新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题
2022年最新浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解专题练习试题(无超纲)
初中数学七年级下册第四章因式分解专题练习（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、对于①3(13)x xy x y -=-，②2(3)(1)23x x x x -+=--，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解2、下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A.22()()x y x y x y -+=-B.241254(3)5x x x x +-=+-C.22()()x y x x y x y x -+=+-+D.2224484()x y xy x y +-=- 3、下列因式分解正确的是（ ）A.2p +2q +1＝2（p +q ）+1B.m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2C.3p 2﹣3q 2＝（3p +3q ）（p ﹣q ）D.m 4﹣1＝（m ²+1）（m ²﹣1） 4、对于①()()2212+-=+-x x x x ，②()233x xy x x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解5、下列式子的变形是因式分解的是（ ）A.() m x y mx my +=+B.()22 21441x x x -=-+C.()()2 1343x x x x ++=++D.()3 11x x x x x -=+-（）6、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.2323824a b a b =⋅B.()()311x x x x x -=+-C.2211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ D.()a x y ax ay -=-7、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋cB.（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2D.a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1） 8、若()()223x x x a x b --=-+，则-a b 的值为（ ）A.3B.3-C.2D.2-9、多项式3254812x y x y -的公因式是（ ）A.x 2y 3B.x 4y 5C.4x 4y 5D.4x 2y 310、如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）A.6858B.6860C.9260D.9262 11、把多项式x 3﹣9x 分解因式，正确的结果是（ ）A.x （x 2﹣9）B.x （x ﹣3）（x ＋3）C.x （x ﹣3）2D.x （3﹣x ）（3＋x ） 12、对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能（ ）A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被a 整除13、下列分解因式的变形中，正确的是（ ）A.xy （x ﹣y ）﹣x （y ﹣x ）＝﹣x （y ﹣x ）（y ＋1）B.6（a ＋b ）2﹣2（a ＋b ）＝（2a ＋b ）（3a ＋b ﹣1）C.3（n ﹣m ）2＋2（m ﹣n ）＝（n ﹣m ）（3n ﹣3m ＋2）D.3a （a ＋b ）2﹣（a ＋b ）＝（a ＋b ）2（2a ＋b ）14、下列各组式子中，没有公因式的是（ ）A.﹣a 2+ab 与ab 2﹣a 2bB.mx +y 与x +yC.(a +b )2与﹣a ﹣bD.5m (x ﹣y )与y ﹣x15、下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ）A.（a +1）（a -1）=a 2-1B.ab +ac +1=a （b +c ）+1C. a 2-2a -3=（a -1）（a -3）D.a 2-8a +16=（a -4）2二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如果9x y +=，3x y -=，那么222x 2y -的值为______．2、分解因式：22654x y xy -=________；3、因式分解：()()11x m y m -+-=____________．4、若多项式x 2+ax +b 可分解为(x +1)(x +4)，则a ＝________，b ＝________．5、由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ，将该式子从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ），请用上述方法将多项式x 2﹣5x +6因式分解的结果是 _____________．6、因式分解：22416a b _______．7、分解因式：()()m n a b b a -+-=_________．8、已知x 2﹣y 2＝21，x ﹣y ＝3，则x +y ＝___．9、因式分解：2242xy xy x ++=______．10、因式分解：4811x -=__．三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、因式分解：22496m n mn ---．2、教科书中这样写道：“我们把多项式a 2+2ab +b 2及a 2-2ab +b 2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x 2+2x -3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)；例如求代数式2x 2+4x -6=2(x +1)2-8，当x = -1时，2x 2+4x -6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m 2-4m -5=（2）当a ，b 为何值时，多项式2a 2+3b 2-4a +12b +18有最小值，求出这个最小值．（3）当a ，b 为何值时，多项式a 2 - 4ab +5b 2 - 4a +4b +27有最小值，并求出这个最小值．3、计算：（1）（2a ）3﹣3a 5÷a 2；（2）（12x 2y ﹣2xy +y 2）•（﹣4xy ）．因式分解：（3）x 3﹣6x 2+9x ；（4）a 2（x ﹣y ）﹣9（x ﹣y ）．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可.【详解】解：①3(13)x xy x y -=-，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解；②2(3)(1)23x x x x -+=--，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算； 故答案为C.【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键.2、D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.【详解】解：A 、是整式的乘法，故不符合；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合；C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合；故选：D.【点睛】本题考查因式分解的定义；掌握因式分解的定义和因式分解的等式的基本形式是解题的关键.3、B【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案.【详解】解：A 、2p +2q +1不能进行因式分解，不符合题意；B 、m 2-4m +4=（m -2）2，符合题意；C 、3p 2-3q 2=3（p 2-q 2）=3（p +q ）（p -q ），不符合题意；D 、m 4-1=（m 2+1）（m 2-1）=m 4-1=（m 2+1）（m +1）（m -1），不符合题意；故选择：B【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.4、D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据因式分解的定义判断即可.【详解】解：①()()2212+-=+-x x x x ，属于整式乘法，不属于因式分解； ②()233x xy x x y -=-，等式从左到右的变形属于因式分解；故选：D.【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.5、D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，由此结合选项即可作出判断.【详解】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、是因式分解，故本选项正确；故正确的选项为：D【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，属于基础题.6、B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案.【详解】解：A、是把一个单项式转化成两个单项式乘积的形式，故A错误；B、把一个多项式转化成三个整式乘积的形式，故B正确；C、是把一个多项式转化成一个整式和一个分式乘积的形式，故C错误；D、是整式的乘法，故D错误；故选：B.【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别.7、D【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解：A 、ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋c ，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.8、C【分析】根据十字相乘法可直接进行求解a 、b 的值，然后问题可求解.【详解】解：()()22331x x x x --=-+，∴3,1a b ==，∴2a b -=；故选C.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.9、D【分析】根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可.【详解】解：因为32542322328124243x y x y x y y x y x -=⋅-⋅，所以3254812x y x y -的公因式为234x y ，故选：D.【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式.10、B【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k +1)3﹣(2k ﹣1)3＝2(12k 2+1)（其中k 为非负整数），然后再分析计算即可.【详解】解：(2k +1)3﹣(2k ﹣1)3＝[(2k +1)﹣(2k ﹣1)][(2k +1)2+(2k +1)(2k ﹣1)+(2k ﹣1)2]＝2(12 k 2+1)（其中 k 为非负整数），由2(12k 2+1)≤2019得，k ≤9，∴k ＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860.故选：B.【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在.11、B【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.【详解】解：x 3﹣9x＝x （x 2﹣9）＝x （x ＋3）（x ﹣3）.故选：B.【点睛】本题考查了提公因式和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.12、B【分析】多项式利用完全平方公式分解，即可做出判断.【详解】解：原式()22420255455a a a a =++-=++ 则对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能被4整除.故选：B.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.13、A【分析】按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正.【详解】解：A 、xy （x -y ）-x （y -x ）=-x （y -x ）（y +1），故本选项正确；B 、6（a +b ）2-2（a +b ）=2（a +b ）（3a +3b -1），故本选项错误；C 、3（n -m ）2+2（m -n ）=（n -m ）（3n -3m -2），故本选项错误；D 、3a （a +b ）2-（a +b ）=（a +b ）（3a 2+3ab -1），故本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查提公因式法分解因式.准确确定公因式是求解的关键.14、B【分析】公因式的定义：多项式ma mb mc ++中，各项都含有一个公共的因式m ，因式m 叫做这个多项式各项的公因式.【详解】解：A 、因为2()a ab a b a -+=-，22()ab a b ab b a -=-，所以2a ab -+与22ab a b -是公因式是()a b a -，故本选项不符合题意；B 、mx y +与x y +没有公因式.故本选项符合题意；C 、因为()a b a b --=-+，所以2()a b +与a b --的公因式是()a b +，故本选项不符合题意；D 、因为5()5()m x y m y x -=--，所以5()m x y -与y x -的公因式是()y x -，故本选项不符合题意； 故选：B.【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式.15、D【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定.【详解】解：A 、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；B 、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；C 、a 2-2a -3=（a +1）（a -3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意；D 、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了因式分解.解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解.二、填空题1、54【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可.【详解】解：222x 2y -=()222x y - =()()2x y x y +-=2×9×3=54，故答案是：54.【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键.2、()69xy x y -【分析】直接提取公因式6xy 即可得解.【详解】解：22654x y xy -=6?6?9xy x xy y - =6(9)xy x y -.故答案为：6(9)xy x y -.【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练运用提公因式，找出公因式是解答此题的关键.3、()()1x y m --【分析】将y (1-m )变形为-y （m -1），再提取公因式即可.【详解】∵x （m -1）+ y (1-m )= x （m -1）-y （m -1），=（x -y ）（m -1），故答案为：（x -y ）（m -1）.【点睛】本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键.4、5 4【分析】把(x +1)(x +4)展开，合并同类项，可确定a 、b 的值.【详解】解：∵(x +1)(x +4)，=244x x x +++，=254x x ++，∴54a b ==，；故答案为：5，4.【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母的值.5、(2)(3)x x --【分析】根据“十字相乘法”的方法进行因式分解即可.【详解】2256(23)(2)(3)(2)(3)x x x x x x +=+--+-⨯-=---故答案为：(2)(3)x x --.【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，理解题目中的方法是解题的关键.6、422a b a b【分析】先提公因式4，再利用平方差公式分解.【详解】解：22416a b -=2244a b=422a b a b故答案为：422a b a b .【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提平方差公式是解题关键.7、()()a b m n --【分析】根据提公因式因式分解求解即可.【详解】解：()()()()()()m n m n a b b a a b a b m n b a -----+==--，故答案为：()()a b m n --.【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键.8、7根据平方差公式分解因式解答即可.【详解】解：∵x 2﹣y 2＝（x ﹣y ）（x +y ）＝21，x ﹣y ＝3，∴3（x +y ）＝21，∴x +y ＝7.故答案为：7.【点睛】此题考查平方差公式分解因式，关键是根据平方差公式展开解答.9、22(1)x y -【分析】先提取公因式2x ，然后运用完全平方公式因式分解即可.【详解】解：2242xy xy x ++ 22(21)x y y =-+22(1)x y =-，故答案为：22(1)x y -.【点睛】本题主要考查提公因式因式分解以及公式法因式分解，熟知完全平方公式的结构特点是解题关键. 10、2(91)(31)(31)x x x ++-先把原式化为22291,x 再利用平方差公式分解因式，再把其中一个因式按照平方差公式继续分解，从而可得答案.【详解】解：原式22(91)(91)x x =+-2(91)(31)(31)x x x =++-， 故答案为：2(91)(31)(31)x x x ++-.【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，注意分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止.三、解答题1、(23)(23)m n m n ++--【分析】首先对后面三项利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可.【详解】解：原式224(96)m n mn =-++222(3)m n =-+(23)(23)m n m n =++--.【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.2、（1）(1)(5)m m +-；（2）当1a =，2b =-时，最小值为4；（3）当6a =，2b =时，最小值为19.【分析】（1）根据阅读材料，先将245m m --变形为2449m m +--，再根据完全平方公式写成2(2)9m --，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答.【详解】解：（1）22245449(2)9(23)(23)(1)(5)m m m m m m m m m --=-+-=--=-+--=+-.故答案为(1)(5)m m +-；（2）222223412182(2)3(4)18a b a b a a b b +-++=-+++222(21)3(44)4a a b b =-+++++222(1)3(2)4a b =-+++，∴当1a =，2b =-时，222341218a b a b +-++有最小值，最小值为4；（3）22454427a ab b a b -+-++2224(1)4(1)(2)19a a b b b =-++++-+22(22)(2)19a b b =--+-+，∴当6a =，2b =时，多项式22222427a ab b a b -+--+有最小值19.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.3、（1）5a 3；（2）﹣2x 3y 2+8x 2y 2﹣4xy 3；（3）x （x ﹣3）2；（4）（x ﹣y ）（a +3）（a ﹣3）【分析】（1）利用积的乘方和同底数幂的除法法则进行运算；（2）利用单项式乘多项式法则进行运算；（3）先提取公因式，再用完全平方公式进行分解；（4）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解.【详解】解：（1）原式＝8a3﹣3a3＝5a3；（2）原式＝﹣2x3y2+8x2y2﹣4xy3；（3）x3﹣6x2+9x＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2；（4）a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣9）＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）.【点睛】本题主要考查了因式分解、积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘多项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。
2019-2020学年度最新浙教版七年级数学下册《因式分解》提优训练及答案解析精品试卷
浙教版七下数学第四章：因式分解提优训练一．选择题：1.下列因式分解正确的是（ ）A ．()()4442+-=-x x xB ．()12122++=++x x x xC ．()y x m my mx 6363-=-D ．()2242+=+x x2.把多项式32244x xy y x --分解因式的结果是（ ）A.()34x y x xy -- B ()22y x x -- C.()2244x y xy x --D.()2244x y xy x ++--3.已知实数b a ,满足：bb a a 11,1122=+=+，则=-b a 2016（ ） A. 1- B. 1 C. 1± D. 20164.已知012=--a a ，则=+--201623a a a （ ）A. 2015B. 2017C. 2016D.20175.若))(3(2n x x m x x +-=++对x 恒成立，则n=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.代数式()()ab b a b a +--4分解因式的结果是（ ）A. ()2b a -B.()22b a +C.()2b a +D. ()22b a -7.分解因式：=--+9)3(32x x x ( )A. 9942--x xB. ()993--+x x xC. ()()343+-x xD. ()232-x（ ）A ．100B ．0C ．-100D ．509.若M=（2015-1985）2，Q=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，则M+N-2Q 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 代数式142+x 加上一个项成为完全平方式，所有可添加的项为（ ）A. x 4-B. x 4C. x 4±D. 4244144x x x x 或或或或---二．填空题：11.若2,522==+ab b a 则()=+2b a12.若4x 2＋kx ＋25＝(2x －5)2，那么k 的值是13.若,0132=+-a a 则_________1383223=+++-a a a a 14.已知018126422=++-+b a b a ，则_______23=+b a15.分解因式()()_____________931234222=++-+x x 16.已知154-能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数是_____________17.已知多项式c bx x ++22分解因式为2(3)(1)x x -+，则_________,==c b 18.两个连续奇数的平方差能被_____________整除19.分解因式：()()()()__________14321=+++++a a a a20.分解因式：()()_______________5531322=--+-+x x x x三．解答题：21.把下列各式进行分解因式：()221xyn xym - ()1423322+-x x()63842832+-m m ()44422++-m n m22..已知23,4==+mn n m ,求32232mn n m n m ++的值23.若△ABC 的三边长分别为c b a ,,且bc c ab a 22+=+，判断△ABC 的形状．24.对于任意的正整数n ，代数式你()()()237-+-+n n n n 的值是否总能被6整除，请说明理由25.201420152016310343⨯-⨯-能被13整除吗？为什么？26.设121+=m a ,221+=m b ,321+=m c .求代数式222222c bc ac b ab a +--++的值．27.利用分解因式证明：127525- 能被120整除28.如果多项式k x x x +-+26223有一个因式是12+x ，求k 的值30.将下列各式分解因式：（1）2222)1(2mn n m -+（2）21222++y y（3）n m n m 4422+--（4）ab b a 2122--+（5）()()()22231033b a b a a a +-+-（6）()()()()y x a x b y x a x a +--+-22(7)()()14352522--+++x x x x （8）在实数范围内分解：44b a +浙教版七下数学第四章：因式分解提优训练答案一．选择题：1.答案：D解析：因为()()2242+-=-x x x 故A 选项错误；因为()22112+=++x x x ，故B 选项错误；因为()y x m my mx 2363-=-，故C 选项错误；因为()2242+=+x x ，故D 选项正确，故选择D2.答案：B解析：因为()()22232224444y x x y xy x x x xy y x --=+--=--，故选择B3. 答案：B解析：因为011,01122>=+>=+b b a a ，所以0,0>>b a ，所以()01>++b a ab ， 因为b b aa 11,1122=+=+，两式相减得：ba b a 1122-=-，所以得：()()ab a b b a b a -=+- 所以()()[]0,01=-∴=++-b a b a ab b a ，所以1201620160==-ba ，故选择B4.答案：C解析：因为012=--a a所以()201620160201612016223=+⨯=+--=+--a a a a a a a ，故选择C5. 答案：D 解析：因为))(3(2n x x m x x +-=++，所以()n x n x m x x 3322--+=++， 所以4,13=∴=-n n ，故选择D6.答案：D解析：因为()()()22222244444b a b ab a ab b ab ab a ab b a b a -=+-=++--=+-- 故选择D 。
浙教版2022-2023学年七下数学第四章 因式分解 培优测试卷1(解析版)
浙教版2022-2023学年七下数学第四章因式分解培优测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列添括号正确的是()A．−b−c=−(b−c)B．−2x+6y=−2(x−6y)C．a−b=+(a−b)D．x−y−1=x−(y−1)【答案】C【解析】A.−b−c=−(b+c)，故此选项不合题意；B.−2x+6y=−2(x−3y)，故此选项不合题意；C.a−b=+(a−b)，故此选项符合题意；D.x−y−1=x−(y+1)，故此选项不合题意；故答案为：C.2．下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（）A．(a−b)2+(a−b)=(a−b)(a−b+1)B．(x+2)(x+3)=x2+5x+6C．4a2−b2=(4a−b)(4a+b)D．m2−n2+2mn=(m−n)2【答案】A【解析】A、(a−b)2+(a−b)=(a−b)(a−b+1)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、4a2−b2=(2a−b)(2a+b)，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意；D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故答案为：A3．下列各式中，没有公因式的是（）A．3x−2与6x2−4x B．ab−ac与ab−bcC．2(a−b)2与3(b−a)3D．mx−my与ny−nx【答案】B【解析】A、∵6x2-4x=2x（3x-2），∴3x-2与6x2-4x的公因式是3x-2，故A不符合题意；B、∵ab-ac=a（b-c），ab-bc=b（a-c），∴ab-ac与ab-bc没有公因式，故B符合题意；C、∵2（a-b）2=（b-a）2，∴2（a-b）2与3（b-a）3的公因式是（b-a）2，故C不符合题意；D、∵mx-my=m（x-y），ny-nx=-n（x-y），∴mx-my与ny-nx的公因式是x-y，故D不符合题意.故答案为：B.4．把(a−b)+m(b−a)提取公因式(a−b)后，则另一个因式是（）A．1−m B．1+m C．m D．−m【答案】A【解析】(a−b)+m(b−a)=(a−b)(1−m)，∴另一个因式为（1-m），故答案为：A．5．课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗?（）道题D．第4道题【答案】C【解析】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），可以用平方差公式因式分解，不符合题意；（2）49x2-y2z2=（7x-yz）（7x+yz），可以用平方差公式因式分解，不符合题意；（3）-x2-y2，前后项同号，不符合平方差公式特点，不可以用平方差公式分解，符合题意；（4）16m2n2-25p2=（4mn+5p）（4mn-5p），可以用平方差公式因式分解，不符合题意.故答案为：C.6．已知2x−y=1，xy=2，则4x3y−4x2y2+xy3的俼为（）A．-2B．1C．-1D．2【答案】D【解析】原式=xy(4x2−4xy+y2)=xy(2x−y)2，∵2x−y=1，xy=2，∴原式=2×12=2.故答案为：D.7．若要使4x2+mx+164成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）A．±12B．-12C．±14D．-14【答案】A【解析】∵（2x-18）2=4x2-12x+164或[2x−(−18)]2=4x2+12x+164，∴m=-12或12.故答案为：A.8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱学B．爱五中C．我爱五中D．五中数学【答案】C【解析】∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．故答案为：C．9．将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（）A．-2B．−15m2C．8m D．−8m【答案】B【解析】A、16m2+1−2=16m2−1=(4m+1)(4m−1)，A不符合题意；B、16m2+1−15m2=m2+1，不能因式分解，B符合题意；C、16m2+1+8m=(4m+1)2，C不符合题意；D、16m2+1−8m=(4m−1)2，D不符合题意.故答案为：B.10．在√0，√1，√2，√3，√4，……，√364，√365中，有理数的个数是（）A．18B．19C．20D．21【答案】C【解析】∵192=361<365<202=400，∴19<√365<20∴√0，√1，√2，√3，√4，……，√364，√365中正好有20个完全平方数，即20个有理数.故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．分解因式：3a 2−12= ．【答案】3(a +2)(a −2)【解析】3a 2−12=3(a 2−4)=3(a +2)(a −2)故答案为：3(a +2)(a −2)．12．因式分解：a 3−6a 2+9a = ．【答案】a （a -3）2【解析】原式=a(a 2−6a +9)=a(a −3)2，故答案为：a （a -3）2．13．已知长方形的面积为3a 2−3b 2，如果它的一边长为a +b ，则它的周长为 （结果应化简）．【答案】8a −4b【解析】∵3a 2−3b 2=3(a 2−b 2)=3(a +b)(a −b)，长方形的一边长为a+b∴长方形的另一边长为3（a -b ）=3a -3b∴该长方形的周长为：（3a -3b+a+b ）×2=8a −4b ，故答案为：8a −4b .14．若 m −n =8 ，则 m 2−n 2−16n 的值是 .【答案】64【解析】∵m −n =8 ，∴m 2−n 2−16n = (m +n)(m −n)−16n = 8(m +n)−16n = 8m +8n −16n = 8m −8n = 8(m −n) = 8×8=64故答案为：64. 15．设 P =x 2−3xy ， Q =3xy −9y 2 ，若 P =Q ，则 x y 的值为 .【答案】3【解析】∵P =Q ， P =x 2−3xy ， Q =3xy −9y 2 ，∴x 2−3xy =3xy −9y 2 ，即 x 2−6xy +9y 2=(x −3y)2 =0，∴x=3y ∴x y =3.故答案为：316．若a=2018x+2019，b=2018x+2020，c=2018x+ 2021，则多项式a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc 的值为【答案】3 【解析】 a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc =12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2ac -2bc ） =12（a 2+b 2-2ab+b 2-2bc+c 2-2ac+a 2-2ac+c 2） =12[（a -b ）2+（b -c ）2+（a -c ）2] =12[（2018x+2019-2018x -2020）2+（2018x+2020-2018x - 2021）2+（2018x+2019-2018x -2021）2] =12[1+1+4]=3， 故答案为：3.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．分解因式：（1）x 2﹣4x（2）﹣2x 2+2（3）4x 5﹣4x 4+x 3（4）4（x+2y ）2﹣25（x ﹣y ）2．【答案】（1）解：原式=x （x ﹣4）（2）解：原式=﹣2（x+1）（x ﹣1）（3）解：原式=x 3（2x ﹣1）2（4）解：原式=[2（x+2y ）+5（x ﹣y ）][2（x+2y ）﹣5（x ﹣y ）]=3（7x ﹣y ）（3y ﹣x ）18．已知 x 2+x +1=0 ，求 x 3−x 2−x +7 的值.【答案】解：由 x 2+x +1=0 得 x 2+x =−1 ，∴x 3−x 2−x +7=x 3+x 2−2x 2−x +7=x(x 2+x)−2x 2−x +7=−x −2x 2−x +7=−2x 2−2x +7=−2(x 2+x)+7=2+7=919．阅读下列材料，并解答相关问题.对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，我们可以用公式法将它分解因式成(x+a)2的形式，但是，对于二次三项式x 2+2ax -3a 2，就不能直接用完全平方公式进行分解因式了，我们可以在二次三项式x 2+2ax -3a 2中先加上一项a 2，将其配成完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的大小不变，于是有x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)=(x+3a)(x -a).利用上述方法把m 2-6m+8分解因式.【答案】解：m 2-6m+8=m 2-6m+9-9+8=(m -3)2-1=(m -3+1)(m -3-1)=(m -2)(m -4)20．若a+b=﹣3，ab=1．求12a 3b+a 2b 2+12ab 3的值． 【答案】解：∵a+b=﹣3，ab=1∴12a 3b+a 2b 2+12ab 3=12ab （a 2+2ab+b 2）=12ab （a+b ）2=12×1×（﹣3）2=92．21．（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算(a +b +c)2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[(a +b)+c]2或[a +(b +c)]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示(a +b +c)2的图形，根据面积关系得到结果.请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注；（2）利用（1）的结论分解因式：x 2+y 2+4−2xy +4x −4y = ；（3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最①x 2+y 2+2xy −6x −6y +20；②2x 2+y 2−2xy −4x +2y +10.【答案】（1）解：①方法一：(a +b +c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；方法二：(a+b+c)2=[a+(b+c)]2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；②如图，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（2）(x−y+2)2（3）解：①x2+y2+2xy−6x−6y+20=(x2+2xy+y2)−6(x+y)+20=(x+y)2−6(x+y)+20=(x+y)2−6(x+y)+9+11=(x+y−3)2+11∵(x+y−3)2≥0∴x2+y2+2xy−6x−6y+20≥11即当x+y=3时，x2+y2+2xy−6x−6y+20有最小值为11；②2x2+y2−2xy−4x+2y+10=x2−2xy+y2−2x+2y+x2−2x+1+9=(x−y)2−2(x−y)+(x−1)2+9=(x−y−1)2+(x−1)2+8∵(x−y−1)2≥0，(x−1)2≥0，∴当x−y−1=0，x−1=0，即x=1，y=0时，2x2+y2−2xy−4x+2y+10有最小值，为8.【解析】（2）x2+y2+4−2xy+4x−4y=x2+y2−2xy+4x−4y+4=(x−y)2−4(x−y)+4=(x−y+2)2故答案为：(x−y+2)2.22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.A．提取公因式；B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式.（2）该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.【答案】（1）C（2）不彻底；(x−2)4（3）解：设x2+2x=y，原式= y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4.【解析】（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，故答案为：C；（2）∵（x2﹣4x+4）2= (x−2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为(x−2)4，故答案为：不彻底，(x−2)4；23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，∴36和2020是“和谐数”；（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：∵(2k+2)2−(2k)2=4(2k+1);∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.24．（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（）+x（）=（）2②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果：.（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=.【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4（2）（1+x）2018（3）1-x4n【解析】（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x （1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）=1-x4n.。
新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题
新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题一．选择题（共6小题）1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y22．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．63．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．∴解得，n=﹣7，m=﹣21，∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（）A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣45．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×10176．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共7小题）7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是．10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2=．12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．三．解答题（共5小题）14．如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=．（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你画的图中需C类卡片张．②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）①xy=②x+y=m ③x2﹣y2=m•n ④x2+y2=．15．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=画出拼图．16．如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．请解答下列问题：（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S1，则S1=；②图2中长方形（阴影部分）的长表示为，宽表示为，设图2中长方形（阴影部分）的面积为S2，那么S2=（都用含a、b的代数式表示）；（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：；（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24﹣1）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）=（216﹣1）（216+1）（232+1）=（232﹣1）（232+1）=264﹣1阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5．17．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2+5x﹣7，具体步骤为：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2=2×1，把常数项﹣7也分解为两个因数的积，即﹣7=﹣1×7；②按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×（﹣1）+1×7=5．③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x﹣7进行因式分解了，即2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）．例：分解因式：2x2+5x﹣7解：2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：（1）x2+4x+3（2）2x2+3x﹣20．18．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：能直接运用完全平方公式进行因式分解的是x2y2﹣xy+1=（xy﹣1）2．故选B．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2008•淮安校级一模）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），∴a=﹣1+12=11，1+（﹣12）=﹣11，﹣2+6=4，2+（﹣6）=﹣4，﹣3+4=1，3+（﹣4）=﹣1，即a=±11，±4，±1共6个．故选D．【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解﹣12是解题的关键．3．（2010•拱墅区二模）任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．【解答】解：依据新运算可得①2=1×2，则，正确；②24=1×24=2×12=3×8=4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1，正确；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），如64=43=8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选C．【点评】本题考查因式分解的运用，此题的关键是读懂新运算，特别注意“把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”这句话．4．（2015•张家口二模）已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．∴解得，n=﹣7，m=﹣21，∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（）A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4【分析】所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，，解得：a=4，k=20．故另一个因式为（x+4），k的值为20．故选：B．【点评】此题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．5．（2015•河北模拟）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×1017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．故选D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2014秋•博野县期末）设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状．三边相等的为等边三角形，且一定也是等腰三角形和三个角都为60度的锐角三角形，又由于三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形，包括锐角三角形和钝角三角形，等边三角形也属于斜三角形．【解答】解：由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得，则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0∴a=b=c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形故选A．【点评】此题要根据三角形三条边的关系判断三角形的形状，要知道两边相等的三角形为等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，且等边三角形一定是等腰三角形、锐角三角形和斜三角形．另外还要知道平方差公式，如（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2二．填空题（共7小题）7．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是0．【分析】运用提公因式法进行因式分解，然后根据2n的个位数字的规律进行分析．【解答】解：∵2m+2007+2m+1=2m+1（22006+1），2006÷4=501…2，∴22006+1的个位数字是4+1=5，又2n的个位数字是2或4或8或6，∴2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是0．故答案为0．【点评】此题综合考查了因式分解法和数字的规律问题．注意：2n的个位数字的规律是2、4、8、6四个一循环．10．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab 计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．11．（2015春•深圳校级期中）若a+b=5，ab=，则a2﹣b2=±20．【分析】将a+b=5两边平方，把ab=代入求出a2+b2的值，利用完全平方公式求出a﹣b的值，原式利用平方差公式分解，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，把ab=代入得：a2+b2=25﹣=，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=﹣=16，即a﹣b=±4，则原式=（a+b）（a﹣b）=±20，故答案为：±20．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．13．（2012•市中区校级二模）若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为﹣2．【分析】由已知条件得到m2﹣n2=n﹣m，则m+n=﹣1，然后利用m2=n+2，n2=m+2把m3﹣2mn+n3进行降次得到m（n+2）﹣2mn+n（m+2），再去括号合并得到2（m+n），最后把m+n=﹣1代入即可．【解答】解：∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），∴m2﹣n2=n﹣m，∵m≠n，∴m+n=﹣1，∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n）=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了因式分解的应用：运用因式分解可简化等量关系．三．解答题（共5小题）14．（2016春•邗江区期中）如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2．（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你画的图中需C类卡片6张．②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为（a+2b）（a+3b）（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上①②③④（填写序号）①xy=②x+y=m ③x2﹣y2=m•n ④x2+y2=．【分析】（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．（2）根据等式即可得出有6张，根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出x+y=m，m2﹣n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．【解答】解：（1）（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，故答案为：a2+3ab+2b2；（2）①∵长方形的面积为a2+5ab+6b2，∴画的图中需要C类卡片6张，故答案为：6．②a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），故答案为：（a+2b）（a+3b）．（3）解：根据图③得：x+y=m，∵m2﹣n2=4xy，∴xy=，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=mn，∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=m2﹣2×=，∴选项①②③④都正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了分解因式，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．15．（2015春•杭州期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是（a+2b）•（a+b）；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b）画出拼图．【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2=（a+2b）•（a+b），（4）先分解因式，再根据边长画图即可．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；故答案为：2，3．（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b）•（a+b），故答案为：（a+2b）•（a+b）．（4）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），如图，故答案为：（a+2b）（a+3b）．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．16．（2015秋•万州区期末）如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．请解答下列问题：（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S1，则S1=a2﹣b2；②图2中长方形（阴影部分）的长表示为a+b，宽表示为a﹣b，设图2中长方形（阴影部分）的面积为S2，那么S2=（a+b）（a﹣b）（都用含a、b 的代数式表示）；（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24﹣1）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）=（216﹣1）（216+1）（232+1）=（232﹣1）（232+1）=264﹣1阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5．【分析】（1）利用大正方形面积减小正方形面积即可得到．（2）根据长方形面积公式即可求出．（3）为了可以利用平方差公式，前面添（3﹣1）即可．【解答】解：（1）①S1=大正方形面积﹣小正方形面积=a2﹣b2，故答案为a2﹣b2．②根据图象长为a+b，宽为a﹣b，S2=（a+b）（a﹣b）．故答案分别为a+b、a﹣b、（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可知a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故答案为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）…（316+1）+0.5=（32﹣1）（32+1）…（316+1）+0.5=（332﹣1）+0.5=×332．【点评】本题考查了正方形、长方形的面积公式以及利用面积法证明平方差公式，灵活运用平方差公式是解题的关键．17．（2015秋•宜宾期中）在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2+5x﹣7，具体步骤为：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2=2×1，把常数项﹣7也分解为两个因数的积，即﹣7=﹣1×7；②按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×（﹣1）+1×7=5．③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x﹣7进行因式分解了，即2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）．例：分解因式：2x2+5x﹣7解：2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：（1）x2+4x+3（2）2x2+3x﹣20．【分析】（1）将常数项分解为3和1，进而分解因式得出答案；（2）利用ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：（1）x2+4x+3=（x+3）（x+1）；（2）2x2+3x﹣20=（x+4）（2x﹣5）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【分析】仿照题中的方法，得到十字相乘法的技巧，分别将各项分解即可．【解答】解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式=（x﹣7）（x+1）；（3）原式=（a﹣b）（a+5b）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．。
浙教版七年级下册数学第四章 因式分解含答案(高分练习)
A.x2﹣4=（x+2）（x﹣2） B.1﹣（x+2）2=（x+1）（x+3） C.2m2n﹣8n3=2n（m2﹣4n2） D.
4、下列因式分解正确的是（ ）
A.x2﹣y2=（x﹣y）2B.a2+a+1=（a+1）2C.xy﹣x=x（y﹣1） D.2x+y=2（x+y）
一、单选题(共15题，共计45分)
1、B
2、D
3、A
4、C
5、D
6、A
7、B
8、B
9、C
10、C
11、B
12、
13、B
14、D
15、D
二、填空题(共10题，共计30分)
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
三、解答题(共5题，共计25分)
26、
27、
28、
29、
30、
28、已知实数 满足 且 ，求 的值.
29、分解因式：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）﹣a4+16
（3）（a+b）2﹣12（a+b）+36
（4）（a+5）（a﹣5）+7（a+1）
30、化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．
Hale Waihona Puke 参考答案浙教版七年级下册数学第四章 因式分解含答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、下列因式分解正确的是（ ）
A.x2﹣y2=（x﹣y）2B.﹣a+a2=﹣a（1﹣a） C.4x2﹣4x+1=4x（x﹣1）+1 D.a2﹣4b2=（a+4b）（a﹣4b）
浙教版七年级数学下《第四章因式分解》同步练习含答案甄选
浙教版七年级数学下《第四章因式分解》同步练习含答案（优选.)第四章 因式分解 练习一、选择题（30分）1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（） A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)(2.下列各式是完全平方式的是（ ）A 、412+-x xB 、21x +C 、1++xy xD 、122-+x x 3．多项式－6ab 2+18a 2b 2－12a 3b 2c 的公因式是（ ）A ．－6ab 2cB ．－ab 2C ．－6ab 2D ．－6a 3b 2c4．下列因式分解不正确的是（ ）A ．－2ab 2+4a 2b =2ab （－b +2a ）B ．3m （a －b ）－9n （b －a ）=3（a －b ）（m +3n ）C ．－5ab +15a 2bx +25ab 3y =－5ab （－3ax －5b 2y ）;D ．3ay 2－6ay －3a =3a （y 2－2y －1）5.把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（ ）A 、))(2(2m m a +-B 、))(2(2m m a --C 、m (a －2)(m －1)D 、m (a －2)(m +1)6.下列多项式应提取公因式5a 2b 的是（ ）A ．15a 2b －20a 2b 2B ．30a 2b 3－15ab 4－10a 3b 2C ．10a 2b －20a 2b 3+50a 4bD ．5a 2b 4－10a 3b 3+15a 4b 27.分解因式14-x 得（ ）A 、)1)(1(22-+x x B.22)1()1(-+x xC 、)1)(1)(1(2++-x x xD 、3)1)(1(+-x x8..若a －b =6，ab =7，则ab 2－a 2b 的值为（ ）A ．42B ．－42C ．13D ．－139.已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c b D、6,4-=-=c b10.c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、等边三角形二、填空题（18分）11.若。
浙教版七年级下册数学第四章 因式分解含答案【新】
浙教版七年级下册数学第四章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、多项式36a3b2﹣18a2b3+12a2b2各项的公因式是（）A.a 2b 2B.12a 3b 3C.6a 3b 3D.6a 2b 22、多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m ﹣n的值是（）A.2B.-2C.4D.-43、多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（）A.abcB.4ab 2C.ab 2D.4ab 2c4、分解因式a2－2a，结果正确的是( )A.a（a－2）B.a（a＋2）C.a（a 2－2）D.a（2－a）5、下列由左边到右边的变形中，因式分解正确的是（）A.x 2＋3x－4=x(x＋3)B.x 2－4＋3x=(x＋2)(x－2)C.x 2－4=(x＋2)(x－2) D.x 2－2xy＋4y 2=(x－y) 26、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7、分解因式2x2—4x+2的最终结果是 ( )A.2x(x－2)B.2(x 2－2x+1)C.2(x－1) 2D.(2x－2) 28、把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A.（x－y）（x－y－1）B.（y－x）（x－y－1）C.（y－x）（y－x－1）D.（y－x）（y－x＋1）9、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A.a（x+y）=ax+ayB.x 2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C.10x 2﹣5x=5x （2x﹣1）D.x 2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x10、将进行因式分解，正确的是( )A. B. C. D.11、把多项式分解因式，结果正确的是( )A. B. C. D.12、下列多项式能用公式法分解因式的是（）A. B. C. D.13、下列运算，正确的是( )A.(－a3b) 2＝a6b2B.4 a－2 a＝2C. a6÷ a3＝a2 D.( a－b) 2＝a2－b214、下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A.3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B.3（x+y）[（x+y）2﹣9]C.3（x+y）（x+y+3）2D.3（x+y）（x+y﹣3）215、下列各式成立的是（）A.a﹣（b+c）=a﹣b+cB.a+b﹣c=a+（b﹣c）C.a+（b+c）=a﹣b+c D.a+b﹣c=a﹣（b+c）二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：a2b+2ab2+b3=________．17、分解因式2a（b+c）-3（b+c）的结果是________.18、因式分解：x3y2﹣x3＝________.19、因式分解：m（x-y）+n（x-y）=________.20、分解因式：________．21、因式分解：________．22、把多项式a3b﹣9ab分解因式的结果是________．23、分解因式：3x2y－6xy＋3y=________．24、因式分解：2a2+4a=________ 。
浙教版七下数学第四章因式分解培优试题及答案
最新浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解培优试题及答案一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()()y x y x y x +-=+22422B ．()2244aya ya -=-C ．()130132-+==-+x x x x D ．()222329124y x y xy x --=-+-2.多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2，则n m -的值是（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． 4 D ． ﹣43.下列各式分解因式正确的是( )A. 22269(3)x xy y x y ++=+B. 222249(23)x xy y x y -+=- C. 22282(4)(4)x y x y x y -=+- D. ()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+ 4．把a a 43-多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4-a aB.()()22-+a aC. ()()22-+a a aD. ()422--a5．已知0136422=+-++y x y x ，则代数式y x +的值为（ ） A ． ﹣1 B ． 1C ． 25D ． 366．要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，那么k 为（ ） A ．1，﹣1 B ．5，﹣5 C ．1，﹣1，5，﹣5 D ．以上答案都不对 7．要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．无数个8．已知a 为实数，且0223=+-+a a a ，则()()()1098111+++++a a a 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．19．把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 10．已知正数b a ,满足87222233-=+-+ab ab b a ab b a 则=-22b a （ ） A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．若多项式b ax x ++2分解因式的结果为()()21-+x x ，则b a +的值为12.若4,1a b ab +==，则22a b ab +的值为____________________13.已知0.2,31x y x y +=+=，则代数式2243x xy y ++的值为________________ 14.若关于x 的二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，则b k +的值为__________15.已知()()520192018=--a a ，则()()_________2019201822=-+-a a16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如22123-=，223516-=，则3和16是智慧数）.已知按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2 019个“智慧数”是____________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题12分）因式分解下列各式：（1）()()x y b y x a -+-2249 （2）()()m m m 891+-+（3）411623++-x x x （4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy（5）2232y xy x +- （6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.18.（本题8分）学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n 为整数，则(n ＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？19（本题8分）．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？20.（本题8分）（1）对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？ （2）已知y x ,都是正实数，且满足012222=-++++y x y xy x ，求()y x -1的最小值21（本题10分）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙 数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数． （1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？ （3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．22（本题10分）观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×_________＝__________×25；②__________×396＝693×_______________a ≤9，写出表示“数字对称(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤ba,)，并证明．等式”一般规律的式子(含b23（本题10分）．先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2=（x+1）（mx+n）∴当x=﹣1时，（x+1）（mx+n）=0∴当x=﹣1时，x2+ax﹣2=0∴1﹣a﹣2=0，∴a=﹣1（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？（填“是”或者“不是”）；（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．答案三．选择题：1. D2.C3.A4.C5.B6. C7.D8.D9.B 10. B四．填空题:11.3- 12. 4 13. 2.0 14.1- 15.11 16.2695三．解答题:17.解：（1）()()()()()b a b a y x x y b y x a 23234922-+-=-+-（2）()()()()33998889122-+=-=-+-=+-+m m m m m m m m m（3）4566411622323++--=++-x x x x x x x()()()()()()()()4312145614511622-+-=---=+---=x x x x x x x x x x（4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy ()()()y x y x y x y x y xy x 22242222---+=+---=()()22-+-=y x y x（5）()()y x y x y xy x --=+-23222（6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4()()()()422222112412412-=+-=+--+--=m m m m m m m18.解：()()()()()()220102237373722+=⨯+=+-+-++=--+n n n n n n n n∴()()2237---n n 能被20整除19.解：(a ＋b)2＋a(a ＋b)＋b(a ＋b)＋(b ＋a)2＝2(a ＋b)2＋(a ＋b)(a ＋b) ＝2(a ＋b)2＋(a ＋b)2＝3(a ＋b)2.因为a ＋b ＝10，所以3(a ＋b)2＝300. 答：这座商贸大楼共有商品300种．20.解：（1）∵()()()()()()124121257575722+=⨯+=+-+-++=--+n n n n n n n n∴对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2能被24整除（2）∴012222=-++++y x y xy x ，∴()()0122=-+++y x y x ，∴()()043=++-+y x y x ，∵y x ,都是正实数，∴3=+y x ，∴y x -=3∴()()()()1214434131222--=-+-=+-=--=-y y y y y y y y x∵()022≥-y ，∴最小值为1-21.解：（1）15和40是奇妙数， 理由：15＝42﹣12，40＝72﹣32． （2）设这两个数为2n ﹣1，2n +1 ∵（2n +1）2﹣（2n ﹣1）2＝8n ∴是8的倍数．（3）“奇妙数”从小到大排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19 ∴第12个奇妙数为1922.解：（1）等式的规律为：()()ba b b a a a b a b ab ⨯+=+⨯，∴①2557227552⨯=⨯，故答案为：275 572； ②3669339663⨯=⨯，故答案为：63 36；（2）∵左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，∴左边的两位数是10a ＋b ，三位数是100b ＋10(a ＋b )＋a ， 右边的两位数是10b ＋a ，三位数是100a ＋10(a ＋b )＋b ，∴一般规律的式子为：(10a ＋b )×[100b ＋10(a ＋b )＋a ]＝[100a ＋10(a ＋b )＋b ]×(10b ＋a )， 证明：左边＝(10a ＋b )×[100b ＋10(a ＋b )＋a ]＝(10a ＋b )(100b ＋10a ＋10b ＋a ) ＝(10a ＋b )(110b ＋11a )＝11(10a ＋b )(10b ＋a )右边＝[100a ＋10(a ＋b )＋b ]×(10b ＋a )＝(100a ＋10a ＋10b ＋b )(10b ＋a ) ＝(110a ＋11b )(10b ＋a )＝11(10a ＋b )(10b ＋a )，左边＝右边， ∴“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a ＋b )×[100b ＋10(a ＋b )＋a ]＝[100a ＋10(a ＋b )＋b ]×(10b ＋a ) 23.解：（1）x 2+x ﹣6=（x+3）（x ﹣2）． 故x+2不是x 2+x ﹣6的因式；（2）∵x 2﹣1是3x 4﹣ax 2+bx+1的因式，∴存在一个整式（3x 2+mx ﹣1），使得3x 4﹣ax 2+bx+1=（x 2﹣1）（3x 2+mx ﹣1）， ∴当x=1时，（x 2﹣1）（3x 2+mx ﹣1）=0，则3﹣a+b+1=0①， 当x=﹣1时，（x 2﹣1）（3x 2+mx ﹣1）=0，则3﹣a ﹣b+1=0②， 联立①②解得a=4，b=0． 故常数a 的值是4，b 的值是0． 故答案为：不是．。
2022年最新浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解章节练习试题(含答案解析)
初中数学七年级下册第四章因式分解章节练习（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A.﹣a 2﹣ab ﹣ac =﹣a （a +b +c ）B.x 2+x +1=（x +1）2﹣x C.（x +2）（x ﹣1）=x 2+x ﹣2 D.a 2+b 2=（a +b ）2﹣2ab 2、下列各式中，正确的因式分解是（ ）A.2222()()a b ab c a b c a b c -+-=+---B.2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+C.2()3()(23)()a b a b a a a b -+-=+-D.222422(222)(1)x x y x y x y ++-=+++-3、下列各式中，因式分解正确的是（ ）A.()22121x x x x ++=++B.()()22a b a b a b +=+-C.()222412923a ab b a b ++=+D.()231x x x x -=- 4、下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）A.2161x +B.221x x +-C.214x x -+D.2224a ab b +-5、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋cB.（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2D.a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1） 6、下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）A.x 2+4＝（x +2）2B.x 2﹣10x +16＝（x ﹣4）2C.x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）D.2xy +6y 2＝2y （x +3y ）7、小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x ﹣1，a ﹣b ，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a （x 2﹣1）﹣3b （x 2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A.我爱学B.爱新化C.我爱新化D.新化数学 8、下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A.2m ﹣2B.m 2+n 2C.m 2﹣nD.m 2﹣n +1 9、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.ab +bc +b ＝b （a +c ）+bB.a 2﹣9＝（a +3）（a ﹣3） C.（a ﹣1）2+（a ﹣1）＝a 2﹣a D.a （a ﹣1）＝a 2﹣a 10、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A.2x x x =⋅B.()()()()a x y b y x x y a b ---=-+C.()()2224a a a +-=-D.()222241221x y xy xy x y +-=+-11、下列式子的变形是因式分解的是（ ）A.() m x y mx my +=+B.()22 21441x x x -=-+ C.()()2 1343x x x x ++=++ D.()3 11x x x x x -=+-（）12、下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A.222a ab b ++B.22a b --C.22a b +D.22a b -13、已知222(3)x ax b x -+=-，则22b a - 的值是（ ）A.72-B.45-C.45D.7214、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.x 2+2x ﹣1＝(x ﹣1)2B.(a +b )(a ﹣b )＝a 2﹣b 2C.x 2+4x +4＝(x +2)2D.ax 2﹣a ＝a (x 2﹣1) 15、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.2x （x ﹣1）＝2x 2﹣2xB.4m 2﹣n 2＝（4m +n ）（4m ﹣n ） C.﹣x 2+2x ＝﹣x （x ﹣2） D.x 2﹣2x +3＝x （x ﹣2）+3 二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、边长为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为__．2、小明将（2020x +2021）2展开后得到a 1x 2+b 1x +c 1；小红将（2021x ﹣2020）2展开后得到a 2x 2+b 2x +c 2，若两人计算过程无误，则c 1﹣c 2的值是__________．3、若20182019a x =+，20182020b x =+，20182021c x =+，则多项式222a b c ab ac bc ++---的值为______________．4、若多项式x 2+ax +b 可分解为(x +1)(x +4)，则a ＝________，b ＝________．5、因式分解：22416a b _______．6、如果9x y +=，3x y -=，那么222x 2y -的值为______．7、已知a ＝2b ﹣5，则代数式a 2﹣4ab ＋4b 2﹣5的值是_____．8、请从24a ，2()x y +，16，29b 四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_____________________．9、因式分解：256x x --=______．10、分解因式：3mn 2﹣12m 2n ＝___．三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、因式分解：（1）2a 2b ﹣8ab 2+8b 3．（2）a 2（m ﹣n ）+9（n ﹣m ）．（3）81x 4﹣16．（4）（m 2+5）2﹣12（m 2+5）+36．2、如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：3，22，666，8888，对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”．将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为()F n ．如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和()213321132666F n =++=，是一个“同花数”．（1）计算：()432F ，()716F ，并判断它们是否为“同花数”；（2）若a 是“异花数”，证明：()F a 等于a 的各数位上的数字之和的111倍；（2）若“数”10010n p q =++（中p 、q 都是正整数，19p ≤≤，19q ≤≤），且()F n 为最大的三位“同花数”，求n 的值．3、（1）因式分解：()()29x m n n m -+-（2）解方程组：92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案；【详解】解：A 、把一个多项式转化成了几个整式的积，故A 符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积，故B 不符合题意；C 、是整式的乘法，故C 不符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积，故D 不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积.2、B【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案.【详解】解：A .2222()()a b ab c a b c a b c -+-=-+--，故此选项不合题意；B .2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+，故此选项符合题意；C .()()()()2323a b a b a a a b -+-=--，故此选项不合题意；D .()()222422211x x y x y x y ++-=+++-，故此选项不合题意；故选：B .【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.3、C【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案.【详解】解：A .2221(1)x x x ++=+，故此选项不合题意；B .22a b +，无法分解因式，故此选项不合题意；222.4129(23)C a ab b a b ++=+，故此选项符合题意；D .32(1)(1)(1)x x x x x x x -=-=-+，故此选项不合题意；故选：C .【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用提取公因式法以及公式法分解因式是解题关键.4、C【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；【详解】2161x +不能用完全平方公式，故A 不符合题意；221x x +-不能用完全平方公式，故B 不符合题意；221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，能用完全平方公式，故C 符合题意；22+-不能用完全平方公式，故D不符合题意；a ab b24故答案选C.【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键.5、D【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解：A、ax＋bx＋c＝（a＋b）x＋c，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a＋1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.6、D【分析】根据因式分解的方法解答即可.【详解】解：A、x2+4≠（x+2）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；B 、x 2-10x +16≠（x -4）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；C 、x 3-x =x （x 2-1）=x （x +1）（x -1），因式分解不彻底，故此选项不符合题意；D 、2xy +6y 2=2y （x +3y ），因式分解正确，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了因式分解的方法，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.运用提公因式法分解因式时，在提取公因式后，不要漏掉另一个因式中商是1的项.7、C【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案.【详解】解：()()223131a x b x --- ()()231x a b =--()()()311x x a b =+--，∵x ﹣1，a ﹣b ，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，故选：C .【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式.8、A【分析】分别根据提公因式法因式分解以及乘法公式逐一判断即可.【详解】解：A、2m﹣2＝2（m﹣1），故本选项符合题意；B、m2+n2，不能因式分解，故本选项不合题意；C、m2﹣n，不能因式分解，故本选项不合题意；D、m2﹣n+1，不能因式分解，故本选项不合题意；故选A.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法.9、B【分析】根据因式分解的定义逐项排查即可.【详解】解：根据因式分解的定义可知：A、C、D都不属于因式分解，只有B属于因式分解.故选B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解.10、B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据定义即可进行判断.【详解】解：A.2x x x =⋅，单项式不能因式分解，故此选项不符合题意；B.()()()()a x y b y x x y a b ---=-+，是因式分解，故此选项符合题意；C.()()2224a a a +-=-，是整式计算，故此选项不符合题意；D.()222241221x y xy xy x y +-=+-，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算.11、D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，由此结合选项即可作出判断.【详解】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D 、是因式分解，故本选项正确；故正确的选项为：D【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，属于基础题.12、D【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：A、a2＋2ab＋b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解.B、−a2−b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、a2＋b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2−b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；故选：D.【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键.平方差公式：a2−b2＝（a＋b）（a−b）.13、D【分析】直接利用完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，得出a，b的值，进而得出答案.【详解】解：∵x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，∴﹣2a＝﹣6，b＝9，解得：a＝3，故b2﹣a2＝92﹣32＝72.故选：D.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆完全平方公式是解题关键.14、C【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案.【详解】A. x2+2x﹣1≠(x﹣1)2，故A不符合题意；B. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)，故B不符合题意；C. x2+4x+4＝(x+2)2，是因式分解，故C符合题意；D. ax2﹣a＝a(x2﹣1)=a(x+1)(x-1)，分解不完全，故D不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义.15、C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据定义即可进行判断.【详解】解：A.2x（x﹣1）＝2x2﹣2x，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B.4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），故此选项不符合题意；C.﹣x2+2x＝﹣x（x﹣2），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；D.x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算.二、填空题1、70【分析】直接利用长方形的周长和面积公式结合提取公因式法分解因式计算即可.【详解】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，则a+b=7∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；故答案为：70【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a+b和ab的值是解题关键.2、4041【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论.【详解】解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212，∴c1=20212，∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202，∴c2=20202，∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041，故答案为：4041.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点.3、3【分析】将多项式多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac分解成12[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再把a，b，c代入可求.【详解】解：20182019201820201a b x x-=+--=-；20182020201820211b c x x-=+--=-；20182019201820212a c x x-=+--=-；∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝12[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12（1+4+1）＝3；故答案为：3.【点睛】本题考查了因式分解的应用，关键是将多项式配成完全平方形式.4、5 4【分析】把(x+1)(x+4)展开，合并同类项，可确定a、b的值.【详解】解：∵(x+1)(x+4)，=244x x x+++，=254x x ++，∴54a b ==，；故答案为：5，4.【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母的值.5、422a b a b【分析】先提公因式4，再利用平方差公式分解.【详解】解：22416a b -=2244a b=422a b a b故答案为：422a b a b .【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提平方差公式是解题关键.6、54【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可.【详解】解：222x 2y -=()222x y -=()()2x y x y +-=2×9×3=54，故答案是：54.【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键.7、20【分析】将a =2b -5变为a -2b =-5，再根据完全平方公式分解a 2-4ab +4b 2-5=（a -2b ）2-5，代入求解.【详解】解：∵a =2b -5，∴a -2b =-5，∴a 2-4ab +4b 2-5=（a -2b ）2-5=（-5）2-5=20.故答案为：20.【点睛】此题考查的是代数式求值，掌握完全平方公式是解此题的关键.8、4a 2-16=4（a -2）（a +2）【分析】任选两式作差，例如，4a 2-16，运用平方差公式因式分解，即可解答.【详解】解：根据平方差公式，得，4a 2-16，=（2a ）2-42，=（2a -4）（2a +4），=4（a -2）（a +2）故4a 2-16=4（a -2）（a +2），故答案为：4a 2-16=4（a -2）（a +2）.【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；属于基础题. 9、()()16x x +-【分析】根据十字相乘法分解即可.【详解】解：256x x --=()()16x x +-，故答案为：()()16x x +-.【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键.10、3mn (n －4m )【分析】根据提公因式法进行分解即可.【详解】3mn 2－12m 2n =3mn (n －4m ).故答案为：3mn (n －4m ).【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键.三、解答题1、（1）2b(a-2b) 2；（2）（m﹣n）（ a+3）（a-3）；（3）（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；（4）（m+1）2（m-1）2【分析】（1）先提取2b，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取（m﹣n），再利用平方差公式分解因式即可；（3）利用平方差公式分解因式，即可；（4）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可.【详解】解：（1）原式=2b(a2-4ab+4b2)=2b(a2-4ab+4b2)=2b(a-2b) 2；（2）原式=a2（m﹣n）-9（m﹣n）=（m﹣n）（ a2-9）=（m﹣n）（ a+3）（a-3）；（3）原式=（9x2﹣4）（9x2+4）=（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；（4）原式=[（m2+5）-6]2=（m2-1）2=（m+1）2（m-1）2.【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键.2、（1）(432)F 是同花数；(716)F 不是同花数；（2）见解析；（3）n 为162或153或135或126【分析】（1）由“同花数”定义，计算即可得到答案；（2）百位数的表示方法；（2）由“异花数”的定义，()F n 为最大的三位“称心数”得()999F n =且19p q ++=，计算n 的值为162或153或135或126.【详解】解：（1）(432)342234423999F =++=，(432)F ∴是同花数；(716)1676177611554F =++=，(716)F ∴不是同花数；（2）若a 是“异花数”10010a b c d ∴=++，（其中,,b c d 均为小于10的正整数），[]()100()10()()111()F a b c d b c d b c d b c d ∴=++++++++=++，()F a ∴等于a 的各数位上的数字之和的111； （３）异花数” 10010n p q =++，100110n p q ∴=⨯++，又19p ，19(q p ，q 为正整数），()F n 为最大的三位“同花数”，()999F n ∴=且19p q ++=，p ∴、q 取值如下：62p q =⎧⎨=⎩或53p q =⎧⎨=⎩或35p q =⎧⎨=⎩或26p q =⎧⎨=⎩， 由上可知符合条件三位“异花数”n 为162或153或135或126.【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是读懂新定义“同花数”和“异花数”.3、（1）()()()33m n x x -+-；（2）4332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）先提公因式()m n -，再利用平方差公式即可；（2）利用加减消元法先消去x ，求出y ，再将y 的值代入求出x ，进而确定方程组的解即可.【详解】解：（1）原式2()9()x m n m n =---2()(9)m n x =--()(3)(3)m n x x =-+-；（2）92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②3⨯-①得，1015y =，32y ∴=， 把32y =代入②得. 3610x +=，43x ∴=， ∴原方程组的解为4332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，二元一次方程组的解，掌握平方差公式的结构特征以及二元一次方程组的解法是正确解答的关键.。
浙教版七年级下数学第四章因式分解好题精选及答案
浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解好题精选题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共15小题）1．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）2．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）3．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）4．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．15．化简：，结果是（）A．B．C．D．6．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n 是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（）A．m＝4，n＝8 B．m＝﹣4，n＝8 C．m＝4，n＝﹣8 D．m＝﹣4，n＝﹣89．下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）（1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）；（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）A．1个B．2个C．3个D．4个10．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）11．若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n）2，则n等于（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．212．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（）A．60 B．50 C．25 D．1513．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南14．下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．x2﹣3x+2 B．x2﹣x+1 C．2x2﹣xy﹣y2D．x2+3xy+y215．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25 B．20 C．15 D．10第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共9小题）16．因式分解：1﹣4a2＝．17．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式例如，由图（1）可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为．18．已知xy＝，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝．19．已知a＝2018x+2017，b＝2018x+2018，c＝2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．20．已知m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+1＝．21．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则＝．22．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2＝b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是．23．因式分解：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝．24．分解因式：x3+3x2﹣4＝．评卷人得分三．解答题（共16小题）25．分解因式：（1）m2﹣4mn+4n2（2）2x2﹣18．26．分解因式（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2；（2）（a2+9）2﹣36a2（3）25m2﹣（4m﹣3n）2；（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．27．问题背景：对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x ﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2﹣40x+351；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．28．定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？29．阅读题．材料一：若一个整数m能表示成a2﹣b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，3＝22﹣12，9＝32﹣02，12＝42﹣22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M＝x2+2xy＝（x+y）2﹣y2，（x，y是整数），所以M也是”完美数”．材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F （n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F （18）＝＝．请解答下列问题：（1）8（填写“是”或“不是”）一个完美数，F（8）＝．（2）如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”．（3）若一个两位数n的十位数和个位数分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F（n）的最大值．30．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．（1）用代数式表示草坪的面积；（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a＝15，b＝2.5时草坪的面积．31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？32．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y233．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K 是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．34．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．35．一个能被11整除的自然数称为“一心一意数”，它的特征是去掉个位数字后，得到一个新数，新数减去原数的个位数字的差能被11整除，若所得差仍然较大不易判断，则可以再把差去掉个位数字，继续进行下去，直到容易判断为此，如：42581去掉个位是4258，4258减去1的差是4257，4257去掉个位后是425，425减去7的差是418，418去掉个位8后是41，41减去8的差是33，显然33能被11整除，所以42581是“一心一意数”．（1）请用上述规律判断2018和20180116是否是“一心一意数”；（2）一个能被66整除的自然数称为“祥和数”，已知一个四位“祥和数”（千位数字是a，十位数字是b，百位数字和个位数字都是c，0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），求的值．36．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为，m的值为；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．37．我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”．如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．（1）请判断42356是否为“超越数”（填“是”或“否”），若+4c＝13k（k为整数），化简除以13的商（用含字母k的代数式表示）．（2）一个四位正整数N＝，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F（4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．38．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a，b的代数式表示S1＝，S2＝；（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：；（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．39．发现与探索．（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解①a2﹣12a+20②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7③a2﹣6ab+5b2（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题．①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值．40．计算（ax+b）（cx+d）＝acx2+adx+bcx+bd＝acx2+（ad+bc）x+bd，倒过来写可得：acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图1所示．示例：例如因式分解：12x2﹣5x﹣2解：由图2可知：12x2﹣5x﹣2＝（3x﹣2）（4x+1）请根据示例，对下列多项式因式分解：①2x2+7x+6②6x2﹣7x﹣3参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B 13．C 14．B15．A 二．填空题（共9小题）16．（1﹣2a）（1+2a）17．（a+b）（2a+b），18．﹣25 19．3 20．2 21．﹣3 22．等腰三角形或直角三角形．23．（a+1）100 ．24．（x﹣1）（x+2）2．三．解答题（共16小题）25．解：（1）m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2；（2）2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）．26．解：（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2；＝﹣3x（x2+2xy+y2）＝﹣3x（x+y）2；（2）（a2+9）2﹣36a2＝（a2+9+6a）（a2+9﹣6a）＝（a+3）2（a﹣3）2；（3）25m2﹣（4m﹣3n）2＝（5m）2﹣（4m﹣3n）2，＝（5m+4m﹣3n）（5m﹣4m+3n）＝3（3m﹣n）（m+3n）；（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．27．解：（1）x2﹣40x+351＝x2﹣40x+400﹣49＝（x﹣20）2﹣49＝（x﹣20+7）（x﹣20﹣7）＝（x﹣13）（x﹣27）；（2）∵一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，∴这个长方形的长为：＝＝a+6b，即这个长方形的长是a+6b．28．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝，∴c＝＝，即a，b的“机智数”c是；（2）∵a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c＝，∴c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m；（3）∵c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m，c＝﹣m为一个整数，∴m＝1或m＝﹣1（舍去），即m的整数值是1．29．解：（1）∵8＝32﹣12，∴8是一个完美数，∵8＝1×8＝2×4，∴F（8）＝＝，故答案为：是，；（2）设m＝a2﹣b2，n＝c2﹣d2，其中a，b，c，d均为整数，则mn＝（a2﹣b2）（c2﹣d2），＝a2c2﹣a2d2﹣b2c2+b2d2，＝（a2c2+2abcd+b2d2）﹣（a2d2+2abcd+b2c2），＝（ac+bd）2﹣（ad+bc）2，∵a，b，c，d均为整数，∴ac+bd与ad+bc也是整数，即mn是“完美数”．（3）∵x+y能够被8整除，且1≤x≤y≤9，x，y都是整数，∴x+y＝8或16，∴n＝79或97或88或71或17或26或62或35或53或44，∵n为“完美数”，∴n为79或97或88或71或17或35或53或44，其中，79＝1×79，F（79）＝，97＝1×97，F（97）＝，88＝1×88＝2×44＝4×22＝11×8，F（88）＝，71＝1×71，F（71）＝，17＝1×17，F（17）＝，35＝1×35＝5×7，F（35）＝，53＝1×53，F（53）＝，44＝1×44＝2×22＝4×11，F（44）＝，∴F（n）的最大值是．故答案为：．30．解：（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；（2）当a＝15，b＝2.5时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（15+5）（15﹣5）＝200（平方米）．31．解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，∴28和2020是“和谐数”；（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．32．解：（1）x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a＝4a（x2﹣12x+32）＝4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．33．（1）解：31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；故答案为：是；（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z+100y+60+x，∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．34．解：（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，∴，得，即m的值是56，n的值是17．35．解：（1）2018去掉个位是201，208减去8的差是200，200去掉个位后是20，20减去0的差是20，20显然不能被11整除，所以2018不是“一心一意数”；20180116去掉个位是2018011，2018011减去6的差是2018005，2018005去掉个位后是201800，201800减去5的差是201795，201795去掉个位5后是20179，20179减去5的差是20174，20174去掉个位是2017，2017减去4的差是2013，2013去掉个位后是201，201减去3的差是198，显然198能被11整除，所以20180116是“一心一意数”；（2）∵是祥和数∴是66的倍数，即也是2的倍数，也是11的倍数．∴c是偶数∵能被11整除的正整数特征被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位上的数之和的差能被11整除∴a+b﹣2c＝11k且0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9∴a+b﹣2c＝11，0≤a+b≤18∴c＝2，则a+b＝15∴＝36．解：解方程组得：，即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，则2x2+3x﹣k＝（x﹣4）（2x+a），2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣8）x﹣4a，所以，解得：a＝11，k＝44，即另一个因式是2x+11，k＝44，故答案为：x﹣7，﹣21．37．解：（1）∵4235+4×6＝4259且4259不能整除13∴4235不是超越数．∵+4c＝13k∴10a+b+4c＝13k∴10a+b＝13k﹣4c∵＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c）∴＝10k﹣3c（2）由题意得d＝5，a＝c，∴N＝1000a+100b+10c+5∵N能被13整除∴设100a+10b+c+4×5＝13k∴101a+10b+20＝13k，且a正整数，b，k为非负整数，1≤a≤4∴a＝2，b＝9，k＝24 或a＝3，b＝8，k＝31，或a＝4，b＝7，k＝38∴F（N）＝|2+25﹣18|＝9，或F（N）＝|3+25﹣24|＝4，或F（N）＝|4+25﹣28|＝1∴F（N）最小值为1．38．解：（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），故阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；故答案是：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）观察图1和图2中阴影部分面积是相等的，故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）216﹣1＝（28﹣1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝15×17×（28+1）因为28+1是整数，故216﹣1既能被15整除，又能被17整除．39．解：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解①a2﹣12a+20解原式＝a2﹣12a+36﹣36+20＝（a﹣6）2﹣42＝（a﹣10）（a﹣2②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+12解原式＝（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+16﹣16+12＝（a﹣5）2﹣22＝（a﹣7）（a﹣3）③a2﹣6ab+5b2解原式＝a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2＝（a﹣3b）2﹣4b2＝（a﹣5b）（a﹣b）（2）①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．a2﹣12a+20解原式＝a2﹣12a+36﹣36+20＝（a﹣6）2﹣16∵无论a取何值（a﹣6）2都≥0∴代数式（a﹣6）2﹣16≥﹣16，∴a2﹣12a+20的最小值为﹣16．②∵无论a取何值﹣（a+1）2≤0∴代数式﹣（a+1）2+8小于等于8，则﹣（a+1）2+8的最大值为8．﹣a2+12a﹣8．解原式＝﹣（a2﹣12a+8）＝﹣（a2﹣12a+36﹣36+8）＝﹣（a﹣6）2+36﹣8＝﹣（a﹣6）2+28∵a取何值﹣（a﹣6）2≤0，∴代数式﹣（a﹣6）2+28≤28∴﹣a2+12a﹣8的最大值为28．40．解：由题意可知：①2x2+7x+6＝（x+2）（2x+3）②6x2﹣7x﹣3＝（2x﹣3）（3x+1）。
浙教版2022-2023学年七下数学第四章 因式分解 培优测试卷
浙教版2022-2023学年七下数学第四章因式分解培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列添括号正确的是（）A．b+c=−(b+c)B．−2x+4y=−2(x−4y)C．a−b=+(a−b)D．2x−y−1=2x−(y−1)2．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1B．ab+ac+1=a（b+c）+1C．a2-2a-3=（a-1）（a-3）D．a2-8a+16=（a-4）23．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2−1B．a2+aC．(a−1)2−a+1D．(a+2)2−2(a+2)+14．下列因式分解正确的是（）A．x2−2x+4=(x−2)2B．4x2−y2=(4x+y)(4x−y)C．x2−12x+116=(x−14)2D．a4b−6a3b+9a2b=a2b(a2−6a+9)5．将m3n−mn进行因式分解，正确的是（）A．m(m2n−n)B．mn(m−1)2C．mn(m+1)(m−1)D．mn(m2−1)6．若多项式4x2−6mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值是（）A．m=±2B．m=±1C．m=2D．m=−27．计算101×1022−101×982=（）A．404B．808C．40400D．808008．将多项式x2＋4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是（）A．﹣4x B．4x C．116x4D．116x29．现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×101710．如图1，把一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图2那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是()A．2m B．(m+n)²C．(m-n)2D．m²-n²二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．因式分解：4x4−100x2y2=．12．x2+kx+9是完全平方式，则k＝．13．多项式4x3y2+8x2y3−2x2y分解因式时所提取的公因式是.14．设P=a2(−a+b−c)，Q=−a(a2−ab+ac)，则P与Q的关系是.15．已知x2﹣3x＝2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是．16．若M=101×2020×2029，N=2028×2021×101，则M−N=．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．分解因式：（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）（2）﹣a4+16（3）a2b﹣2ab+b （4）3（x﹣2y）2﹣3x+6y．18．已知m、n互为相反数，且满足(m+4)2−(n+4)2=16，求m2+n2−mn的值.19．如果x2+Ax+B=（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．20．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）因式分解：a2−6ab+9b2−25；（2）因式分解：x2−4y2−2x+4y．21．（1）已知y(2x+1)−x(2y+1)=−3，求6x2+6y2−12xy的值；（2）已知a2−a−1=0，求a3−2a+2019的值.22．观察下列式子的因式分解做法：①x2-1=(x-1)(x+1)；②x3﹣1=x3﹣x+x﹣1=x（x2﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x+1）+1]=（x﹣1）（x2+x+1）；③x4﹣1=x4﹣x+x﹣1=x（x3﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想x n﹣1=；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．45+44+43+42+4+1= 13×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）= 13×（46﹣1）= 46−13．23．【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项例1分解因式：x 4+4解：原式＝x 4+4x 2+4﹣4x 2＝（x 2+2）2﹣4x 2＝（x 2﹣2x +2）（x 2+2x +2）例2分解因式：x 3+5x ﹣6解：原式＝x 3﹣x +6x ﹣6＝x （x 2﹣1）+6（x ﹣1）＝（x ﹣1）（x 2+x +6）【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：（1）分解因式：x 2+16x ﹣36＝ ．（2）运用拆项添项法分解因式：x 4+4y 4．（3）化简： x 3−x 2−4x−2 ．24．已知下列等式：（ 1 ）32﹣12=8，（ 2 ）52﹣32=16，（ 3 ）72﹣52=24，……（1）请仔细观察，写出第四个式子；（2）根据以上式子的规律，写出第n 个式子，并用所学知识说明第n 个等式成立；（3）利用（2）中发现的规律计算：8+16+24+…+792+800．。
第4章 因式分解 浙教版数学七年级下册基础练习题(含答案)
浙教版七下第四章习题一、单选题1、下列因式分解正确的是( )A.()322824x x x x -=-B.()()22444a b a b a b -=+-C.()()24422y y y y -+=+-D.()()25623x x x x ++=++2、在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是( )A.22()()a b a b a b +-=-B.22()()a b a b a b -=+-C.2222()a ab b a b ++=+D.222()2a b a ab b -=-+3、下列等式从左到右属于因式分解的是( )A.()22221xy x x y xy -=-B.()()25525m m m +-=-C.()()222211a a a -=+-D.()()24232n n n n +-=-++4、给出下列各式: ①21a +; ①222a ab b --; ①2a a -; ①221a a -+. 其中能在有理数范围内分解因式的有( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5、多项式xy x -的公因式是( )A.xB.1x -C.yD.xy6、计算20212020(2)(2)-+-的值是( )A.-2B.20202-C.20202D.27、在多项式32384a b a bc -中，各项的公因式是( )A.24abB.224a bC.34a bcD.34a b8、化简：()a b c d ---+的结果是( )A.a b c d --+B.a b c d ---+C.a b c d ++-D.a b c d -++-9、把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是( )A.1m +B.2mC.2D.2m +10、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )A.22a b +B.22a b -C.22a b --D.22a b -11、下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )A.B. C.222510x y xy --+D.22255x y xy ++二、填空题12、分解因式：24n -=____________.13、因式分解：___________. 14、因式分解: 24ab a -=____________.15、因式分解：2a b a -=_____.16、分解因式：269x x -+=________.17、因式分解：()()269m n m n -+++=____________.18、若正方形的面积是(0x >，)，则该正方形的边长为______________. 19、若把二次三项式228x ax +-分解因式，得到的结果是(4)(7)x x -+，则a 的值是_________.20、在括号内填上适当的因式：（1）24x x ++_______=(____________)2；（2）(__________)29n +=(________).221025x xy y +-222510x y xy -++224x y -2296x xy y ++0y >x +24m +2三、解答题21、连一连：228149x y -22142814a ab b -+3(2)x x -+ 236x x --214()a b - (97)(97)x y x y +-22、下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）；（2）2(5)(5)25x x x +-=-；（3）；（4）29613(32)1x x x x -+=-+；（5）211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. 23 、写出下列多项式各项的公因式：（1）； （2）3222a x a y -；（3）；（4）35()10()a b a b -+-.24、因式分解：（计算题专练）（1）ma mb + （2）236x -. （3）()()22y a b x b a -+-.（4）2()5()m a c a c --- （5）； （6）；（7） . （8）； （9）4416x y -.2(1)m m +322m m m ++22446x y x xy =⋅223(3)(1)x x x x +-=+-2326x x +23222416m x n x -+269xy x y -2()()a b b a ---224()6()xy x y x y x y +-+22516x -（10）2ab a -； （11）()22214a a +-. （12）22344xy x y y --；（13）22x y ax ay ---. (14)244x x -+ (15)()()24a x y x y ---(16)43244x x x -+； (17)22(2)(2)x x y x -+-. （18）229a b -；（19）22242a ab b -+. （20）24ax ay -； （21）()()1124x x +++.（22）22312x y -. (25)36mx my -； (24)3269y y y ++.(25)321025a b a b ab -+-； (26)()()2294a x y b y x -+-.（27）2144x x ++； （28）2242025a ab b -+；（29）29()42()49a b a b -+-+； （30）2(2)8x y xy -+.（31）25、利用因式分解计算：（1）22124252576⨯-⨯； （2）222020404020192019 ; -⨯+（3）222202420298298⨯+⨯⨯+⨯.26、利用因式分解计算：（1）226.4 3.6-； （2）22151019915⨯-⨯.27、若多项式2x ax b ++可分解因式为(1)(2)x x +-，试求a ，b 的值.28、已知多项式24x x m -+分解因式的结果为()(6)x a x +-，求2a m -的值.29、将2()()()x x y x y x x y +--+分解因式，并求当1x y +=，时此式子的值.30、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，请将原多项式分解因式.31、阅读下列文字与例题.将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是分组分解法.例如： 12xy =①()()()()m a b n a b m n a b +++=++；②()222222121x y y x y y x ---=-++=-2(1)(1)(1)y x y x y +=++--.试用上述方法分解因式：（1）2436a b ma mb +--；（2）.32、阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式因式分解时，如果能满足且p m n =+，则可以把2x px q ++因式分解成()()x m x n ++.（1）243(1)(3)x x x x ++=++；（2）2412(6)(2)x x x x --=-+.材料2：分解因式：2()2()1x y x y ++++.解：将“x y +”看成一个整体，令x y A +=，则原式221(1)A A +=+，再将“A ”还原，得原式2(1)x y =++.上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1把268x x -+分解因式；（2）结合材料1和材料2，解决下列问题：①分解因式：2()4()3x y x y -+-+；②分解因式：()2(2)223m m m m ++--. ()()am an bm bn am bm an bn +++=+++=222a ab ac bc b ++++q mn =参考答案1-5 D B C B A6-10 B D D D D 11、C 6、()20212020202202200200(2)(2212)(2)(2)=⨯-+=-=--+---. 12、(2)(2)n n +- 13、14、答案：()2244(2)(-2)a ab a a b b b -=-=+15、答案：(1)a ab - 16、答案：2(3)x -17、答案： 解析：原式222()2()33(3)m n m n m n =+-⋅+⋅+=+-.18、答案：3x y +解析：因为22296(3)x xy y x y ++=+，所以正方形的边长为.19、答案：3，.20、答案：（1）4，2；（2），21、答案：22、答案：(1)因式分解是针对多项式来说的,故(1)不是因式分解; ()()22x y x y +-()23m n +-3x y +22228(4)(7)7428328x ax x x x x x x x +-=-+=+--=+-3a ∴=12mn ±23m n±(2)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(3)是因式分解;(4)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(5)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解. 故(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.23、（1）22x （2）2a ；（3）28x -；（4）5()a b -.24、（1）()m a b +（2）()()66x x +-. （3）()()2y x a b --（4）()()25a c m --(5)原式3(2-3)xy x =.(6)原式2()()()(1)a b a b a b a b =-+-=--+.(7)原式2()[2()3]2()(2)xy x y x y x xy x y y x =+⋅+-=+-.（8）22225165(4)(54)(54)x x x x -=-=-+.（9）.（10）()()11a b b +- （11）22(1)(1)a a +- （12）()22y x y -- （13）()()x y x y a +-- (14)()41x x -- (15)()(2)(2)x y a a -+-(16)22(21)x x - (17)(2)()()x x y x y -+-（18）()()33a b a b +- （19）()22a b -（20）22()()a x y x y +- （21）232x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()()()4422222216444(2)(2)x y x y x y x y x y x y -=+-=++-（22） (23)原式()32m x y =-； (24)原式()23y y =+. (25)321025a b a b ab -+-()21025ab a a -=-+()25ab a =--； (26)()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =--+.（27）22144(12)x x x ++=+.（28）22242025(25)a ab b a b -+=-.（29)2229()42()49[3()7](337)a b a b a b a b -+-+=-+=-+.（30）222222(2)844844(2)x y xy x xy y xy x xy y x y -+=-++=++=+（31）25、答案：（1）原式()222512476=⨯-()()322x y x y +-()269y y y =++25(12476)(12476)2520048240000.=⨯+⨯-=⨯⨯=（2）原式222220202202020192019(20202019)11=-⨯⨯+=-==（3）原式222(20298)2300290000180000.=⨯+=⨯=⨯= 26、（1）.（2）()2222151019915151019915(10199)(10199)⨯-⨯=⨯-=⨯+⨯-=. 27、答案：解：由题意，得2(1)(2)x ax b x x ++=+-.而，所以222x ax b x x ++=--.比较两边系数，得1,2a b =-=-.解析：计算(1)(2)x x +-的结果中，x 的一次项系数为a ，常数项为b .28、答案：解：由题意得.64,6a m a ∴-=-=-，..29、答案：.当时，原式. 30、答案：设原多项式为（其中a ，b ，c 均为常数，且0abc ≠）.一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，()22220222029898=⨯+⨯⨯+226.4 3.6(6.4 3.6)(6.4 3.6)10 2.828-=+⨯-=⨯=1520026000⨯⨯=2(1)(2)2x x x x +-=--224()(6)(6)6x x m x a x x a x a -+=+-=+--2,12a m ∴==-2221216a m ∴-=⨯+=2()()()()[()]2()x x y x y x x y x x y x y x y xy x y +--+=+--+=-+11,2x y xy +==12()2112xy x y =-+=-⨯⨯=-2ax bx c ++，2a ∴=，，另一位同学因看错了常数项而分解成，，，原多项式为，将它分解因式，得.解析：因为含字母x 的二次三项式的一般形式为（其中a ，b ，c 均为常数，且），所以可设原多项式为.看错了一次项系数即将b 值看错，而a 与c 的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出a 与c 的值；同样，看错了常数项即将c 值看错，而a 与b 的值正确，可将2(2)(4)x x --运用多项式的乘法法则展开求出b 的值，进而得出答案.31、答案：（1）(23)(46)a ma b mb =-+-(2)(23)a b m =+-.（2）()222()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++.222(1)(9)2(109)22018x x x x x x --=-+=-+18c =2(2)(4)x x --222(2)(4)2(68)21216x x x x x x --=-+=-+12b ∴=-∴221218x x -+222212182(69)2(3)x x x x x -+=-+=-2ax bx c ++0abc ≠2ax bx c ++2(1)(9)x x --2436a b ma mb +--(23)2(23)a m b m =-+-222a ab ac bc b ++++32、答案：（1）268(2)(4)x x x x -+=--.（2）①令x y A -=，则原式243(1)(3)A A A A =++=++， 所以2()4()3(1)(3)x y x y x y x y -+-+=-+-+. ②令22m m B +=，则原式2(2)323(1)(3)B B B B B B =--=--=+-， 所以原式()()2222123(1)(1)(3)m m m m m m m =+++-=+-+。
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新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题一．选择题（共6小题）1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y22．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．63．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．∴解得，n=﹣7，m=﹣21，∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（）A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣45．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×10176．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共7小题）7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是．10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2=．12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．三．解答题（共5小题）14．如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=．（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你画的图中需C类卡片张．②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）①xy=②x+y=m ③x2﹣y2=m•n ④x2+y2=．15．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=画出拼图．16．如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．请解答下列问题：（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S1，则S1=；②图2中长方形（阴影部分）的长表示为，宽表示为，设图2中长方形（阴影部分）的面积为S2，那么S2=（都用含a、b的代数式表示）；（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：；（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24﹣1）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）=（216﹣1）（216+1）（232+1）=（232﹣1）（232+1）=264﹣1阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5．17．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2+5x﹣7，具体步骤为：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2=2×1，把常数项﹣7也分解为两个因数的积，即﹣7=﹣1×7；②按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×（﹣1）+1×7=5．③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x﹣7进行因式分解了，即2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）．例：分解因式：2x2+5x﹣7解：2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：（1）x2+4x+3（2）2x2+3x﹣20．18．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：能直接运用完全平方公式进行因式分解的是x2y2﹣xy+1=（xy﹣1）2．故选B．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2008•淮安校级一模）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），∴a=﹣1+12=11，1+（﹣12）=﹣11，﹣2+6=4，2+（﹣6）=﹣4，﹣3+4=1，3+（﹣4）=﹣1，即a=±11，±4，±1共6个．故选D．【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解﹣12是解题的关键．3．（2010•拱墅区二模）任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．【解答】解：依据新运算可得①2=1×2，则，正确；②24=1×24=2×12=3×8=4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1，正确；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），如64=43=8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选C．【点评】本题考查因式分解的运用，此题的关键是读懂新运算，特别注意“把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”这句话．4．（2015•张家口二模）已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．∴解得，n=﹣7，m=﹣21，∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（）A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4【分析】所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，，解得：a=4，k=20．故另一个因式为（x+4），k的值为20．故选：B．【点评】此题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．5．（2015•河北模拟）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×1017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．故选D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2014秋•博野县期末）设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状．三边相等的为等边三角形，且一定也是等腰三角形和三个角都为60度的锐角三角形，又由于三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形，包括锐角三角形和钝角三角形，等边三角形也属于斜三角形．【解答】解：由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得，则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0∴a=b=c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形故选A．【点评】此题要根据三角形三条边的关系判断三角形的形状，要知道两边相等的三角形为等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，且等边三角形一定是等腰三角形、锐角三角形和斜三角形．另外还要知道平方差公式，如（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2二．填空题（共7小题）7．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是0．【分析】运用提公因式法进行因式分解，然后根据2n的个位数字的规律进行分析．【解答】解：∵2m+2007+2m+1=2m+1（22006+1），2006÷4=501…2，∴22006+1的个位数字是4+1=5，又2n的个位数字是2或4或8或6，∴2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是0．故答案为0．【点评】此题综合考查了因式分解法和数字的规律问题．注意：2n的个位数字的规律是2、4、8、6四个一循环．10．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab 计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．11．（2015春•深圳校级期中）若a+b=5，ab=，则a2﹣b2=±20．【分析】将a+b=5两边平方，把ab=代入求出a2+b2的值，利用完全平方公式求出a﹣b的值，原式利用平方差公式分解，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，把ab=代入得：a2+b2=25﹣=，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=﹣=16，即a﹣b=±4，则原式=（a+b）（a﹣b）=±20，故答案为：±20．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．13．（2012•市中区校级二模）若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为﹣2．【分析】由已知条件得到m2﹣n2=n﹣m，则m+n=﹣1，然后利用m2=n+2，n2=m+2把m3﹣2mn+n3进行降次得到m（n+2）﹣2mn+n（m+2），再去括号合并得到2（m+n），最后把m+n=﹣1代入即可．【解答】解：∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），∴m2﹣n2=n﹣m，∵m≠n，∴m+n=﹣1，∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n）=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了因式分解的应用：运用因式分解可简化等量关系．三．解答题（共5小题）14．（2016春•邗江区期中）如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2．（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你画的图中需C类卡片6张．②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为（a+2b）（a+3b）（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上①②③④（填写序号）①xy=②x+y=m ③x2﹣y2=m•n ④x2+y2=．【分析】（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．（2）根据等式即可得出有6张，根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出x+y=m，m2﹣n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．【解答】解：（1）（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，故答案为：a2+3ab+2b2；（2）①∵长方形的面积为a2+5ab+6b2，∴画的图中需要C类卡片6张，故答案为：6．②a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），故答案为：（a+2b）（a+3b）．（3）解：根据图③得：x+y=m，∵m2﹣n2=4xy，∴xy=，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=mn，∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=m2﹣2×=，∴选项①②③④都正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了分解因式，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．15．（2015春•杭州期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是（a+2b）•（a+b）；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b）画出拼图．【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2=（a+2b）•（a+b），（4）先分解因式，再根据边长画图即可．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；故答案为：2，3．（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b）•（a+b），故答案为：（a+2b）•（a+b）．（4）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），如图，故答案为：（a+2b）（a+3b）．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．16．（2015秋•万州区期末）如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．请解答下列问题：（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S1，则S1=a2﹣b2；②图2中长方形（阴影部分）的长表示为a+b，宽表示为a﹣b，设图2中长方形（阴影部分）的面积为S2，那么S2=（a+b）（a﹣b）（都用含a、b 的代数式表示）；（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24﹣1）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）=（216﹣1）（216+1）（232+1）=（232﹣1）（232+1）=264﹣1阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5．【分析】（1）利用大正方形面积减小正方形面积即可得到．（2）根据长方形面积公式即可求出．（3）为了可以利用平方差公式，前面添（3﹣1）即可．【解答】解：（1）①S1=大正方形面积﹣小正方形面积=a2﹣b2，故答案为a2﹣b2．②根据图象长为a+b，宽为a﹣b，S2=（a+b）（a﹣b）．故答案分别为a+b、a﹣b、（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可知a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故答案为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）…（316+1）+0.5=（32﹣1）（32+1）…（316+1）+0.5=（332﹣1）+0.5=×332．【点评】本题考查了正方形、长方形的面积公式以及利用面积法证明平方差公式，灵活运用平方差公式是解题的关键．17．（2015秋•宜宾期中）在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2+5x﹣7，具体步骤为：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2=2×1，把常数项﹣7也分解为两个因数的积，即﹣7=﹣1×7；②按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×（﹣1）+1×7=5．③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x﹣7进行因式分解了，即2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）．例：分解因式：2x2+5x﹣7解：2x2+5x﹣7=（2x+7）（x﹣1）请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：（1）x2+4x+3（2）2x2+3x﹣20．【分析】（1）将常数项分解为3和1，进而分解因式得出答案；（2）利用ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：（1）x2+4x+3=（x+3）（x+1）；（2）2x2+3x﹣20=（x+4）（2x﹣5）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【分析】仿照题中的方法，得到十字相乘法的技巧，分别将各项分解即可．【解答】解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式=（x﹣7）（x+1）；（3）原式=（a﹣b）（a+5b）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．。