血液中酒精浓度的数学模型

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题饮酒驾车据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：血液中酒精浓度的数学模型摘要：把人体对酒精的吸收、排放简化为一般的房室模型，提出了吸收因子、消除因子的概念。

针对短时间饮酒、长时间饮酒以及间断饮酒等情况，分别建立了关于人体体液中酒精浓度的微分方程模型，并且给出了显式解。

对于特殊的周期性间断饮酒的模型，给出了更便于计算的叠加公式，并通过分析酒精浓度函数的极限过程，证明了其有界性。

对短时间饮酒和长时间饮酒的情况分别计算了酒精浓度的最大值、取得最大值的时间和禁止驾车的时间范围，而且进行了比较，所得结论与实际吻合。

关键词：吸收因子；消除因子；微分方程；时间药物动力学；酒精浓度1问题分析及必要的假设饮酒驾车的危害性，已受到交通部门，乃至全社会的高度重视。

国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，对驾驶人员血液中所允许的酒精浓度作了具体规定。

那么，对于一个驾驶员，他能不能饮酒?饮酒后在多长时间内不能开车对于一定量的酒，在短时饮完好还是在较长的时间内饮完好?本文就是针对这些问题，分析酒精在人体内的扩散过程，在一定简化、假设的基础上，寻找酒精在人体中吸收、消除的规律，建立体液(或血液)中酒精含量的数学模型，从数量上给予解答。

人喝了酒后，酒精便通过胃肠的吸收扩散到人的体液(包括血液)中去，同时体液中的酒精又通过汗液、尿液等排除到体外。

事实上，根据时间药物动力学的研究[1]，这种吸收、扩散、消除过程，机理十分复杂，制约因素很多。

在本文中，我们把这种过程大大简化，把人体设想为一个含有两个室(胃肠道和体液)的房室模型，并作如下简化和假设: 首先我们假设酒精进入体液后，迅速扩散到全身各个部位，包括到血管当中，即血管中酒精的浓度与其他体液中的酒精浓度相一致，这样我们所描述的体液中的酒精浓度也就是血液中的酒精浓度；另外我们假设体液的总体积保持一个常数V不变；再假设酒精被正常吸收和排出，排除呕吐等一些非正常的排出情况。

我们进一步假设胃肠道中的酒精被吸收到体液中的速率与胃肠道中酒精的质量成正比，即若设在t时刻胃肠中的酒精质量为)(t y，那么此时的吸收速度为)(1t y k，其中1k称为吸收因子。

在一般情况下，吸收因子k受诸如肠胃的蠕动、体液的PH值、肝肾血流量等多种因1素的影响，且随它们的变化而变化[1]。

在我们的讨论中，假设1k 在一定的时间段里为一定值。

同时，体液在排出体外时的速率也是受到诸多因素的影响，比如气温的高低、运动量的大小以及每个人所处的环境和时间不同等，都会对体液排出体外的速率有直接影响。

为了讨论问题的方便，我们假设体液的排出是以匀速进行的，并设单位时间内体液排出体外的体积为2k ，令Vk k 23=，称3k 为消除因子，它表示单位体积的体液在单位时间内排出体外的量。

体液中的酒精含量一方面是通过胃肠吸收而得，另一方面，又得随着体液排出体外。

很显然，体液(或血液)中酒精含量与吸收因子1k 、消除因子3k 及饮酒的酒量三者有关，而且随着时间的变化而变化。

这样，酒精在人体体液中的吸收、消除就构成了一个“药物的动力量”过程。

当然，一定量的酒精进入胃肠道可能有不同时间方式，比如，在很短的时间内进入(称为短时饮酒)、在较长的时间内进入(称为长时饮酒)或每隔一段时间分若干次进入(称为间断饮酒)等。

我们的目的就是根据不同的饮酒方式分别建立体液中酒精浓度随时间的变化规律。

其基本思想是通过t 时刻吸收的酒精量和排出的酒精量来建立变量间的数学关系。

2 短时间饮酒模型设人在很短时间内(近似看作瞬时)喝下M 毫升的酒，则可根据酒的浓度计算出其中酒精的质量，记为m (单位：mg )，再设喝酒后t 时刻胃肠中的酒精质量为)(t y ，由假设可得初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=my t y k dtdy )0()(1 (1) 由分离变量法[2]易得引理2.1 模型(1)的解为：tk met y 1)(-=另外，在t ∆时间内，吸收到体液中的酒精质量约为t t y k ∆)(1，再由假设知)(t y 是连续函数，因此由微元法可得从0到t 时刻吸收到体液中的酒精质量为⎰tdt t y k 01)(。

现假设在t 时刻体液中的酒精的浓度为)(t p (单位：mg /100ml )，则又根据假设及元素法可得，从0到t 时刻排除体外的酒精质量为⎰tdt t p k 02)(100，从而在t 时刻体液中酒精质量为 ⎰⎰-t t dt t p k dt t y k 0201)(100)( 故在t 时刻体液中酒精浓度为100)(100)(0201⨯-⎰⎰Vdt t p k dt t y k tt从而有：⎰⎰-=tt dt t p Vk dt t y V k t p 0201)()(100)( （2） 上式等号两端对t 求导，得)(100)()(12t y Vkt p V k t p =+' 注意到V k k 23=，再令VE 100=，结合(2)式便得到关于)(t p 的微分方程为 ⎩⎨⎧==+'-0)0()()(113p me Ek t p k t p tk （3） 这是一个一阶线性非齐次的初值问题，由常数变易法[2]容易得 引理2.2 模型(3)的解为)()(31131t k tk e e k k Emk t p ----=（4）对于上述函数(4)，不难得以下推论： 推论2.3 函数(4)在区间]ln ln ,0[1313k k k k --内单调递增，在区间],ln ln [1313∞--k k k k 内单调递减，且0)()(31131→--=--t k tk e e k k Emk t p (t →∞)。

上述推论表明开始时体液中的酒精浓度以较快的速度增加，在13130ln ln k k k k t --=时刻浓度最大，之后又逐渐降低，而且随着时间的无限推移，体液中酒精的浓度越来越低，直到完全消除。

为了检验上述模型合理性，我们取以下一组测量数据根据上述模型对k 1和k 3进行拟合：m =53000(mg)(相当于2瓶酒精度为4.2g /100ml 的啤酒中酒精的含量[3])，V =49000(ml)(大概相当于一个体重为70kg 的人的体液含量)，t 与)(t p 的值见下表(来自2004年全国大学生数学建模竞赛C 题):表1时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量3835282518151210774我们利用表1中的数据在Excel 数据表中进行初步的曲线拟合得出初值后，借助Matlab 软件中的非线性回归命令进行循环拟合，得出对应于这一组数据的吸收因子和消除因子分别为：k 1=1.98，k 3=0.199。

Excel 系统拟合曲线(细)及由(4)式拟合的曲线(粗)如图1所示。

图1 两种类型的数据拟合曲线由图1我们看到，通过模型(1)，(3)所建立的酒精浓度函数)(t p ，基本符合实际人体体液中酒精浓度随时间的变化规律，这验证了我们所建立的基本模型(1)，(3)的合理性。

当然，显然这里的)(t p 更加光滑，这显示了我们的所建立的模型具有理想化的特点。

下面我们的重点是在上述模型的基础上讨论两类更为特殊的饮酒模型。

3 长时间饮酒模型设某人在较长时间T 0内，摄入酒精的质量为m ，我们可以简单假设这种摄入是匀速进行的，即在T 0时间内酒精以m/T 0的速度进入胃肠道。

设当0T t ≤时胃肠道中酒精质量为)(1t y ，体液中酒精浓度为)(1t p ，则)(1t y 的变化率为)(10t y k T m-，从而由假设可得下述初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()()(11101y t y k T mdtt dy 0T t ≤ 解之得：)1()(11011t k e k T m t y --=(5) 从而，类似地可得当0T t ≤时，关于)(1t p 的微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+'-0)0()1()()(11011311p e k T m t p k t p tk 解之得311313131113]11[)(k Ae k k A e k k k A t p t k t k +----=-- (6)其中A 1=Em/T 0。

当0T t >时，设胃肠道中酒精的质量为)(2t y ，体液中的酒精浓度为)(2t p ，则)(2t y ，)(2t p 的动力系统模型类似于(1)和(3)，只是初值不同，即⎪⎩⎪⎨⎧===+'-=')()(),()()()()()()(0102010221232212T p T p T y T y t y Ek t p k t p t y k t y (7) 该动力系统也为一阶线性系统，易得)(1)(10120103))(()(T t k T t k e B e B T p t p ----+-= (8)其中130111)(k k T y Ek B -=这样在整个过程中，体液中酒精浓度)(t p 的方程为⎩⎨⎧>≤=021),(),()(T t t p T t t p t p (9)根据长时间饮酒模型(5)，(6)，(8)，我们选取参数k 1=1.98，k 3=0.199，T 0=2(H)，m =79500(mg)，V =49000(ml)，计算出的不能驾车的时间范围，时间长短，最高浓度以及最高浓度时间等值见表2。