清华大学信号与系统课件第四章拉普拉斯变换PPT演示文稿
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信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
信号课件第四章拉普拉斯变换
π 已知 f ( t ) 2 cos t ut , 求F ( s )。 ＝ 【例4】 4 π π f t 2 cos t cos 2 sin t sin cos t sin t 4 4 s 1 s 1 F s 2 2 2 1 s 1 s 1 s
(二) 单边拉氏变换的收敛域
欲F(s)存在，则必须满足条件：
j 收 敛 轴 收 敛 域
lim f ( t )e
t
t
0 解得：
0
0 0
=Re(s)
结论：单边拉氏变换的收敛域: 0 。
有始有终信号，能量有限信号 整个平面
j
0 0 或 0 a
不收敛信号 除非
0
f (t t0 )e
t0
st0
dt
令 t t0
0
f ( )e st0 e s d e st0 F ( s), t0 0
【例】
已知 f t tut 1, 求F s
F s Ltut 1 Lt 1ut 1 ut 1
lim sinω0 t e
t
t
0 0. 收敛域为(0,+∞)
实际工程中的信号，只要 足够大，F(s)一定存在。所以, 收敛域问题一般不讨论，除非题中特别要求去讨论.
(三) 常见信号的拉氏变换
1、冲激信号
(t ) 1
st 0 0
L[ (t )] (t )e dt (t )dt 1
(六) 尺度变换特性
若L[ f (t )] F (s) ,
0
1 s 则 L[ f (at )] F ( ), a 0 a a
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析 ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t t F j FFra bibliotek j f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
lim
t
n! ne t
0 时，
lim t net 0
t
即 0 0 ，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。
13
ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
例4.3 设函数 f1 t et t , 0 ；f2 t et t , 0 。
σ 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。
ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
10
ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2 拉普拉斯变换的收敛域
F1s 的收敛域
F2 s 的收敛域
所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t t F j FFra bibliotek j f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
lim
t
n! ne t
0 时，
lim t net 0
t
即 0 0 ，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。
13
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信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
例4.3 设函数 f1 t et t , 0 ；f2 t et t , 0 。
σ 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。
ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
10
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信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2 拉普拉斯变换的收敛域
F1s 的收敛域
F2 s 的收敛域
所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
信号清华大学出版社第四章第二讲.ppt
s1
1
K1 s s(s 2) s0 2
s1
3
K2 (s 2) s(s 2) s2 2
1
3
F (s) 2 2
s
s2
f (t) 1 (t) 3 e2t (t)
2
2
例5：用时域卷积，求 f (t) [cos t (t)]*[2et (t)]
cos t (t)
s s2 1
2et (t ) 2
二分、式部展分开分法式展开法 2．当mn且D(s) = 0的根有重根时：
不妨设根p1为r重根，其余(n-r)个根为单 根pj( j=r-1, r-2, …, n)，则有理真分式 F(s)可展开为
F(s)
N (s) D(s)
(s
N (s) p1 )r (s pr1 )(s
pn )
(s
K11 p1)r
2
4
12
3
§4–3 拉普拉斯反变换 二、部分分式展开法 3．当mn时
长除法将有理假分式多项式+有理真分式
(m-n)次多项式中的s对应的原函数为冲激 函数及其导数项
例7(书)已知
F(s)
s3
5s2 s2 3s
9s 2
7
，求f(t)。
s2 s2 3s 2 s3 5s2 9s 7
s3 3s2 2s 2s2 7s 7 2s2 6s 4 s3
K12 (s p1)r1
K1r s p1
s
K r 1 pr1
s
Kn pn
§4–3 拉普拉斯反变换 二、部分分式展开法
式中待定系数，同传输算子有
K1l
(l
1 1)!
d(l 1) d s(l 1)
《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
拉普拉斯变换 PPT
F(s ) = ∫ f (t )e −st dt
0
∞
变量s叫做拉普拉斯算子。它为一复变数， 变量 叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，即s=σ+jω。 叫做拉普拉斯算子 。
是一单位阶跃函数 时为1； 例：设f(t)是一单位阶跃函数，其定义为：t>0时为 ； t<0时为 是一单位阶跃函数，其定义为： 时为 时为 0。求此函数的拉普拉斯变换值。 。求此函数的拉普拉斯变换值。
∞
∫ f (t ) e
0
− st
dt = ∫ e
0
∞
− at
⋅e
− st
1 −( s + a )t ∞ dt = − e = 0 s+a
1 s +a
2、拉氏反变换 、
它是拉氏变换的F(s)求取 的运算。 F(s)的拉氏反变 求取f(t)的运算 它是拉氏变换的 求取 的运算。 的拉氏反变 换记为： 换记为：f(t)=L -1[F(s)]。并且由拉氏反变换积分求出， 。并且由拉氏反变换积分求出，
A1 A2 Ar + + ⋯+ , 2 r (s + si ) (s + si ) (s + si )
r −1
r−2
1 d2 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s 2! ds2 i
1 d r −1 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s ( r − 1) ! d s r − 1 i
= s n F ( s ) − s n −1 f (0 + ) − s n − 2 f (1) (0 + ) − ⋯ − f ( n −1) (0 + )
第4章-拉氏变换
六、时域积分特征（积分定理）
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
t 0
n
f
( x) d
x
1 sn
F (s)
f (1) (t)
t
f
( x) d
x
s 1F (s)
s 1
f
(1) (0 )
例1: t2(t)<---->?
t
0 (x) d x t (t)
t 2 (x) d x t x (x) d x t 2 (t)
4.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F( s )
aa
Re[s]>a0
第4-17页
■
信号与系统
4.2 拉普拉斯变换性质
例：如图信号f(t)旳拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)旳拉氏变换Y(s)。
f(t)
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
信号与系统第四章概论
第四章 连续系统的复频域分析
学习重点：
• 单边拉氏变换及其重要性质； • 拉氏反变换的方法（部分分式展开）； • 微分方程的S域求解； • 电路的S域模型及分析方法。
本章目录
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉氏变换的性质 4.3 拉氏反变换 4.4 系统的S域分析
4.1 拉普拉斯变换
➢ 信号f( t )的单边拉氏变换定义：
（有理真分式）
可以分解为许多简单分式之和的形式。
1. D( s ) = 0的根均为单实根
式中
F (s) K1 K2 Kn
s s1 s s2
s sn
ki (s si )F (s) ssi
( i = 1，2，n )
则
f (t) K1es1t K2es2t Knesnt
例
设
F
(s)
(s
s 1)( s
2)
，求f
(
t
)。
解 其中
F(s)
s
K1 K2
(s 1)(s 2) s 1 s 1
所以 则
K1 (s 1)F(s) s1 1 K2 (s 2)F(s) s2 2
F(s) 1 2 s 1 s 1
f (t) et 2e2t
2. D( s ) = 0有共轭复根
0
0
s
(t) 1
s
➢正弦信号：
s in t
s2
2
➢余弦信号：
cost
s2
s
2
➢斜坡信号：
f (t) t (t)
F (s)
1 s2
end
4.2 拉氏变换的性质
线性性质
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s) 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
学习重点：
• 单边拉氏变换及其重要性质； • 拉氏反变换的方法（部分分式展开）； • 微分方程的S域求解； • 电路的S域模型及分析方法。
本章目录
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉氏变换的性质 4.3 拉氏反变换 4.4 系统的S域分析
4.1 拉普拉斯变换
➢ 信号f( t )的单边拉氏变换定义：
（有理真分式）
可以分解为许多简单分式之和的形式。
1. D( s ) = 0的根均为单实根
式中
F (s) K1 K2 Kn
s s1 s s2
s sn
ki (s si )F (s) ssi
( i = 1，2，n )
则
f (t) K1es1t K2es2t Knesnt
例
设
F
(s)
(s
s 1)( s
2)
，求f
(
t
)。
解 其中
F(s)
s
K1 K2
(s 1)(s 2) s 1 s 1
所以 则
K1 (s 1)F(s) s1 1 K2 (s 2)F(s) s2 2
F(s) 1 2 s 1 s 1
f (t) et 2e2t
2. D( s ) = 0有共轭复根
0
0
s
(t) 1
s
➢正弦信号：
s in t
s2
2
➢余弦信号：
cost
s2
s
2
➢斜坡信号：
f (t) t (t)
F (s)
1 s2
end
4.2 拉氏变换的性质
线性性质
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s) 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
5-4拉普拉斯变换的基本性质 《信号与系统》课件
0 df (t)est dt df (t)est dt f (0 )
0 dt
0 dt
f
(t)
0 0
df (t)est dt 0 dt
f (0 ) f (0 )
df (t)est dt f (0 ) 0 dt
f (0 ) df (t)est dt 0 dt
对上式取极限 s ，其中lim[
所以
L
[ f1(t) * f2 (t)]
dF(s) d
f (t)est dt
f (t) d est dt
[tf
(t )]est dt
L[tf
(t)]
ds ds 0
0
ds
0
同理可推出
d nF(s) dsn
(t)n f (t)est dt L[(t)n f (t)]
0
例题
八.S域积分特性
对于 f (t) 有拉氏变换F(s) ，则对于 f (t) 的拉氏变换
s0
s0 0 dt
十一.卷积定理
若 f1(t) ，f2 (t)的拉氏变换分别为为 F1(s) ，F2 (s)，则可推
出 f1(t)* f2 (t) 的拉氏变换 f1(t)* f2 (t) F1(s)F2 (s)
证明：由卷积定义可得
f1(t)* f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
f ( )d
s
所以可推导出
0
t
f ( )d F(s)
f ( )d
s
s
七.S 域微分特性
若f (t)的拉氏变换为 F(s) ，则对于tf (t) 的拉氏变换
有
dF (s)
tf (t)
且对于其
拉普拉斯变换及反变换.ppt
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
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定理
t
s 0
f1(t)*f2(t)
卷积
定理
f1(t).f2(t)
F1(s)F . 2(s)
1
2j
F1(s)*F2
(s)
26.01.2021
8
例：周期信号的拉氏变换
LT
f1(t)F1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
f1(tnT)esnFT1(s)
LT
f (t nT)F1(s) eSnT
n0
n0
F1(s) 1e 26.01.2021ST
T
时域抽样信号
fs(t)f(t)T(t)
抽样信号的拉氏变换
26.01.2021
Fs(s) f(nT)eSnT n0
15
双边拉氏变换收敛域— f (t)u(t)etu(t)
f(t)e td t u (t)e td t0u ( t)e ( 1 )td
0
etu(t) 1 u (t )
第四章 拉普拉斯变换
本章要点
•拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏 变换
•拉氏变换的性质，收敛域 •卷积定理(S域) •周期和抽样信号的拉氏变换 •系统函数和单位冲激响应 •拉氏变换与傅氏变换的关系
26.01.2021
1
拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉 氏变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：
• u(t)
利用时移特性
利用无穷技术求和
9
例： 正弦余弦信号的拉氏变换
cost
sint
f(t)u(t)ejt ejt 2
f(t)u(t)ejt ejt 2j
F(S) ( 1 1 ) 1
S j S j 2
S
S 2 2 26.01.2021
F(S) ( 1 1 ) 1
S j S j 2j S2 2
10
(3) 0 0
u (t )
F (s) 1 s
5
常用信号的拉氏变换
u (t )
u(t)at
tn
(t)
1 S
1 s a
n! s n1
1
(t t0)
26.01.2021
e st0
6
拉氏变换的基本性质（1）
线性 微分 积分 时移
n
ki fi(t)
i1
df ( t ) dt
t f ()d
f(tt0)u(tt0)
n
ki.LT[ f (t)]
i1
0
0
1
f (t) LT 1 1 s 1s
j
0
1
1
0
0
26.01.2021
0
1
01
16
f2(t)u (t) etu (t) 1
f2(t) LT1 ss1 11 s1 1s
f3(t) u ( t) etu ( t) 0
LT1 1 1 1 f3(t)ss1s1s
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的
• 增长信号eat (a0)
• 周期信号 cos1t
26.01.2021
• 若乘一衰减因子 e t
为任意实数，则
f (t).et收敛，
于满足狄里赫利条件
u(t)et
ea.tet (a) et cos1t
2
因果
f1(t)f(t)et
sj
象函数 正LT
F1()0f(t)e(j)tdt
F(s) f(t)estdt 0
ST
1 e 2 S (1 e ST )
利用无穷技术求和
12
例1： 求周期信号的拉氏变换
f (t)
1
0 TT
f0 (t) 2
1
t
0T
(1eT2 )
1
S2 2
S T
t
1e 2
sint[u(t)u(tT)]
T
2
2
LT
信号加窗 第一周期
2 T
(1
e
T 2
)
S2 2
26.01.2021
13
例2
f (t) 包络函数 e t
F(s) 1 sa
傅氏变换不存在，拉
26.01.2021
氏变换存在
20
t0
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 f (t ) 0
(2) 0 0
f (t)
eatu(t) t
j
a
a
F(s) 1
s j
F( j)
1
sa
ja
26.01.2021
21
t0
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 f (t ) 0
SF(s)f(0)
F(s) f '(0)
s
s
est0 F(s)
频移
26.01.2021
f (t)eat
F(sa)
7
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
1 F s a a
lim f(t)f(0)liS m (F s)
t 0
s
终值 lifm (t)f( )liS m (F s)
0
因果
乘衰减因子
e 0
t
f(t)e(j)tdt
0
sj
f(t)e(j)tdt sj
f (t)estdt
f (t)estdt
t0 f (t) 0
0
26.01.2021
19
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号t 0
f (t) 0
(1) 0 0
j
f (t)
e at u (t )
a
t
a
Байду номын сангаас
例：衰减余弦的拉氏变换
F0(S)L[Tc ot]sS2 S2
f(t)et cost 频移特性
F(S) S (S)22
26.01.2021
11
矩形周期信号拉氏变换
f1(t)u(t)u(tT2)
F1(s)S1(1eST2)
第一周期的拉氏变换 利用时移特性
F
(s)
F1 ( s ) 1 e ST
26.01.2021
f()esf(0)SF (s)
终值
26.01.2021
初值，若有跳变则为 f (o ) 4
收敛域 lt i m f(t)et0(0)
• 有始有终信号和能量 整个平面
j
有限信号
•等幅0振荡0信或号和0 增a长信 以 0 为界
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2, t et2 (0t)
除非 (0tT)
26.01.2021
12
1 (1e(S1)) (s1) (1e(S1))
乘衰减指数 周期对称方波
1s(1es)211e2s
单对称方波
u(t)2u(t1)u(t2) 26.01.2021
1(12es e2s)
s
14
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T(t) (t nT) n0
抽样序列的拉氏变换
T(s) eS
n0
n
T 11 eS
象函数。
26.01.2021
17
f(t)eau t(t)ebu t(t)
f(t)e td t0 e (b )td t e (a )td t
0
b a
ba,
a
b
收敛，存在双边拉 氏变换
ba
没有收敛域。不存在双边拉 氏变换
26.01.2021
18
拉氏变换与傅氏变换的关系
f (t)ejtdt
原函数 逆LT
f(t) 1 jF(s)estds
2j j
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
26.01.2021
3
拉氏变换已考虑了初始条件
LTf(t)F(s)
LTddf(tt)SF(s)f(o)
0f'(t)estd t f(t)est0 0f(t)e(st)'dt