优质公开课7.1.5平面向量的数乘运算

【课题】 7.1.5 平面向量的数乘运算

江夏职业技术学校 张主枝

【教学目标】

（1）理解向量的数乘运算的定义

（2）掌握共线向量的基本定理

【教学重点】数乘运算的定义

【教学难点】对向量线性表示的理解和运用

【课时安排】2课时

【教学过程】

一、创设情境 兴趣导入

观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ．

图7−15

二、新授知识

1.数乘运算的定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

大小： ||||||a a λ=λ （7．3）

方向：若||λ≠a 0，则

当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，

当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．

一般地，有 0a = 0, λ0 = 0 ．

2.共线向量的基本定理：对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有

λ⇔=a b a b ∥ （7．4）

3.向量的数乘运算法则：

()()111a a a a ，　；

=-=- ()()()()2a a a ；

λμλμμλ==

()()3a a a λμλμ+=+ ；

()a b a b （4）．λλλ+=+

4.向量的线性表示：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．

5.向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．

注意：向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．

三、巩固知识 典型例题

例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．

分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .

解 AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ，

因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以

1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12

b ， OD ＝

12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例6中，12a ＋12b 和−12a +12

b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．

四、运用知识 强化练习

1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；

（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．

2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12

（a ＋b ）．

3. 在正方形ABCD 中，AB =a ，BC =b 。

（1）用a 、b 表示向量OD ；

（2）用a 、b 表示向量CO 。

五、作业

书P34：习题7.1：T5，6

六、小结 （1）向量的数乘运算的定义

（2）共线向量的基本定理

七、反思

实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.