2015年广东省湛江市高考数学一模试卷(理科)

2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知（1+bi）2=2i（b∈R，i是虚数单位），则b=（）A.2B.1C.±1D.1或2【答案】B【解析】解：∵2i=1-b2+2bi，∴1-b2=0，2=2b，∴b=1．故选：B．利用复数运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数运算法则、复数相等，属于基础题．2.已知向量=（x，2），=（1，1），若（+）⊥，则x=（）A.2B.4C.-4D.-2【答案】C【解析】解：由向量=（x，2），=（1，1），则•=x+2，=（）2=2，若（+）⊥，则（+）•=0，即有+=0，即x+2+2=0，即有x=-4．故选C．运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x．本题考查向量的数量积的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．3.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q=（）A.或B.C.或D.【答案】D【解析】解：因为a2、a3、a1成等差数列，所以2×a3=a1+a2，则a3=a1+a2，因为等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，所以，化简得q2-q-1=0，解得q=或q=（舍去），故选：D．由题意和等差中项的性质列出方程，再由等比数列的通项公式化简，再结合题意求出q 的值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，属于基础题．4.设p：x∈{x|y=lg（x-1）}，q：x∈{x|2-x＜1}，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵p：x∈{x|y=lg（x-1）}，∴p：x＞1，∵q：x∈{x|2-x＜1}，∴x＞0，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．分别求出关于p，q的x的范围，从而得到p，q的关系．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数，指数函数的性质，是一道基础题．5.抛物线8y-x2=0的焦点F到直线l：x-y-1=0的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由抛物线8y-x2=0焦点F（0，2），∴点F（0，2）到直线l：x-y-1=0的距离d==．故选：D．由抛物线8y-x2=0焦点F（0，2），再利用点到直线的距离公式可得结论．熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．6.若f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+e x的一个零点，则-x0一定是下列哪个函数的零点（）A.y=f（-x）e x-1B.y=f（-x）e-x+1C.y=e x f（x）-1D.y=e x f（x）+1【答案】C【解析】解：f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）且x0是y=f（x）+e x的一个零点，∴f（x0）+=0，∴f（x0）=-，把-x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）-1=--1=-1-1=-2，故A错误；B、y=f（x0）+1=-（）2+1≠0，故B错误；C、y=e-x0f（-x0）-1=-e-x0f（x0）-1=e-x0-1=1-1=0，故C正确；D、y=f（-x0）+1=1+1=2，故D错误；故选C；根据f（x）是奇函数可得f（-x）=-f（x），因为x0是y=f（x）+e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断；此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证；7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.πB.2πC.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆锥与一半球的组合体；且半圆锥的底面圆半径为1，高为2；半球的半径也为1；∴该组合体的体积为V=V半圆锥+V半球=•π12•2+••13=π+π=π．故选：A．根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆锥与一半球的组合体，结合图中数据求出组合体的体积即可．本题考查了通过空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8.由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i=1，2，3，…，n，…），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于∀n∈N*，第n行共有2n-1个向量，若第n行第k个向量为，则=，＜，＜，例如=（1，1），=（1，2），=（2，2），=（2，1），…，依此类推，则=（）A.（44，11）B.（44，10）C.（45，11）D.（45，10）【答案】C【解析】解：由题意得，第n行共有2n-1个向量，则前n行共有1+3+5+…+（2n-1）==n2个向量，因为442＜2015＜452，且442=1936，所以应在第45行第79个向量，因为第n行第k个向量为，则=，＜，＜，所以=（45，11），故选：C．由题意和等差数列的前n项和公式求出前n行向量的个数表达式，再判断出所在的位置，再由给出的关系式求出的坐标．本题是一个新定义题型，考查归纳推理，等差数列的前n项和公式，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.2lg5-lg= ______ ．【答案】2【解析】解：原式==lg100=2．故答案为：2．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，属于基础题．10.不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集是______ ．【答案】[-2，1]【解析】解：由于|x+2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，它的最小值为3，故不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集是[-2，1]，故答案为：[-2，1]．根据绝对值得意义求得不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______ ．【答案】4【解析】解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．12.展开（a+b+c）6，合并同类项后，含ab2c3项的系数是______ ．【答案】60【解析】解：把（a+b+c）6的展开式看成是6个因式（a+b+c）的乘积形式，展开式中，含ab2c3项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从6个因式中任选1个因式，这个因式取a，有种取法；第二步，从剩余的5个因式中任选2个因式，都取b，有种取法；第三步，把剩余的3个因式中都取c，有种取法；根据分步相乘原理，得；含ab2c3项的系数是••=6×10×1=60．故答案为：60．把（a+b+c）6的展开式看成是6个因式（a+b+c）的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含ab2c3项的系数即可．不同考查了二项式系数的应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目．13.已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z=ax+by最大值为6，则ab的最大值是______ ．【答案】【解析】解：由约束条件作差可行域如图，则直线的斜率k=-＜，截距最大时，z也最大．平移直y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z=2a+4b=6，即a+2b=3，∴3=a+2b，即，ab，当且仅当a=2b，即，时上式“=”成立．∴ab的最大值为．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．14.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为______ ．【答案】【解析】解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2-y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．15.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD．AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= ______ ．【答案】30°【解析】解：由割线长定理得：PA•PB=PC•PD，即4×PB=5×（5+3），∴PB=10，∴AB=6，∴R=3，所以△OCD为正三角形，∠CBD=∠COD=30°．故答案为：30°．由于题目中并没有给出与角相关的已知条件，故解题的关键是构造三角形，解三角形求角的大小，故根据已知条件，结合割线定理，求出圆的半径是本题的切入点．当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.设函数f（x）=sin（2x+）-4cos（π-x）sin（x-）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．【答案】解：（1）函数f（x）=sin（2x+）-4cos（π-x）sin（x-）．则：f（0）==1-2=-1（2）f（x）=cos2x+4cosx（）==由于-1≤sin2x≤1所以：函数f（x）的值域为：[，]．【解析】（1）直接根据已知条件利用特殊角的三角函数的值求出结果．（2）首先对关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的定义域求出三角函数的值域．本题考查的知识要点：特殊角的三角函数的值．三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题型．17.广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差ξcm（ξ≥0），求ξ的分布列和数学期望（均值）．【答案】解：（1）根据茎叶图知“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样方法，每个人被抽中的概率是，∴抽取的5人中，“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×=3人，∴至少有一人是“高个子”的概率是P==．（2）由茎叶图知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），身高分别为181cm，182cm，184cm，有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），身高分别为180cm，181cm，从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，基本事件总数n==6，即（181，180），（181，181），（182，180），（182，181），（184，180），（184，181），∴ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，∴ξ的分布列为：Eξ==．【解析】（1）根据茎叶图知“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样方法得到抽取的5人中，“高个子”有2人，“非高个子”有3人，由此能求出至少有一人是“高个子”的概率．（2）由茎叶图知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，基本事件总数n==6，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望（均值）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意分层抽样和茎叶图性质的合理运用．18.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC均是边长为的等边三角形，AB=2，O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．（1）若N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，证明：点N在线段M T上；（2）求二面角P-BC-A的余弦值．（参考定理：若平面α∥平面β，a∈平面α，A∈直线l，且l∥平面β，则直线l⊂平面α．）【答案】（1）证明：连接OM，OT，∵O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．∴OM∥PB，OT∥BC，又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴OM∥平面PBC，同理可得OT∥平面PBC，又OM∩OT=O，∴平面OMT∥平面PBC．∵N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，∴点N在线段MT上．（2）解：连接OP，OC．∵PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，同理可证：OC⊥AB，∵OB=1，∴OP=OC==1，∴OP2+OC2=1+1=2=PC2，∴OP⊥OC，如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），=（-1，-1，0），=（0，-1，1），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，令y=-1，解得x=1，z=-1，∴=（1，-1，-1），取平面ABC的法向量=（0，0，1），则＜，＞===-．由图可知：二面角P-BC-A为锐角．∴二面角P-BC-A的余弦值为．【解析】（1）连接OM，OT，O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．利用三角形的中位线定理可得：OM∥PB，OT∥BC，利用线面平行的判定定理可得OM∥平面PBC，OT∥平面PBC，可得平面OMT∥平面PBC．由于N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，即可证明点N在线段MT上．（2）：连接OP，OC．由PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，同理可证：OC⊥AB，利用OP2+OC2=1+1=2=PC2，可得OP⊥OC，如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ABC的法向量=（0，0，1），＜，＞=即可得出．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、向量垂直与数量积的关系，考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角得出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），且a1=2，a2=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n（λ为非零整数，n∈N*），求λ的值，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【答案】解：（1）∵S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），∴S n+1-S n-（S n-S n-1）=1，∴a n+1-a n=1，且a2-a1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2+（n-1）×1=n+1．（2）b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n=4n+（-1）n-1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立，只须b n+1-b n=4n+1-4n+（-1）n•λ•2n+2-（-1）n-1•λ•2n+1＞0恒成立．化为（-1）n-1λ＜2n-1．（i）当n为奇数时，λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值1，∴λ＜1．（ii）当n为偶数时，λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值1，∴λ＞-2．综上可得：-2＜λ＜1，又λ为非0整数，则λ=-1．因此存在非0整数λ=-1，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【解析】（1）由S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），变形为S n+1-S n-（S n-S n-1）=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n=4n+（-1）n-1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n 恒成立，只须b n+1-b n＞0恒成立．化为（-1）n-1λ＜2n-1．对n分为奇数偶数讨论即可得出．本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（-，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．【答案】解：（1）由题意设椭圆方程为＞＞①焦点F（c，0），因为②，将点B（c，）代入方程①得③由②③结合a2=b2+c2得：，．故所求椭圆方程为．（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2-2=0．∵l为切线，∴△=（2tλ）2-4（t2+2）（λ2-2）=0，即t2-λ2+2=0①设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，，，，∵MN为圆的直径，∴②因为，，所以，代入②及①得=，要使上式为零，当且仅当，解得x0=±1，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（-1，0）与（1，0），即两个焦点．【解析】（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可．本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度．21.设函数f（x）=，g（x）=ln（x+1）．（1）求函数H1（x）=f（x）-g（x）的最大值；（2）记H2（x）=g（x）-bx，是否存在实数b，使H2（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：-1＜-lnn≤（n=1，2，…）．【答案】解：（1）函数H（x）的定义域为（-1，+∞），又，令H1 （x）=0得x=0．当x∈（-1，0）时，H1 （x）＞0，H1（x）递增；当x∈（0，+∞）时，H1 （x）＜0，H1（x）递减．所以函数H1（x）的最大值为H1（0）=0．（2）由已知得：，①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，H2 （x）≤0，所以H2（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上为减函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＜H2（0）=0在[0，+∞）恒成立．②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，＞，所以H2（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上为增函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＞H（0）=0，不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．③若0＜b＜1，则由H2（x）=0得x=，当x∈[，）时，H2 （x）＞0，所以H2（x）在[0，）上为增函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＞H2（0）=0，所以不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．综上所述，b的取值范围是[1，+∞）．（3）由以上得：＜＜＞．取x=得：＜＜．令，则，当n≥2时，＜=-＜．因此＜＜，即．又lnn=，故xn=-ln（1+）=＞＞=-1+＞．综上所述，不等式-1＜-lnn≤（n=1，2，…）成立．【解析】（1）利用导数先研究函数的单调性，然后根据单调性求出函数的最值；（2）先对函数H2（x）求导数，然后研究该函数在（0，+∞）上的单调性，求其最大值，用b表示，该最大值满足小于零即可，解不等式组获得b的范围；（3）结合（2）的结论可先构造函数，然后利用函数的单调性构造不等式，使问题获得证明．注意在化简求和时的方法．本题考查了利用函数的单调性研究函数的最值问题，以及不等式恒成立问题的解题思路，同时第三问还涉及到放缩法的应用．。