第2章 信号分类及频谱分析

第2章 信号分类及频谱分析

一、知识要点及要求

1） 了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；

2） 掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； 3） 掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质； 4） 了解信号处理的目的和分类，及数字信号处理的基本步骤； 5） 掌握模拟信号数字化出现的问题、原因和措施；

二、重点内容及难点

1.教学重点： 信号的分类；信号的时域、频域描述；采样定理；

2.教学难点： 信号的时域/频域转换；数字信号处理的步骤；采样定理；混叠；泄露；窗函数；

三、教学内容

（一） 信号的分类

1. 按信号随时间的变化规律分类 确定性信号与非确定性信号

2．按信号幅值随时间变化的连续性分类

根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续信号和离散信号。 3．按信号的能量特征分类

根据信号用能量或功率表示，可把信号分为能量信号和功率信号。

当信号()x t 在(-∞，∞)内满足

2()d x t t ∞

-∞

<∞

⎰

(2-6)

时，则该信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。例如，图 2.6 所示的信

号都是能量信号。

若信号()x t 在(-∞，∞)内满足

2()d x t t ∞

-∞

→∞

⎰

(2-7)

而在有限区间12(,)t t 内的平均功率是有限的，即

2

1

2211

()d t t

x t t t t <∞-⎰

(2-8)

则信号为功率信号。例如，图2.2中的正弦信号就是功率信号。

综上所述，从不同角度对信号进行分类，常用分类法归纳如下： (1) 按信号随时间的变化规律分类。

⎧⎧⎧⎪⎨

⎪⎪⎩⎪

⎨⎪

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎩

⎪

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨

⎩⎪⎪⎪⎩⎩谐波信号周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号

(2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。

()()()

()⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨

⎧⎪⎨⎪

⎩⎩

模拟信号信号的幅值与独立变量均连续连续信号一般连续信号独立变量连续信号一般离散信号独立变量离散离散信号数字信号信号的幅值和独立变量均离散 (3) 按信号的能量特征分类。

()()⎧⎨

⎩能量有限信号

信号功率有限信号

（二） 信号的时域—频域描述

信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。

直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量。这种以时间为独立变量，用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述。

时域描述简单直观，只能反映信号的幅值随时间变化的特性，而不能明确揭示信号的频率成分。因此，为了研究信号的频率构成和各频率成分的幅值大小、相位关系，则需要把时域信号转换成频域信号，即把时域信号通过数学处理变成以频率f (或角频率ω)为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述，这种描述信号的方法称为信号的频域描述。

信号“域”的不同，是指信号的独立变量不同，或描述信号的横坐标物理量不同。信号在不同域中的描述，使所需信号的特征更为突出，以便满足解决不同问题的需要。信号的时域描述以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征；信号的频域描述以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和初相位随频率变化的特征。因此，信号的时域描述直观反映信号随时间变化的情况，频域描述则反映信号的频率组成成分。信号的时域描述和频域描述是信号表示的不同形式，同一信号无论采用哪种描述方法，其含有的信息内容是相同的，即信号的时域描述转换为频域描述时不增加新的信息。 （三） 周期信号与离散频谱

1 周期信号的傅里叶级数的三角函数展开

在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷(dirichlet)①

条件，都可以展开成傅里叶

级数。傅里叶级数的三角函数表达式为 ()

0001()cos sin ωω∞

==++∑n n n x t a a n t b n t (2-9)

式中，0a 为信号的常值分量； n a 为信号的余弦分量幅值； n b 为信号的正弦分量幅值。 0a 、n a 和n b 分别表示为

000000/2

0/20/2

0/20/2

0/2

1()d 2()cos d 2()sin d T T T n T T n T a x t t T a x t n t t T b x t n t t

T ωω---===

⎰

⎰⎰

(2-10)

式中，0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002π/T ω=，1,2,3,n =L 合并式(2-9)中的同频项，则式(2-9)表示为

001()sin()

ωθ∞

==++∑n n n x t a A n t (2-11)

式中，信号的幅值n A 和初相位角θn 分别为

=n A 意义：周期信号是由一个或几个乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。或者说，一般周期信号可以分解为一个常值分量0a 和多个成谐波关系的正弦分量之和。因此，一般周期信号的傅里叶级数三角函数展开是以正(余)弦作为基本函数簇进行相加获得的。 周期信号频谱的三个特点：

1） 离散性；即周期信号的频谱是离散的。 2） 谐波性；即每条谱线只出现在基频的整数倍上。

3） 收敛性；即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。

各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。

2 周期函数的奇偶特性

利用函数的奇偶性，可使周期函数(信号)的傅里叶三角函数展开式有较大的简化。 (1) 如果周期函数()x t 是奇函数，即()()=--x t x t ，这样傅里叶系数的常值分量00=a ，余弦分量幅值0=n a ，傅里叶级数

01()sin ω∞

==∑n n x t b n t

。

(2) 如果周期函数()x t 是偶函数，即()()=-x t x t ，这样傅里叶系数的正弦分量幅值0=n b ，则傅里叶级数

001()cos ω∞

==+∑n n x t a a n t

。

3 傅里叶级数的复指数函数展开

为了便于数学运算，往往将傅里叶级数写成复指数函数形式。根据欧拉公式

j e cos jsin (j t t t ωωω±=±

(2-17)

则

j j 1

cos (e e )

2t t t ωωω-=+ (2-18a) j j 1sin j(e e )2t t t ωωω-=

-

(2-18b)

则

00

j j 011

()e

e n t

n t

n n n n x t C C C ωω∞

∞

--===++∑∑