华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)

定的 y，若 y 为无理数，则函数 f（x，y）恒为零．若 y 为有理数，则函数仅有有限个异于
0 的值，因此
所以累次积分存在且
同理，累次积分
§3 格林公式·曲线积分与路线的无关性
为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
证明：假设存在
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使得
不妨设
由连续函数的保号性知：
存在
使得对一切
则
，与已知
矛盾．故必在
D 上 f（x，y）＝0．
6．设 D＝[0，1]×[0，1]，证明函数
在 D 上不可积． 证明：对 D 上任意分割
则
若在每个 取点
使 皆为有理数，
若在每个 取点 限不存在（当
，使
为非有理点，则
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这与①式矛盾，因此 f 在 D 上有界．
3．证明二重积分中值定理（性质 7）． 证明：性质 7（中值定理）若 f 为有界闭域 D 上的连续函数，则存在
使得
因为 f 在 D 上连续，所以 f 在 D 上一定存在最大值 M 与最小值 m，对 D 中一切点有 m≤f≤M，由性质 4 知：
由介值性定理，存在
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，使得
即
8．应用中值定理估计积分
解：由于
知：存在
使得
从而
即
的值． 上连续，据中值定理
§2 直角坐标系下二重积分的计算
1．设 f（x，y）在区域 D 上连续，试将二重积分
化为不同顺序的累次积分：
（1）D 由不等式
所 确 定 的 区 域 ；（ 2 ） D 由 不 等 式
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3．计算下列二重积分：
图 21-8
解：（1）D 如图 21-9，
（2） （3）D 如图 21-10，
图 21-9
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（4）D 如图 21-11，
图 21-10
图 21-11
4．求由坐标平面及 x＝2，y＝3，x＋y＋z＝4 所围的角柱体的体积． 解：立体 V（如图 21-12）在 xOy 面上的投射区域 D－即积分区域为图 21-12 中阴影 部分，所以 V 的体积
所确定的区域；（3）D 由不等式
所确定的区域；
（4）
解：（1）积分区域 D 如图 21-1．
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图 21-1
（2）积分区域 D 如图 21-2．
图 21-2 （3）积分区域 D 如图 21-3．
图 21-3 （4）积分区域 D 如图 21-4．
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第 21 章 重积分
§1 二重积分的概念
1．把重积分 用直线网
作为其节点． 解：
作为积分和的极限，计算这个积分值，其中 D＝[0，1]×[0，1]，并 分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右顶点
2．证明：若函数 f（x，y）在有界闭区域 D 上可积，则 f（x，y）在 D 上有界．
图 21-12
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5．设 f（x）在[a，b]上连续，证明不等式 仅在 f（x）为常量函数时成立．
证明：
其中等号
其中
若等号成立，则对任何（x，y）∈D，有
即
所以 f（x）＝f（y），即 f（x）为常量函数．
6．设平面区域 D 在 x 轴和 y 轴的投影长度分别为 和 ，D 的面积为 任一点，证明
时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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即
再由定理 16.10 知，存在
使得
4．若 f（x，y）为有界闭区域 D 上的非负连续函数，且在 D 上不恒为零，则
证明：由题设存在 使得对一切 有
由连续函数的局部保号性知：
0 且连续，所以 故
5．若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，且在 D 内任一子区域
上有
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图 21-4
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2．在下列积分中改变累次积分的顺序：
解：（1）
（如图 21-5）
（2）
图 21-5 （如图 21-6）
（3）
图 21-6 （如图 21-7）
图 21-7
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累次积分不存在．
证明：因为对任何正数 只有有限个点使
因而存在一个分割 T，使得
所以二重积分存在且等于零．
当 y 取无理数时，
所以
然而，当 y 取有理数时，在 x 为无理数处 f（x，y）＝0，在 x 为有理数处
因此函数 f（x，y）在任何区间上的振幅总大于 即函数 f（x，y）在
上关于 x 的
积分不存在．显然就不存在先 x 后 y 的累次积分．