用适当的方法解二元一次方程组
选择合适的方法解二元一次方程组
① ② ⎩⎨⎧=+=-164354y x y x ① ② ① ②⎩⎨⎧=+-=65732y x y x 选择合适的方法解二元一次方程组学习目标：1、会根据二元一次方程组的特点,选择解法——代入消元法或加减消元法.2、能灵活的解二元一次方程组.【记忆大比拼】1、 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是什么？2、 什么是代入消元法？什么是加减消元法？【自主学习】 3、 用代入法解方程组由①得，y= ③把③代入②，得 ，解此方程，得 ，把 代入 ，得y= 。
所以这个方程组的解是： 。
4、 观察方程组⎩⎨⎧=+=-,1225423y x y x方程组中的两个方程，未知数y 的系数的关系是： ，为达到先消去y 的目的，应让① ②，得 。
5、 观察方程组⎩⎨⎧=-=-,1235332b a b a方程组中的两个方程，未知数b 的系数的关系是： ，为达到先消去b 的目的，应让② ①，得 。
【能说会道】不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的?⑴⎩⎨⎧=+=924y x y x ； ⑵ ⎩⎨⎧=+=+321y x y x ⎩⎨⎧=+=-24513y x y x ⑷归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？【动手动脑】选择合适的方法解下列方程组：()⎩⎨⎧-=+=-12441y x y x ()⎩⎨⎧=+=+3.16.08.05.122y x y x⎩⎨⎧-=+-=+765432z y z y ⎩⎨⎧=-=+6341953y x y x ⑶ ⑸ ⑹（1）（2） ()⎩⎨⎧=+=+104320294y x y x()⎩⎨⎧-=-=-5571325y x y x ()⎩⎨⎧=--=-0232436y x y x【超越自我】【七嘴八舌】今天你的收获有哪些？你的困惑有哪些？ ()⎩⎨⎧=-=+523323y x y x。
初中数学知识点二元一次方程的解法
初中数学知识点二元一次方程的解法二元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，解二元一次方程的方法有多种。
本文将介绍三种常用的解法，分别是图像法、代入法和消元法。
1. 图像法图像法是一种直观的解方程方法，适用于解二元一次方程组。
我们可以将二元一次方程组的解看作是两个直线的交点坐标。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - y = 5我们可以将这两个方程转化为两个直线的方程，绘制出它们的图像。
通过观察两个直线的交点，我们可以得到方程组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。
该方法适用于含有一个未知数的方程，可以将一个方程的解代入到另一个方程中，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后解得该未知数的值，进而求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + y = 53x - 2y = 8可以解得其中一个未知数，例如令 y = 5 - 2x，将其代入到第二个方程中，则得到3x - 2(5 - 2x) = 8，整理后得到7x = 18，解得 x = 18/7。
然后将 x 的值代入到第一个方程中，得到2(18/7) + y = 5，整理后得到y = 11/7，解得 y = 11/7。
3. 消元法消元法是一种通过加减运算来求解二元一次方程组的方法。
通过合理地调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的方程，进而解得这个未知数的值，再带入另一个方程求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8可以通过调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反。
这里我们可以将第一个方程的系数调整为6，将第二个方程的系数调整为-6，即得到：6(2x + 3y) = 6(7)-6(3x - 2y) = -6(8)整理后得到：12x + 18y = 42-18x + 12y = -48将两个方程相加，得到：-6x + 30y = -6解方程-6x + 30y = -6，可以得到 x 的值为 1。
8.2.4 用适当的方法解二元一次方程组
x2y 3
的解也是
二元一次方程x+y=2解，求k的值。
提示：两方程相减得x+y=k-2,从而得到k-2=2得k=4.
5、已知方程 1011x1010 y1009m 的解满足x+y=1,求m
的值。
1010 x1011 y 1012m
提示：两方程相加得x=y=m，很明显得到m=1.
例1、解二元一次方程组：
以下是小明的解题 过程。请你帮他检
3x 4 y 2 ①
验是否正确。
2x 3y 7 ②
解：由②得 y 7 2x ③
3
把③代入①得：3x 4 7 2x 2
3
两边同乘3得：9x 47 2x 2 你能指出错误原因吗？
解得：
x 31
四、运用活学：
（二）课外补充：
1、已知方程组
3x 5 y m
x
2
y
m
4中未知数的和等
于－1，求m的值。
1、选择适当的方法解二元一次方程组。
2、体会数学思想能使问题从难到易，不会 到会的过程。
即:x+y=2 ③
①－② 得：6x-6y=24
即：x-y=4 ④
③+④得：2x=6
解得 x=3
把x=3代入③解得：y=-1
所以这个方程组的解是 x=3
一
y=-1
类型二 未知数系数和（差）是定值
2.如果二元一次方程组
2x y 7 ① x 2 y 8 ②
那么x＋y＝_5____ ，x－y＝__-1___
把x=2代入③得：
y
7
7
二元一次方程组,掌握下面四种方法,类似题目解答无困难.doc
二元一次方程组，掌握下面四种方法，类似题目解答无困难二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况，下面就为大家说说：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
下面为大家介绍二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
解二元一次方程组常用的“消元”方法
数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。
解二元一次方程的方法及步骤
解二元一次方程的方法及步骤
步骤1，观察方程，确保它是一个二元一次方程，即包含两个未知数（通常是x和y）的一次项和常数项。
步骤2，将方程按照标准形式排列，即将x和y的项分别放在等号的两边，常数项放在等号右边。
确保方程的形式为ax + by = c。
步骤3，如果方程中的系数有分数或小数形式，可以通过乘以适当的倍数，使系数变为整数。
步骤4，选择一种解方程的方法，可以使用代入法、消元法或矩阵法。
代入法，选择其中一个方程，将该方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，解出该未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
消元法，通过适当的运算，将方程组中的一个未知数的系数相
等（或倍数关系），使得两个方程相加或相减后，某个未知数的系
数被消去，从而得到一个只含有一个未知数的方程，解出该未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
矩阵法，将方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵形式，
然后通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求解未知数。
步骤5，根据所选的方法，解出其中一个未知数。
步骤6，将得到的解代入原方程中，求解另一个未知数。
步骤7，检验解是否满足原方程组，如果满足，则得到方程组
的解；如果不满足，则说明方程组无解。
这些是解二元一次方程的一般步骤，根据具体的方程组形式和
条件，可能需要适当调整方法和步骤。
希望这些信息对你有帮助。
二元一次方程组的化简技巧有哪些
二元一次方程组的化简技巧有哪些在数学的学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点。
能够熟练掌握二元一次方程组的化简技巧，可以帮助我们更轻松、更高效地解决相关问题。
下面就来给大家详细介绍一些常见且实用的二元一次方程组化简技巧。
一、代入消元法代入消元法是解决二元一次方程组较为常用的方法之一。
它的基本思路是：从方程组中选取一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后将这个代数式代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
例如，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以由第一个方程得到＼（x ＝ 5 y\），然后将＼（x ＝ 5 y\）代入第二个方程＼（2x y ＝ 1\）中，得到：＼＼begin{align}2(5 y) y ＆＝ 1 ＼＼10 2y y ＆＝ 1 ＼＼10 3y ＆＝ 1 ＼＼－3y ＆＝ 1 10 ＼＼－3y ＆＝－9 ＼＼y ＆＝ 3＼end{align}＼再将＼（y ＝ 3\）代入＼（x ＝ 5 y\），可得＼（x ＝ 5 3 ＝2\）。
在使用代入消元法时，关键是要选择一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。
一般来说，选择系数较简单的方程，并且选择系数为1 或－1 的未知数进行表示，这样计算会更简便。
二、加减消元法加减消元法也是二元一次方程组化简的重要方法。
它的核心思想是：通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。
比如，对于方程组：＼＼begin{cases}3x ＋ 2y ＝ 12 ＼＼5x 2y ＝ 4＼end{cases}＼观察两个方程，发现＼（y\）的系数分别为＼（2\）和＼（－2\），将两个方程相加，可以消去＼（y\），得到：＼＼begin{align}（3x ＋ 2y) ＋（5x 2y) ＆＝ 12 ＋ 4 ＼＼3x ＋ 5x ＆＝ 16 ＼＼8x ＆＝ 16 ＼＼x ＆＝ 2＼end{align}＼把＼（x ＝ 2\）代入第一个方程＼（3x ＋ 2y ＝ 12\），可得＼（3×2 ＋ 2y ＝ 12\），解得＼（y ＝ 3\）。
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法1、整体代入法整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的看成一个整体代入求解．由②式可得．化简，得．③将①代入③，得．解得，代入①可得．故方程组的解为2、换元法换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元．方法１：设，则．代入②，得．解得．从而可得方程组的解为方法２：设．由①得，所以．③由②得．④③÷④，得．解得．从而可得3、直接加减法直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．①＋②，得，即．③①－②，得．④由③④可得4、消常数项法解析：可将两式消去常数项，直接得到与的关系式，而后代入消元．①－②，得，即．将代入②，得，即．从而可得5、相乘保留法解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．由①，得．③由②，得．④④－③，得．从而可得6、科学记数法当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写．例６、解方程组解析：这个数比较大，可用科学记数法写成．由②，可得．③将①代入③，得．从而可得7、系数化整法若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．解析：利用等式的性质，把①式变形为．③利用分子、分母相除，把②式变形为．④③－④，得．从而可得8、对称法例８、解方程组解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的互换即可得到另一个方程．由对称性可知，则可得解得9、拆数法例９、解方程组解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解．原方程组可变形为从而可得。
消元--解二元一次方程组知识点总结(含例题)
消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ． 二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。
二元一次方程的解析解
二元一次方程的解析解二元一次方程是高中数学中的重要内容，它描述了两个未知数之间的线性关系。
解析解是指通过数学运算得到的方程的解，与图形解法相对应。
本文将从解析解的定义、求解方法和实际应用等方面，探讨二元一次方程的解析解。
一、解析解的定义解析解是指通过数学运算得到的方程的解。
对于二元一次方程，其一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。
解析解即是通过运算求得的x和y的具体值，使得方程等式成立。
二、求解方法1. 代入法代入法是求解二元一次方程的常用方法。
假设已知方程为ax + by = c，可以将x或y表示为另一个未知数的函数，然后代入到方程中，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程，从而求解出该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数。
2. 消元法消元法是求解二元一次方程的另一种常用方法。
通过对方程进行加减乘除等运算，使得其中一个未知数的系数相等或倍数关系，从而消去该未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程，进而求解出该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数。
3. 矩阵法矩阵法是求解二元一次方程组的一种较为高级的方法。
将方程组的系数矩阵与未知数矩阵进行运算，得到增广矩阵，通过高斯消元法或克拉默法则等方法，求解出未知数的值。
三、实际应用二元一次方程的解析解在实际生活中有着广泛的应用。
以下以两个具体的例子加以说明。
1. 购物问题假设小明去商场购买了x件衣服和y件鞋子，已知衣服的单价为a元，鞋子的单价为b元，小明总共花费了c元。
可以建立如下二元一次方程：ax + by = c通过求解该方程的解析解，可以得到小明购买衣服和鞋子的具体数量，进而计算出他购物时的花费。
2. 混合液体问题假设有两种溶液，其浓度分别为x%和y%，现需要混合这两种溶液，使得混合液体的浓度为c%。
可以建立如下二元一次方程：(xa + yb)/(a + b) = c通过求解该方程的解析解，可以得到混合溶液中两种溶液的比例，进而制定出混合液体的配方。
克拉默法则解二元一次方程组
克拉默法则解二元一次方程组引言：在数学中，方程组是一个或多个方程的集合，而方程是一个等式，它包含未知数和常数。
解方程组就是找出同时满足所有方程的未知数的值。
而克拉默法则是一种解二元一次方程组的方法，它基于行列式的概念，通过求解行列式来得到方程组的解。
本文将详细介绍克拉默法则的原理和应用。
一、克拉默法则的原理克拉默法则是由法国数学家克拉默提出的，它利用行列式的性质来解方程组。
对于一个二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知的常数，而x和y是未知数。
根据克拉默法则，方程组的解可以通过以下公式来表示：x = D1 / Dy = D2 / D其中，D是方程组的系数行列式，D1是将方程组的常数列替换掉x 的系数列所得到的行列式，D2是将方程组的常数列替换掉y的系数列所得到的行列式。
二、克拉默法则的应用克拉默法则在实际问题中有广泛的应用，特别是在工程、物理和经济等领域。
下面通过一个具体的例子来说明克拉默法则的应用。
例：解方程组2x + 3y = 74x - 5y = -3我们可以计算出D、D1和D2：D = |2 3| = 2*(-5) - 3*4 = -23|4 -5|D1 = |-3 3| = -3*(-5) - 3*4 = -3|-3 -5|D2 = |2 -3| = 2*(-3) - (-5)*4 = 23|4 -5|然后，我们可以根据公式求解方程组：x = D1 / D = -3 / -23 ≈ 0.13y = D2 / D = 23 / -23 ≈ -1所以，方程组的解为x ≈ 0.13，y ≈ -1。
三、克拉默法则的优点和局限性克拉默法则的优点是简单直观，易于理解和应用。
它不需要进行复杂的运算和推导，只需要计算行列式的值即可得到方程组的解。
此外，克拉默法则适用于任意多元一次方程组。
然而，克拉默法则也有一些局限性。
首先，克拉默法则要求方程组的系数行列式D不等于0，否则方程组无解或有无穷多解。
用适当方法解二元一次方程组 (4)
四、例1
下列方程组用什么方法解好?为什么? 2x+y=4 (1)
（1） y=7 (2)
（2） （3）
2x+5y=10 (1) 3x-5y=6 (2)
4x+3y=-1 (1) 2x=8 (2)
（4）
-2（x-y）+7（x+y）=21 (1) 2（x-y）－5（x+y）=－1 (2)
2. 选择适当方法解方程组：
用含y 的代数式表示x的形式,则x=._______.
4.“甲数的2倍减去乙数的一半的差是5”,根据这语句设甲数为 x,乙数为y, 则列出方程是________.
5.已知方程组
x y 4 x y 2
则
1 x
-3y=.________
6.若4x 32 +|2y+1|=0,则x+3y=______.
解三元一次方程组的基本思想是化三元为二元再化 二元为一元
二.,课堂练习:
一.填空题：
1.二元一次方程4x-3y=12,当x=0,1,2,3时,y=_____.
2.在方程3x-ay=8中,如果
x
y
3 1
是它的一个解,则a=____
3.把方程3x+y=5写成用含x的代数式表示y的形式,则y=._____
2 ,
6
求A、B、C的值。
（2）甲、乙两人同解方程
组CAxx
By 3y
2 2,
甲正确解得 xy
11,乙抄错C，解得xy
2 ,
6
求A、B、C的值。
解得：A 5，B 1，C -5
2
二元一次方程组方法选择和解题技巧
x 1 2y
①
3
2﹙x+1﹚-y=11 ②
前面所有解答过程中，我们选择 方法是由什么决定的？
观察方程中系数的特点，可以 帮助我们解决很多难题
已知方程组，试确定的值，使方程组：
x y 7 ax 2y c
（1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有 解
（1）5x+2y=7 ① 7x+2y=-1 ②
（2） 2x y 1 ① x y5 ②
(3) 6x-4y=5 ① 5x+2y=4 ②
总结: 什么情况下用加减法简单。
用适当的方法解二元一次方程组
观 代入法 当有一个未知数的系数为１或-１时
察
①当相同字母的未知数的系数相同时;
②当相同字母的未知数的系数相反时;
⑥ 3a 2b 5
• 活动三: • 用适当的方法解二元一次方程组:
(1) 133xx++313y=y9=11①② 总结：
方程中两个相同未知数系数之和分别相 等，且两个方程中两个未知数系数互换， 可用既加又减，获得较简的方程组。
6x+4y=10 ① 4x+6y=20 ②
• 活动四:
• 用适当的方法解二元一次方程组:
系 加减法 ③当相同字母的未知数的系数不相同
数
或相反时，如果同一个未知数的系数
互为倍数
用合适的方法解下列方程组。
x y 5
3x 5y 21
① 2x y 5 ② 2x 5y -11
2m-5n=7
t s 18
③
2m+3n=-1
④ t 3s 10
x-y=3
4a 8b 12
⑤
3x -8y=14
回忆
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法二元一次方程组是初中阶段数学学习中的重要内容，解二元一次方程组是数学学习的基础，也是后续学习的重要基础。
下面我们就来详细介绍解二元一次方程组的方法。
首先，我们来看一下什么是二元一次方程组。
二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组。
一般来说，二元一次方程组的一般形式为：$$。
\begin{cases}。
ax+by=c \\。
dx+ey=f。
\end{cases}。
$$。
其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。
接下来，我们来介绍解二元一次方程组的方法。
解二元一次方程组的方法有几种，下面我们分别来介绍。
1. 代入法。
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
具体步骤如下：(1) 从其中一个方程中解出一个未知数，通常选择其中一个方程比较容易解出的未知数。
(2) 将解出的未知数代入另一个方程中，得到另一个未知数的值。
(3) 将求得的未知数的值代入任意一个方程中，求出另一个未知数的值。
(4) 检验所求的未知数是否满足原方程组，如果满足，则解出方程组的实数解，如果不满足，则说明原方程组无解或有无穷多个解。
2. 消元法。
消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
具体步骤如下：(1) 通过加减消元法，将方程组中的一个未知数的系数变成相等的，然后将两个方程相加或相减，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程。
(2) 解出这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
(3) 将求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。
(4) 检验所求的未知数是否满足原方程组，如果满足，则解出方程组的实数解，如果不满足，则说明原方程组无解或有无穷多个解。
3. 克莱姆法则。
克莱姆法则是解二元一次方程组的另一种方法。
具体步骤如下：(1) 计算二元一次方程组的系数行列式D，即：$$。
D=\begin{vmatrix}。
a &b \\。
d & e。
\end{vmatrix}。
=ae-bd。
二元一次方程组练习题
8.2.3 消元法解二元一次方程组◆知能点分类训练知能点1 用适当的方法解二元一次方程组1．方程组32153x yx y+=⎧⎨-=⎩最好对方程________变形，用________的代数式表示________．2．解方程组3236y xx y=-⎧⎨+=⎩应消________，可把_______代入________．3．已知满足二元一次方程组23205x yy x+=-⎧⎨=-⎩的x的值是x=-1，应把x=-1代入方程______，• 求出y=_______，得方程组的解为________．4．方程组2352715x yx y+=⎧⎨-=-⎩中x的系数特点是________；方程组3576511x yx y-=⎧⎨+=⎩中y的系数特点是_______；•这两个方程组用______法解较简便．5．方程组3210______, 526______. y x xy x y+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩的解是6．用适当的方法解下列方程组．（1）5420231x yx y+=⎧⎨+=⎩1(2)2362(1)3()6x yx x y⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩7．已知方程4x-3y-6z=0与方程x-3y-3z=0有相同的解．求：（1）x：z；（2）x：y：z．答案:1．② 含有x y2．y ① ②3．② -6 16x y =-⎧⎨=-⎩4．相等 互为相反数 加减消元 5．8816.(1)(2)251x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-=-=-⎩⎩⎩ 7．（1）1：1 （2）3：（-2）：3（点拨：将x ，z 用y 表示）8．解：设此人持有A ，B 两种股票分别为x 股，y 股，依题意得方程组 (12.512)(13.313.5)200,1000,(12.912.5)(13.913.3)1300,1500.x y x x y y -+-==⎧⎧⎨⎨-+-==⎩⎩解得 答：该人持有A ，B 两种股票分别为1 000股和15 000股．9．不对，没有把解倒过来，应该为x=12，y=-1，z=13．。
两个二元一次方程组的解法
两个二元一次方程组的解法解一：代入法对于一个二元一次方程组，可以使用代入法来求解。
代入法的基本思想是将一个方程的某个变量表示成另一个方程中另一个变量的函数，然后将该表达式代入另一个方程，从而得到只含有一个变量的方程，进而求解出该变量的值，最后再将该值代入另一个方程求解出另一个变量的值。
具体的步骤如下：1. 将其中一个方程表示成另一个方程中另一个变量的函数。
假设方程组为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以假设第一个方程中的x表示成y的函数，即x = f(y)，则代入第二个方程得到：a2f(y) + b2y = c22. 然后将得到的方程化简为只含有一个变量的方程。
将上述方程整理为标准形式：a2f(y) + (b2y - c2) = 0a2f(y) + g(y) = 0其中，g(y) = b2y - c23. 求解得到f(y)的表达式。
将上述方程两边同时除以a2，得到：f(y) + h(y) = 0其中，h(y) = g(y)/a24. 求解得到f(y)的表达式后，将其代入第一个方程，即可得到只含有y的方程：a1f(y) + b1y = c15. 求解得到y的值后，再将该值代入第一个方程，即可得到x的值。
这样，我们就得到了方程组的解。
解二：消元法消元法是另一种常用的求解二元一次方程组的方法。
消元法的基本思想是通过对方程组中的方程进行线性组合，从而消去一个变量，得到只含有另一个变量的方程，然后再通过反向代入求解出另一个变量的值，进而得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将方程组中的一个方程乘以适当的系数，使得两个方程中的某个变量的系数相等或者互为相反数，从而消去该变量。
假设方程组为： a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2如果b1和b2互为相反数，可以直接相加得到只含有x的方程： (a1 + a2)x = c1 + c22. 求解得到x的值。
3. 将求得的x的值代入一个方程中，求解得到y的值。
二元一次方程组加减法
二元一次方程组加减法
二元一次方程组的加减法是一种求解二元一次方程组的方法。
首先，我们需要确保两个方程中的某个未知数的系数是相反的，这样我们就可以通过加法或减法消去一个未知数。
例如，我们有两个方程：
1. 2x + 3y = 7
2. 3x - 3y = 8
我们可以看到，在第一个方程中，y的系数是3，而在第二个方程中，y的系数是-3，它们是相反的。
因此，我们可以通过加法消去y。
我们将第一个方程和第二个方程相加，得到：
(2x + 3y) + (3x - 3y) = 7 + 8
这样，y就被消去了，我们得到：
5x = 15
然后，我们可以解出x的值：
x = 15 / 5
x = 3
接下来，我们可以将x的值代入任何一个原方程中，解出y的值。
例如，我们可以将x=3代入第一个方程：
2*3 + 3y = 7
这样，我们就可以解出y的值：
6 + 3y = 7
3y = 1
y = 1/3
所以，方程组的解是x=3, y=1/3。
这就是使用加减法求解二元一次方程组的基本步骤。
需要注意的是，如果两个方程中的未知数的系数不是相反的，我们可能需要通过乘以适当的数来使它们成为相反的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D.a＝－7，b＝5
返回
6． (中考·桂林)若 3x－2y－1 ＋ x＋y－2＝0 ，则x，y的值
为( D )
A.
x＝1 y＝4
C. x＝0 y＝2
B.
x＝2 y＝0
D. x＝1 y＝1
返回
7．若方程组
2x－y＝1 3x＋2y＝12
的解也是二元一次方程5x－
my＝－11的一个解，则m的值等于( D )
(2)由题意，得
2x－y＝2 4y＋x＝－1
解得
x＝ 7 y＝－9 4
9
则x＋y＝ 7 － 4＝1.
993
返回
题型 3 方程组的解与二元一次方程的解之间的关系在求字母值中的应用
12．若关于x，y的二元一次方程组
x＋y＝5k＋2 x－y＝4k－5
的
解满足3x＋y＝6，求k的值.
解： x＋y＝5k＋2 ①
A.5
B.－7
C.－5
D.7
返回
8．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这
个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条
边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，
CD上的数是12，则AD上的数是( C )
A.2
B.7
C.8
D.15
返回
9． (中考·黔东南州)小明在某商店购买商品A，B共两次， 这两次购买商品A，B的数量和总费用如下表：
②
3x＋5y＝12 3x－15y＝－6
比较
简便的方法是( C )
A.都用代入法
B.都用加减法
C.①用代入法，②用加减法
D.①用加减法，②用代入法
返回
3．用加减法解方程组
3x＋2y＝6 2x＋3y＝1
时，要使方程中同一
个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，
以下四种变形正确的是( C )
①
9x＋6y＝6 4x＋6y＝2
当方程组中某个方程的系数比较简单（尤其是未知数 的系数为±1)时，用__代__入___消元法为宜；当两个方程 的某一个未知数的系数的绝对值相等时，用__加__减___消 元法为宜；若不具备上述条件，可以通过适当变形， 用__加__减____消元法求解.
返回
2．解方程组①
y＝x－3 7x＋5y＝－9
C.消x，由②得x＝ 1 (23－2y)
9
D.消y，由①得y＝ 1 (3x－2)
5
返回
知识点 2 方程组与其他知识的综合运用
5．已知x，y满足
2x－3y＝1 3x－2y＝5
① ②
如果①×a＋②×b可
整体得到x＋11y的值，那么a，b的值可以是( D )
A.a＝2，b＝－1
B.a＝－4，b＝3
C.a＝1，b＝－7
解法三(换元法)：
设x＋y＝m，x－y＝n，m ＋ n＝6 ① 则原方程组可变为： 3 2
3m－2n＝28 ② 由①得2m＋3n＝36.③
③×2＋②×3，得13m＝156，
故m＝12.
把m＝12代入②，解得n＝4.
于是可得方程组
解得
x＝8 y＝4
x＋y＝12 x－y＝4
点拨 返回
x－y＝4k－5 ②
①＋②，得x＝
9k－3 2
；
①－②，得y＝ k＋7 ，
2
则
3×
9k－3 2
＋
k＋7 ＝6，解得k＝
2
1 2
.
返回
换元法
13．用多种方法解方程组：
x＋y＋ x－y＝6
3
2
3 x＋y－2 x－y＝28
解：解法一(代入法)： 5x－y＝36 ① 方程组化简，得 x＋5y＝28 ② 由①，得y＝5x－36.③
返回
题型 2 解方程组在求新定义中字母值中的应用
11．(中考·扬州)对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种 运算如下：a ⊗ b＝2a＋b.例如3 ⊗ 4＝2×3＋4＝10. (1)求2 ⊗(－5)的值； (2)若x ⊗(－y)＝2，且2y ⊗ x＝－1，求x＋y的值.
解：
(1)2 (－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1.
把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误， 请在错误处打“×”.
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
解： (1)解法一中的计算有误(标记略)． (2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.把x＝－1代 入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2. 所以原方程组的解是 x＝－1 y＝－2
②
9x＋6y＝18 4x－6y＝2
③ 9x＋6y＝18 4x＋6y＝2
④ 6x＋4y＝12 6x＋9y＝3
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④ 返回
4．用代入法解方程组 39xx－ ＋52yy＝＝22①3 ②的最佳策略是( B )
A.消y，由②得y＝
1 2
(23－9x)
B.消x，由①得x＝
1 3
(5y＋2)
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费( C )
A.64元 B.65元 C.66元 D.67元
返回
题型 1 适当的消元方法在解方程组中的应用
10．(中考·舟山)用消元法解方程组
x－3y＝5 ① 4x－3y＝2 ②
Байду номын сангаас
时，
两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2.③
第八章 二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组
第3课时 用适当的方法解二元一次方程组
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点 1 用适当的方法解二元一次方程组
1．解二元一次方程组的基本思路是___消__元___，即变 “___二__元___ ”为“__一__元____ ”，其方法有两种： __代__入____消元法和__加__减____消元法 .
把③代入②，得x＋5(5x－36)＝28，解得x＝8.
把x＝8代入③，得y＝4.
所以原方程组的解为
x＝8 y＝4
解法二(加减法)： 5x－y＝36 ①
方程组化简，得 x＋5y＝28 ② ①×5＋②，得26x＝208，x＝8.
把x＝8代入①，得40－y＝36，y＝4.
所以原方程组的解为
x＝8 y＝4