高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)

合集下载

高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)汇编

导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。

注意增量的意义。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。

例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf

数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限（“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a

(word完整版)高二数学选修22导数12种题型归纳(中等难度),文档

导数题型分类剖析〔中等难度〕一、变化率与导数函数 y f ( x0 ) 在x0到x0+x之间的平均变化率，即 f ' ( x0 ) =lim y= limf (x0x) f ( x0 )，表示x 0x x x 函数 y f (x0 ) 在x0点的斜率。

注意增量的意义。

例 1：假设函数y f ( x) 在区间 (a,b) 内可导，且A ．f' ( x )B．2 f'( x0)例 2：假设f'( x0)3，那么lim f ( xh) f ( xh0hA. 3B．6f ( x0h2 ) f ( x0 )例 3：求lim hh0x0 (a,b) 那么limf ( xh) f (xh)的值为〔〕h0hC．2 f'(x0)D．03h)〕〔C．9D．12二、“隐函数〞的求值将 f ' ( x0 ) 看作一个常数对 f (x0 ) 进行求导，代入x0进行求值。

2例 1： f x x3xf 2 ，那么 f2例 2：函数 f x f cos x sin x ，那么f4的值为.4例 3：函数 f ( x) 在R上满足f ()2f(2x)x2 8x8，那么曲线y f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程x为〔〕A. y2x 1B.y xC.y3x2D. y2x3三、导数的物理应用若是物体运动的规律是s=s〔t〕，那么该物体在时辰t 的瞬时速度 v=s′〔t 〕。

若是物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v 〔 t〕，那么该物体在时辰t 的加速度 a=v′〔 t〕。

例 1：一个物体的运动方程为s 1t t 2其中 s 的单位是米，t的单位是秒，求物体在 3 秒末的瞬时速度。

例 2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶此后停车，假设把这一过程中汽车的行驶行程s 看作时间t 的函数，其图像可能是〔〕s s s sO t O t O t O tA．B．C．D．四、根本导数的求导公式① C0; 〔C为常数〕②x n nx n 1;③ (sin x)cos x ;④ (cos x)sin x ;1;⑧l o g a x 1 log a e.⑤ (e x ) e x ;⑥ (a x)a x ln a ;⑦ln xx x例 1：以下求导运算正确的选项是( )A ． x1 11B ． log 2x=1 C ． 3 x3 xlog 3 e D ． x 2 cosx2xsin xx 2x ln 2x例 2：假设f x x f x f x f xf x， fxf x n N ，那么 fx0 sin ,1 0,2 1,n 1n ,2005五、导数的运算法那么常数乘积： (Cu )' Cu ' . 和差： ( u v)' u ' v ' .乘积： (uv ) 'u ' v uv ' .除法： uu' v uv 'vv 2例 1：〔 1〕函数 yx 3 log 2 x 的导数是〔 2〕函数 x n e 2 x 1 的导数是六、复合函数的求导f [ ( x)] f ( )* (x) ，从最外层的函数开始依次求导。

高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

第一讲选修2—2导数及其应用(答案解析)

第一讲选修2—2导数及其应用基础典型题归类解析对基础典型题进行归类解析，并辅之以同类变式题目进行巩固练习，是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在，也是提高学生好题本含金量的试题秘集.当学生会总结数学题，会对所做的题目分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，他才真正掌握了学数学的窍门，才能真正的做到然不动".一、题型1:导数及导函数的概念题1、利用极限求导1 2例1 •已知s=- gt，求t=3秒时的瞬时速度.2"任它千变万化，我自岿A s解析：由题意可知某段时间内的平均速度亠随i t变化而变化，A t越小,A tA s极限定义可知，这个值就是加T O时，」的极限.A t A s—越接近于一个定值，由A t1 2 1 2 A s —(3 + A t) g3,竽r s(3 + At)-s(3) 「2g 2 V= l)m A t = ljm = lim -- --------------- 為◎A t A t1=—g lim (6+A t)2 S=3g=29.4(米/ 秒).4变式练习：求函数y=—f的导数-x4 4 解析：0 = 2 - 2 =(X + A x) x 4ix(2x + A x)2 2X(X + A x)A y 2x+心XA F 2A x X(X + A x)2= 4X2(X +M2」二、题型2:导数的几何意义的深刻领会导数的几何意义要深刻把握：导数值对应函数在该点处的切线斜率1已知曲线上的点求此点切线斜率例2.已知曲线y= 2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A. 4B. 16C. 8D. 2解析：选C.1 2 3变式训练(1)：已知曲线y= 2x2—2上一点P(1, - 2)，则过点P的切线的倾斜角为解析：切线的倾斜角为45°变式训练(2):求过点P(— 1,2)且与曲线y = 3x 2-4x + 2在点M(1,1)处的切线平行的直线.(所求直线方程为2x - y + 4= 0)2、已知切线斜率求相关点坐标例3函数y = x 2 + 4x 在x = X 0处的切线斜率为 2,则血= .解析：2 = 2x 0 + 4,•- X o =— 1.变式训练：下列点中，在曲线y = x 2上，且在该点处的切线倾斜角为 n的是( )=xlnV2 = xln2 ■f(x)= log a X , f ，(1) = - 1，贝y a =解析：••• f ，(x) = £,xl na1 •f，(1)=斎-1.1 •••Ina =— 1, a = 一 e'(2)、已知直线y = kx 是曲线y = Inx 的切线，贝U k 的值等于 ___________ .1 1 1解析：因为y ，= (Inx)，= -，设切点为(X 0, y 0), 则切线方程为y — y 0= —(x — X 0)，即y = —x +Inx 0X X 0 X 01—1.由 lnX 0— 1= 0，得 X 0= e..・. k =-e 2、指数函数求导—x例 5 f(x)= 2 .解••• 2-x = (2)x ,•- f ，(x)= [g x ]，=(挤^一 (『In2.3、幕函数求导例6 .已知f(x)= x a ，贝U f ，(- 1) =- 4,贝U a 的值等于(A . 4B . - 4C . 5D . - 5 解析：选 A.f ，(x) = ax a -1, f ，(- 1) = a(- 1)a -1 = - 4,变式练习.求与曲线 y =暫X 2在点P(8,4)处的切线垂直于点解：••• y =饭2,•- y ，=(晴)，即在点P(8,4)的切线的斜率为从而适合题意的直线方程为四、题型4:复合函数的导数1、用和差积商求导法则求基本函数导数例7求下列函数的导数：A . (0,0)B . (2,4) 解析：选D三、题型3:常见函数导数的运算及基本应用 1、对数函数求导例 4. f(x) = log J 2x ; 解：f ，(x) = (log 证X)，C .(扌，点D- (2, 4)变式练习：(1)、设函数a = 4.故选A. P 的直线方程.2•-y ，l x = 8=2X 82 , 2 -1=(X 3)= 3x 3,-L1 3= 3.1-适合题意的切线的斜率为-3. y —4=- 3(x — 8)，即 3x + y — 28= 0.2—x(1)y =3x +xcosx；(2)y =市；(3)y =lgx — e；解：(1)y'= 6x+ cosx — xsinx; (2)y'=:::子=(〔農丫； (3)y'= (lgx)'— (ej’L :xn^^ — e X2、例8 •求下列复合函数的导数：(2)f(x)= (g 1)(士 - 1)；(3)y = 5log 2(2X + 1) • (4)y = si n2x — cos2x.解：(1)因为 f(x)= ln(8x)= In8 +lnx ,1 所以 f ' (x) = (ln8)'+ (Inx)'=-x1 1 1 1 ——(2)因为 f(x)=(心+ 1)(頁-1)= 1 —谄+灵-1 = ^^—+不=^—, -w —C —x必所以f ' (x)= ----------------x⑶设 y = 5log 2u , u = 2x + 1, 则 y '= 5(log 2u)' (2x + 1)'(4)法一:10 = uln2 =(2x + 1 Jn2'y '= (si n2x — cos2x) '= (sin2x)' — (cos2x)'= 2cos2- + 2si n2x = ^2si n( 2x +^). 10法二:y =*sin(2x —》，••• y '= ^cos(2x -^) 2= 2迈sin(2x +3、求导的应用例9、已知 f(x) = ax 3 + 3x 2+ 2，若 f ' (— 1) = 4,贝U a 的值是()19 A. 513 Cl 310 D.§ 解析: 选 D. •••f ' 变式练习( 1 )•若函数 16 B.!62 10 (x) = 3ax + 6x ,.・.f ' (— 1) = 3a — 6= 4.• a^ —.3xe 解析: x••• f(X)=ex ，f(x)=二在x = c 处的导数值与函数值互为相反数，则 c 的值为_—c=ef ' (c)=X ' '， c 1 c = 2 ) xc •- f(c) = e，又 c- -、 e x — e f (x)= x 2c c. 八 ••• e + 半M L 0, • 2c — 1 = 0 得 c c 依题意知 f(c) + f ' (c)= 0,2) 若函数 f(x)= ax 4 + bx 2+ c 满足 f ' (1) = 2，贝U f ' (— 1)=( A • — 1 B • — 2 C • 2 D • 0解析：选 B.由题意知 f ' (x) = 4ax 3 + 2bx ,若 f ' (1) = 2,即f ' (1) = 4a + 2b = 2,从题中可知f ' (x)为奇函数，故f ' (— 1) = — f ' 4、导数中利用待定系数法求解析式例10、已知f ' (x)是一次函数，x 2f ' (x) — (2x — 1)f(x)= 1.求f(x)的解析式. 解：由f ' (x)为一次函数可知f(x)为二次函数.设 f(x) = ax 2 + bx + c(a 丰 0), 则 f ' (x)= 2ax + b.把 f(x), f ' (x)代入方程 x 2f ' (x) — (2x — 1)f(x) = 1 得：x 2(2ax + b) — (2x — 1)(ax 2 + bx + c) = 1,即(a — b)x 2 + (b — 2c)x + c — 1= 0. 要使方程对任意 x 恒成立，则需有a = b , b = 2c , c — 1 = 0, 解得 a = 2, b = 2, c = 1，所以 f(x)= Zx 2 + 2x + 1.小结：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；如：例 8中1、2 (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导•有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.变式练习( (1)=- 4a — 2b =— 2五、题型5:借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、已知函数解析式求其单调区间例11•求下列函数的单调区间.1(1)y = x -1 nx ;(2)y =衣解：(1)函数的定义域为(0 ,+s ).其导数为y ，=令1 — x>0,解得x>1 ;再令1 — -<0,解得入入因此，函数的单调增区间为 (1 ,+s )，函数的单调减区间为(0,1). ⑵函数的定义域为(一s, 0) U(0 ,+s ).1 1y '=— 27,所以当 xM0时，y '=— 27<0,而当x = 0时，函数无意义，所以y= ■在(—s, 0), (0 ,+s )内都是减函数，厶入即y= 2-的单调减区间是(一s, 0), (0 ,+s ).2x变式练习：函数f(x) = (x — 3)e x 的单调递增区间是( A. (— s, 2) B. (0,3) C. (1,4) 解析：选 D.f ' (x) = (x — 3)' e x + (x — 3)(e x )' 令f ' (x)>0，解得x>2，故选D. 2、已知函数单调区间求解析式中的参数值例12、若函数f(x)= X 3+ bx 2 + cx + d 的单调减区间为［—1,2］，贝U b = _ 解析：••• y '= 3/+ 2bx + C, 由题意知［—1,2］是不等式3x 2 + 2bx + c<0的解集， •.— 1,2是方程3x 2 + 2bx + c = 0的根，由根与系数的关系得b =—多,c =— 6.变式练习：若函数 y = — |x 3 + ax 有三个单调区间，则 a 的取值范围是解析：••• y '=— 4x 2+ a ，且y 有三个单调区间，方程y '=— 4x 2+ a = 0有两个不等的实根，2 △= 0 — 4 X (— 4) X a>0,. a>0.3、用导数解复杂函数中的恒成立问题例13.函数y = ax 3— x 在R 上是减函数，则( ) 1A . a >3B .解析：选D.因为y '=3ax ；所以y '= 3ax 2— K 0恒成立，即3ax 2w 1恒成立. 当x = 0时，3ax 2w 1恒成立，此时 a € R ；变式练习.已知函数 f(x)= ax — -— 21 nx(a 》0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取x值范围.解：F (x)= a + 負—2，要使函数f(x)在定义域(0 ,+s )内为单调函数，只需f ‘(X)在(0,+s )内恒大于0或恒小于0.当a= 0时，f' (x)=— 2<0在(0 ,+s )内恒成立；x当a>0时，要使f ' (x)= a(1—丄)2 + a — - >0恒成立，二a —0,解得a > 1.x a aa综上，a 的取值范围为a > 1或a = 0.4、通过导数解决函数极值问题例14、函数f(x)= x 3— 6x 2— 15x + 2的极大值是0<x<1.)D. (2 ,+s ) =(x- 2)e x , a= 1C. a= 2D. aw 0:2- 1,函数y = ax 3-x 在(— s,+s )上是减函数,，极小值是解析：f '(X)= 3x 2— 12x — 15= 3(x — 5)(x + 1),在( — 8, — 1), (5 ,+s )上 f' (x)>0，在(—1,5)上 f' (x)<0, ••• f(x)极大值=f(— 1) = 10,f(x) 极小值 =f(5) =— 98.变式练习：函数f(x) = — 3x 3 + 2x 2+ 2x 取极小值时，x 的值是()322,— 1 C . — 1 D . — 32选 C f (x) = — X +x + 2=— (x — 2) (• + 1),f ’(x)<0,右侧f ' (x)>0,.・.x =— 1时取极小值.已知f(x)在x =— 3时取得极值，则a =( ) C . 4 D . 5••• f(x)在 x =— 3 处取得极值，••• f ' (— 3) = 0,即 27 — 6a + 3= 0^a = 5.已知函数f(x) = X 3— ax 2— bx + a 2在x = 1处有极值10,则a 、b 的值为( )a =— 4,b = 11B . a =— 4, b = 1 或 a = — 4, b = 11 a =— 1, b = 5 D .以上都不正确 f ' (x)= 3X 2— 2ax — b ,'••在 x = 1 处 f ' (x)有极值， ••• f ' (1)= 0，即 3— 2a — b = 0.① 又 f(1) = 1 — a — b+ a 2= 10,1 卩 a 2— a — b — 9 = 0.② 由①②得 a 2 + a —12 = 0,• a = 3 或 a = — 4. f a =— 4,f a = 3 2 2或｛当｛时，f ' (X) = 3X 2— 6x + 3= 3(x —1)2>0,(b = 11. 也=—3X (0, n) n 3 n (n—)3 n T 3 n _ 、("2，2n)f ' (X)+ 0 一+f(x)n+ 2\T因此，由上表知f(x)(0n 2n)(n f(3n=3^,极大值为f( n = n+ 2.•••在x =— 1的附近左侧例 15、函数 f(x)= X 3 + ax 2 + 3x — 9, A . 2 B . 3解析：选 D.f ' (x)= 3x 2 + 2ax + 3, 变式练习(1):A . C .解析：选A.a= 3, b=— 3,a = 3a =— 4,舍去.••• 1 b =— 3 L b =11.变式练习(2):若函数y =— X 3 + 6x 2 + m 的极大值等于13，则实数m 等于 _________________ . 解析：y '=— 3/+ 12x ，由 y '= 0,得 x = 0 或 x = 4,容易得出当x = 4时函数取得极大值，所以— 43+ 6X42+ m = 13,解得m =— 19. 例16、设a € R ,若函数y = e x + ax , x € R ,有大于零的极值点，则解析：y '= e X + a ，由 y '= 0 得 x = ln( —a).由题意知 ln( — a)>0 ,• a<— 1. • (— s, — 1) 已知函数 y = X — ln(1 + X 2)，则y 的极值情况是() 有极小值 B .有极大值 C .既有极大值又有极小值 D . f ' (X) = 1 -(X — y > 0，•函数 f(x)在定义域1 + X 1 + X(2010年高考安徽卷)设函数f(x)= sinx — cosx +x + 1 (0<x<2n),求函数f(x)的单调区间故f(x)在R 上单调递增，不可能在x = 1处取得极值，所以a 的取值范围为变式练习： D .无极值解析：选R 上为增函数. 综合练习：与极值.解：由 f(x)= sin x — cosx + x + 1,0<x<2n,知 f ' (x) = cos x +sin x + 1，于是 f ' (x) = 1 + 灵sin(x + 令 f' (x)= 0,从而 sin(x + 4)=—警, 得 x= n 或 x=竽当x 变化时，f '(X)、f(x)的变化情况如下表：5、通过导数解决最值问题例17、(06浙江卷)f(x) =X 3 —3x 2 +2在区间［—1,1］上的最大值是( ) 即当x = 3时，f(x)的极小值f(3)= — 9.又 f(1) = — 1, f(5) = 15, (A) - 2(B)0(C)2(D)4解析：f (x) =3x 2 —6x =3x(x —2)，令 f'(X)=0 可得 x = 0 或 2 (2 舍去),当一1空＜0 时，f'(x)＞0,当时，f'(X)＜；0,变式练习( 解析：由所以当x = 0时，f (X )取得最大值为 2选C ;1 )：函数y = 4x 2(x -2)在x € [ — 2,2]上的最小值为 y '= 12x 2- 16x = 0,得 x = 0 或 x =-.34128x = 0 时，y = 0 ;当 x =-时，y =— -278;x =- 2 时，y =— 64;当 x = 2 时，y = 0.比较可知 y max = 0, y min =— 64.，最大值为例18.A . - 10 C . - 15解析：选变式练习范围是 ____当变式练习(2):函数y = xe X 的最小值为 _____________ . 解析：令 y '= (x + 1)e x = 0，得 x =- 1.1 当 x< — 1 时，y ' <0;当 x> —1 时，y ' >0..・. y min = f( — 1)=-丄 e函数f(x) = X 3- 3X 2- 9x + k 在区间[—4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) B .- 71D .- 22f (X) = 3x 2- 6x - 9= 3(x - 3)(x + 1).由 f ' (X) = 0 得 X = 3,- 1.又 f( - 4) = k - 76, f(3) = k -27, f(- 1)= k + 5, f(4) = k - 20.由 f(x)max = k + 5 = 10,得 k = 5, • f(x)min = k - 76=- 71.(1):已知f(x) = - x 2+mx + 1在区间[—2, - 1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，贝U m 的取值解析：f ‘ (x)= m -2x ,令 F(X)= 0,得 x =岁由题设得 m€ [ - 2,- 1],故 m € [ - 4,- 2].变式练习 ⑵.函数f(x) = ax 4- 4ax 2 + b(a>0,1 <x < 2)的最大值为3，最小值为一5,贝U a = 解析：y '= 4ax 3— 8ax = 4ax(x 2- 2) = 0, X 1 = 0, X 2=J 2 , X 3=—返,又 f(1) = a - 4a + b = b - 3a , f(2) = 16a - 16a + b = b , f(V 2) = b -4a , f(0) = b , f(-V 2) = b -4a. j b -4a =- 5,• • 5…a = 2. b=3b = 3,例 19.已知函数 f(x)= X 3- ax 2 + 3x.(1)若f(x)在 x € [1 ,+s )上是增函数，求实数 a 的取值范围； ⑵若x = 3是f(x)的极值点，求f(x)在 x € [1 , a]上的最大值和最小值. 解：(1)令 f ' (X) = 3x 2- 2ax + 3 > 0,；(x + X h = 3(当x = 1时取最小值). ••• a <•/ x > 1, • a < 3, a = 3 时亦符合题意，二 a < 3. (2)f ' (3) = 0，即 27-6a + 3= 0,•• a = 5, f(x)= X 3— 5x 2 + 3x , f ' (x)= 3X 2— 10x + 3.令 f ' (x) = 0,得 X 1 =3, x2=；(舍去).3当 1<x <3 时，f ' (x)< 0,当 3< x < 5 时，f ' (X) >0,••• f(x)在[1,5]上的最小值是f(3) = — 9，最大值是f(5) = 15.变式练习(06 山东卷)：设函数f(x)= 2x 3-3(a-1)x 2 +1,其中a>1. (I)求f(x)的单调区间；(n) 讨论f(x)的极值.解：由已知得 f '(x) =6x[x-(a-1)]，令 f '(x)=O ，解得x,=0,X2=a-1.(I)当a=1时，f '(x)=6x 2 , f (x)在(亠，畑)上单调递增;当 a :>1 时，f '(X)=6x [x -(a -1 , f '(x), f (x)随 x 的变化情况如下表:从上表可知，函数 f(x)在(虫,0)上单调递增；在(0,a-1)上单调递减；在(a -1,xc )上单调递增.f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=a-1处取得极小值i_(a-1)3.六、题型6:定积分问题1、计算定积分的值2、求定积分中的参数值1 32 例21 M = J (x 3-ax+b) dx ，若使M 最小，贝U a,b 需为何值?(n)由(I)知，当a =1时，函数例 20.( 1)『(X —1)5dx ；(2) 『(X + sin x)dx ；1 6 解析：(1)因为[一(X -1)6]6 = (x-1)5,- 1 1 所以 I (X -1)5dx = -(X -1)6|2 =-；勺 6 6(2)]sinx)dH = I —— COSS71 cos ——-(0-1)=¥+12 故込3、应用定积分处理平面区域内的面积__2 -变式练习(2).：由抛物线y= _x +4X-3及其在点A(0-3), B(3,0)处两切线所围成的图形的面积解；I 切A ： y=4x —3，l 切B ： y=—2x+6s =育[(4x-3) —(-X 2 +4x-3)]dx+ ^[(-Zx + G) -(-X 2 +4x-3)]dx = m4解：M = J/x 3 —ax + b) dx7 5 3 3 517583 当 a = —'b =0 时，M min51变式练习：已知0 (3ax+1)(x+b)dx = 0 , a, b 忘R ，试求a b 的取值范围.1解: L(3ax+1)(x+b)dx =0= 2(a +b)+3ab +1 = 0175 3t +1 令 a ，b=t ，贝y a + b=- ----- 22 3t +1，故a,b 为方程X +x +t =0的两根例22.求抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围成的图形的面积.解:2y=x =X -2y -3 = 0[y = -1Xi 或. X =9变式练习解：由 1 L9L X — 3S =2 0 J xdx + 1 (J x - 2)dx2X Z X 210+(2X 3 3+ |x)32(1).y 2求由抛物线2y =x-1所围成图形的面积.15l y 2 =x-141P(1,0)S=2[『｛5dx —CGidx]=彳3 二 P(2,3)。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数)(x f '；（3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1 •函数的平均变化率是什么?答：平均变化率为卫二卫二f （X 2）— f （X i ） _ f （X iX —fX ）△x Zx 2 — x-iA x注1:其中X 是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数八f （x ）在x = X 。

处的瞬时变化率是lim ― lim f （X：x ）_f （x 0），则称 i x ^-5°i x函数y=f （x ）在点X °处可导，并把这个极限叫做y = f （x ）在X 0处的导数，记作f '（x p ）即 f (x °) = lim - = limi x ^-P3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

f(x °LX)-f(X o ) zx6常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若f x，g x均可导（可积），则有:答：①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。

⑵求函数f(x)的导数f'(x)(3)求方程f '(x) =0的根⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查『(X)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b〕上的最大值与最小值的步骤如下:⑴求f(x)在a,b 1上的极值;⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档

19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算积的导数运算商的导数运算复合函数的导数微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
原结论词
反义词

选修2-2导数计算题型大全

导数计算题型一利用运算法则求导【例1-1】（2019·海南高三月考）下列求导运算正确的是（） A ．(ln 2)'0= B ．(cos )sin x x '=C ．()xxe e--'=D ．()5615xx --=-'【例1-2】（2019·西藏高二期末）求下列函数的导数. （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【举一反三】1.（2019·陕西高二期末（文））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.2．（2017·全国高二课时练习）求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝22x ＋33x(4)y ＝lg x －21x ；(5)y题型二复合函数求导【例2】（2019·江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数（1）y =；（2）2sin y x =.（3）()cos 32y x =-；（4）312x y +=.【举一反三】1．（2019·青海高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，； (2)(ln y x =；(3)11x x e y e +=-； (4)2)2(+5y xsin x ＝．2．求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋；(3)y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭；(4)y ＝ln(2x －5).题型三求切线方程【例3】（2019·安徽高二期末）已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；（2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【举一反三】1．（2019·安徽合肥一中高二期中（文））已知函数3()16f x x x =+- （1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 2．（2019·河北安平中学高二月考）曲线xy sinx e ＝＋在点()0,1处的切线斜率是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．（2019·重庆高三（理））已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是（）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π4．（2019·黑龙江牡丹江一中高二期中（理））过点(2,6)P -作曲线3()3f x x x =-的切线，则切线方程为（）A ．30x y +=或24540x y --=B ．30x y -=或24540x y --=C ．30x y +=或24540x y -+=D ．24540x y --=题型四利用导数求值【例4】(1)（2019·贵州高三月考（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22ln 22f x x x f x '=-+，则()2f '=（） A ．2B ．3C ．4D ．5(2)（2019·昌吉市第九中学高二月考）设函数f (x )=ax +3x 2，若f ′(1)=3，则a 等于（） A ．1 B ．−1 C ．3 D ．−3【举一反三】1．（2019·四川高三（文））设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1x f x e x x=+-，则()1f '=（） A ．3e - B ．2e -C ．1e -D ．e2．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（理））已知2019()ln f x e x x =+g ，则()1f '=（）A ．1B ．20191e +C ．20191e -D ．2019e3．（2019·江西高二期末（理））已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（） A ．12 B ．12-C ．18-D ．58题型五综合运用【例5】（2019·江苏启东中学高二期中）曲线2x y e x =++在点()0,3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【举一反三】 1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 2．（2019·湖北高二期末（文））设函数()bf x ax x-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 课后练习1．（2019·全国高三）已知下列四个命题，其中正确的个数有（） ①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（2019·陕西高二期末）函数2(21)y x =+的导数为（） A ．21y x '=+B ．2(21)y x ='+C ．3(21)y x ='+D ．4(21)y x ='+3．（2019·浙江高二期末）函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x +++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+-D ．12cos x x x++4．（2019·抚顺市第十中学高二期中（理））下列求导运算正确的是（） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-5．（2019·湖北高二期末（文））下列求导运算正确的是（）A ．2()x x '= B ．'=C ．()xxe e --'=D ．2ln 2(log )x x'=6．（2019·昌吉市第九中学高二月考）曲线23y x x =+在点()2,10A 处的切线方程是( ) A ．740x y --= B ．10150x y --= C ．10x y -+=D ．+10x y -=7．（2019·山东高三期中）已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．（2019·河南高三（理））设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·甘肃临夏中学高三（文））函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程是（）.A ．10ex y --=B ．10ex y +-=C ．20e x y e +-=D ．20e x y e --=10．（2019·江西高三月考）已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．1D ．311．（2019·山东高考模拟（理））函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（） A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．10x y -+=D ．10x y ++=12．（2019·辽宁高二期末（理））已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．313．（2019·河南高三期中）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14（2019·全国高三月考（理））已知函数3()2(1)3f x x f x '=+-，则(2)f '=________.15（2019·河北高三开学考试（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.16．（2019·甘肃高三月考）已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．17．（2019·贵州高二期末（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____18．（2019·广东高二期末（理））若()sin 2cos2f x x x =+，则'6f π⎛⎫=⎪⎝⎭____ 19．（2019·湖南高二期末（理））已知函数2()xf x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.20．已知函数()()()10ln 212f x f x x +'=-+，则()0=f '________. 21（2019·湖南师大附中高三月考（文））曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．22（2019·河北高三月考）若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是__________．23．（2019·江苏省黄桥中学高三月考（理））函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是_____________.24．（2019·内蒙古高三月考（文））已知曲线()3f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______.25．（2019·重庆高三（理））已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 26．（2019·河北高三月考（理））已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______.27．（2019·河南高三月考）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线1y x =+垂直，则a 的值为________.28．（2019·天津高考模拟）已知函数()xf x e ax =+的图象在点()()0,0f 处的切线与曲线ln y x =-相切，则a =______．29．（2019·原平市范亭中学高二月考（理））已知曲线2()f x x = 求: （1）曲线在点(1,1)P 处的切线方程（2）曲线过点()3,5P 的切线方程30．（2019·福建高二期中（理））已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．31．（2019·贵州高二期中（理））已知曲线32()2f x x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在()2,2处的切线方程； (2) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(基础)(理)

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数)(x f '；（3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分0 ————————————————6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若，均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算特别地：商的导数运算特别地：复合函数的导数微积分基本定理（其中）和差的积分运算特别地：积分的区间可加性6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数(3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质5 若，则①推广：②推广:11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。

选修2-2导数精选解答题及答案

1．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，（1）试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.解：（1）函数f （x ）=x 3-3ax 2+2bx 的导数为f ′（x ）=3x 2-6ax+2b∵函数f （x ）=x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1，∴f ′（1）=0，f （1）=-1 即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2∴f （x ）=x 3-x 2-x ，f ′（x ）=3x 2-2x-1令f ′（x ）=0，即3x 2-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1又∵当x ＞1时，f ′（x ）＞0，当-1/3＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＜-1/3时，f ′（x ）＞0，∴函数在x=-13时有极大值为f （-1/3）=5/27 函数在x=1时有极小值为f （1）=-1的方程a x f =)(有3个不同实根，则需满足2 )0(>a（1）若)(x f 在[1，)∞+上递增，求a 的取值范围；（2）求)(x f 在[1，4]上的最小值解（1）a 大于等于2 （2 [1,4]x ∈ （a ）当2a ≥时，在[1,4]x ∈ 上()0f x '≥ ∴min ()(1)f x f a == …………8分（b ）当01a ≤≤时，在[1,4]x ∈ 上()0f x '≤ ∴min ()(4)22ln 2f x f a ==-…10分（c上()0f x '≥ 综上所述：min 22ln 21()22ln 22ln 2a a f x a a a a - 0≤≤⎧⎪=-+ 1<≤⎨⎪ 2<⎩3．已知x = 4是函数2()ln 12f x a x x x b =+-+的一个极值点，（a ，b ∈R ）. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()y f x =有3个不同的零点，求b 的取值范围.3．…………………2’解得16a=. ……4’（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()216ln12,0,f x x x x b x=+-+∈+∞,当()0,2x∈时，()'0f x>；当()2,4x∈时，()'0f x<；()4,x∈+∞时，()'0f x>. 所以()f x的单调增区间是()()0,2,4,+∞；()f x的单调减区间是()2,4.…………8’（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x在()0,2内单调递增，在()2,4内单调递减，在()4,+∞上单调递增，且当2x=或4x=时，()'0f x=.所以()f x的极大值为()216ln220f=-+b，极小值为()432ln232f=-+b.…………10’又因为()()1664ln26416ln2202f b b f=++>-+=,()()23232ln2324f e b b f-<-+<-+=.当且仅当()()402f f<<，()y f x=有三个零点.…………12’所以，b的取值范围为()2016ln2,3232ln2--. ………………………14’4.已知)(xf是定义在[,]e e-上的奇函数，当],0(ex∈时()2ln,().f x ax x a R=+∈（1）求)(xf的解析式；（2）是否存在实数a，使得当)(,)0,[xfex时-∈的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．．解：（1）设[,0),(0,]x e x e∈--∈则()2ln().f x ax x∴-=-+-()f x是奇函数，()()2ln().f x f x ax x∴=--=--…（3分）又(0)0f=…（4分）故函数)(xf的解析式为：2ln(),[,0)()002ln,(0,]ax x x ef x xax x x e--∈-⎧⎪==⎨⎪+∈⎩…（5分）（2）假设存在实数a，使得当[,0),x e∈-时()2ln()f x ax x =--有最小值是4.…（6分） ①当0a ≥或由于.0)(),0,[≥'-∈x f e x 则故函数()2ln()[,0)f x ax x e =---是上的增函数。

选修2-2-《导数及其应用》题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim2h f h f h h→+--；(2) ()2sin(25)f x x x =+,求()f x '(3)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++L ，求(0)f '.考点二导数的几何意义与物理意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.34313+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.例4：已知物体运动的位移s 与时间f 关系为s(t)= 221t t -+，则t=1时物体的速度与加速度分别为____________, ___________________题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数xax x f +=)(的单调区间。

例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。

高二数学选修2-2导数12种题型归纳（中等难度）精品名师资料

高二数学选修2-2导数12种题型归纳（中等难度）精品名师资料导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y在x 0到x 0+x 之间的平均变化率，即)('0x f =0lim x xy =0limxxx f x x f Δ)()Δ(00，表示函数)(0x f y在x 0点的斜率。

注意增量的意义。

例1：若函数()yf x 在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b 则0()()limhf x h f x h h的值为（）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x D ．0例2：若'0()3f x ，则0()(3)limh f x h f x h h（）A.3B ．6C ．9D ．12例3：求0limhhx f h x f )()(020二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。

例1：已知232f x xxf ，则2f 例2：已知函数x xfxf sin cos 4，则4f的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2x x x f x f ，则曲线)(x f y在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A. 12x yB. xy C. 23x y D. 32x y 三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t ts 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）四、基本导数的求导公式①0;C （C 为常数）②1;nn xnx ③(sin )cos x x ; ④(cos )sin x x ; ⑤();xxe e ⑥()ln xxa a a ; ⑦1ln xx;⑧1l g log a a o xe x .stOA ．st Ost OstOB ．C ．D ．。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数在0x x =处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x(3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。