反证法、同一法
第14讲.反证法与同一法.目标预备班.教师版
反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a=+≠上一点，试证y ax b=+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．夯实基础知识导航板块一反证法14反证法与同一法【解析】将x =，0y =代入y ax b =+，得b =，于是(y a x =，设()0y ax b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且((1122y a x y a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去a，变形得122121x y x y y y --因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等． 【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d -+-=-+-，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --+------， 因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合． ⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【解析】 因为0a ≠，则bx a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则10ax b += ① 20ax b += ② ①-②得 ()120a x x -=由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部． 【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上． ⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．P CB AAB CPDAB CP⑶若P与A重合，显然PB PC AB AC+=+，与已知矛盾，故点P不可能是A点．⑷若点P在ABC△内（如上页右图），延长BP交AC于D，则AB AD BP PD+>+①PD DC PC+>②①+②得AB AD PD DC BP PD PC+++>++即AB AC PB PC+>+，与已知矛盾，所以点P不在ABC△内．由以上⑴～⑷知，点P必在ABC△外．习题2.如右图，在凸四边形ABCD中，若AB BD AC CD++≤，求证：AB AC<．DCBA【解析】设AB AC≥，则ACB ABC∠∠≥，因为ABCD是凸四边形，所以BCD ACB∠>∠，ABC DBC∠>∠，则B C D D B C∠>∠，于是BD CD>，故A B B D A C C D+>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC<得证．习题3.在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，c a⊥，d b⊥，则c与d也相交．【解析】假设c d∥，因为a c⊥，所以a d⊥，又因为b d⊥，所以a、b平行，这与已知条件a 与b相交矛盾，故c与d也相交．【例3】在四边形ABCD中，OA OC=，ABC ADC∠=∠，求证：ABCD是平行四边形．【解析】若OB OD=，则显然ABCD是平行四边形．若OB OD≠，不妨设OB OD>，则在OB上取点'B，使得'OB OD=，连结''AB B C、，则四边形'AB CD是平行四边形，则'ADC AB C ABC∠=∠>∠，矛盾！探索提升故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ； 则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =． 同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =， 则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC ACGB +=+，则AB AC =．BB【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+， 可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．非常挑战FEDCB A【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……① 另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD = ∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC = ∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……② 综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形； (2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 重合．所以40C ∠=︒．习题 5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．知识导航探索提升【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：()12EF BC AD =-．【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与A B A C 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．非常挑战【解析】1180902BIC MIB NIC BAC∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I是ABC△的内心．。
用反证法证明平行于同一直线的两直线平行
用反证法证明平行于同一直线的两直线平行
反证法是证明一个假设是否成立的一种有效方法，其基本原理是让被证明已知成立的
条件受到假设的约束，如果最终出现矛盾，则说明假设是不成立的。
应用反证法来证明平
行于同一直线的两直线是平行的具体如下：
首先，假设平行于同一个直线的两直线不是平行的。
由于这两条直线在同一条直线上，那么它们一定会在某点处相交。
考虑到它们不是平行的，所以它们一定会在一点处相交，
设该点为A。
接下来，根据三角几何定理，设AB为两条直线AB之间的交点，记AB为距AB点最近
的两条直线之间的距离，由于它们不是平行的，所以AB=0。
因此，当AB=0时，交点A可以和同一直线上的任意一点连线，都不会和同一直线上
的另一条直线交错，而将会与另一条直线相切。
这跟它们平行的一般结论不符，即两条直
线应该平行且不相交，而现在一条直线被另一条直线所切，从而导致了矛盾。
综上，我们假设两条直线不是平行的，但却得出结论“它们平行且不相交”，说明原
假设是错误的，即两条直线一定是平行的。
第九次作业
1．什么是形式逻辑推理的基本规律？形式逻辑推理的基本规律有同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。
同一律：在同一论证过程中，使用的概念和判断必须保持同一性，亦即确定性。
矛盾律: 在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断不能同真，其中至少有一个是假的。
排中律：在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断和否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的。
充足理由律：对于任何判断都必须有充分的根据才被认为是对的。
2．什么是归纳推理？在中学数学教学中如何运用？归纳推理是从个别的或特殊的事物所做的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推理。
这种推理可简称为由特殊到一般的推理或者称为归纳法。
根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法：如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，则这种归纳推理叫做完全归纳法。
用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要遗漏，亦即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。
不完全归纳法：如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做不完全归纳法。
在中学数学教学中，从具体数的运算概括出运算律、指数运算性质等的推理都是不完全归纳法。
要注意，根据不完全归纳法推出的结论可能是真实的，也可能是错误的。
利用不完全归纳法得出的判断，只能作为一种假设或猜想，其正确与否，尚需实践检验或证明。
4. 试举例说明分析法和综合法。
例如：θθθθππθsin 1cos cos sin 1,2-=+≠－求证已知k 。
（1） 综合法：证明：θθθθθ222cos )sin 1)(sin 1(1cos sin =+-∴=+θθθθθθππθsin 1cos cos sin 10sin 1,0cos 2-=∴≠-≠∴+≠－又k（2） 分析法：证明： 0sin 1,0cos 2≠-≠∴+≠θθππθkθθθθθθθθθθθθθsin 1cos cos sin 11cos sin cos )sin 1)(sin 1(sin 1cos cos sin 1222-==+=+--=∴－由此倒推，即可证明，显然成立。
反证法与同一法
反证法与同一法
反证法的思想是利用原命题与逆否命题的等价性．而同一法的思想是利用原命题与逆命题的等价性．这就涉及到什么时候原命题与逆命题等价了．先看下面的例子．
例１（1）猫是四足动物；
（2）石家庄是河北省的省会．
这是两个简单的命题．仔细研究命题里的“是”字，我们发现，“是”字有两种解释：一种是“属于”；一种是“全同”．
“猫是四足动物”就是“猫属于四足动物”，即猫是四足动物中的一种．在这种情况下，逆命题不会因原命题成立而成立．因为猫不过是四足动物中的一种，四足动物中还有许多别的动物，例如牛、马等，所以不能说四足动物一定是猫．但是，“石家庄是河北省的省会”的意思是，虽然河北省有许多城市，而惟有石家庄是河北省的省会，它是独一无二的．石家庄与河北省的省会是全同的东西，所以逆命题“河北省的省会是石家庄”也成立．。
浅谈数学破题思路与解题方法
浅谈数学破题思路与解题方法一、综合法与分析法综合法与分析法是数学证明题中经常用到的两种方法.由已知条件入手，根据已知的定义、定理、公理、公式逐步推导出需要求证的结论来，这种思维方法叫综合法.综合法是由原因导出结果即“由因导果”的思维方法.这个题的证明方法，用的就是综合法，从已知条件入手，结合相关定理得出最后的结论.例2.已知a是不小于4的数，求证：.故只须不等式成立，即>2+成立，只须：（）2>（2+）2，即2a-7>2成立，只须（2a-7）2>（2）2即1>0即可，而1>0，显然成立，注意到以上各步骤均可逆（每一步都是前一步的充分条件），因此原不等式成立.这个题的证明方法就是分析法.在假定结论成立的条件下，逐步推导出1>0这样一个真命题，而且以上推导过程可逆.正是因为过程可逆，才保证了在1>0及a是不小于4的数的条件下可以推证出不等式成立的结果.如果我们在用分析法推导的过程中，过程不可逆那么，分析法是失效的.比如，由a>b，c>d可以推得a+c>b+d，反之则不然，这个过程就不是可逆的。
二、反证法与同一法：反证法是一种间接证明命题的方法，它是通过证明反命题为假（即先否定结论，通过结论的否定，推出与已知条件或定理、公理、公式相矛盾的结果），从而间接证明了原命题的正确性.例3. 如图1所示，已知平面、交于直线a，直线b在内与直线a相交于A点，直线c在内与直线a平行. 求证：b、c为异面直线.证明：假设b、c不是异面直线，则或者b∥c，或者b、c 相交于一点.如果b∥c，则因为a∥c，所以b∥a，这与已知条件“直线b在内与直线a相交于A点”相矛盾；如果bIc=P（b、c 相交于一点），则因为c ，b ，所以P∈ ，且P∈ ，从而P∈a= I ，故直线a、c相交于P点，这又与已知条件“直线c在内与直线a 平行” 相矛盾.以上矛盾说明b、c必为异面直线.这个题的证明方法就是反证法.反证法的关键是通过否定结论，推出矛盾，从而达到间接证明命题为真的效果的。
(完整版)浅谈三角形中位线定理的几种证法
浅谈三角形中位线定理的几种证法康园中学校 张瑜摘要：华师大数学九年级上册第23章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。
共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。
关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。
求证：DE ‖BC ，DE=21BC 。
一、类型一：动手操作法方法1：度量法华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严格地利用定理进行证明）。
因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。
首先用直尺分别量出DE 、BC 的长，看是否满足DE=21BC ，再用量角器分别量出∠ADE 和∠B 的度数，看是否相等，从而判断是否平行。
二、类型一：相似法方法2：相似法一根据AD=21AB ，AE=21AC ，∠DAE=∠BAC ，从而得到△ADE ∽△ABC 。
于是∠ADE=∠ABC ，DE:BC=AD:AB=1:2。
轻松得到DE ‖BC ，DE=21BC 。
方法3：相似法二过点D 作DF ⊥AC 于F ，过点B 作BG ⊥AC 于G ，则DF//BG ，于是△ADF ∽△ABG ，得到DF=21BG ，AF=FG 。
因为AE=EC ，所以FE=21GC 。
根据DF:BG=FE:GC ，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE ∽△BGC ，从而命题得证。
ABCD E A BC D E FG ADEB C F A DEB CFAD E BC G FADE BC 方法2方法3方法4 方法5方法6三、类型三：倍长法方法4：中位线倍长法一：这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。
简述如何用同一法做几何证明题
D 简述如何用同一法做几何证明题陈平在整个中学数学学习过程中，几何证明题是无法逾越的一个重点和难点，而几何证明题的重点突破口又是题目的分析方法，所以掌握一定的几何证明题的分析方法显得尤为重要。
中学几何题证明方法一般分为直接证明和间接证明两种，有些题目，如果直接去证明，不但关系复杂，而且思路繁琐，在应试的过程中很难在较短的时间内解决问题，但当你换一种思路，用间接的方法去考虑，往往能够达到意想不到的效果。
间接的证明方法一般又分为两种，一种是反证法，另一种称为同一法（又称统一法），两种方法各不相同，反证法在教科书中有较为完整的学习体系，但同一法却没有给出明确概念和用法，但教科书中的例题却时不时地用到同一法，现就同一法的用法做简单概括说明。
要想用好同一法，就必须先对同一法有较为明确的概念区分，虽然学界对同一法一直存在争议，但王学贤老师就曾用集合的观点很好的解释过同一法的实质，大致内容是：每一个数学命题都是由条件和结论两部分构成的，一般的命题可以描述为如果（若）某些对象具有某种性质a ，那么（则）它们就具有某种性质b ，在这里，条件是“某些对象具有性质a ”，结论是“它们具有性质b ”，如果我们把具有性质a 的对象的集合记作A ，把具有性质b 的对象的集合记作B ，把“某些对象中任一对象记作x ，则x ∈A 。
若原命题是真命题，则x ∈B 。
因此，命题用集合描述为就是：A 是B 的子集，即A ⊆ B 。
同样，其逆命题就是A B ⊆ 。
显然A 不一定等于B ，即原命题成立，逆命题不一定成立，但当集合A 仅含有一个元素m,集合B 也仅含有一个元素n 时，A ＝B ，此时，原命题成立，其逆命题也必然成立。
因此，我们得到下述基本原理：如果一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，则原命题、逆命题等价，这个基本原理叫做同一原理，例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”就符合同一原理。
当一个命题符合同一原理，且直接证明比较困难时，可转而证明它的逆命题，这种证明方法就是同一法，具体的做法是：当我们欲让某个图形A 具有某种性质B 时，先构造一个具有性质B 的图形A ′，然后证明图形A ′就是图形A ，实质上是证明逆命题来间接证明原命题的正确。
例举线段相等的证明方法
例举线段相等的证明方法作者：黄文军来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决例如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形分析与解（）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AE⊥BC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF（2）如图4，连结AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得△AEB≌△AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形点评此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF分析与解（）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出△ABC≌△CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出△AFD≌△CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出△ABE≌△CDF；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以△AFD≌△CEB （AAS），所以BE=DF点评本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明△ABE≌△CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b（）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由分析与解（）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b（2）因为EF⊥AB，所以EG∥BC，所以EG∶BC=DE∶DC，即EG∶b=a∶（a+b），所以EG=点评一道大题目下，如果有几个小问题，而且这几个小问题都没有增添附加条件，那么前面小问题的结论，就可以作为解决后续小问题的条件本题充分运用平行线成比例线段，设而不求，分别用字母a、b表示所证线段EG、FG，通过计算、比较获得结论在具体写比例式时，用直线BD上的三条线段DG、BG、BD作为桥梁进行过渡，也是成功解决线段相等问题的关键。
几何证明的几种方法
⼏何证明的⼏种⽅法平⾯⼏何难学,是很多初中⽣在学习中的共识,这⾥⾯包含了很多主观和客观因素,⽽学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的⼀个重要原因。
波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的⽅向去攻击堡垒。
为了辨别哪⼀条思路正确,哪⼀个⽅⼀、直接式思路证题时,⾸先应仔细审查题意,细⼼观察题⽬,分清条件和结论,并尽量挖掘题⽬中隐含的⼀些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进⾏⼀系列正⾯的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。
由于思维⽅式的逆顺,在证题时 1.分析法。
分析法是从命题的结论⼊⼿,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样⼀步⼀步逆⽽推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。
在由结论向已知条件的寻求追溯过程中,则由于题设条件的不同,或已知条件之间关系的隐含(1)选择型分析法。
选择型分析法解题,⾸先要从题⽬要求解的结论A出发,逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。
假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成⽴的充分条件,然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某(2)可逆型分析法。
如果再从结论向已知条件追溯的过程中,每⼀步都是推求的充分必要条件,那么这种分析法⼜叫可逆型分析法,因⽽,可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。
⽤可逆型分析法证明的命题⽤选择型分析法⼀定能证明,反之⽤选择型分析法证明的命题,(3)构造型分析法。
如果在从结论向已知条件追溯的过程中,在寻找新的充分条件的转化“三岔⼝”处,需采取相应的构造型措施:如构造⼀些条件,作某些辅助图等,进⾏探讨、推导,才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。
(4)设想型分析法。
在向已知条件追溯的过程中,借助于有根据的设想、假定,形成“⾔之成理”的新构思,再进⾏“持之有据”的验证,逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。
反证法
反证法从前,有个名叫王戎的小孩和小朋友在路边玩,他们发现一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”这是很著名的“道旁苦李”的故事.如果用数学的眼光品味这个故事,我们应当可以领悟到其中所蕴含的反证法的思想.对于一个待证的命题“若p则q”,由该命题的条件出发,以定义、公理、定理等等为依据,通过一系列的计算和推理,最后得到结论,这样的证明方法称为直接证法.而由“p且非q”为出发点,由此进行推理并获得一个矛盾的结论,从而得到“p 且非q”为假,亦即“若p则q”为真,这样来证明命题“若p 则q”为真的证明方法,叫做反证法.与直接证法相对应,反证法是一种间接证明方法.反证法的理论依据是逻辑学中的两个基本规律——矛盾律和排中律.所谓“矛盾律”,是指在同一论证过程中,两个互相反对或互相否定的论断,其中至少有一个是假的;而所谓“排中律”则是说,任何一个判断或者为真或者为假,二者必居其一.也就是说结论“q真”与“非q真”中有且只有一个是正确的.因此,在运用反证法时,假设命题的结论不正确,在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾,由矛盾律知道该相反判断的错误性,再由排中律进而知道判断本身的正确性.反证法通常由三个基本步骤构成:首先假设要求证的结论的反面成立,即先根据原命题需要推证的结论作出一个“反设”;接着由已知条件及假设出发,推出一个矛盾的结果;最后肯定原来需要求证的结论正确.牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”.反证法不是一种只适于于某些特定数学知识范畴的数学方法,它能够在许多数学问题的研究过程中发挥作用.特别地,当数学命题的结论以“否定形式”(如“不是”、“不可能”、“不存在”)、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”等形式出现时,用反证法处理这些问题通常应当是值得考虑的.还有,对于某个数学知识领域中的一些“起始性”命题,如“2是无理数”,再如平面几何、立体几何等知识,它们是按照公理化方法建立起来科学体系,最初只提出了很少量的定义、公理,因此,起始阶段的一些性质和定理很难直接推证,由于反证法中的“反设”实质上是给要证明的问题增加了一个已知条件,因此,许多用直接证法较难处理的“起始性”命题都可以考虑尝试用反证法处理.在运用反证法时,给出正确的“反设”,即对所要求证的结论作出正确的“否定结论”,这是正确运用反证法的前提.下面是一些常用的逻辑连接词的否定形式,应当充分重视.运用反证法获得有效结论的关键是在于通过正确推理得到一个矛盾,这种矛盾可能与是已知条件产生的,也可能是与自己给出的“反设”相矛盾,或者是与已知的概念、公理、定理等基本事实相矛盾,对于比较复杂的问题,这种矛盾有时是难以事先估计的,它是反证法运用的难点所在,但也是它的魅力所在.例1． 求证:3是无理数. 证明：假设3为有理数,则存在正整数m,n,使得3=m n,其中m 与n 互质, 于是,3n 2=m 2,由3是质数得3|m,即m=3k(k 是正整数),得到n 2=3k 2,同理,3|n,即3是m 与n 的大于1的公约数,与m,n 互质矛盾.所以,3为无理数.例2 .已知a,b,c ∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c 都是正数.证明:设a,b,c 不都是正数,则在a,b,c 这三个数中至少存在一个数是非正数. 不妨有a ≤0.若a=0,则abc=0,与已知abc>0矛盾.若a<0,则由abc>0得bc<0,并由已知可得b+c>-a>0,于是,ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,矛盾.所以,a>0.同理可知a,b,c 都是正数.例3. 设有长度分别为a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的五条线段,其中任何三条都可以构成一个三角形,证明:其中必有锐角三角形.证明:不妨设a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5,并设其中任何三条线段构成的三角形都不是锐角三角形,则23a ≥22a +21a ,24a ≥23a +22a ,25a ≥24a +23a ,则有25a ≥(23a +22a )+(22a +21a )≥21a +222a +(22a +21a )>2(22a +21a )≥22a +21a +2a 1a 2=(a 1+a 2)2,可得a 5>a 1+a 2,于是,长度为a 1,a 2,a 5的三条线段不能构成三角形,矛盾.所以,在由a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中的任意三条线段构成的三角形中一定有锐角三角形.例4.设a,b ∈R +,且a ≠b,求证:a 1b 2+,b 1a 2+中至少有一个的值大于2. 解析:若a 1b 2+和b 1a 2+的值都不大于2,即a 1b 2+≤2,b1a 2+≤2,又已知a,b 都是正实数,则b 2+1≤2a,a 2+1≤2b,于是b 2+1+a 2+1≤2a+2b,即(a-1)2+(b-1)2≤0,只能a=b=1,与已知a ≠b 矛盾,所以, a 1b 2+,b1a 2+中至少有一个的值大于2.例5.已知方程组a x a x a x a x a x a x a x a x a x 111122133211222233311322333000++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪中各系数满足下列条件:(1)a 11,a 22,a 33都是正数;(2)其余各系数都是负数;(3)每个方程中的系数之和都是正数;求证:x 1=x 2=x 3=0是此方程组的唯一一组解.证明：设该方程组除了x 1=x 2=x 3=0这一组解以外还有其他解,设(x 1,x 2,x 3)是该方程组的一个解,若其中有且仅有两个值为零,如x 1≠0,而x 2=x 3=0,则a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3≠0,矛盾;若(x 1,x 2,x 3)其中有且仅有一个值为零,不妨x 1=0,x 2≠0,x 3≠0,则a 12x 2+a 13x 3=0,a 22x 2+a 23x 3=0,则a 12a 2222x =a 13a 2323x ,由已知可得a 12a 2222x <0,a 13a 2323x >0,矛盾;若(x 1,x 2,x 3)有x 1x 2x 3≠0,如果x 1,x 2,x 3中有两个负数,一个正数,不妨x 1>0,x 2<0,x 3<0,则a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3>0,矛盾;如果x 1,x 2,x 3中有两个正数,一个负数,不妨x 1<0,x 2>0,x 3>0,则a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3<0,矛盾;如果x 1,x 2,x 3都是正数,则其中一定有一个数不小于另两个数,不妨x 1≥x 2,x 1≥x 3,则21x x ≤1,31x x ≤1,由已知可得a 11+a 1221x x +a 1331x x ≥a 11+a 12+a 13>0,则a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3>0,矛盾;同理可证x 1,x 2,x 3都是负数亦将导致矛盾.所以,x 1=x 2=x 3=0是该方程组的唯一一组解.例6. 能否将1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,…,两个1986之间夹着1986个数,请证明你的结论. 解:满足要求的数列是不存在的.假设能够将上述3992个数排成满足要求的一个数列,对于数i(i=1,2,3,…,1986),我们定义一个有序数组(x i ,y i ),其中x i <y i ,它表示在此数列中,第x i 个数和第y i 个数都是i,那么,y i =x i +i+1,但x 1,y 1,x 2,y 2,…,x 1986,y 1986是1,2,3,…,3992的一个排列, (x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x 1986+y 1986)=1+2+3+…+3992=(1+3992)⨯3992是偶数,另一方面,(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x 1986+y 1986)=(2x 1+1+1)+(2x 2+2+1) +(2x 3+3+1)+…+(2x 1986+1986+1)=2(x 1+x 2+…+x 1986)+(1+2+…+1986)+1986=2(x 1+x 2+…+x 1986)+(1+1986)⨯993+1986是奇数,两者矛盾,所以,满足要求的数列是不存在的.。
浅谈数学命题转换的原则和方法
浅谈数学命题转换的原则和方法作者：王旭来源：《读写算》2012年第54期【摘要】接触数学的人都知道，数学是一门思维严密、技巧性强的学科，解答数学命题，命题转换是关键。
长期的教学实践，归纳总结出了较好的命题转换原则和方法，反过来又指导运用于数学教学活动。
结果是受教学生受益匪浅，解题得心应手。
【关键词】数学命题数学解题命题转化指导原则学数学的人都知道，数学解题的本质就是通过命题转换，设法消除条件与结论的差异，化条件为结论或者设法由已知条件求出未知结论。
这就是数学的解题过程，而在命题的转换过程中，每一个命题都有若干的转换方向与途径，它们有难易之分、繁简之别，因此，选取并确定最佳的转换方向与途径就成了数学解题的关键。
一、命题转换的指导原则1 化归原则：设法将新问题转换成已经解决的问题，这就是化归原则，它对解题有重要的指导意义。
2 简单原则；设法将复杂的问题化为简单的问题去处理，这就是简单原则。
3 直观原则：数与形是同一个数学问题的两个侧面。
它们从不同的方面反映着数学的本质。
问题的本质属性，促使命题转换的顺利实现，这就是直观原则。
它在审题、探索、充分利用形的直观性来揭示数学表述与检验等方面均有重要作用。
4 逆反原则：在数学中的差异就是矛盾，命题转换就是矛盾运动，设法让矛盾着的双方各向其对立面转化，这就是逆反原则。
变换中和差化积与积化和差也体现了逆反原则。
对立统一原则是其运动的规律。
根据这个规律，命题转换应如解题中化未知为已知，化已知为未知，就遵循了这条原则。
5，化同原则：化同就是化异为同，一般是在条件与结论之间进行。
与结论之间需要化同，条件内部也需要化同，遵循的最重要原则。
二、命题转换的最佳方法命题转换的先决条件是联想。
所谓联想，是指在解题原则的指导下，对所论数学问题进行由表及里，由此及彼的广泛思索。
不会联想，不会联系地看问题，就难以找到命题转换的途径。
联想有因果联想、数形联想、类比联想、复杂与简单联想、特殊与一般联想、直接与间接联想等。
4.反证法
4.反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A ”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
反证法和同一法
反证法和同一法在线面关系的有关证明中，有两种方法值得加以注意，它们是：（1）反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题．即“否定的结论否定的题设”．基本思想是：结果与某公理、某定理，题设或临时假设所不相容或自相矛盾。
这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推理有问题，就只能归咎于否定结论的假定，因此既然否定结论不成立，那结论就一定成立了．这种证明方法叫做反证法．它在证明许多基本命题时特别有用，用反证法证明的一般过程是：反证法由于否定结论的情况不同，又可分为归谬法与穷举法．课本中不少定理的证明，如直线与平面平行的判定定理的证明就是归谬法，穷举法也是常用的，例如要证明：“在△中，如果，那么．”因为和的关系有而且只有三种可能情形：即，和．根据已知定理，当时，有；当时，有，都同题设矛盾．所以只有成立．（2）同一法一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是惟一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，就个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般过程是：a．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；b．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；c．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是惟一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是同一个东西，由此断定原命题成立．例求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．已知：，，，．求证：．证明：在平面内作．则，而．∴与重合．∵，∴．反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则．由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明．如上例中可假设，在平面内作．……得，又，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得．。
数学证明方法
数学证明方法1 直接证明法从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法．凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法．综合法、分析法、分析综合法、比较法。
（1）综合法：从已知条件入手，运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止．这种思维方法叫综合法．这种方法是“由因导果”，即从已知到可知，从可知到未知的思维过程．（2）分析法：从问题的结论入手，运用已经学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止．可见分析法是“执果求因”的思维过程，它与综合法的思维过程相反．分析法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。
分析法的步骤为未知→需知→已知。
在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。
分析法的书写形式一般为“因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以‘......（结论）’成立”。
（3）分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现问题的突破口．这种思维方法叫做分析综合法．对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法．在证明的过程中，往往分析法、综合法常常是不能分离的。
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。
分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。
（4）比较法2 间接证明法不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题的不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证明法．反证法、同一法、归纳法（不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法）、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法（1）反证法：反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
同一法
同一法（一）同一法及其应用同一法是以同一法则为依据的一种间接证明方法．同一法则指的是：两个互逆命题，若其中一个成立，则另一个也成立．也就是说，这两个互逆命题等价．欲证一个命题“某个图形具有某种特性”，若这个命题满足同一法则，则可先作一个具有这种特性的图形，然后证明所作图形与待证图形重合，从而证得原命题，这种证明方法叫做同一法．在用同一法证题过程中，我们实际上证明了原命题的逆命题——“具有某种特性的图形是某个图形”．在立体几何中，下列题型可考虑用同一法去证：（1）唯一性命题；（2）线在面内问题；（3）逆命题（原命题成立）；（4）“具有某种特性的图形独一无二”这类命题．【证明】如图1-13．过点A和直线b作一个平面β，设β∩α=c′．【解说】本证法利用平行公理得出，所作图形（直线）c′与已知图形（直线）c是同一图形（直线）．例2 已知：β⊥α，γ⊥α，β∩γ=l．求证：l⊥α．【分析】如图1-14．α、β、γ一旦确定，直线l和三个平面的公共点A 都唯一确定，过A而垂直于α的直线l′也唯一确定．问题转化为证l′与l重合，即证l′=β∩γ．【证明】如图1-14．设α∩β∩γ=A，过A作直线l′⊥α．例3 已知：b、c是异面直线．求证：过直线c有且只有一个平面平行于直线b．【分析】本题属于唯一性命题，可考虑用同一法去证．【证明】如图1-15．设A∈c，过A作直线 m∥b，证c、m确定的平面为α．于是，过直线c有一个平面α平行于直线b．假设过直线c还有平面β∥b，过平行直线b、m作平面γ，α、β都与γ相交，显然α∩γ=m，记β∩γ= m′，则m∩m′=A．故过直线c有且只有一个平面与直线b平行．（二）同一法与反证法的区别同一法和反证法都是间接证法，这是它们的相同之处．它们的不同点是：反证法是把欲证的命题转化为与它等价的逆否命题，即先作出与“结论”相反的假设，然后驳倒假设，从而使原命题获证．而同一法是把欲证命题转化为与它等价的逆命题（注意原命题与逆命题必须等价），即先作一个具有“结论”特征的图形，然后证明所作图形与题设中的图形是同一图形，从而使原命题获证．下面，以一个命题的证明为例，说明这两种证法步骤的异同（见表 3-1）．表3-1。
反证法和同一法
反证法和同一法在线面关系的有关证明中，有两种方法值得加以注意，它们是：（1）反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题．即“否定的结论否定的题设”．基本思想是：结果与某公理、某定理，题设或临时假设所不相容或自相矛盾。
这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推理有问题，就只能归咎于否定结论的假定，因此既然否定结论不成立，那结论就一定成立了．这种证明方法叫做反证法．它在证明许多基本命题时特别有用，用反证法证明的一般过程是：反证法由于否定结论的情况不同，又可分为归谬法与穷举法．课本中不少定理的证明，如直线与平面平行的判定定理的证明就是归谬法，穷举法也是常用的，例如要证明：“在△中，如果，那么．”因为和的关系有而且只有三种可能情形：即，和．根据已知定理，当时，有；当时，有，都同题设矛盾．所以只有成立．（2）同一法一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是惟一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，就个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般过程是：a．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；b．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；c．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是惟一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是同一个东西，由此断定原命题成立．例求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．已知：，，，．求证：．证明：在平面内作．则，而．∴与重合．∵，∴．反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则．由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明．如上例中可假设，在平面内作．……得，又，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得．。
反证法
由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m) 3 , 因为n+2m为有理数，(m+n) 3 为无理数, 所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立， 1， 3 ，2不能为同一等差数列中的三项.
例2．平面上有四个点，没有三点共线，证 明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐 角三角形。
证明：假设以每三点为顶点的四个三角形 都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C， D， 考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外 两种情况。
只有有限多个 不存在或至少存在两个
4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立;
②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立;
③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.
(3) 结论：由前两步，得到正确的结论，一 点要在前面的基础上肯定结论的真实性。 例1．证明1， 3 ，2不能为同一等差数列 的三项。 证明：假设1， 3 ，2是某一等差数列中的 三项，设这一等差数列的公差为d，则 1= 3 －md，2= 3 +nd，其中m，n为某 两个正整数，
反证法
一．反证法 证明命题“设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数”，我们可以不去直接证明p 是偶数，而是否定p是偶数，然后得到矛盾， 从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下：
假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为整数。
可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数， 这与假设矛盾，因此假设p不是偶数不成立， 从而证明p为偶数。
2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设这两个方程都没有实根, 则 △1<0 且 △2<0, 从而有:
反证法
为什么要这样强调？ 经过同一直线的三点 能作出一个圆吗？ 不在同一直线上的三个点确定一个圆．
A
B
C
探究
证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出 一个圆，圆心 为O．
l1
O
l2
l
C A B 则O应在AB的垂直平分线l1上， l1⊥ l
且O在BC的垂直平分线上l2上，l2⊥ l
所以l1、 l2同时垂直于l， 这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾， 所以经过同一直线的三点不能作圆．
与三角形的内角和等于180°矛盾．
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是 锐角．
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
例1.（1）用反证法证明：“△ABC中至少有两个 锐角”，第一步假设为 （2）用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC 的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.第 一步假设为
例2：求证： 在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°． 已知： △ABC． 求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于60°． 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°， 即∠A＞60°， ∠B＞60°， ∠C＞60°． 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得 出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得 到原命题成立，这种方法叫做反证法．
例如： 命题：作出一个圆． 假设：
过一点有两条直线垂直于已知直线． 矛盾：
反证法
5．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应 假设 A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角 ( B )
6． 用反证法证明“在同一平面内， 若 a⊥c， b⊥c， 则 a∥b” 时，应假设 A．a 不垂直于 c C．a⊥b ( D ) B．a，b 都不垂直于 c D．a 与 b 相交
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*，
2 q －pr＝0， ∴ 2q－p－r＝0，
p＋r 2 2 ∴ ＝ pr ， ( p － r ) ＝0， 2
∴p＝r，这与 p≠r 矛盾．
(10 分)
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(12 分)
2.2.2 反证法
探究点一 反证法的概念
问题1 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们 发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘 李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来 是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？” 王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树 上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了 什么方法？
x1＋x2 y1＋y2 的中点 ， 2 2
y＝kx＋1， 由 2 2 y ＝3x －1，
得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
④
当 k2＝3 时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得 a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2 2k 由④知 x1＋x2＝ ，代入⑤整理得： 3－k2 ak＝3，这与①矛盾． 所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y＝ax 对 称． ⑤
几何证明题的基本结构和方法
几何证明题的基本结构和方法：1．正确地进行证明，先要探求证明的思路：这有三种方法：一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”。
有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”，或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。
2．“执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就是证明的思维方法中的“分析法”。
“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合法”。
3．“综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。
注：今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：反证法和同一法。
这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。
八．思维方法的训练例1．已知如图，AOC为一直线，OB为任一射线，OP平分∠AOB，OE平分∠BOC，求证：OE⊥OP。
分析：1、由逆推法分析要证明OE⊥OP，由垂直定义只要证明∠EOP=90°，而∠EOP由∠1、∠2所组成，只要证明∠1+∠2=90°。
由于OE，OP分别是∠BOC和∠AOB的角平分线，∠1=∠BOC，∠2=∠AOB，又由于AOC为一直线，∠AOB+∠BOC=180°，那么(∠AOB+∠BOC)=90°，即∠1+∠2=90°。
2．由顺推法分析：①由AOC为直线推出∠AOB+∠BOC=180°，②由OP，OE分别为∠AOB，∠BOC平分线推得∠2=∠AOB，∠1=∠BOC，③由∠POE=∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)推得∠POE=90°再推得OP⊥OE。
3．上述分析中①和②的两个推理是并列的，因而在证明中先写①或②没有什么关系，但③是①和②共同的结果，所以③必须在①和②的后面。
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初二数学课外兴趣小组活动(十三)
反证法
一、内容提要：
1、反证法是一种间接的证明方法。
它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，
当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
2、一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：若A则B===若非B则非A。
例如原命题：对顶角相等 (真命题)
逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)
又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)
逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)
3、用反证法证明命题，一般有三个步骤：
①反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
②归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）
③结论从而得出命题结论正确
例如：要证两直线平行。
用反证法证明时
①假设这两直线不平行；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③从而肯定，非平行不可。
二、例题学习：
例1、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行
已知：如图∠1＝∠2 A 1 B
求证：AB∥CD
证明：设AB与CD不平行 C 2 D
那么它们必相交，设交点为M D
这时，∠1是△GHM的外角 A 1 M B
∴∠1＞∠2 G
这与已知条件相矛盾 2
∴AB与CD不平行的假设不能成立H
∴AB∥CD C
例2、求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，
因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3、已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数
证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数) 当m=3k+1时，m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
当m=3k+2时，m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1
即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴m2是3的倍数时，m 也是3的倍数
三、专题训练：
1、写出下列各命题结论的反面：
2、已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，
求证：A，B，C三点在同一直线上
3、求证：等腰三角形的底角是锐角
4、求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度
5、如果a2奇数，那么a也是奇数（仿例3）
6、已知：a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)
求证：a,b,c至少有一个偶数
7、求证：二元一次方程8x+15y=50没有正整数解
同一法
一、内容提要：
1、“同一法”是一种间接的证明方法。
它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效
的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
2、同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，
那么它和它的逆命题同时有效。
这称为同一法则。
互逆两个命题一般是不等价的。
例如：
原命题：福建是中国的一个省（真命题）
逆命题：中国的一个省是福建（假命题）
但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。
例如：
原命题：中国的首都是北京（真命题）
逆命题：北京是中国的首都（真命题）
又如：
原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。
（真命题）
逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。
（真命题）
3、釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，
则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：
①作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）
②证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）
二、例题学习：
例1、求证：三角形的三条中线相交于一点。
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线
求证：AD，BE，CF相交于同一点
分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，
证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）
证明：∵AD和BE相交，设交点为G
连结并延长CG交AB于F，
连结DE交CF，于M
∵DE∥AB
∴M E
AF
＝
M D
BF
＝
C M
C F
，即
B F
A F
＝
ME
MD
M E
BF
＝
M D
AF
＝
M G
G F
，即
A F
B F
＝
ME
MD
∴B F
A F
＝
A F
B F
，∴AF，＝BF，，CF，是AB边上的中线，
∴AD，BE，CF相交于一点G。
例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2 求证：AD是△ABC的高
分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。
证明：作AE⊥BC交BC于E A
根据勾股定理：
AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2）
＝BE2－EC2
∵AB2－AC2＝BD2－DC2 B E D C
∴BD2－DC2＝BE2－EC2
（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）
∴BD－DC＝BE－EC ①
BD＋DC＝BE＋EC ②
①＋②：2BD＝2BE
即点D和点E重合，即AD 是△ABC的高
三、专题训练：
1、用同一法证明：三角形的中位线平行于第三边。
2、已知E是正方形ABCD内的一点，∠EAB＝∠EBA＝15
求证△ECD是等边三角形
3、已知：矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且∠CBE＝15
求证：AE＝AB。