几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式

'
f ( x ) = sin x, f ' (x ) = cos x
x '
f ( x ) = xα α ∈ Q* , f ' (x ) = αxα −1
f (x ) = c , f
'
(
(x ) = 0
)
x
x
'
x
对数函数
{
1 f ( x ) = log a x, f ( x ) = x ln a
'
1 f (x ) = ln x, f (x ) = x
x（2） y = x −3 3） y = x x ） （ ）
( )
方法总结： 方法总结：把函数转化为可以直接利用导数公式的基本函数模式
y 自主迁移：求导数（ ） 自主迁移：求导数（1） =
6
二、基本初等函数的导数公式
常数函数 幂函数
三角函数
指数函数
{ f (x ) = cos x , f (x ) = − sin x f ( x ) = a , f ( x ) = a ln a { f (x ) = e , f (x ) = e
( ) 幂的乘积） 结论 (x ) = αx (α ∈ Q （幂指数与自变量的α − 1 幂的乘积） )
x =x
' 1 2 1 − 1 1 1 1 −1 = = × x 2 = × x2 2 x 2 2
'
α '
α −1
*
一、几个常见函数的导数
1 y y 5 3 ：（1） 例1、求导数：（ ） = x （2） = 4 （3） = x 、求导数：（ y ） ） x
几个常见函数的导数公式 和基本初等函数的导数公式
泰山民族中学
张心花
学习目标
1、能根据定义求 、 的导数； 的导数； 2、掌握导数公式，并能利用公式求一些简单函数的导数。 导数公式， 利用公式求一些简单函数的导数。 、掌握导数公式
y = c, y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1 ,y = x x
(x ) = 2 x = 2 x = 2 × x (x ) = 3x = 3 × x 1 1 = (x ) = − = (− 1)× x x x
2 ' 1 2 −1
( ) (x ) = (x ) = 1 = 1× x
' 1 '
0
= 1× x1−1
3 '
2
3−1
'
−1 '
−2

2
= (− 1) × x −1−1
(
)
a2 ( ) 2、求证：双曲线 y = x a ≠ 0 上任一点处的切线与坐标轴围成的 、求证：
三角形的面积为常数
课堂小结
1.几个常用函数的导数公式和基本初等函数的导数公式 几个常用函数的导数公式和基本初等函数的导数公式 几个常用函数的导数公式和基本初等函数的 2.函数的求导 关键是把函数转化为可以直接应用导数公式的 函数的求导, 关键是把函数转化 转化为可以直接应用导数公式的 函数的求导 基本函数的模式. 基本函数的模式 3.与切线有关的较为综合性问题 与切线有关的较为综合性问题. 有关的较为综合性问题
f1 (x) = cos x, f 2 (x) = − sin x, f3 (x) = − cos x, f 4 (x) = sin x,
三、导数公式的应用
3 π 例2、 求曲线 y = cos x 在点 A , 、 6 2 的切线方程
解：∵ y ∴
= cos x
∴ y′
'
1 , f f (x ) = x f (x ) =
1 (x ) = − 2 x 1 ' x , f (x ) = 2 x 常数函数的导数为 零．
'
完成自主构建1-3 完成自主构建
一、几个常见函数的导数
2、深化研讨： 、深化研讨： 1 2 3 的导数， 通过观察 y = x, y = x , y = x , y = , y = x 的导数，归纳猜测幂函数 x y = x α α ∈ Q * 的导数
12
解：
(x ) = 12 x
12 '
'
12 −1
= 12 x 11
( )
4 1 −4 ' −4−1 −5 4 = x = −4x = −4x = − 5 x x ' 3 3 2 ' 5 3 5 −1 3 − 5 3 3 5 x =x = x = x = 5 5 55 x 2
课堂互动探讨
一、几个常见函数的导数
1 y = c, y = x , y = x 2 , y = x 3 , y = , y = 1．利用导数定义求 ． x 的导数， 的导数，并解释其几何意义 x
f (x ) =
f (x ) =
f (x ) = c , f
f (x ) =
(x ) = 0 x , f ' (x ) = 1 x 2 , f ' (x ) = 2 x x 3 , f ' (x ) = 3 x 2
学习重点
1 y = x2 , y = x3, y = , y = 1.会根据导数定义求 x x 导数； 导数；
2.能利用公式求导数。 利用公式求导数。
学习难点
利用公式求导、导数公式应用 利用公式求导、导数公式应用 求导
要点回顾
1、导数 f 、
'
(x 0 ) 的几何意义： 的几何意义：
曲线 y = f ( x ) 在点 x = x 0 处切线的斜率
' 2、导数 s (t 0 ) 的物理意义： 、 的物理意义：
运动物体在时刻 3、导数 f 、
'
t = t0 的瞬时速度
( x ) 的计算公式及步骤： 的计算公式及步骤：
'
∆y f (x + ∆x )− f (x ) = lim 公式： f (x ) = lim 公式： ∆x ∆x →0 ∆x ∆x→0 步骤：求增量；求比值； 步骤：求增量；及反馈体验 完成自主构建 及反馈体验1-3 及反馈体验
二、基本初等函数的导数公式
思考：（先试着找出规律） 思考：（先试着找出规律） ：（先试着找出规律
f n + 1 ( x ) = f n' ( x ), n ∈ N , 则 f 2010 ( x ) = ?
解：f 0 (x) = sin x
f 0 ( x ) = sin x , f 1 ( x ) = f 0' ( x ), f 2 ( x ) = f 1 ' ( x ),......,
f5 (x) = cos x, f 6 (x) = − sin x, f 7 (x) = − cos x, f8 (x) = sin x
由此可见 具有周期性，周期为 ， 周期性 f n ( x ) 具有周期性，周期为4，所以 f 2010 ( x ) = f 2 ( x ) = − sin x
作业
习题1.2(A组)1、5 习题 组 、
= (cos x )′ = − sin x
π
y′
x=
π
6
1 = − sin = − 6 2
由导数的几何意义， 由导数的几何意义，切线的斜率
3 1 π = − (x − ). 由点斜式得， 由点斜式得，切线方程为 y − 2 2 6
完成反馈体验4 完成反馈体验
1 k=− 2
三、导数公式的应用
自主迁移： 自主迁移： 1.（2007，琼，宁） （ ， x 2 求曲线 f ( x ) = e 在 2, e 处的切线与坐标轴围成三角形的面积