随机变量数字特征习题课

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第12讲 随机变量的数字特征习题课

教学目的:掌握随机变量的数字特征,了解切比雪夫不等式和大数定律。

教学重点:理解数学期望和方差的概念,掌握它们的性质与计算,熟悉常用分布的数

学期望和方差。

教学难点:随机变量函数的数学期望。 教学时数:2学时 教学过程:

一、知识要点回顾

1. 随机变量X 的数学期望()E X

2. 对离散随机变量 ()()i i i

E X x p x =∑

3. 若1,2,i =,则假定这个级数绝对收敛,否则就没有数学期望。

4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞

-∞

=⎰

5. 假定这个广义积分绝对收敛,否则就没有数学期望。

6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ,其中()g X 为实函数。

7. 对离散随机变量 [()]()()i i i

E g X g x p x =∑

8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞

-∞

=⎰

9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛,所涉及的广义积分绝对收敛。

10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ,其中(,)g X Y 为二元

实函数。

11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i

j

E g X Y g x y p x y =∑∑

12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛,所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质(假定所涉及的数学期望都存在) 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数

17. ()(), (,)E aX b aE X b a b +=+为常数 18. ()()()E X Y E X E Y +=+ 19. 1

1

()()n

n

i i i i i i E c X c E X ===∑∑

20. 若,X Y 相互独立,则()()()E XY E X E Y =。 21. 若12,,

,n X X X 相互独立,则12

12()()()

()n n E X X X E X E X E X =。

22. 随机变量X 的方差222(){[()]}()[()]D X E X E X E X E X =-=-,这里假定

2(),()E X E X 都存在。

23. 方差的性质 24. ()0, ()D c c =为常数 25. 2()(), ()D cX c D X c =为常数 26. 2()(), (,)D aX b a D X a b +=为常数

27. 若,X Y 相互独立,则()()()D X Y D X D Y +=+。 28. 若12,,

,n X X X 相互独立,12,,

,n c c c 为常数,则21

1

()()n

n

i i i i i i D c X c D X ===∑∑。

29. 随机变量X 的k 阶原点矩 ()()k k X E X ν= 30. 随机变量X 的k 阶中心矩 (){[()]}k k X E X E X μ=- 31. 易知,112()(),()0,()()X E X X X D X νμμ=≡=。 32. 随机变量X 与Y 的协方差

33. cov(,){[()][()]}()()()X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- 34. 22()()()2cov(,), (,)D aX bY a D X b D Y ab X Y a b +=++为常数 35. cov(,)cov(,)X Y Y X =

36. cov(,)cov(,), (,)aX bY ab X Y a b =为常数

37. cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+

38. 若cov(,)0X Y =,则称X 与Y 不相关。若随机变量X 与Y 相互独立,则X 与Y 一

定不相关,反之不成立。

39. 随机变量X 与Y

的相关系数(,)R X Y =

40. |(,)|1R X Y ≤

41. |(,)|1Y a bX R X Y =+⇔=

42. 切比雪夫不等式:若随机变量X 的数学期望()E X 与方差()D X 存在,则对任意正 数ε有

2()

()D X P X E X εε

⎡-≥⎤≤⎣⎦ 由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理,进而推出伯努利定理。后面两个定理是常用的大数定律。

二 、典型例题解析

1.已知随机变量X 的概率分布为

求2(46)E X +。

分析 由要点2,令2()46g X X =+,代入公式即可。 解

3

2

21(46)(46) 220.360.4100.312

i i

i E X x p =+=+=⨯+⨯+⨯=∑

注 计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法:一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度,再按数学期望的定义计算;一种是直接带入要点2种所列的公式。 通常用后一种方法较简便。

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