利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)

例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
a
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。
a
综上：
(1)当a 0时，f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a 1 时，f (x)在（0， ）上为增函数。
2
(3)当0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1）上为减函数。 a
(4)当a 1 时，f (x)在（0，1）和（2,)上为增函数;
0时，令f
'
(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
1)当1 2即a 1 时，f (x)在（0， ）上为增函数。
a
2
2)当1 2即0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
a
2
a
f (x)在（2，1）上为减函数。 a
3)当1 2即a 1 时，f (x)在（0，1）和（2,)上为增函数;
强化补清
(09)已知函数f (x) x 2 a(2 ln x), a 0.讨论f (x)的单调性 x
（07）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），
讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性
即2ax 3x2
a 3 x, x (0,2)
2
a
(
3 2
x)max
,
x
(0,2),
a3
分离参数 分离参数 法：
构造函数 g(x)
求g(x)的 最值
求得参数 范围
例2：已知函数f (x) x3 3ax2 2a2x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 6ax 2a2, x [0,2]
y
x
o
2
X=a
X=a X=a
练习设a为实数，函数f (x) x3 ax2 (a2 1)x在 1： [0， ）上是增函数,求a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax (a2 1) 0, x[0,)
:
[3x2 2ax (a2 1)]min 0, x [0,)
①
a
0
3
y
f ' (0) 0
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)=ln x ax2 （2 a）x,讨论函数f(x)的单调性
解：f (x)的定义域为（0， ）
f (x) 1 2ax （2 a） (2x+1)(ax 1)
Байду номын сангаас
x
x
当a 0时, f (x) 0,故f (x)在（0， ）单调递增;
a 3x2 3, 2x
3x2 3 a ( 2x )min
令g( x) 3x2 3 , x [2,4] 2x
练习1：已知函数f (x) x3 ax 3x 1在[0,)上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 a 3, x [0,) ： 则f '(x) 0在[0,)上恒成立
B
4．已知函数 f(x)＝1a－xx＋ln x，若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， 则正实数 a 的取值范围为___________．
∵f(x)＝1－axx＋ln x，∴f′(x)＝axa－x21 (a>0)，
∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立， ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，即 a≥1x对 x∈[1，＋∞) 恒成立，∴a≥1.
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
A．m>－2 2 B．m≥－2 2
() C．m<2 2 D．m≤2 2
令 g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 当－m4≤0 时，g(0)＝1>0 恒成立，∴m≥0 成立， 当－m4>0 时，则 Δ＝m2－8≤0，∴－2 2≤m<0， 综上，m 的取值范围是 m≥－2 2.
： 则f '(x) 0在[0,2]上恒成立
即3x2 6ax 2a2 0恒成立，x [0,2]
即f '(x)min 0, x [0,2]
而f '(x)为二次函数，开口向上， 对称轴为x a
f '(x) 3x2 6ax 2a2 0, x [0,2]
即(3x2 6ax 2a2 )min 0, x [0,2]
a 1
o
x
②
a 3
f
0 '(a)
3
0
a 6 2
分类讨论 法：
在利用函数的单调性求参数的 取值范围时，当导函数可化为 二次函数形式时，应注意从对 称轴，区间端点函数值方面考
虑
例3：设函数f (x) 1 ax2 (2a 1)x 2ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
解：函数的定义域(0,)
[1，＋∞)
5．已知函数 f(x)＝x2(x－a)．
(－∞，3]∪92，＋∞
若 f(x)在(2,3)上单调，则实数 a 的取值范围是
3，92
______________________； 若 f(x)在(2,3)上不单调，则实数 a 的取值范围是_____________．
f′(x)＝3x2－2ax，若 f′(x)在(2,3)上单调， 则 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(2,3)上恒成立， ∴a≤32x 或 a≥32x. ∵x∈(2,3)，∴a≤3 或 a≥92.
当a 0时,令f (x) 0，解得x 1 a
则当x (0, 1)时，f (x) 0; x (1 ,)时，f (x) 0
a
a
故f (x)在(0, 1)单调递增，在(1 ,)单调递减。
a
a
综合练习：
（2011 江西高考）已知函数 f(x)＝x2(x－a)． 若 f(x)在(2,3)上单调递减，求实数 a 的取值范围