清华大学信号与系统课件第四章拉普拉斯变换PPT演示文稿

T
时域抽样信号
fs(t)f(t)T(t)
抽样信号的拉氏变换
26.01.2021
Fs(s) f(nT)eSnT n0
15
双边拉氏变换收敛域— f (t)u(t)etu(t)
f(t)e td t u (t)e td t0u ( t)e ( 1 )td
0
etu(t) 1 u (t )
象函数。
26.01.2021
17
f(t)eau t(t)ebu t(t)
f(t)e td t0 e (b )td t e (a )td t
0
b a
ba,
a
b
收敛，存在双边拉 氏变换
ba
没有收敛域。不存在双边拉 氏变换
26.01.2021
18
拉氏变换与傅氏变换的关系
f (t)ejtdt
5
常用信号的拉氏变换
u (t )
u(t)at
tn
(t)
1 S
1 s a
n! s n1
1
(t t0)
26.01.2021
e st0
6
拉氏变换的基本性质（1）
线性 微分 积分 时移
n
ki fi(t)
i1
df ( t ) dt
t f ()d
f(tt0)u(tt0)
n
ki.LT[ f (t)]
i1
• 增长信号eat (a0)
• 周期信号 cos1t
26.01.2021
• 若乘一衰减因子 e t
为任意实数，则
f (t).et收敛，
于满足狄里赫利条件
u(t)et
ea.tet (a) et cos1t
2
因果
f1(t)f(t)et
sj
象函数 正LT
F1()0f(t)e(j)tdt
F(s) f(t)estdt 0
第四章 拉普拉斯变换
本章要点
•拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏 变换
•拉氏变换的性质，收敛域 •卷积定理(S域) •周期和抽样信号的拉氏变换 •系统函数和单位冲激响应 •拉氏变换与傅氏变换的关系
26.01.2021
1
拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉 氏变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：
• u(t)
0
因果
乘衰减因子
e 0
t
f(t)e(j)tdt
0
sj
f(t)e(j)tdt sj
f (t)estdt
f (t)estdt
t0 f (t) 0
0
26.01.2021
19
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号t 0
f (t) 0
(1) 0 0
j
f (t)
e at u (t )
a
t
a
12
1 (1e(S1)) (s1) (1e(S1))
乘衰减指数 周期对称方波
1s(1es)211e2s
单对称方波
u(t)2u(t1)u(t2) 26.01.2021
1(12es e2s)
s
14
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T(t) (t nT) n0
抽样序列的拉氏变换
T(s) eS
n0
n
T 11 eS
利用时移特性
利用无穷技术求和
9
例： 正弦余弦信号的拉氏变换
cost
sint
f(t)u(t)ejt ejt 2
f(t)u(t)ejt ejt 2j
F(S) ( 1 1 ) 1
S j S j 2
S
S 2 2 26.01.2021
F(S) ( 1 1 ) 1
S j S j 2j S2 2
10
0
0
1
f (t) LT 1 1 s 1s
j
0
1
1
0
0
26.01.2021
0
1
01
16
f2(t)u (t) etu (t) 1
f2(t) LT1 ss1 11 s1 1s
f3(t) u ( t) etu ( t) 0
LT1 1 1 1 f3(t)ss1s1s
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的
定理
t
s 0
f1(t)*f2(t)
卷积
定理
f1(t).f2(t)
F1(s)F . 2(s)
1
2j
F1(s)*F2
(s)
26.01.2021
8
例：周期信号的拉氏变换
LT
f1(t)F1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
f1(tnT)esnFT1(s)
LT
f (t nT)F1(s) eSnT
n0
n0
F1(s) 1e 26.01.2021ST
ST
1 e 2 S (1 e ST )
利用无穷技术求和
12
例1： 求周期信号的拉氏变换
f (t)
1
0 TT
f0 (t) 2
1
t
0T
(1eT2 )
1
S2 2
S T
t
1e 2
sint[u(t)u(tT)]
T
2
2
LT
信号加窗 第一周期
2 T
(1
e
T 2
)
S2 2
26.01.2021
13
例2
f (t) 包络函数 e t
f()esf(0)SF (s)
终值
26.01.2021
初值，若有跳变则为 f (o ) 4
收敛域 lt i m f(t)et0(0)
• 有始有终信号和能量 整个平面
j
有限信号
•等幅0振荡0信或号和0 增a长信 以 0 为界
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2, t et2 (0t)
除非 (0tT)
26.01.2021
例：衰减余弦的拉氏变换
F0(S)L[Tc ot]sS2 S2
f(t)et cost 频移特性
F(S) S (S)22
26.01.2021
11
wenku.baidu.com
矩形周期信号拉氏变换
f1(t)u(t)u(tT2)
F1(s)S1(1eST2)
第一周期的拉氏变换 利用时移特性
F
(s)
F1 ( s ) 1 e ST
26.01.2021
SF(s)f(0)
F(s) f '(0)
s
s
est0 F(s)
频移
26.01.2021
f (t)eat
F(sa)
7
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
1 F s a a
lim f(t)f(0)liS m (F s)
t 0
s
终值 lifm (t)f( )liS m (F s)
(3) 0 0
u (t )
F (s) 1 s
原函数 逆LT
f(t) 1 jF(s)estds
2j j
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
26.01.2021
3
拉氏变换已考虑了初始条件
LTf(t)F(s)
LTddf(tt)SF(s)f(o)
0f'(t)estd t f(t)est0 0f(t)e(st)'dt
F(s) 1 sa
傅氏变换不存在，拉
26.01.2021
氏变换存在
20
t0
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 f (t ) 0
(2) 0 0
f (t)
eatu(t) t
j
a
a
F(s) 1
s j
F( j)
1
sa
ja
26.01.2021
21
t0
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 f (t ) 0