20春福师《实变函数》在线作业二答案45868
22秋季-福师《实变函数》在线作业二-辅导资料-答案5
22秋-福师《实变函数》在线作业二-0005
试卷总分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:A
2.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:A
3.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
5.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数(复习资料,带答案)
---《实变函数》试卷一一、单项选择题（ 3 分×5=15 分）1、下列各式正确的是（）（ A） lim A n A k ;（B） lim A nn 1 k n A k ;n n 1 k n n（ C） lim A n A k ;（ D） lim A nn 1 k A k ;n n 1 k n n n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)mP 0(C)P'P(D)P P3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（ B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设f n ( x) 是 E 上的a.e.有限的可测函数列 , 则下面不成立的是()（A）若f n(x) f ( x) ,则f n( x) f ( x)(B)sup f n ( x) 是可测函数（C）inf f n (x) 是可测函数 ; （ D）若n nf n (x) f (x) ,则 f (x) 可测5、设 f(x) 是[ a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) f (x) 在 [ a, b] 上有界(B)f ( x) 在 [ a,b] 上几乎处处存在导数（C）f'( x)在[ a, b]上 L 可积 (D)bf '(x)dx f (b) f (a)a二.填空题 (3 分× 5=15 分 )1、(C s A C s B) ( A ( A B))_________2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则oE' =______, E =______, E =______.3、设 E 是 R n中点集，如果对任一点集T 都，则称 E是L可测的4、f ( x)可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 . （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设f (x)为 a, b 上的有限函数，如果对于a, b 的一切分划，使_____________________________________则,称f ( x)为a, b 上的有界变差函数。
《实变函数》试卷及参考答案
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数试题库参考答案 (2)
《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||infi i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。
(完整版)实变函数(复习资料_带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
福师(2020-2021)《实变函数》在线作业二(4)答案
福师（2020-2021）《实变函数》在线作业二注：本科有多套试卷，请核实是否为您所需要资料，本资料只做参考学习使用！！！一、判断题（共37题，74分1、f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B2、连续函数和单调函数都是有界变差函数.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A3、零测度集的任何子集都是可测集.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A4、若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B5、f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B6、f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B7、若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A8、若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B9、若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A10、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B11、三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B12、设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=axA错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B13、若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
《实变函数》试卷二与参考答案
考生答题2不得超此线5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积二. 填空题(3分×5=15分)1、设11[,2],1,2,n A n n n=-=，则=∞→n n A lim _________。
2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。
3、设{}i S 是一列可测集，则11______i i i i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑4、鲁津定理：_____________________________________________________________________________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________________________ _____________________________________________________________________________________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。
三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
20春福师《实变函数》在线作业一答案45862
福师《实变函数》在线作业一
红字部分为答案！
判断题
1.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A.错误
B.正确
2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A.错误
B.正确
3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A.错误
B.正确
4.测度为零的集称为零测集.
A.错误
B.正确
5.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
6.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A.错误
B.正确
7.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A.错误
B.正确
8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A.错误
B.正确
9.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
10.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
11.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A.错误
B.正确
12.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
实变函数测试题与答案
实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =, 则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ⊂, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j n f x , 使得 .二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求1()f x dx ⎰.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一 填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦ 3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭; ∅.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉6. b a -.7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦ 10. ()()n f x f x → a.e.于E . 二 判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=⊄.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n =是一系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,使得E I ⊂, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ . 三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()SSS S S A B C A B CAB C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==, 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ,其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nP G n n n n nnn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+=⋅ =⋅=⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤⋅≤+++ 由于12x 在()0,1上非负可测， 且广义积分1012dx x⎰收敛，则12x在()0,1上(L)可积， 由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n xnx nx dx n x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）1.非可数的无限集为c势集2.开集的余集为闭集。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版)选择题1，下列对象不能构成集合的是：( ）A 、全体自然数 Ｂ、0，1 之间的实数全体 C 、[0， 1］上的实函数全体 Ｄ、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是：( ）A 、｛全体实数｝ Ｂ、｛全体整数} C 、{全体小个子｝ D 、｛x ：x>1｝3、下列对象不能构成集合的是：（ ）A 、{全体实数｝B 、{全体整数} Ｃ、{ｘ：x ＞1}D 、｛全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数｝ Ｂ、{全体整数} C 、{x ：ｘ>1} D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是：( ）A 、｛全体小孩子}B 、｛全体整数}C 、{x:x 〉1} Ｄ、｛全体实数｝6、下列对象不能构成集合的是:( ）Ａ、｛全体实数} B 、｛全体大人｝ C 、｛ｘ：x 〉１} D 、{全体整数｝７、设}1:{ααα≤<-=x x A ， Ｉ 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ） A 、（-1, 1) B 、（-１， 0） Ｃ、（—∞, +∞)Ｄ、(１， +∞）8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋃1= ( ） A 、（－1, １） Ｂ、（-1, 0) C 、［0， 1] Ｄ、［—1, 1］9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= ( ） Ａ、（0, 1） B 、[0， 1］ C 、［0, １］D 、（０, +∞）10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋃1= （ ) Ａ、［1， 2] B 、（1, ２) Ｃ、 （０， 3）D 、（1, ２)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i ， N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= （ ） A 、（—1， 1） B 、[0， １］ C 、ΦD 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(－1， １） B 、[0, １］ Ｃ、Φ D 、｛0｝13、设]1212,0[12--=-n A n ， ]211,0[2nA n +=, N n ∈，则=∞→n n A lim （ ）Ａ、［0， 2] B 、[０， 2] C 、［0， 1］ D 、[０, 1］1４、设]1212,0[12--=-n A n ， ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim （ ） A 、［0， ２］B 、［0, 2]C 、［０, 1]D 、[0， 1]15、设),0(n A n =， N n ∈， 则=∞→n n A lim （ )A 、ΦB 、［0， ｎ］C 、RＤ、（0， ∞）16、设)1,0(n A n =, N n ∈， 则=∞→n n A lim （ )Ａ、（0， １） B 、（０, n 1） C 、｛0｝D 、Φ17、设)1,0(12n A n =-, ),0(2n A n =, N n ∈， 则=∞→n n A lim ( ）A 、ΦB 、（0， n 1） C 、（0, n ）D 、（０, ∞）1８、设)1,0(12n A n =-， ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim （） A 、Φ B 、（0， n 1) C 、（0, n)D 、（0， ∞）19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-（A －Ｂ)= （ ）Ａ、B Ｂ、A C 、A ⋂BＤ、A ⋃B ２0、设Ａ 、Ｂ 、C 是三个集合， 则Ａ－（Ｂ⋃C ）＝ （)A 、（A —B)⋂(A-C ） Ｂ、（Ａ-Ｂ）⋃(A －C ）C 、Ａ⋂BＤ、A ⋂C２１、设Ａ 、B 、C 是三个集合， 则Ａ—（B ⋂Ｃ）= （ ）A 、（A －B)⋂（A-C ）B 、(A —B ）⋃（A-C ） C 、A ⋂BD 、Ａ⋂C２2、设A 、B 、S 是三个集合， 且S A ⊂， S B ⊂, 则)(B A C s -= ( ） Ａ、B C A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃ D 、B A C s ⋂2３、设A 、B 、Ｓ是三个集合, 且S A ⊂， S B ⊂, 则)(B A C s ⋃＝ （ )A 、BC A C s s ⋃ Ｂ、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃２4、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-（B －Ｃ） = （ ）A 、 A ⋃C －ＢB 、 A-B －C Ｃ、 (A —B)⋃(A ⋂C)D 、 C －（B －Ａ）25、集合E 的全体内点所成的集合称为Ｅ的 （ )A 、开核 Ｂ、边界 C 、导集 Ｄ、闭包2６、集合Ｅ的全体聚点所成的集合称为E 的 （ ）A 、开核 Ｂ、边界 Ｃ、导集 D 、闭包２7、集合Ｅ的全体边界点和内点所成的集合是E 的 （ ）A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包2８、E —E ’所成的集合是 （ ）A 、开核B 、边界C 、外点 Ｄ、{E 的全体孤立点｝29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 （ ）A 、开核 Ｂ、边界 C 、导集 D 、闭包30、设点Ｐ是集合Ｅ的边界点, 则 （ ）A 、P 是E 的聚点B 、P 是Ｅ的孤立点 Ｃ、Ｐ是Ｅ的内点 D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G ， 则下列那一个是Ｇ的构成区间： （ ）A 、(0, 1） Ｂ、（21, １） Ｃ、[０， 1］ D 、(0， 2) ３２、设)1,0(1=G ， )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间: （ )Ａ、(0, 1） B 、(0, 2） Ｃ、（—1, 21） D 、（—1, 2） 33、设)4,0(1=G ， )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是Ｇ的构成区间： ( )A 、（0, 1) Ｂ、(3, ４） C 、(０, 4） D 、 （1, 4）34、设)1,0(1=G ， )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间： （ )Ａ、（０， 1） B 、（0, 3) C 、(０， 4) D 、(1, 4）35、设)2,0(1=G ， )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间： ( )A 、(0, 1)B 、（0， 2)C 、(1， 2)D 、（1, 4）36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间: ( ）A 、（21, 23） B 、（1, ２) C 、(０, 1) D 、(—1, 0) ３7、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是： （ ）A 、B A ⊂ Ｂ、Ａ＇⊂B'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂3８、若C B A =⋃， 则下列命题正确的是：( ）A 、 CB A =⋃ Ｂ、 A'⋃B ’=C'C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、｛A 的孤立点｝⋃｛B 的孤立点｝={Ｃ的孤立点｝39、若C B A =⋂， 则下列命题错误的是：( ）A 、 CB A =⋂ Ｂ、C ＇⊂ Ａ’⋂B ’ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点｝⋂｛B 的孤立点}={Ｃ的孤立点｝40、设CA 是Ａ的余集,则下列命题正确的是:（ )A 、 )()(CA A C = Ｂ、)(CA A ∂=∂ C 、Ｃ(A ’）=(C Ａ）＇ D 、CA A C =)( 41、设Ａ－Ｂ=C ， 则下列命题正确的是:（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ Ｂ、C B A =- Ｃ、Ａ’-B ＇=C'D 、{Ａ的孤立点｝-｛B 的孤立点}={C 的孤立点｝4２、 （2-4—１－2） 下列命题错误的是:( ）A 、A 是闭集B 、Ａ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集 4３、若A 是闭集，B 是开集,则A －B 是：（ )A 、开集 Ｂ、闭集 C 、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断44、若Ａ 是开集，Ｂ是闭集，则A-Ｂ是：（ ）A 、开集B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断４5、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断４6、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是:( ） A 、开集 Ｂ、闭集 C 、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断4７、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是:（ ） Ａ、开集 B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:（ ) A 、开集 B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （ ）Ａ、０ B 、1 C 、２ D 、35０、下述结论（ ）正确．A 、E m E m **>B 、E m E m *≥* Ｃ、E m E m **< Ｄ、E m E m **≤ ５1、下列说法正确的是（ ） Ａ、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在［０，1］有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在［0,１］有界 52、函数列n n x x f =)(在[０，1］上( )于０．A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛5３、设E 是[0，1］中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在［0,1]上可测的是( ）.A 、)(x fB 、)(x f + Ｃ、|)(|x f D 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是（ )．A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE （ ）A 、０ Ｂ、1 C 、2 D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、Ｅ的测度有限，则E 必有界B 、Ｅ的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限５7、(４-4－2-１）下述论断正确的是（ )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限５8、函数列n n x x f )21()(=在［0， 2］上( ）于0． A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a 。
福师《实变函数》在线作业二-0004
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.有限个可数集的乘积集是（ ） A.有限集 B.可数集 C.有连续统势的集 D.基数为 2^c 的集 答案:B
39.下列关系式中不成立的是（ ） A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 答案:B
3.对 R^n 中任意点集 E，E\E'必为可测集. 答案:正确
4.当 f 在(0,+∞)上一致连续且 L 可积时，则 lim_{x->+∞}f(x)=0. 答案:正确
5.若 f_n 测度收敛于 f，g 连续，则 g(f_n)也测度收敛于 g(f). 答案:错误
6.有界可测函数 f 在区间[a,b]上 L 可积的充要条件是 f 在[a,b]上几乎处处连续. 答案:错误
15.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 答案:正确
16.L 积分下 Newton-leibniz 公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 答案:正确
17.f 在[a,b]上为增函数，则 f 的导数 f'∈L1[a,b]. 答案:正确
18.f,g∈M(X),则 fg∈M(X). 答案:正确
40.开集减去闭集其差集是（ ） A.闭集
B.开集 C.非开非闭集 D.既开既闭集 答案:B
41.在（ ）条件下，E 上的任何广义实函数 f(x)都可测. A.mE=0 B.0<mE<+∞ C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞ 答案:A
实变函数论课后答案第二章（精品）
实变函数论课后答案第二章1第二章第一节1.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ⊂. 证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ∀> 中有无穷多个点。
现在设()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，故()0,y N p δη∀∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-⊂故()0,N p E δη- 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-(),N p δ⊂.这就证明了必要性，事实上，(){}00,N p E p δη-- 是无穷集，故(),N p δ中有无穷多个异于0p 的E 中的点.反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则0δ∀>，(),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=<由归纳法易知，有{}11,1,2,,n n n n δδδδ+∀=<<< 和()01,n n p E N p δ-∈ ，0,1,2,n p p n ≠=这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈若0p 为E 的内点，则0,δ∃>使()0,N p E δ⊂，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ⊂，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知()()()00,,,N p p p N p E δρδ-⊂⊂，故0p 为E 的内点.2.设1n R R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'11,E E .解：[]0,1x ∀∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε∀>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'10,1E ⊂.而另一方面，[]0,1x ∀∉，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=∅ ，故'01x E ∉ 故[]'10,1E ⊂，所以[][]'10,10,1E ⊂⊂. 表明[]'10,1E =而[][]'11110,10,1E E E E === 故[]'110,1E E ==.1. 设2n R R =是普通的xy 平面(){}222,;1E x y xy =+<，求'22,E E .解：(){}'222,;1E x y xy =+≤事实上，若()'0002,p x y E =∈，则由于()22,f x y x y =+是2R 上的连续函数，必存在0δ>，使()()0,,x y N p δ∀∈有()22,1f x y x y =+>.故()02,N p E δ=∅ ，故0p 不是'2E 中的点矛盾. 故22001x y +≤时(){}220,;1p x y xy ∈+≤反过来，若()(){}22000,,;1p x y x y x y =∈+≤则0δ∀>，作[]0,1上的函数()()()()22000000,f t tp p tx x ty y ρ==-+-()22222000011t x y t x y =-+=-+则()f t 是[]0,1上的连续函数，()220001f x y =+≤，()10f =，01δ∀<<，[]0,1t δ∃∈使()f t δδ=现在任取()0,0min 1,ηδη>∃<<，使()()00,,N p N p δη⊂. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈ （3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈所以(){}020,t p N p E p δη∈- 由习题1的结论知'02p E ∈，所以(){}'222,;1E x y xy =+≤.而(){}''222222,;1E E E E x y xy ===+≤ .2. 设2nR R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin00x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的图形上的点所作成的集合，求'3E . 解：设函数的图形是()(){}{}'131,;,,sin ;0x f x x R Ex x R x ⎧⎫⎛⎫∈=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(){}0,0 . 下证(){}'330,;11E E δδ=-≤≤()'0003,p x y E =∈⇔存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-， ()000,,n n n n n p x y p x x y y =→⇔→→，()0,0n p p ρ→设()'0003,p x y E =∈，则存在()(){}30,,n n x y E x y ∈-使00,nn xx y y →→若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大） 则0011sinsin n n y y x x =→= 所以()003,x y E ∈若00x ≠，则0n x →，01sinn ny y x =→，011y -≤≤ 所以()(){}00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'330,;11E E δδ⊂-≤≤反过来：()(){}0003,0,;11p x y E δδ∀=∈-≤≤ ， 若00x ≠，001siny x =， 故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x →从而011sinsin n x x → 即存在()001,sin,n n x x y x ⎛⎫→ ⎪⎝⎭故'03p E ∈.若()(){}000,0,;11p y δδ=∈-≤≤ 则从[]01,1y ∈-知存在0x 使00sin x y =， 令()010,1,2,2k x k k x π=≠=+ .则()0001sinsin 2sin kk x x y x π=+==， 所以()3011,sin,,sin 0,k kkk x E x y x x ⎛⎫⎛⎫∈→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()00,0,k x y y → ()()00,0,k x y y ≠故'03p E ∈ 故结论成立.3. 证明当E 是nR 中的不可数无穷点集时，'E 不可能是有限集. 证明：记B 为E 的孤立点集，则'E B E -= 所以()'E E B B E B =-⊂ .若能证明B 是至多可数集，则若'E 是有限集或可列集知'E B E ⊃ 为至多可数集，这将与E 是n R 中的不可数无穷点集矛盾.故只用证E 的孤立点集B 是至多可数集p B ∀∈，0p δ∃>使(){},p N p E p δ=故(),np p N p R δ⊂ 是B 到nR 中的一个互不相交的开球邻域组成的集的11-对应.而任一互不相交开球邻域作成的集合{},A αα∈Λ是可数的，因为任取α∈Λ，取有理点p A α∈，则从,A A αβαβ=∅≠ 则{},A αα∈Λ与Q 11-对应故{},A αα∈Λ是至多可数集. 证毕。
实变函数练习及答案
实变函数练习及答案实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。
.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。
2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。
3、下列说法正确的是（）.A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积；.C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E 则有（） .A 1()lim n nn n m E mE∞→∞=>U ； .B 1()lim n nn n m E mE∞→∞==U ；.C 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。
5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（）.A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。
6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（）.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。
7、设mE <+∞，(){}nf x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}nf x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（）.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数习题二课后答案
实变函数习题二课后答案实变函数习题二课后答案1. 求下列函数的定义域：a) f(x) = √(4 - x^2)由于根号内的表达式必须大于等于0，所以4 - x^2 ≥ 0。
解这个不等式得到 -2 ≤ x ≤ 2。
因此，函数的定义域为闭区间[-2, 2]。
b) g(x) = 1 / (x - 3)由于分母不能为0，所以x - 3 ≠ 0。
解这个方程得到x ≠ 3。
因此，函数的定义域为实数集合中除去3的所有实数。
c) h(x) = log(x^2 - 5x + 6)由于对数函数的定义域要求x^2 - 5x + 6 > 0。
解这个不等式得到 x < 1 或 x > 5。
因此，函数的定义域为开区间(-∞, 1) 和(5, +∞)。
2. 求下列函数的值域：a) f(x) = x^2 + 2x + 1可以将函数进行完全平方，得到 f(x) = (x + 1)^2。
由于完全平方的结果必为非负数，所以函数的值域为[0, +∞)。
b) g(x) = 1 / (x - 3)由于分母不能为0，所以函数的值域中不存在0。
对于任意非零的y，可以解方程 1 / (x - 3) = y，得到 x = 3 + 1/y。
因此，函数的值域为实数集合中除去0的所有实数。
c) h(x) = log(x^2 - 5x + 6)由于对数函数的值域为实数集合，所以函数的值域为实数集合。
3. 求下列函数的奇偶性：a) f(x) = x^3 - x将函数进行变换，得到 f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。
由于 f(-x) = -f(x)，所以函数为奇函数。
b) g(x) = x^2 + 1将函数进行变换，得到 g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = g(x)。
由于 g(-x) = g(x)，所以函数为偶函数。
c) h(x) = sin(x)将函数进行变换，得到 h(-x) = sin(-x) = -sin(x)。
福师2020春季《实变函数》在线作业二答案
福师2020春季《实变函数》在线作业二答案福师《实变函数》在线作业二判断题：1-fBV，则f有标准分解式:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.A.错误B.正确正确答案:B2-增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A.错误B.正确正确答案:B3-设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.A.错误B.正确正确答案:B4-f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤-【】f(b)-f(a).A.错误B.正确正确答案:A5-存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a).A.错误正确答案:B6-当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.A.错误B.正确7-若f广义R可积且f不变号，则fL可积.A.错误B.正确正确答案:B8-若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.A.错误B.正确正确答案:A9-可数集的测度必为零，反之也成立.A.错误B.正确正确答案:A10-若f有界且m(X)∞,则f可测。
A.错误正确答案:B11-三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A.错误B.正确正确答案:B12-对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.A.错误B.正确正确答案:B13-若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.A.错误B.正确14-三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A.错误B.正确正确答案:B15.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).A.错误B.正确正确答案:A16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A.错误B.正确正确答案:B17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.A.错误B.正确正确答案:B18.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
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福师《实变函数》在线作业二
红字部分为答案！
判断题
1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A.错误
B.正确
2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A.错误
B.正确
3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A.错误
B.正确
4.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A.错误
B.正确
7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A.错误
B.正确
8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A.错误
B.正确
9.可数集的测度必为零，反之也成立.
A.错误
B.正确
10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A.错误
B.正确
11.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A.错误
B.正确
12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.。