椭圆离心率的解法讲课稿

椭圆离心率的解法椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。

题型变化很多，难以驾驭。

以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c ∴有③。

题目1：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜｜F2 F1｜=ba又∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=5 5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2=(a+c)2=a 2+2ac+c 2a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变形：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。

答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。

3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。

题目3：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e? 解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m 在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23题目4：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P =｜PF 2｜sin PF 1F 2根据和比性质：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜sinF 1F 2P+sin PF 1F 2变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 ==2c 2a=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15°e= sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。

解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-αe=sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60° sin α+sin(120°-α) = 1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变形2：已知椭圆x 24+ y 24t 2 =1 (t>0) F 1F 2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若13 <tan α 2< tan β2 <12 ,求e 的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。

解;根据上题结论e=sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β)sin α+sin β=2sin α+β 2 cosα+β 22sin α+β 2 cos α-β 2= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β 2cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2=1- tan α 2 tan β21- tan α 2 tan β2=e∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<12三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式.题目5：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求e?法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2 y=x-c(a 2+b 2)x 2-2a 2cx+a 2c 2-a 2b 2=0 x 1+x 2=2a 2c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2c a 2+b 2-2c=-2b 2c a 2+b 2→OA +→OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2=3b 2e=63法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→OB ⎩⎪⎨⎪⎧x 12a 2+ y 12b 2=1 ①x 22a 2+ y 22 b 2=1 ②① -② 得： y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=-b 2a 2 (-3) 既a 2=3b 2e=63四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。

题目6：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？分析：∵→MF1·→MF2 =0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。

解：∴c<ba2=b2+c2 >2c2 ∴0<e<2 2题目7：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。

思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a 2c,y 0 ) M( a 2c -c 2 ,y 0 2) 既( b 22c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a 2c+c, y 0 ) →MF 2 =-( b 22c -c, y 0 2) →PF 1·→MF 2 =0 ( a 2c +c, y 0 ) ·( b 22c -c, y 0 2)=0 ( a 2c +c)·( b 22c -c)+ y 02 2=0 a 2-3c 2≤0 ∴33≤e<1 解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c｜PF 2｜≥a 2c -c 则2c ≥a 2c -c 3c ≥a 2c3c 2≥a 2 则33≤e<1 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。

所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。

离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。