2016年高考数学压轴题的分析与解(印刷版)兰琦著
2016年高考数学(文)押题精粹试题(全国卷,Word版,含答案)
2016年高考数学押题精粹试题 文（全国卷）本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题.选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题.1.若集合}02|{2<--=x x x A ，{2,0,1},B =-则A B 等于（ ）A.{}2B.}1,0{C.{1,0}-D.{1,0,1}-1【答案】B【解析】{|12},A x x =-<<{0,1}A B ∴=.2.若复数z 满足i 1i +=⋅z (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是（ ） A ．i 1-- B ．i 1+ C ．i 1+- D ．i 1- 【答案】B 【解析】试题分析：11,1izi i z i i+=+∴==-，所以z 的共轭复数是1i + 3.已知集合}ln |{},2,1,0{x y x B A ==-=，则R AB ð=（ ）A.}2{B.}2,0{C.{1,0}-D.{1,0,2}- 【答案】C【解析】解：},0|{}ln |{>===x x x y x B {|0},{0,1}.R RB x x AB ∴=≤∴=-痧4.已知z 是复数，则“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当0z =时，满足0z z +=，此时z 为实数；而当z 为纯虚数时，0z z +=，所以“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ． 5.下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．若“q p ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题B ．“1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件C ．“21si n =x ”的必要不充分条件是“6π=x ” D ．若命题0R 200≥∈∃x x p ，：，则命题0R 2<∈∀⌝x x p ，：【答案】C【解析】对于选项A ，由真值表可知，若“p∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，即选项A 是正确的；对于选项B ，由逻辑连接词或可知，“1=x ”能推出“1≥x ”；反过来，“1≥x ”不能推出“1=x ”，即选项B 是正确的；对于选项C ，因为1πsin 26x x ==，，π1sin 62x x =⇒=，命题中所说的条件是π6x =，即π6x =是1sin 2x =的充分不必要条件，即选项C 是不正确的；对于选项D ，由特称命题的否定为全称命题可得，选项D 是正确的.1311511326-⨯⨯=6.下图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体体积为（ ） A.16B. 45C.15D. 56【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体的直观图为棱长为1的正方体中挖空了一个正四棱锥，则该几何体体积为： 7.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为6416π+，则实数a 等于A.2B.4D.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个圆柱的14的组合而成，圆柱的底面半径和高均为a .三棱柱的底面是一个底为2a ，高为a 的三角形，三棱柱的高为a ，故该几何体的体积23112(1)6416244V a a a a a a πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=+，解得4a =.8.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”A.394 B.787 C.767 D.815【答案】B【解析】这是一个等差数列问题，不妨设从低到高的每个人所得的金为：1021,..,,a a a ,依题意有：7874243364431110984321=⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧=++=+++d d a d a a a a a a a a . 9.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ）A.16B.8C.4D.2 【答案】B【解析】当1a =-，2b =-时， (1)(2)26a =-⨯-=<； 当2a =，2b =-时， 2(2)46a =⨯-=-<； 当4a =-，2b =-时， (4)(2)86a =-⨯-=>， 此时输出8a =，故选B.10.执行如下图所示的程序框图, 则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．11 【答案】B【解析】11,lg lg31,3i S ===->-否；1313,lg +lg lg lg51,355i S ====->-否；1515,lg +lg lg lg 71,577i S ====->-否；1717,l gl799i S ====->-否； 1919,lg +lg lg lg111,91111i S ====-<-是，输出9,i =故选B ．11.执行如图所示的程序框图，如果输入的t x ,均为2，则输出的M 等于A ．21B ．23C ．25D ．27 【答案】B【解析】 当2x =时，2=M ，11122x -=<；12x =，52M =，1112x-=-<；1x =-，32M =，1122x -=≥，输出3.2M =12.语文、数学、英语共三本课本放成一摞，语文课本与数学课本恰好相邻放置的概率是 （ ）A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【答案】D【解析】三本书放一摞的所有可能为（语，数，英），（语，英，数），（数，语，英），（数，英，语），（英，语，数），（英，数，语）共6种放法，其中有4种情况符合条件，故数学课本和语文课本放在一起的概率为4263P ==. 13.在区间[]0,π上随机地取一个数x ,则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ）A.34 B.23 C.12 D.13 【答案】D【解析】由正弦函数的图象与性质知,当π5π[0,][,π]66x ∈时,1sin 2x ≤,所以所求事件的概率为π5π(0)(π)166π3-+-=,故选D ． 14.若点()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，则sin 2α的值等于（ ）A.54-B.54C.53-D.53【答案】A 【解析】∵点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，∴sin 2cos αα=-，∴tan 2α=-，222sin cos sin 2sin cos ααααα==+ 22tan 44tan 1415αα=-=-++. 15.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A ．607 B ．328 C ．253 D ．007 【答案】B【解析】根据题意依次读取数据，得到的样本编号为：253,313,457,860,736,253,007,328,，其中860,736大于700，舍去；253重复出现，所以第二个253舍去，所以得到的第5个样本编号为328，故选B ． 16.已知函数()sin cos ()f x x x R λλ=+∈的图象关于4x π=-对称，则把函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程为（ ） A.6x π=B.4x π=C.3x π=D.116x π=【答案】D【解析】(0)()2f f π=-，可得1λ=-，所以()sin cos )4f x x x x π=-=-， 横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π，得到函数()g x 的图象，115()()])234212g x x x πππ=--=-，所以函数()g x 的对称轴的方程为1511,2,21226x k x k k Z πππππ-=+=+∈.当0k =时，对称轴的方程为116x π=. 17.已知向量AB 与AC 的夹角为120︒,且2AB =,3AC =,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ的值为（ ）A.37 B.13 C.6 D.127 【答案】D 【解析】由向量AB 与AC 的夹角为120︒,且2AB =,3AC =, 可得6cos1203AB AC ⋅==-,又AP BC ⊥,所以()()22(1)AP BC AB AC AC AB AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=-⋅+-=1270λ-=,所以127λ=,故选D. 18.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若0841=+a a ，则43S S ＝( ) A.－53 B.157 C.56D.1514【答案】C 【解析】等比数列{}n a 中，因为0841=+a a ，所以21-=q .所以()()441433311115151216.96111821a q s q s a q q-⎛⎫-- ⎪-⎝⎭====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭-19.已知实数,x y 满足1033000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B. 3 C.12 D. 15 【答案】C【解析】将32z x y =+变形为322zy x =-+，当目标函数322zy x =-+过点A 时，取最大值，10,2,3303,x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩即(2,3)A ， 代入可得max 322312.z =⨯+⨯=20.已知()2,21x xf x ax =++若(ln3)2,f =则1(ln )3f 等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1【答案】B【解析】因为()2,21xxf x ax =++,所以()()22 1.2121x x x x f x f x --+-=+=++ 111(ln )(ln 3),(ln )(ln 3)(ln 3)(ln 3)1,(ln ) 1.333f f f f f f f =-∴+=-+==-21.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3【答案】D【解析】可行域如图所示，OyxA 3x-y-3=0x-y+1=0A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D. 22.若圆221:0C xy ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y θ+++=都关于直线210x y --=对称,则sin cos θθ=（ ）A ．25 B. 25- C.637- D. 23- 【答案】B【解析】圆1C 与圆2C 都关于直线210x y --=对称，则两圆的圆心(,0)2a-、1(,tan )2a θ--都在直线210x y --=上，由此可得1a =-，tan 2θ=-，所以222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθ===-++.23.设21F F 、分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222112211:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的公共焦点,它们在第一象限内交于点M ,︒=∠9021MF F ,若椭圆的离心率3=4e ,则双曲线2C 的离心率1e 的取值范围为( )A.92B.2C.32D.54【答案】B【解析】由椭圆与双曲线的定义,知122MF MF a +=,122MF MF a -=,所以11MF a a =+,21MF a a =-．因为1290F MF ∠=,所以222124MF MF c +=,即22212a a c +=,即221112e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为34e =,所以12e =.24.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.326+ D.326+- 【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D.25. 已知抛物线x y 42=的焦点为F ，B A 、为抛物线上两点，若3=，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为（ ） ABCD【答案】C【解析】如图所示，设BF m =，则3AD AF m ==，32mAG =，又 22AD AG OF -==，∴43m =，又CD BE 3==，AOB1OF CD 2S ∆∴=⨯⨯=26.如图，已知21F F 、为别双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足0)(,2211=⋅+=P F F F P F a ，线段2PF 与双曲线C 交于点Q ，若225F P F Q =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B．5yx =±C．5y x =±D．y x =± 【答案】A【解析】∵1122()0F P F F F P +⋅=，∴121||||2F F F P c ==，又∵225F P F Q =，∴21||5F Q a =， ∴1111||255F Q a a a =+=，在12F F Q ∆中，22221112142525cos 1225a c aQF F a c +-∠=⋅⋅，在12F F P ∆中，2222144cos 22a c c PF F a c +-∠=⋅⋅，∴22222211214442525,122225a c a a c c a c a c+-+-=⋅⋅⋅⋅22225,44c a a b ∴==，∴渐近线方程为12b y x x a =±=±． 27．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图象的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意得1,01231(),1244515,2422x x f x x x x x ⎧<<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩，分段函数图象分段画即可.28.已知数列{}n a 中，()()*12212121,1,2kk k k k k aa a a a k N -+==+-=+∈，则{}n a 的前60项的和60S =（ ）A ．312154-B ．312124-C ．32294-D ．322124- 【答案】C【解析】由题意，得214365605910,1,1,,1a a a a a a a a =-==+=-=+，所以S S =奇偶．又121222k k k a a ---=+(2)k ≥，代入221(1)k kk a a -=+-，得12222(1)k k k k a a --=++-(2)k ≥，所以20a =，12422(1)a a =++-，23642(1)a a =++-，34862(1)a a =++-，…，12222(1)k k k k a a --=++-，将上式相加，得2123222(1)(1)(1)k k -++++-+-++-＝111(1)3(1)22222k k k k ----+--+=-，所以S 偶＝2329301(22222)(152154)2+++++-⨯+⨯＝()3021-2-451-2＝31247-，所以()31602247S =-＝32294-．29.在平面直角坐标系xOy 中，已知2111ln 0x x y --=，2220x y --=，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】B【解析】根据题意，原问题等价于曲线2ln y x x =-上一点到直线20x y --=的距离的最小值的平方.因为1'2y x x =-，令121x x-=，得1x =，可得与直线20x y --=平行且与曲线2ln y x x =-相切的切点为()1,1，所以可得切线方程为0x y -=，所以直线0x y -=与直线20x y --=之间的距离为=，即曲线2ln y x x =-上的点到直线20x y --=的距离的最小值为，所以曲线2ln y x x =-上的点到直线20x y --=的距离的最小值的平方为2；所以221212()()x x y y -+-的最小值为2，故选B.30.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( ) A.(,)e -∞ B.(,)e +∞ C.1(0,)eD.(1,)+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B. 31．已知向量(1,1),(2,2),t t =+=+m n 若()()+⊥-m n m n ，则t = . 【答案】3- 【解析】(23,3),(1,1),t +=+-=--m n m n ()(),(23)30,t +⊥-∴-+-=m n m n 解得3t =-.32.某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得回归直线方程ˆˆy bx a =+中ˆ2b ≈-，预测当气温为4-C 时，用电量约为___________度． 【答案】68【解析】回归直线过()y x ,，根据题意()1041101318=-+++=x ，40464383424=+++=y ，代入a =()6010240=⨯--，所以4-=x 时，()()686042=+-⨯-=y ，所以用电量约为68度．33. 正项等比数列{}n a 中，1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2016a = ．【答案】1【解析】()286f x x x '=-+，∵1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，∴140316a a ⋅=，又∵正项等比数列{}n a ，∴22016140316a a a =⋅=，∴20161a ==．34.如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .若ABD ∆的面积为7，则=AB .【解析】因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CA D 所以,4π-∠=∠A DB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅.在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π. 又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB35．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n n b a =，求适合方程1223145 (32)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- .......6分 (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有9456432n n =+解得10.n = .......12分 36.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 对应的边长分别为a 、b 、c ,已知221(cos )2c a B b a b -=-． （1）求角A ；（2）求sin sin B C +的最大值．【答案】（1）π3；（2）.【解析】：（1）∵221(cos )2c a B b a b -=-,由余弦定理 得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+-． ∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =． ∵()0,πA ∈,∴π3A =． （2）()sin sin sin sin sin sin cos cos sin B C B A B B A B A B +=++=++3sin )226B B B π=+=+. ∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．∴sin sin B C +37.ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知点),(b a 在直线C c B y B A x sin sin )sin (sin =+-上．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形且满足BA C m tan 1tan 1tan +=,求实数m 的最小值． 【答案】（1）π3；（2）2. 【解答】：(1)由条件可知(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，又由余弦定理知2221cos 22a b c C ab +-==， .3,0ππ=∴<<C C（2）11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ 2222sin cos sin cos sin 2sin 22()cos sin sin sin sin C A B B A C c a b ab C A B A B ab ab++-=⨯=== 2(1)2(21)2a bb a=+-≥⨯-=，当且仅当a b =即ABC ∆为正三角形时，实数m 的最小值为2.38.已知数列{},{}n n a b 满足1,211==b a ，12n n a a =＋，).(113121*1321N n b b nb b b n n ∈-=+++++（1）求n a 与n b ；（2）记数列{n a n b }的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】（1）n b a n n n ==-,212；（2）.2282-+-=n n n T 【解答】：（1）n n a a a ==+112,2得,2121221--=⋅=n n n a 由题意知：当1=n 时，121-=b b ，故,22=b 当2≥n 时，,11n n n b b b n-=+得,11nbn b n n =++所以n b n =.（2）由（1）知 22-=n n n n b a .,22221201--+++=∴n n n T ,2222121110-+++=n n nT 两式相减得 ,2211)211(222121212121112101-------=-++++=n n n n n n n T.2282-+-=∴n n n T 39.据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元.某购物网站为优化营销策略，对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况： （1）计算,x y 的值；在抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者 中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率； （2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右边22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”附：（22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）,3,3==y x 53；（2）能. 【解答】：（1）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名，80(5101547)3x ∴=-+++=，20(23102)3y =-+++=.设抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性记为,,A B C ；两位男性记为,a b ，从5人中任选2人的基本事件有：(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b ,(,),(,),(,)B C B a B b ,(,),(,)C a C b ,(,)a b 共10个.设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件M ，事件M 包含的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b 共6件63().105P M ∴== （2）22⨯列联表如下表所示则22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2100(5015305)80205545⨯-⨯=⨯⨯⨯9.091≈，因为9.091 6.635>，所以能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’”与性别有关.40.某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.(2)从A 校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率.【答案】（1） 1.5,A B x x ==2 1.5,A S =2 1.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 依题意，A 校成绩为7分的学生应抽取的人数为：61241233⨯=++人，设为,,,a b c d ； 成绩为8分的学生应抽取的人数为：6311233⨯=++人，设为e ；成绩为9分的学生应抽取的人数为：6311233⨯=++人，设为f ；所以，所有基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 共15个， 其中，满足条件的基本事件有：,,,,,,,,ae af be bf ce cf de df ef 共9个， 所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15的概率为93155P ==. 41.在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2,11==AA AB ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11A ABB ．（1）求证：1AB BC ⊥；（2）若OA OC =，求三棱锥ABC B -1的体积．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】(1)112,2AD AB DAE ABB AB AA ==∴∆∆, 1.BB A ABD ∴∠=∠11190,90,ABD DBB BB A DBB ∠+∠=∴∠+∠=故1,AB BD ⊥11111CO ABB A BD ABB A CO AB ⊥⊂∴⊥平面，平面，，11,.BD CO O AB CBD AB CB=∴⊥⊥平面，(2)211cos ,.OA AB AB OAB OA OC AB AB AB∠==∴====1111132B ABC C ABB V V --==⨯⨯=42.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)若E 是PB 中点,求点B 平面EDC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）7证明:(1)PD ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ,AC PD ∴⊥. 四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,又PD BD D =,AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ,∴平面EAC ⊥平面PBD . （2）E 是PB 中点，连结EO ，则PD EO //，EO ⊥平面ABCD ，且1=EO .,2,2,3,1==∴==EC DE OC OD.27214221=⨯⨯=∴∆CDE S 12B EDC E BDC P BDC V V V ---==1123BDC SPD =⨯⨯⨯△1122623=⨯⨯=，设点B 平面EDC 的距离为d ，1337B EDC CDE CDE V S d d S -∆∆=⨯⨯=∴===43.如图,已知O 为原点,圆C 与y 轴相切于点()0,2T ,与x 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的右侧）,且3MN =.椭圆()2222:10x y D a ba b+=>>过点,且焦距PA BCD EO等于2ON ．（1）求圆C 和椭圆D 的方程； （2）若过点M 斜率不为零的直线l 与椭圆D 交于A 、B 两点,求证：直线NA 与直线NB 的倾角互补．【答案】（1）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；22143x y +=（2）见试题解析. 【解析】（1）设圆的半径为r ,由题意,圆心为(),2r ,∵3MN =,∴222325224r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,52r =．故圆的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．令0y =,解得1x =或4x =,所以()()1,0,4,0N M ．由222222222,1,,c ab a bc =⎧⎪⎪⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩得221,4,3c a b ===． ∴椭圆D 的方程为22143x y +=． （2）设直线l 的方程为()4y k x =-,由()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得 ()2222343264120k xk x k +-+-=， ①设()()1122,,,A x y B x y ,则22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++． 因为121211AN BN y yk k x x +=+--()()()()()()()()12122112124441411111k x k x x x x x k x x x x ----+--=+=⋅---- ()()()12121225811kx x x x x x =⋅-++⎡⎤⎣⎦--()()()2222122641216080113434k kk x x k k ⎡⎤-⎢⎥=⋅-+=--++⎢⎥⎣⎦， 所以AN BN k k =-．当11x =或21x =时,12k =±,此时方程①,0∆=,不合题意.∴直线AN 与直线BN 的倾斜角互补．44.已知点(5,4)G ，圆221:(1)(4)25,C x y -+-=过点G 的动直线l 与圆1C 相交于E F 、两点，线段EF 的中点为C . （1）求点C 的轨迹2C 的方程；（2）若过点(1,0)A 的直线1l 与2C 相交于P Q 、两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，求证：AM AN ⋅为定值.解：（1）圆1C 的圆心为1(1,4)C ，半径为5，设(,)C x y ，则1(1,4)C C x y =--，(5,4)CG x y =--， 由题设知10C C CG ⋅=，所以(1)(5)(4)(4)0x x y y --+--=， 即22(3)(4)4x y -+-=.（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为0kx y k --=，由0220kx y k x y --=⎧⎨++=⎩得223(,)2121k k N k k --++，又直线2C M 与1l 垂直，由14(3)y kx ky x k =-⎧⎪⎨-=--⎪⎩得22224342(,)11k k k k M k k +++++，222161k AM AN AM AN k +⋅=⋅==+（定值）.45.已知函数()()ln f x ax x x a R =+∈．（1）若函数()f x 在区间[),e +∞上为增函数,求a 的取值范围；（2）当1a =且k Z ∈时,不等式()()1k x f x -<在()1,x ∈+∞上恒成立,求k 的最大值． 【答案】（1）2a ≥-；（2）3, 【解析】：（1）()ln 1f x a x '=++, 即由题意知()0f x '≥在[),e +∞上恒成立．即ln 10x a ++≥在[),e +∞上恒成立,即()ln 1a x ≥-+在[),e +∞上恒成立, 而()()maxln 1ln 12x e -+=-+=-⎡⎤⎣⎦,所以2a ≥-．（2）()()ln ,1f x f x x x x k x =+<-，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立． 令()ln 1x x xg x x +=-,则()()2ln 21x x g x x --'=-． 令()()ln 21h x x x x =-->, 则()()1110x h x h x x x-'=-=>⇒在()1,+∞上单调递增． ∵()()31ln 30,422ln 20h h =-<=->,∴存在()03,4x ∈使()00h x =． 即当01x x <<时,()0,h x <即()0g x '<；0x x >时,()0,h x >即()0g x '>．∴()g x 在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增． 令()000ln 20h x x x =--=,即00ln 2x x =-.()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈--，∴()0min k g x x <=且k Z ∈,即max 3k =．46. 已知函数x x a x f ln )21()(2+-=,ax x f x g 2)()(-=（R a ∈）. （1）当0=a 时，求)(x f 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立，求a 的取值范围．【解答】：（1）函数x x a x f ln )21()(2+-=的定义域为(0,)+∞当0=a 时，x x x f ln 21)(2+-=，xx x x x x x x f )1)(1(11)(2-+-=+-=+-='；当)1,1[ex ∈,有0)(>'x f ；当],1(e x ∈，有0)(<'x f ，∴)(x f 在区间 [e1，1]上是增函数，在 [1，e]上为减函数， 又2211)1(ee f --=，21)(2e e f -=，1(1),2f =-∴21)()(2min e e f x f -==，max 1()(1)2f x f ==-.（2）x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，则)(x g 的定义域为),0(+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==.①若21>a ，令0)(='x g ，得极值点11=x ，1212-=a x ， 当112=>x x ，即121<<a 时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数， 并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上， 有),),1(()(+∞∈g x g 也不合题意； ② 若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ， 从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ， 由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立. 47从下列三题中选做一题(一).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, 同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠,所以//AB CD .（2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.(二)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值． 【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =-===∴24cos 2α=,cos α=,4πα=或34π． (三)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当2a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.从下列三题中选做一题(一).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （1）求证：PC PD =AC BD； （2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】：（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC～△DBA， ∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC，∴PC PD =AC BD.（2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC∽△ACD. ∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC(二)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【解答】：（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=, 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ， 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM .(三)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m R =--∈,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m的取值范围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c++= ()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭21922≥=.。
【高考数学】2016年上海卷压轴题的分析与解
分析 第 (1) 小题考察双曲线的对称性；第 (2) 小题利用向量描述了一个弦的中点问题，用《高考数学压轴 题的分析与解》中破解压轴题的有效 10 招中的第 7 招“有心二次曲线的「垂径定理」 ”即可轻松解决． (1) 根据题意， 通径 |AB | = 2b2 与焦距 |F1 F2 | = 2c 的比为 2 : √ 进而双曲线的渐近线方程为 y = ± 2x ． 解 y A F1 O F2 B x √ 3， 即 b2 2 =√ ， 从而解得 b2 = 2 ， c 3
1 2016 年上海卷理科数学
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题 (理 17). 已知无穷等比数列 {an } 的公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，且 2Sn < S (n ∈ N ∗ ) 恒成立的是 ( A. a1 > 0, 0.6 < q < 0.7 C. a1 > 0, 0.7 < q < 0.8 ) B. a1 < 0, −0.7 < q < −0.6 D. a1 < 0, −0.8 < q < −0.7 lim Sn = S ．下列条件中，使得
1 若要构造严格单调递增的反例，可以将水平的线段或射线改为斜率为 −1 的线段或射线，斜率为 1 的线段或射线改为斜率为 2 的线段或射线．
1 2016 年上海卷理科数学
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题 (理 21). y2 = 1(b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A, B 两点． b2 π (1) 若 l 的倾斜角为 ， △F1 AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2 Ä # » # »ä # » √ (2) 设 b = 3 ，若 l 的斜率存在，且 F1 A + F1 B · AB = 0 ，求 l 的斜率． 双曲线 x2 −
2016新课标Ⅱ高考压轴卷数学理 含答案解析
2016新课标Ⅱ高考压轴卷数学理本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]3.已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥04.下列函数中是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2x B．y=﹣x2C．y=x3D．y=﹣3x5.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为( )（A ）2(1π++（B ）2(1π+（C ）4(1π++ （D ）2(2π++ 6.设实数x ，y 满足约束条件，则z=的取值范围是（ ）A ．[，1]B ．[，]C ．[，]D ．[，] 7.将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π个单位后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ▲ ） A.3π-B.6πC.3πD.56π8.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a 值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179.双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），M 、N 为双曲线上关于原点对称的两点，P 为双曲线上的点，且直线PM 、PN 斜率分别为k 1、k 2，若k 1•k 2=54，则双曲线离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．10.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足222(34)n n S n n S ---﹣2（3n 2﹣n ）=0，n ∈N *．则数列{a n }的通项公式是（ ）A ．a n =3n ﹣2B ．a n =4n ﹣3C ．a n =2n ﹣1D ．a n =2n+111.已知a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），则12a b+的最小值为（）A．6-B．6 C．4+D．812.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为必过点．14.已知的展开式中，常数项为14，则a=（用数字填写答案）．15.已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．16.已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．18.为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数； （Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．19.已知在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，SD ⊥平面ABCD ，P 为SB 的中点，Q 为BD 上一动点．AD=2，SD=2，∠DAB=3π． （Ⅰ）求证：AC ⊥PQ ；（Ⅱ）当PQ ∥平面SAC 时，求四棱锥P ﹣AQCD 的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C l 的方程为2222143x y +=，椭圆C 2的短轴为C 1。
2016新课标Ⅰ高考数学压轴卷文带解析
2016新课标Ⅰ高考数学压轴卷（文带解析）2016新课标Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设集合，则（）A．B．C．D．2.如果复数的实部和虚部相等，则等于（）（A）（B）（C）（D）3.下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2－10”的否定是“∀x∈R，均有2x2－10”D．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题4.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A、B、C、2D、35.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为A.B.C.D.6.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为A．的值B．的值C．的值D．的值7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为A．1.2B．1.6C．1.8D．2.48.设是双曲线的焦点，P是双曲线上的一点，且3||=4||，△的面积等于A.B.C．24D.489．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且f（x ＋）＝f（－x），则函数y＝f（－x）是（）．A．奇函数且在x＝0处取得最小值B．偶函数且在x＝0处取得最小值C．奇函数且在x＝0处取得最大值D．偶函数且在x＝0处取得最大值10已知函数，则关于的不等式的解集为（）A、B、C、D、11.已知实数x，y满足2x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤2，若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，则实数m的取值范围是()A．[－1，2]B．[－2，1]C．[2，3]D．[－1，3]12.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2016年高考山东卷数学文理压轴题详解
2016年高考山东卷数学文理压轴题详解试卷点评今年的山东卷比去年简单了不少．从选择题最后一题中“象形”的性质，到填空最后一题中给出无需讨论对称轴的二次函数的限制函数甚至给出来避免讨论，这些都充分释放出了出题人的善意．导数大题中利用我们熟知的对的放缩可以极大地简化问题，而解析几何大题中利用椭圆的“垂径定理”也可以大大减少计算量，这些都是在高考中常用的“套路”，相信难不倒认真准备的学生们．文科的解析几何压轴大题反倒比理科的要难一些，但计算量比前两年要小一些．总的来说，山东卷在全面考查数学知识和能力的同时表现出了难得的温柔善良，很适合训练有素的同学发挥．理科第10题（选择压轴题）：若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（）A．B．C．D．解根据题意，函数(导函数为连续函数)具有性质，那么必然出现以下两种情形之一：(1) 函数的值域包含一个形如的区间，其中且；(2) 导函数的值域包含且函数存在垂直于轴的切线．对于选项A，导函数为，其值域为，具有性质，因此选项A正确；对于选项B，导函数为，其值域为，不具有性质；对于选项C，导函数为，其值域为，不具有性质；对于选项D，导函数为，其值域为，但不存在垂直于轴的切线，不具有性质．第15题（填空压轴题）：已知函数其中，存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______．解注意到函数()是在上的单调递增函数，因此若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，那么必然有解得，因此的取值范围是．实际上，是多余的条件．因为当时，组成的两段函数均为单调函数，因此关于的方程的实根最多只有个，不符合题意．第20题（导数）：已知，．(1) 讨论的单调性；(2) 当时，证明：对于任意的成立．解(1) 根据题意，的导函数易得讨论的分界点为．情形一．此时函数在上单调递增，在上单调递减．情形二．此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．情形三．此时函数在上单调递增．情形四．此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(2) 题中不等式即我们熟知在区间上有于是等号当且仅当时取得．而在区间上，显然有等号当且仅当时取得．因此等号无法同时取得，题中不等式得证．第21题（解析几何）：平面直角坐标系中，椭圆()的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点．(1) 求椭圆的方程；(2) 设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．(i) 求证：点在定直线上；(ii) 直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．解(1) 根据题意，有点的坐标为，于是．又根据离心率为可得于是椭圆的方程为．(2) 画出示意图如下．(i) 设，则切线的方程为．设点，将两点满足的椭圆方程相减整理得（即椭圆的“垂径定理”）直线的斜率与直线的斜率满足从而可得，于是不难计算得的坐标为，因此点在定直线上．(ii) 由与相似可得因此等号当，即时取得．因此所求的最大值为，此时点的坐标为．文科第10题、第15题同理科第10题、第15题．文科第20题（导数）：设，．(1) 令，求的单调区间；(2) 已知在处取得极大值，求实数的取值范围．解(1) 根据题意，函数的导函数而函数的导函数情形一．此时在上，，于是的单调递增区间是．情形二．此时函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 考虑到，于是当在处取得极大值时，必然在的左邻域内单调递增，在的右邻域内单调递减．注意到因此得到分界点．情形一．此时函数在上单调递减，而，于是在区间上有，在区间上有，因此函数在处取得极大值，符合题意．情形二．(i) 若，则函数在上单调递增，而，此时在区间上有，因此函数在处不能取得极大值，不符合题意．(ii) 若，则函数在上单调递增，而且，此时在区间上有，因此函数在处不能取得极大值，不符合题意．综上所述，的取值范围为．文科第21题（解析几何）：已知椭圆()的长轴长为，焦距为．(1) 求椭圆的方程；(2) 过动点()的直线交轴于点，交于点(在第一象限)，且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点．(i) 设直线的斜率分别为，证明：为定值；(ii) 求直线的斜率的最小值．解(1) 根据题意，有，，因此，于是椭圆的方程为(2) 如图．(i) 根据题意，设()，则，于是直线的斜率之比为(ii) 由于直线的斜率其中．因此的取值范围是．将直线与椭圆的方程联立，整理得设，，直线，直线，分别令和即可得进而直线的斜率等号当且仅当时取得．因此直线的斜率的最小值为．关于数海拾贝“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。
2016年高考天津卷
Math173|The journey of mathematics2016年全国⾼考数学压轴题的分析与解兰琦2016年6⽉12⽇⺫录12016年天津卷理科数学2 22016年天津卷⽂科数学9112016年天津卷理科数学试卷点评今年的天津卷延续了去年天津卷的风格，⾮常重视对基本功的考查．选择题最后⼀题和填空题最后⼀题都中规中矩，不需要⽤什么技巧，只需要扎实的数学功底．解析⼏何⼤题也不涉及⼀些热点的圆锥曲线的性质，⽽是朴实⽆华的计算．压轴题⼤题是我们在模拟考试中经常遇到的“被关起来的⼆次函数”问题的升级版本，第(2)⼩题的提⽰给的⾮常隐晦，如果⽤常规⽅法颇有难度．总的来说，今年的天津卷的难度在全国各卷来说相对较⾼，⽽试题风格相对最稳定．解因为f (x )在R 上单调递减，所以−4a −32⩾0,0<a <1,[x 2+(4a −3)x +3a ] x =0⩾[log a (x +1)+1]|x =0,解得13⩽a ⩽34.接下来思考函数y =f (x )的图象与直线y =2−x (x ⩽2)以及y =x −2(x ⩽2)的公共点个数，如图．当a =13时，符合题意．当a 变⼤时，设函数h (x )=log a (x +1)+1(x ⩾0)，则h (0)=0，⽽h (2)=log a 3+1<0，因此在区间[0,2]上题中⽅程有且只有⼀个实数解．这样问题就转化为了⽅程x 2+(4a −3)x +3a =2−x在区间(−∞,0)上只有⼀个实数解．设g (x )=x 2+(4a −2)x +3a −2，则g (0)=3a −2，因此得到分界点23．情形⼀13⩽a <23．此时g (0)<0，⽽g (x )的图象开⼜向上，因此⽅程在区间(−∞,0)上有且只有⼀个实数解，符合题意．情形⼆a=23．此时g(0)=0，⽽g(x)的对称轴x=2a−1满⾜2a−1<0，进⼀步其判别式∆=4(4a−3)(a−1)>0,于是⽅程在区间(−∞,0)上有且只有⼀个实数解，符合题意．情形三23<a⩽34．此时g(0)>0，⽽g(x)的对称轴x=2a−1满⾜2a−1<0，进⼀步可得其判别式∆=4(4a−3)(a−1)=0,即a=34时符合题意．综上所述，a的取值范围是ï13,23ò∪ß34™．解由题意可知，抛物线的普通⽅程为y 2=2px (p >0)，F 点坐标为(p2,0)，准线l 的⽅程为x =−p2，如图．设A 点坐标为(x 1,y 1)，不妨设y 1>0．由于|CF |=2|AF |，故2(x 1+p 2)=3p,解得x 1=p,进⼀步可求得A 点坐标为Äp,√2p ä．因为△ABE 与△F CE 相似，且|AB ||F C |=12，所以S △ACF =3S △ACE =9√即12·3p ·√=9√,解得p =√6．分析第(1)小题考查椭圆的⽅程与基本量；第(2)小题注意到并不需要联立直线与椭圆⽅程，因此直接以B点坐标为参数展开计算即可．解(1)由1|OF|+1|OA|=3e|F A|可知1c+1a=3·caa−c,解得a=2．故椭圆⽅程为x24+y23=1．(2)如图，设B点坐标为Ä2cosθ,√3sinθä，其中sinθ=0，H点坐标为(0,h)．因为BF⊥HF，故# »F B·# »F H=0，解得h=2cosθ−1√3sinθ.因为M点在直线l上，所以可以设M点坐标为Çm,√3(m−2)sinθ2cosθ−2å．由题意，HM⊥AB，所以# »HM·# »AB=Çm,√3(m−2)sinθ2cosθ−2−2cosθ−1√3sinθå·Ä2cosθ−2,√3sinθä=Å12cosθ−72ãm+4+cosθ=0,故m=8+2cosθ7−cosθ.因为∠MOA⩽∠MAO，所以m⩾1，解得cosθ⩾−13．令α=θ2，由于cosθ=1−tan2α1+tan2α,故−√2⩽tanα⩽√2；由于sinθ=2tanα1+tan2α=0,故tanα=0．所以−√2⩽tanα<0或0<tanα⩽√2．设直线l的斜率为k，则k=√3sinθ2cosθ−2=√3·2tanα1+tan2α2Å1−tan2α1+tan2α−1ã=−√32tanα,因为−√2⩽tanα<0或0<tanα⩽√2，所以k⩽−√64或k⩾√64．综上所述，直线l的斜率k的取值范围是Ç−∞,−√64ô∪ñ√64,+∞å．分析第(1)小题考查利用导函数研究函数的单调性；第(2)小题考查利用导函数研究函数的极值点．第(3)小题在第(2)小题的基础上可以画出极端情形：14−14在此基础上利用函数f (x )在x =0,12,32,2处的函数值结合反证法证明结论即可．解(1)函数f (x )的导函数f ′(x )=3x 2−a ．情形⼀a ⩽0．此时恒有f ′(x )⩾0，于是函数f (x )的单调递增区间为(−∞,+∞)，没有单调递减区间．情形⼆a >0．此时函数f (x )的单调递增区间是Ç−∞,√3a 3å和Ç√3a 3,+∞å，单调递减区间是Ç−√3a 3,√3a3å．(2)因为x 0是f (x )的极值点，故由第(1)问可知，a >0，且f ′(x 0)=0，即a =3(x 0−1)2>0．由题意可知，关于x 的⽅程f (x )=f (x 0)有且只有两个不同的实根x 0,x 1．因为f (3−2x 0)=(2−2x 0)3−3(x 0−1)2(3−2x 0)−b=(x 0−1)2·(−2x 0−1)−b =(x 0−1)3−3x 0(x 0−1)2−b =(x 0−1)3−ax 0−b =f (x 0),且3−2x 0=x 0（否则由x 0=1可推出a =0，⽭盾），故3−2x 0=x 1,即x 1+2x 0=3.(3)⽤反证法．假设g (x )在区间[0,2]上的最⼤值⼩于14．考虑f(0)=−1−b,f(2)=1−2a−b,fÅ32ã=18−32a−b, fÅ12ã=−18−12a−b,我们有2−2a=f(2)−f(0),a−1=fÅ1ã−fÅ3ã,所以2f Å12ã−2fÅ32ã+f(2)−f(0)=32,但是2f Å12ã−2fÅ32ã+f(2)−f(0)⩽2fÅ12ã+2fÅ32ã+|f(2)|+|f(0)|<32,⽭盾．所以g(x)在区间[0,2]上的最⼤值不⼩于14．22016年天津卷⽂科数学解函数f (x )可以化简为f (x )=12sin (ωx −π4)．根据题意可知f (π)·f (2π)⩾0，且函数f (x )的半周期πω不超过区间(π,2π)的长度π．在得到0<ω⩽1后，可得在区间(π,2π)上ωx −π4∈Å−π4,7π4ò，讨论如下．情形⼀f (π)=0或f (2π)=0．此时ωπ−π4=k 1π或2ωπ−π4=k 2π，其中k 1,k 2∈Z ．考虑到ω∈(0,1]，于是解得ω=18,14,58．情形⼆f (π)>0且f (2π)>0．此时0<ωπ−π4<π,0<2ωπ−π4<π,解得14<ω<58．情形三f (π)<0且f (2π)<0．此时−π4<ωπ−π4<0或π<ωπ−π4⩽7π4,−π4<2ωπ−π4<0或π<2ωπ−π4⩽7π4,解得0<ω<18．综上所述，ω的取值范围是Å0,18ò∪ï14,58ò，选D ．解因为f (x )在R 上单调递减，所以−4a −32⩾0,0<a <1,[x 2+(4a −3)x +3a ] x =0⩾[log a (x +1)+1]|x =0,解得13⩽a ⩽34.接下来思考函数y =f (x )的图象与直线y =2−x3(x ⩽6)以及y =x 3−2(x ⩽6)的公共点个数，如图．当a =13时，符合题意．当a 变⼤时，设函数h (x )=log a (x +1)+1(x ⩾0)，则h (0)=0，⽽h (2)=log a 3+1<0，因此在区间[0,2]上题中⽅程有且只有⼀个实数解．这样问题就转化为了⽅程x 2+(4a −3)x +3a =2−x 3在区间(−∞,0)上只有⼀个实数解．设g (x )=x 2+4Åa −23ãx +3a −2，则g (0)=3a −2，因此得到分界点2．情形⼀13⩽a <23．此时g (0)<0，⽽g (x )的图象开⼜向上，因此⽅程在区间(−∞,0)上有且只有⼀个实数解，符合题意．情形⼆a =23．此时g (0)=0，⽽g (x )的对称轴为x =0，于是⽅程在区间(−∞,0)上没有实数解，不符合题意．情形三23<a ⩽34．此时g (0)>0，⽽g (x )的对称轴x =2Åa −23ã满⾜2Åa −23ã<0，进⼀步可得其判别式∆=16Åa −23ã2−12Åa −23ã<0,于是⽅程在区间(−∞,0)上没有实数解，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是ï13,23ã．分析与理科第19题基本相同，参考对理科第19小题的分析．第(2)小题由求范围变成了求值，降低了问题的难度．解(1)由1|OF|+1|OA|=3e|F A|可知1c+1a=3·caa−c,解得a=2．故椭圆⽅程为x24+y23=1．(2)如图，设B点坐标为Ä2cosθ,√3sinθä，其中sinθ=0，H点坐标为(0,h)．因为BF⊥HF，故# »F B·# »F H=0，解得h=2cosθ−1√3sinθ.因为M点在直线l上，所以可以设M点坐标为Çm,√3(m−2)sinθ2cosθ−2å．由题意，HM⊥AB，所以# »HM·# »AB=Çm,√3(m−2)sinθ2cosθ−2−2cosθ−1√3sinθå·Ä2cosθ−2,√3sinθä=Å12cosθ−72ãm+4+cosθ=0,故m=8+2cosθ7−cosθ，因为∠MOA=∠MAO，所以m=1，解得cosθ=−13．所以直线l的斜率tanθ=±√64．分析与理科第20小题基本相同，参考对理科第20小题的分析．只是理科第20小题对函数图象作了平移，增加了思考的难度．解(1)函数f (x )的导函数f ′(x )=3x 2−a ．情形⼀a ⩽0．此时恒有f ′(x )⩾0，于是函数f (x )的单调递增区间为(−∞,+∞)，没有单调递减区间．情形⼆a >0．此时函数f (x )的单调递增区间是Ç−∞,√3a 3å和Ç√3a 3,+∞å，单调递减区间是Ç−√3a 3,√3a 3å．(2)因为x 0是f (x )的极值点，故由第(1)问可知，a >0，且f ′(x 0)=0，即a =3x 20>0．由题意可知，关于x 的⽅程f (x )=f (x 0)有且只有两个不同的实根x 0,x 1．因为f (−2x 0)=(−2x 0)3−3x 20(−2x 0)−b =−2x 30−b =x 30−ax 0−b =f (x 0),且−2x 0=x 0（否则由x 0=0可推出a =0，⽭盾），故−2x 0=x 1,即x 1+2x 0=0.(3)⽤反证法．假设g (x )在区间[0,2]上的最⼤值⼩于14．考虑 f (−1)=1+a −b,f (1)=1−a −b,f Å−1ã=−1+1a −b,f Å1ã=1−1a −b,我们有 2−2a =f (−1)−f (1),a −14=f Å−12ã−f Å12ã,所以2f Å−12ã−2f Å12ã+f (1)−f (−1)=32,但是2f Å−12ã−2fÅ12ã+f(1)−f(−1)⩽2fÅ−12ã+2fÅ12ã+|f(1)|+|f(−1)|<32,⽭盾．所以g(x)在区间[−1,1]上的最⼤值不⼩于14．。
2016年考数学压轴题的分析与解
类似的，可得 |N B | = 从而 |M N | = |M B | + |N B | = 此时直线 P Q 的方程为 x cos θ = y sin θ + cos θ, 于是圆的弦长 |P Q| = 2 于是可得四边形 M P N Q 的面积 S= 1 24 · | M N | · | P Q| = √ , 2 4 − cos2 θ Ã 42 − 12 . 4 − cos2 θ 3 , 2 + cos θ
设生产产品 A, B 的件数分别为 x, y 时，获得利润为 z 元．则 x, y 满足的约束条件为 1.5x + 0.5y ⩽ 150, x + 0.3y ⩽ 90, 5x + 3y ⩽ 600,
其中 x, y ∈ N∗ ，目标函数 z = 2100x + 900y = 300(7x + 3y ).
2016 年高考数学压轴题的分析与解
(兰琦 著)
1 2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学
例题 1 π π π 理 12． 已知函数 f (x) = sin(ωx + φ)(ω > 0, |φ| ⩽ ) ， x = − 为 f (x) 的零点， x = 为 y = f (x) 图象的 2 4 4 Å ã π 5π 对称轴，且 f (x) 在 , 单调，则 ω 的最大值为 ( ) 18 36 A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 解析 由题意知
11 ，从大到小进行试探： 2 Å ã π 5π π π 5π 当 k = 5 时， f (x) 在 , 不单调（因为 < −T < ） ； 18 36 18 4 36 Å ã π 5π 当 k = 4 时， f (x) 在 , 上单调，符合题意，所以 ω 的最大值为 9 ． 36 36 于是 k ⩽ 例题 2 理 16． 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙 材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 解析 元．
【高考数学】2016年北京卷压轴题的分析与解
故 g (x) 在 x = −1 处取得极大值 g (−1) = 2 ， 在 x = 1 处取得极小值 g (1) = −2 ． 令 h(x) = −2x, x ∈ R ， 则 h(x) 的图象经过点 (−1, 2), (1, −2) ．函数 g (x) 与 h(x) 的图象如下图所示，从中即可得出此题的结果． (1) 2 ；(2) (−∞, −1) ． y y = x3 − 3x 1 −1 O −2 y = −2x x
2
1 2016 年北京卷理科数学
4
题 (理 18). 设函数 f (x) = xea−x + bx ，曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = (e − 1)x + 4 ． (1) 求 a, b 的值； (2) 求 f (x) 的单调区间．
分析 第 (1) 小题是典型的利用导函数求函数的切线方程的问题；第 (2) 小题是简单的利用导函数研究函数 的单调性的问题． 解 (1) 函数 f (x) 的导函数 f ′ (x) = ea−x (1 − x) + b, 因此根据题意有 f (2) = 2(e − 1) + 4, f ′ (2) = e − 1, (2) 由 (1) 可知， a = 2, b = e.
1 2016 年北京卷理科数学
3
题 (理 14). x3 − 3x, x ⩽ a, −2x, x > a. ； ．
设函数 f (x) =
(1) 若 a = 0 ，则 f (x) 的最大值为
(2) 若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是
解
利用函数图象解决问题．令 g (x) = x3 − 3x, x ∈ R ，则 g ′ (x) = 3 (x + 1) (x − 1) ,
兰琦：高考压轴题的研究与讲解
x→+∞
x→−∞
引例 2
已知 △ABC 中， B# D» = 1 B# C» ， A# E» = 1 A# C» ， AD 与 BE 交于点 P ，且 A# P» = λA# D» ，则
3
2
λ=
．
力量型训练
设
#» BP
=
#» µBE
，有
A# P»
=
2 #» λAB +
1 #» λAC ,
3
3
A# P»
+
1 3n −
1
<
ln 2,
1
LH S
<
1 2
+
1 8
+
1 28
+
1 34 − 33
+
1 35 − 34
+···+
1 3n − 3n−1
<
1 2
+
1 8
+
1 28
+
54 1
1−
< ln 2.
3
敏捷型训练 无法直接应用数学归纳法，考虑将命题加强为
Å ãÅ
ãÅ
ã
1 1−
3
1 1 − 32
1 · · · 1 − 3n
=
(1
−
#» µ)AB
+
1
#» µAC ,
3
λ
=
3 ,
解得
µ =
4 1
.
2
敏捷型训练
1
1
3
如左图，过 D 作 DF ∥ BE 交 AC 于 F ，则 EF = EC = AE ，于是 λ = ．
2016全国卷压轴题解析
2016全国卷压轴题解析by zhcosin题目：已知函数f (x )=(x ¡2)e x +a (x ¡1)2有两个零点(1)求a 的取值范围.(2)设两个零点为x 1，x 2，求证：x 1+x 2<2:解：（1）导函数f 0(x )=(x ¡1)e x +2a (x ¡1)=(x ¡1)(e x +2a )，若a >0，则f (x )在区间(¡1;1)上递减，在(1;+1)上递增，最小值f (1)=¡e <0，考察它在两侧无穷远处的符号情况，显见x >2时f (2)=a >0，所以f (x )在(1;2)上有唯一零点。
x 趋于负无穷大时的符号稍显麻烦点，若是a =0，则f (x )=(x ¡2)e x <0在负实数区间上恒成立，此时函数在x <1时没有零点。
所以我们只看a =/0的情况，在x <0时e x <1，所以f (x )>(x ¡2)+a (x ¡1)2，于是f (1+x )=ax 2+x ¡1，因此在x <¡1+1+4a p 2a 时即有f (x )>0成立，所以f (x )在 ¡1+1+4a p 2a ;1 上也有唯一零点，除此之外没有其它零点。
若a <0，则f 0(1)=0;f 0(ln (¡2a ))=0，若是ln (¡2a )=1，则f 0(x )仅在x =1处导数为零，其它地方皆为正，故函数f (x )在整个实数区间上递增，不可能有两个零点，所以ln (¡2a )=1的情况排除。
现在记m (a )为ln (¡2a )与1两者的较小者，而记较大者为M (a )，则函数f (x )在(¡1;m (a ))上递增，在(m (a );M (a ))上递减，在(M (a );+1)上递增,同时f (1)=¡e <0，f (ln (¡2a ))=¡2a (ln (¡2a )¡2)+a (ln (¡2a )¡1)2=a (ln 2(¡2a )¡4ln (¡2a )+5)<0，故此时也不可能有两个零点。
《北大清华自主招生数学试题的分析与解》试读本
兰琦 毕业于清华大学计算机系 " # # . 年高考数学满分 邮箱 6 9 K 6 6 9 A @ @ $$ / -! 6 7 8 L 博客地址 9 : : H G M K ! 7 @ ; 5 N
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2016年高考数学压轴题的分析与解(印刷版)兰琦著
g(x) = a,
4
2 2016 年全国 1 卷 (乙卷) 文科数学
高考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
(2) 根据第 (1) 小题的结果，不妨设 x1 < 1 < x2 ，则只需证明 x2 < 2 − x1 ．考虑到函数 g(x) 在 (1, +∞) 上单调递减，于是只需要证明
分析 第 (1) 小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法（《高考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题 有效 10 招中的第 1 招，与之类似的题有 2014 年新课标 II 卷文科第 21 题）；第 (2) 小题是典型的偏移问 题，对称化构造即可．
解 (1) 显然 x = 1 不是函数 f (x) 的零点．当 x ̸= 1 时，方程 f (x) = 0 等价于
7
4 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 文科数学
11
5 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学
13
6 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 文科数学
16
7 2016 年上海卷理科数学
18
8 2016 年上海卷文科数学
22
9 2016 年北京卷理科数学
24
10 2016 年北京卷文科数学
27
11 2016 年四川卷理科数学
即可，解得
1 −
⩽a⩽
1 ，选
C．
3
3
题 (文 16) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材 料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工 时．生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ， 乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元．
2016年高考山东卷数学压轴题的分析与解
A. y = sin x
B. y = ln x
C. y = ex
D. y = x3
解 与理科第 10 题相同．
题 (文 15).
|x|, 已知函数 f (x) = x2 − 2mx + 4m,
x ⩽ m, 其中 m > 0 ，存在实数 b ，使得关于 x 的方程 f (x) = b
x > m,
解 (1) 根据题意， f (x) 的导函数 易得讨论的分界点为 0, 2 ．
f ′(x)
=
(ax2
− 2)(x − x3
1) ,
情形一 a ⩽ 0 ． 此时函数 f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减．
情形二 0 < a < 2 ．
Ç …å
Ç…
å
2
2
此时函数 f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 1,
x ⩽ m, 其中 m > 0 ，存在实数 b ，使得关于 x 的方程 f (x) = b
x > m,
有三个不同的根，则 m 的取值范围是
．
解 注意到函数 y = x2 − 2mx + 4m ( x > m ) 是在 (m, +∞) 上的单调递增函数，因此若存在实数 b ，使 得关于 x 的方程 f (x) = b 有三个不同的根，那么必然有
6
因此
Å
ã
S1 S2
=
2t2 + 1 2
Å
ã
2t · 2t2 + 1 ·
4
· 2t 2t2 4t2
+ +
1
4 1
=
(8t2
考压轴题的分析与解
兰琦 2018 年 2 月 25 日
2
高考压轴题的分析与解 (2015 年)
⺫录
第一章 全国 I 卷
7
1.1 独一无二 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 向量与圆幂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 藏形匿影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.6 唯一的零点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 周期数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 成绩排名 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 泰勒展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2016年江苏高考压轴卷数学含解析
(图1)2015江苏高考压轴卷数 学一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .图28.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是图3二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.n m ⊥ （1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB∥DC，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ABCMPD图4 公 路HG F E DC B A 图518. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．P（第21 - A 题）（第22题）21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．2015江苏高考压轴卷数学答案一、填空题 1.5 2..{}0,1- 3.2 4.),2()2,1(+∞ 5.7.2 6. ①③ 7. 8.149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0-提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。
2016年高考四川卷压轴题的分析与解(pdf版)
解
如图．根据已知，有 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA ，因此 △DAB, △DBC, △DCA 全等，进而可得
△ABC 为正三角形，进一步计算可得 DA = DB = DC = 2 ． A P N D B C M
1 根据题意， P 在以 A 为圆心 1 为半径的圆上运动，因此 CP 的中点 M 在以 N 为圆心 为半径的 2 # »2 圆上运动，其中 N 点为边 AC 的中点．因此 BM 的最大值为 ã Å ã Å 3 1 2 49 1 2 = DB + = , BN + 2 2 2 4 选 B．
1 事实上，根据反演变换的性质，任何不通过原点的直线的“伴随曲线”必然是除去原点的圆．
1 2016 年四川卷理科数学
4
题 (理 20). x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 ) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点．直线 a2 b2 l : y = −x + 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T ． 已知椭圆 E : (1) 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； (2) 设 O 是坐标原点，直线 l′ 平行于 OT ，与椭圆 E 交于不同的两点 A, B ，且与直线 l 交于点 P ．证明：存在常数 λ ，使得 |P T |2 = λ|P A| · |P B | ，并求 λ 的值． 分析 第 (1) 小题综合考查椭圆的基本量与方程以及直线与圆锥曲线的位置关系；第 (2) 小题是圆幂定理在 仿射变换下的结果，利用参数方程也可以很快计算出结果． 解 (1) 根据勾股定理，可得 a2 + a2 = (2c)2 ，其中 c 为椭圆的半焦距．又由直线与椭圆联立的等效判别 a2 · 12 + b2 · 12 − (−3)2 = 0, 于是可得方程组 a2 = 2c2 , a2 + b2 = 9, 2 a = b2 + c2 , a2 = 6, 解得 b2 = 3, 2 c = 3,
兰琦：高考压轴题的研究与讲解
3.3 “形”“元”“次” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 向量
20
4.1 等系数和线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
k=1
引例 4 我们知道，平面上到两个定点的距离之比为定值 λ ( λ > 0 且 λ ̸= 1 ) 的点的轨迹是圆，这个圆称为阿 波罗尼斯圆．当两个定点 A 和 A′ 已知时，可以先在直线 AA′ 上找到两点 M, N ，使得
MA NA M A′ = N A′ = λ, 然后作以 M N 为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆．
5 导数
25
5.1 端点分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 ln x 的应对策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
高考压轴题的研究与讲解
兰琦 2016 年 6 月 23 日
⺫录
1 引言
2
1.1 如何研究压轴题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
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结合 |M A| + |M B| = 4 可解得
3 |M B| = 2 − cos θ .
3
1 2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学
高考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
y
P
M
A
OB
x
Q
N
类似的，可得 从而 此时直线 P Q 的方程为
3 |N B| = 2 + cos θ ,
12
|M N |
分析 第 (1) 小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法（《高考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题 有效 10 招中的第 1 招，与之类似的题有 2014 年新课标 II 卷文科第 21 题）；第 (2) 小题是典型的偏移问 题，对称化构造即可．
解 (1) 显然 x = 1 不是函数 f (x) 的零点．当 x ̸= 1 时，方程 f (x) = 0 等价于
而在 (1, +∞) 上，函数 g(x) ß单调递√减，不™可能存在两个零点；
当 a > 0 时，取 x1 = min 1 +
13 , ，则
a2
g(x1)
>
(x1
1 − 1)2
⩾
a,
而 g(2) = 0 < a ，结合 g(xß) 在 √(1, +∞™) 上单调递减，可以断定在区间 (x1, 2) 上必然有一个零点；
为定值 4 ．根据椭圆的定义，点 E 的轨迹方程为 x2 y2 + = 1(y ̸= 0). 43
(2) 设 ∠M BA = θ ( θ ∈ (0, π) )，则在 △M AB 中应用余弦定理，有 |M A|2 = |M B|2 + |AB|2 − 2 · |M B| · |AB| · cos θ,
另一方面，取 x2 = max 1 −
2 , 0 ，则
a
√
2
而取 x3 = −
，则 a
2 g(x2) ⩾ (x2 − 1)2 ⩾ a,
g(x3) <
2 − x3 x23
<
2 x23
= a,
结合 g(x) 在 (−∞, 1) 上单调递增，可以断定在区间 (x3, x2) 上必然有一个零点； 综上所述， a 的取值范围是 (0, +∞) ．
=
|M B|
+
|N B|
=
4
−
cos2
. θ
x cos θ = y sin θ + cos θ,
于是圆的弦长
ÃÇ |P Q| = 2 42 − √ 2 cos θ
å2 √ = 4 4 − cos2 θ.
cos2 θ + sin2 θ
于是可得四边形 M P N Q 的面积
1
24
S = · |M N | · |P Q| = √
高考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
1 2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学
试卷点评 今年是高考统一命题改革的第一年，全国 1 卷与之前的全国 I 卷命题风格一致，难度也相当．知
识点覆盖全面，层次合理，相信学生做题时不会感到意外．解析几何试题将圆与椭圆有机结合起来，是一道 中规中矩的题目，有较高的区分度．导数题作压轴，第 (2) 小题有一定难度，不过鉴于目前全国各地的模拟
题中频繁出现极值点偏移的试题，因此对知识面较广的学生有利．值得注意的是这次小题中出现了两道应用
题，贯彻了新课标精神，也提醒新一届的考生需要增强阅读理解能力．
题 (理 12)
已知函数
f (x)
=
sin(ωx + φ)(ω >
Å
ã
0, |φ|
⩽
π)，x 2
=
π −4
为
f (x)
的零点， x = π 4
为
1 2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学 y
300 200 100
高考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
O
60 90 x
作出可行域，可以得到当 x = 60, y = 100 时， z 有最大值 216000 ．
题 (理 20) 设圆 x2 + y2 + 2x − 15 = 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1, 0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C, D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ． (1) 证明： |EA| + |EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M, N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点，求四边形 M P N Q 面积的取值范围．
1第 (1) 小题中如果需要刻意避开极限，可以进行如下论证． 当 a ⩽ 0 时，由于在 (−∞, 1) 上， g(x) > 0 ，因此在此区间上不存在 x 使得
g(x) = a,
4
2 2016 年全国 1 卷 (乙卷) 文科数学
高考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
(2) 根据第 (1) 小题的结果，不妨设 x1 < 1 < x2 ，则只需证明 x2 < 2 − x1 ．考虑到函数 g(x) 在 (1, +∞) 上单调递减，于是只需要证明
不单调（因为
18 < 4 − T < 36 ）；
π 5π
当 k = 4 时， f (x) 在 ,
上单调，符合题意，所以 ω 的最大值为 9 ．
36 36
题 (理 16) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材 料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工 时．生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ， 乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元．
y = f (x) 图象的对称轴，且 f (x) 在
π 5π ,
单调，则 ω 的最大值为 (
)
18 36
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
解 由题意知
Å 1 k+
ã 1
T
=
π
( π) − − ,k
∈ Z,
24
4
4
解得
ω
=
2π T
= 2k + 1, k
∈
Z.
（也可以由
−π ωπ4
ω+ +φ
φ = mπ, π
a
=
2−x (x − 1)2
·
ex.
记右侧函数为 g(x) ，则 g(x) 的导函数
g′(x)
=
−ex
·
x2 − 4x + (x − 1)3
5 ,
因此函数 g(x) 在 (−∞, 1) 上单调递增，而在 (1, +∞) 上单调递减． 由于函数 g(x) 在 (−∞, 1) 上的取值范围是 (0, +∞) ，而在 (1, +∞) 上的取值范围是 (−∞, +∞) ，因此 当 a > 0 时，函数 f (x) 有两个零点，所求取值范围是 (0, +∞) 1．
解 216000 ．与理科第 16 题相同．
题 (文 20) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l : y = t ( t ̸= 0 ) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C : y2 = 2px ( p > 0 ) 于点 P ， M 关于点 P 的对称点为 N ，连接 ON 并延⻓交 C 于点 H ． (1) 求 |OH| ；
g(x2) > g(2 − x1),
也即
g(x1) > g(2 − x1).
接下来证明：
∀x < 1, g(x) − g(2 − x) > 0,
也即
∀x < 1, ex · (2 − x) − e2−x · x > 0.
设 h(x) = ex · (2 − x) − e2−x · x ，则其导函数
h′(x) = (ex − e2−x)(1 − x),
解 (1) 将圆的方程化为标准方程
(x + 1)2 + y2 = 16. y
ED A
OB x
C
由于 BE ∥ AC ，于是 ∠EBD = ∠ACD ．又 |AC| = |AD| ，于是 ∠ACD = ∠ADC ，因此 ∠EBD = ∠EDB ，从而 |EB| = |ED| ，这样就得到了
|EA| + |EB| = |EA| + |ED| = |AD|
7
4 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 文科数学
11
5 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学
13
6 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 文科数学
16
7 2016 年上海卷理科数学
18
8 2016 年上海卷文科数学
22
9 2016 年北京卷理科数学
24
10 2016 年北京卷文科数学
27
11 2016 年四川卷理科数学
= nπ +
,
4
2
m, n ∈ Z
两式相减得到 ω ．Å） ã
π 5π
又因为 f (x) 在 ,
单调，所以
18 36
Å
ã
2π T= =
2π
⩾2
ω 2k + 1
5π π 36 − 18
, k ∈ Z,
于是
k⩽
11 ，从大到小进行试探：