“圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题

圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题

说题”是近年来涌现出的一种新型教学研究模式

简单地讲：说题是执教者或受教育者在精心做题的基础上，阐述对习题解答时所采用的思维方式，解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律. “说题”使教研活动更入微了，可以说是教研活动的一次创新

般说来，说题应从以下几个方面进行分析：数学思想

与数学方法，命题变化的自然思维，小结、归纳与应用，题多解、发散思维，常规变式，多种变式、融会贯通，从特殊到一般寻找规律.要求数学教师不但对题目进行深层次的

挖掘，说出题目的本质、新意、特色，还要说出题目的编制、演变过程以及该题目的潜在价值

面是本人的一次说题研究，在此抛砖引玉供各位参考、说问题

背景

问题来源于2005 年上海市普通高等学校春季招生考试

数学试卷第22 题：

1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-2）的

椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1 (a>b>0), 设

斜率为k的直线I，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证

明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；

3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找

出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

二、说问题立意

1.考查椭圆的标准方程和性质；中心对称等；

2.考查数

学思想有：从特殊到一般思想；数形结合思想；分类讨论思

想；数学方法：判别式法；函数与方程转化等；引导将双

曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法.3.通

过研究椭圆的平行弦的中点轨迹，对直线与曲线位置关系研究方法有更深刻的理解；这是将知识、方法、思想、能力素质融于一体的命题，也看出高校选拔人才对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力和自主探索能力等提出了较高的要求.

、说问题解法

解法1（1）略（2）设直线I的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点A（x1,

y1 )、B (x2, y2),则有y=kx+m,

x2a2+y2b2=1，解得( b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

•••△ >0，二m2vb2+a2k2，即-b2+a2k2vmvb2+a2k2.则

x1+x2=-2a2kmb2+a2k2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2. ••• AB 中点M 的坐标为(-a2kmb2+a2k2 , b2mb2+a2k2 ).

•••线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.

（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D,并分别取AB、CD的中点M、N,连接直线MN ;又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于和C1、D1,并分别取

A1、B1 A1B1、C1D1的中点M1、N1,连接直

线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点0即为椭圆中心.

解法2（2）可利用点差法；（3）利用一组平行弦中点作

出椭圆的一条弦其中点就是椭圆中心

用点差法求弦中点的轨迹,过程如下：设直线l 的方程

为y=kx+m，与椭圆C 的交点A（x1，y1 ）、B（x2，y2），由x21a2+y21b2=1 ，x22a2+y22b2=1 ，相减得

x1+x2）（x1-x2）a2=-（y1+y2）（y1-y2）b2.

当x1=x2 时,弦AB 中点M 轨迹方程为y=0（-a

当x1 工x2 且y1 工y2 时，y1-y2x1-x2=-b2a2（ x1+x2）（y1+y2）,

••• k=-b2a2?2x2y. y=-b2a2kx.

再由方法一求出x 的取值范围.

四、说问题来源问题源于高级中数课本（上海教育出版社）高二年

级第

学期12.4例5：求椭圆x24+y2=1 中斜率为1 的平行弦的中

点轨迹.例5与2005上海春招22（2）两题题目条件一样，

解题方法也一样，只是数字与字母的区别，体现了近年来高

考试题“追根溯源，回归课本” ，“源于课本，高于课本” 的理念，因此我们在高考复习中应当充分重视教材，研究教材，汲取教材的营养价值，发挥课本的示范功能

五、说问题拓展拓展问题1：如图3（1），已知一椭圆，试在图

中作出

该椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点

作法：（1）确定椭圆的中心方法同22（3）.