
根据球谐分析方法，我们可以将G表示为一组球谐函数的线性组合:G(r,θ,φ)=ΣΣC(l,m)*Y(l,m)(θ,φ)其中，C(l,m)是展开系数。
通过求解这组展开系数，我们就可以确定重力场G。
为了确定展开系数C(l,m)，我们可以借助球谐函数的正交性进行计算。
具体来说，在球面上进行积分G * Y(l',m')*sinθ*dθ*dφ，并满足正交条件，我们可以得到:C(l,m) = ∫∫ G * Y(l',m') * sinθ*dθ*dφ这样，我们就可以通过计算上述积分来求解展开系数C(l,m)。
在实际应用中，通常使用数值积分的方法来进行计算。
最后，我们可以通过将展开系数C(l,m)代入展开式，得到重力场G 的表达式。
这个表达式可以在球坐标系下描述重力场的变化。
旋转球谐系数
旋转球谐系数
球谐函数是一组用于描述球面上角度分布的函数。
旋转球谐系数指的是将球谐函数进行旋转时所产生的系数。
球谐函数可以表示为：
Y(l,m)(θ,φ) = √[(2l+1)/(4π)(l-m)!/(l+m)!]P(l,m)(cosθ)e^(imφ)
其中，l和m是整数，满足-l ≤ m ≤ l，θ是极角，φ是方位角，P(l,m)是勒让德多项式。
当将球谐函数进行旋转时，可以用旋转矩阵来描述。
旋转矩阵可以将原来的球谐函数表示为新的球谐函数的线性组合，并且变换前后函数之间的关系可以用旋转球谐系数来表示。
旋转球谐系数表示为d(l, m, l', m')，其中l和m表示原来的球谐函数的角动量和磁量子数，l'和m'表示旋转后的球谐函数的角动量和磁量子数。
旋转球谐系数的计算可以用Wigner D矩阵来实现。
Wigner D 矩阵是描述角动量变换的矩阵，可以将球谐函数从一个坐标系转到另一个坐标系。
旋转球谐系数在实际应用中有很多用途，例如在量子力学中用于描述角动量耦合和旋转对称性，以及在计算机图形学中用于描述球面上的光照和纹理映射等。
区域面波群速度反演的球谐函数法
区域面波群速度反演的球谐函数法
一个定义在球面局部区域的复杂的面波速度函数如果直接利用球谐函数拟合可能需要展开到很高阶的球谐系数.通过保角变换,把一个球面局部区域扩展到球面上更大的区域上,变换过程中面波速度保持不变,在变换后的球面域上用球谐函数来拟合速度函数,达到降低球谐系数阶数的目的,使面波群速度的反演变成了球谐系数的线性化反演.通过球谐系数分析,可得到反演的分辨率.该方法不仅适用于面波群速度反演,同样适用于各
种球面区域场的分析.。
3.3球谐函数
3.3球谐函数<i>数理方法资料</i>§3.3 球谐函数一、球谐函数的推导由球函数方程及其自然边界条件1 1 2Y(θ, ) Y(θ, )sinθ θ sinθ θ +sin2θ 2+l(l+1)Y(θ, )=0（1）Y(θ, )单值（即Φ( )=Φ( +2π)）Y(θ, )有限1、实数形式的球谐函数：Ylm(θ, )=Plm(cosθ)(Cmcosm +Dmsinm ),2、复数形式的球谐函数：(l=0,1,2,L;m=0,1,2,L,l) （2）本征函数Φm( )=Amcosm +Bmsinm ，本征值m=0,1,2Ll 由欧拉公式eim +e im cosm =2eim e imsinm =2ieim +e im eim e imΦm( )=Am+Bm22i11=(Am iBm)eim +(Am+iBm)e im 22=Cmeim m=0,±1,±2L即Φm( )=Cmeim所以，复数形式的球谐函数可写为：m=0,±1,±2L,±l （3）Ylm(θ, )=Plm(cosθ)eim ,另外，由于Plm(l=0,1,2,L;m=0,±1,±2,L) （4）2(cosθ)的模Nlm=l+m!2，eim 的模为l m!2l+1∴归一化的球函数写为：m（5）其中，( 1)是归一化常数的相角，l称为球谐函数的阶。
l球谐函数Ylm(θ, ),(m=0,±1,±2,L,±l)共有2l+1个不同函数，相互独立，均满足球函数<i>数理方法资料</i>方程，这种情况，称为2l+1度简并。
这样定义的球谐函数Y(θ, )的模为1，即∫∫π2π(θ, )sinθdθd =1 （6）Ylm(θ, )Ylm二、球谐函数的正交性2π由于e∫im2π,(e)d =0,im′m=m′m≠m′1∫π(l+m)!2,Plm(cosθ)Pl′m(cosθ)sinθdθ=∫Plm(x)Pl′m(x)dx= l m!2l+11 0,l=l′l≠l′∴对于归一化的球谐函数Ylm(θ, )具有如下的正交形式：∫∫π2π1,()=Ylm(θ, )Yl ,sinddθ θθ 'm'0,l=l′,m=m′（7）′′l≠l,m≠m三、球谐函数的广义傅里叶级数对于0≤θ≤π,0≤ ≤2π上的单值有限函数f(θ, )，可以以{Ylm(θ, )}为基展开二重广义傅里叶级数f(θ, )=∑l=0∞m= l∑CllmlmY(θ, ) （8）系数π2πClm=∫∫(θ, )sinθdθd （9）f(θ, )Ylm四、l=0,1,2时球谐函数的表达式：Ylm(θ, )=( 1)m2l+1l m!Pm(x)eiml4πl+m!Y10(θ, )=3cosθ4π5Y20(θ, )=3cos2θ 116π15Y2±2(θ, )=sin2θe±2i32π1()Yθ, = 004π3()Yθ, msinθe±i = 1±18π15 ±i()Yθ, msinθcosθe=2±1 8π例题：将f(θ, )=3sin2()θcos2 1在0≤θ≤π,0≤ ≤2π上展开以{Ylm(θ, )}为基的广义傅里叶级数<i>数理方法资料</i>i+e i 222 e f(θ, )=3sinθcos 1=3sinθ 1 23=sin2θ(e2i +e 2i +2) *****=sin2θe2i +sin2θe 2i +sin2θ 14421 ***-***** 1522i2 2isinθe +sinθe (3cos2θ 1)=415 8π 2 415 8π2=6622(θ, )+2, 2(θ, ) 220(θ, )555P269 12.16 （3）12x+2z2+3xy+4xz展开以Ylm(θ, )为基的广义傅立叶级数2r ()x=rsinθcosy=rsi nθsin z=rcosθ∴12x+2z2+3xy+4xz2r=sin2θcos2 +2cos2θ+3sin2θsin cos +4sinθcosθcos()32e2i e 2i ei +e i +e i 2 e2+2cosθ+sinθ+4sinθcosθ=sinθ 222i21113i3i=sin2θe2i +sin2θe 2i +sin2θ+2cos2θ sin2θe2i +sin2θe 2i *****+2sinθcosθei +2sinθcosθe i 1113i3i=sin2θe2i +sin2θe 2i +3cos2θ 1+1 sin2θe2i +sin2θe 2i *****+2sinθcosθei +2sinθcosθe i2()1()θ Y,= 003Q Y1±1(θ, )=msinθe±i8π15 ±i()Yθ, msinθcosθe=21± 8π代入上式Y10(θ, )=3cosθ4π5Y20(θ, )=3cos2θ 116π15Y2±2(θ, )=sin2θe±2i32π()<i>数理方法资料</i>原式=132π132π1π3i32π22+2 2+20+4Y00 224*****i32π8π8π2 2 221+22 1***-*****=2Y00+2+3i520+*****+2 2 3i***-*****2222 2 421+42 ***-*****=2Y00+2π520+2π(1 3i)Y22+2π(1 3i)Y2 2 42π21+42π2 ***-*****5。
位场球谐分析的基本理论
第二章 位场球谐分析的基本理论球谐分析是卫星重力和磁场数据分析解释主要工具。
地球外部的重力场可以表示成球谐级数形式，同时，通过不同阶次的球谐展开，可以对地球重力场进行分析，以达到显示地球重力场特征，进而研究地球重力异常各种成因的目的。
本章主要介绍论文所涉及的球谐分析的一些基本理论。
§2.1 位场拉普拉斯方程的解可以证明，地球外部引力场是调和的，其满足拉普拉斯方程。
在不同的坐标系中，拉普拉斯方程有不同的形式，为了便于讨论，本节分别对直角坐标系和球坐标系中拉普拉斯方程的求解进行讨论。
2.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解假设V 表示地球引力位，其为直角坐标系中空间点(x , y , z )的调和函数，则有∇2V =0，即0222222=∂∂+∂∂+∂∂zVy V x V (2-1) 用分离变量法解方程，令)()()(),,(z Z y Y x X z y x V =代入方程（2-1）则有0''''''=++ZZ Y Y X X 式中X ", Y ", Z "分别为X , Y , Z 对x , y , z 的二次导数。
解方程，得V (x , y , z )的一般表达式])exp[()sin cos ()sin cos ()()()(),,(2/12200z k k y k D y k C x k B x k A z Z y Y x X z y x V nmn n n n n m m m m m +++==∑∑∞=∞=其中n n m m D C B A ,,,为待定常数，根据边界条件来确定。
2.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解在球坐标系中，引力位V 可表示为空间点(r , θ, λ )的函数，即V (r , θ, λ )，其中r 为点的坐标径向距离，θ 为余纬度，λ 为经度，如图2-1所示。
引力位V 的拉普拉斯方程可表示成0sin 1sin sin 112222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂λθθθθθVrV r r V r r r (2-2)图2-1 球坐标系同理，可以用分离变量法解方程(2-2)，即令)()()(λθL T r R V =代入方程(2-2)，则有01sin sin sin 2222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂λθθθθθLL T T r R r r R (2-2a) 上式中只第三项与λ有关，则第三项是一常数。
球谐函数的性质
目录一般背景及注示正交变换加法定理表示定理加法定理的应用Rodrigues公式Funk-Hecke公式球谐函数的积分表示连带勒让德函数勒让德函数的性质微分方程球谐函数的拓展参考文献基本背景和记号：令()1,,q x x 是q 维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有()()22221qx r x x ==++。
表达式 x r ξ= 这里 ()1,,1q ξξξξ==和 1)表示的是q 维单位球面上的笛卡尔系的点，记为q Ω，它的曲面元素为q d ω，其全部曲面为q ω，是由qq qd ωωΩ=⎰表示出来的。
由定义我们设2q ω=，接着我们有232;4ωπωπ==。
如果向量1,,q εε可以构成一个正交系，我们可以用<1>1;11,q q q q q t t t ξεεξ-=⋅-≤≤= 来表示q Ω上的点,而1q ξ-是由1,,q εε张成的空间的单位向量。
这时单位球面上的曲线元素可以写成()3211q q q d t dtd ωω--=-我们由上面可以得到 ()3122111q q q q t dtd ωω-+-Ω-=-⎰⎰上面积分式子的右边可以转化为()312120112212q q d q μμμ---⎛⎫⎛⎫ΓΓ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⎛⎫Γ ⎪⎝⎭⎰，当q=2,3,…。
<2>()21111222222qq q q q q q πωωω--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记<3> 22212q q x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∆=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭为拉普拉斯算子，这时我们引入定义1:令()n H x 为q 维的n 次齐次多项式，同时满足()0q n H x ∆=这时称()1()()n n n nS H r H r ξξξ==为q 维的n 次（规则）球面调和函数。
由此我们马上可以得到：引理1: ()()()1nn n S S ξξ-=-令()n H x 和()m H x 是两个次数分别为n 和m 的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到()()()()10qnqm mqn n m q x H H H H d V H H m n d ξξω≤Ω=∆-∆=-⎰⎰， 同样地，在q Ω上n H 和m H 的法向导数分别为()()()()11m m n n r r H r mH H r nH r r ξξξξ==∂∂⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭和因此由定义（1）我们可以得到 引理2:对于m ≠n 时，有()()0qnmqS S d ξξωΩ=⎰，任何q 维的齐次多项式可以由下面式子代替（4） 110()(,,)()nj qn jq n j x Ax x H x --==∑其中11(,,)n j q A x x --是在点11,,q x x -的()n j -阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式 21()q q qx -∂∆=+∆∂ 得到（5） 2212()(1)()()jnn j q n qn j q q n j j j H x j j x A x A -----==∆=-+∆∑∑由系数相等我们的得到：12(2)(1)q n j n j A j j A ----∆=-++，因此，若已知n A 和1n A -，则所有的多项式j A 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与n A 和1n A -的系数的数量相等。
球谐分析
球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points on the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zer os of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudin al direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harm onic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ= |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sectoral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral. More general spherical harmonics of degree ℓare not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal sets can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
球谐函数实验报告
一、实验目的1. 理解球谐函数的基本概念及其在三维空间中的应用。
2. 掌握球谐函数的展开与计算方法。
3. 利用球谐函数拟合三维空间中的物体，分析其效果。
二、实验原理球谐函数是一种用于描述三维空间中球对称性的函数，它是一组正交函数，可以用来表示球面上的任意函数。
在三维空间中，球谐函数可以用于拟合物体的表面，分析光照效果等。
球谐函数的展开公式如下：f(r, θ, φ) = Σlm amYlm(θ, φ)其中，f(r, θ, φ)为三维空间中的函数，am为展开系数，Ylm(θ, φ)为球谐函数。
三、实验内容1. 球谐函数的展开与计算（1）利用球谐函数展开公式，将三维空间中的函数f(r, θ, φ)展开为球谐函数的线性组合。
（2）计算球谐函数的展开系数am。
2. 球谐函数在三维空间中的应用（1）利用球谐函数拟合三维空间中的物体表面。
（2）分析球谐函数在光照效果中的应用。
四、实验步骤1. 准备实验环境（1）搭建三维空间模型，包括物体表面、光源等。
（2）选择合适的球谐函数展开阶数。
2. 球谐函数展开与计算（1）将物体表面上的点坐标转换为球坐标系下的坐标。
（2）利用球谐函数展开公式，将物体表面上的函数展开为球谐函数的线性组合。
（3）计算球谐函数的展开系数am。
3. 球谐函数在三维空间中的应用（1）将球谐函数展开结果应用于物体表面拟合。
（2）分析球谐函数在光照效果中的应用。
4. 实验结果分析（1）对比球谐函数拟合效果与原始物体表面的差异。
（2）分析球谐函数在光照效果中的应用效果。
五、实验结果与分析1. 球谐函数展开与计算在本次实验中，我们选取了一个三维空间中的简单物体表面作为研究对象，利用球谐函数展开公式将其展开为球谐函数的线性组合。
经过计算，得到了球谐函数的展开系数am。
2. 球谐函数在三维空间中的应用（1）物体表面拟合通过将球谐函数展开结果应用于物体表面拟合，我们可以看到拟合效果与原始物体表面非常接近。
这说明球谐函数在拟合三维空间物体表面方面具有很好的效果。
波函数 球谐函数
波函数球谐函数引言波函数是量子力学中描述粒子行为的主要数学工具，它包含了粒子在空间中的波动性质。
球谐函数是一类特殊的函数，广泛应用于物理学领域，尤其是描述球对称系统的量子力学问题。
本文将深入探讨波函数和球谐函数的基本定义、性质以及应用。
什么是波函数波函数（Wave Function）是描述一个粒子在时空中运动的数学函数。
它是量子力学中最基本的概念之一，可以用来计算粒子的位置、动量以及其他物理量的期望值。
波函数一般用Ψ来表示，其形式为Ψ(x, t)，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的物理意义可以通过波粒二象性来理解。
在经典物理学中，粒子被视为具有确定的位置和动量，而在量子力学中，粒子却同时具有波动性质和粒子性质。
波函数描述了粒子的波动性质，而根据波函数的模的平方，可以得到粒子在空间中的概率分布。
波函数的平方的积分即为1，表示粒子存在的概率为100%。
当波函数为实数时，表示粒子的运动态势；当波函数为复数时，则还包含了粒子的相位信息。
球谐函数的定义球谐函数（Spherical Harmonics）是解偏微分方程的一组特殊函数。
在量子力学中，球谐函数被广泛应用于描述具有球对称性质的物理系统，如电子在原子核周围的运动。
球谐函数一般用Y(l, m)来表示，其中l和m分别是球谐函数的量子数。
l代表轨道角量子数，取值范围为0、1、2、…；m代表磁量子数，取值范围为-l到l。
球谐函数的表达式相对复杂，通常用勒让德多项式和指数函数来表示。
球谐函数具有正交归一性，即不同的球谐函数之间满足正交关系，归一性表明在球面上对球谐函数的积分为1。
球谐函数的性质使其成为量子力学中的重要工具，可以用来表示粒子的波函数、求解薛定谔方程以及描述角度分布等。
波函数和球谐函数的关系波函数和球谐函数存在密切的关系。
具体来说，波函数可以用球谐函数展开，从而得到粒子在空间中的波动性质。
这种展开的过程叫做球谐函数展开。
球谐函数展开的数学表达式为：Ψ(x, t) = ∑(C(l, m) * Y(l, m))，其中C(l, m)为展开系数，表示波函数在不同的球谐函数上的投影。
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球谐分析，带谐，田谐，瓣谐
球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：
球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：
其中，theta为余纬，lambda：经度
如重力位可表示为：
带谐系数：coefficient of zonal harmonics
地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）
扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics
地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics
地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points o n the sphere where.
Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.
One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zeros of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudinal direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.
When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.
When ℓ = |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referr ed to as sectoral.
For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral.
More general spherical harmonics of degree ℓ are not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal se ts can be of a fairly general kind.[10]
360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
因此，different spherical harmonic degrees corresponds to different wavelength.。