九年级数学下册第27章相似小结精品导学案新人教版

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人教版九年级下册第27章：相似总结学案(PDF版,解析版)

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22) 如下图，直角△ABC 中，∠BAC＝90°，D 在 BC 上，连接 AD，作 BF⊥AD 分别交 AD 于 E，AC 于 F。（10 分） 1 如图①，若 BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE； 2 如图②，若 BD＝4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG 交 AD 于 M
2) 在图中，取 CE 上一点 H，使∠CFG＝∠B，若 BG＝1，求 EH 的长。
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二：测验（满分：100 分；限时：60 分钟）
1：选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1) 如下图所示是△ABC 位似图形的几种画法，其中正确的个数是( D )
A. 1
B. 2
C. 3
2) 下列各组中的四条线段成比例的是( C )
中点时， CD 的值为( B ) AD
2
A.
3
B. 5 1 2
C. 3 2
3
D.
5
8. 如右图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 交于点 O， DO ∶ BO ＝ 1 ∶ 2 ，点 E 在 CB 的延长线上，如果
S△ AOD∶S△ ABE 1∶3 ，那么 BC∶BE＝ 2∶1 。
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2：填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11) 如果两个相似三角形的面积比是 4∶9，那么它们对应高的比是 2∶3 。
12) 如右图，在△ABC 中，MN∥BC 分别交 AB、AC 于点 M、 N。若 AM＝1，MB＝2，BC＝3，则 MN 的长为 1 。
9. 如右图，△ABC 中，∠C＝90°，CA＝CB，D 为 AC 上一点， AD ＝ 2CD ，若 AE ⊥ AB ，交 BD 的延长线于 E ，

2018年九年级数学下册第二十七章相似小结与复习导学案 (新版)新人教版

第27章小结与复习一、知识回顾1．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得对应线段____________． 2．相似三角形的对应边、对应高、对应周长比都等于____________，而面积的比等于相似比的____________ ．3．相似三角形的判定方法有：(1)两角对应____________，两三角形相似；(2)两边对应成比例，且____________相等，两三角形相似； (3)三边对应____________，两三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他的两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形____________；(5)斜边的比等于一组____________的比的两个直角三角形相似．4．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于____________，位似图形的对应边分别为____________．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应坐标的比为____________．二、随堂检测.1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为( ) A ．1∶4 B．1∶2C．1∶16 D．无法确定2．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE∥BC 交AC 于点E ，若线段DE ＝5，则线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．203．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是( )A ．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB 2＝AD·AC D.AD AB ＝AB BC4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m ，BC ＝8m ，则旗杆的高度是( )A ．6.4mB ．7mC ．8mD ．9m5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为(5，0)，则点A 的坐标为( )A ．(2，5)B ．(2.5，5)C ．(3，5)D ．(3，6)6．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A.5B.136C ．1 D.567．如图，已知⊙O 是等腰Rt△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．1.28．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA∶O 1A 1＝k(k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A 1O 1B 1；②△AOB∽△A 1O 1B 1；③ABA 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为________．10．如图，直线l 1、l 2、…、l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F.若BC ＝2，则EF 的长是________．11．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF⊥DE 于点O ，则AODO等于________．12．平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EF∶FC的值是________．13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：AC ＝________，AB ＝________；(2)判断△CAB 和△DEF 是否相似，并说明理由．14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC的高度．在检测过程中的存在哪些困惑与建议填写在下面,并与同学交流。

九年级数学下册27相似小结学案新版新人教版

小结学习目标1.理解相似图形及比例线段的概念,能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.3.理解并掌握相似三角形的判定和性质,能进行相关证明和计算.4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.学习过程第一层学习:回顾思考1.相似三角形有哪些性质?位似图形呢?答:2.三角形的相似与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相似?答:3.举例说明三角形相似的一些应用.答:4.如何利用位似将一个图形放大或缩小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,并举出一些它们的实际应用的例子吗?提示:答:第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】已知aa =aa=3,则a+aa+a(b+d≠0)的值是.【思路点拨】由已知可知:3b=a,3d=c,得到a+aa+a(b+d≠0)的值.解析:2.相似三角形的判定与性质【例2】如图所示,在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AD,BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.【思路点拨】先求与△GDE相似的△GAB的面积,由相似比为1∶2,得S△ABG=4,再根据△AGE,△BGD分别与△GDE等高,可得面积为△GDE的面积的2倍,从而可以得到四边形ABDE 的面积,只要求出△DEC的面积即可得出所求.解:【例3】如图所示,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,连接CE.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;的值.(3)连接DE,交AC于点F.若AD=4,AB=6,求aaaa【思路点拨】(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可得△ADC∽△ACB,从而得AB=AE,则∠DAC=∠ECA,得到CE∥AC2=AB·AD.(2)由E为直角三角形斜边AB的中点,得CE=12AD.(3)证△AFD∽△CFE,由相似三角形的对应边成比例,求得aa的值.aa解:【例4】如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的☉O交BC于点D,过D作MN⊥AC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG⊥MN于G.(1)求证:△BGD∽△DMA;(2)求证:直线MN是☉O的切线.【思路点拨】(1)根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM,再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明△BGD∽△DMA;(2)连接OD.由三角形中位线的性质得出OD∥AC,根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG,由平行公理推论得到OD∥BG,再由BG⊥MN,可得OD⊥MN,然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是☉O的切线.证明:3.相似三角形的应用【例5】一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时(身高BN=AM)的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)【思路点拨】根据AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC得到MA∥CD∥BN,从而得到△ABN∽△ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.解:4.位似图形的画法与性质【例6】如图所示,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;(2)分别写出B,C两点的对应点B',C'的坐标;(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M'的坐标.【思路点拨】(1)延长BO,CO分别到B',C',使OB',OC'的长度分别是OB,OC的2倍.顺次连接三点即可.(2)从直角坐标系中,读出B',C'的坐标.(3)观察坐标之间的关系可得M'的坐标为(-2x,-2y).解:评价作业1.(6分)下列四条线段中,不是成比例线段的是()A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=83,b=8,c=5,d=15C.a=1,b=√2,c=√5,d=√3D.a=√2,b=1,c=√6,d=√32.(6分)△ABC∽△A'B'C',∠A=45°,∠B=100°,则∠C'等于()A.45°B.100°C.55°D.35°3.(6分)如图所示,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F,若aa aa =23,DE=4,则EF的长是()A.83B.203C.6D.104.(6分)如图所示,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于()A.2∶5B.2∶3C.3∶5D.3∶25.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A.√5-12B.√5+12C.√5-1D.√5+16.(8分)如图所示,∠1=∠2,添加一个条件使△ADE∽△ACB:.7.(8分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D,BC=√6,BD=1,则CD=,AD=.8.(8分)为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从F 处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB 的高度为m.9.(10分)如图所示,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.10.(10分)如图所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.(1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1,画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧);(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.11.(12分)如图所示,直线PM切☉O于点M,直线PO交☉O于A,B两点,弦AC∥PM,连接OM,BC.求证:(1)△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP·BC.12.(14分)如图,王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米,BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜,△AMN区域种植芹菜,△CME和△BNF区域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不计),其中点M,N分别在AC,AB上,点E,F在BC上,已知韭菜每平方米收益100元,芹菜每平方米收益60元,青菜每平方米收益40元,设CM=5x米,王爷爷的蔬菜总收益为W元.(1)当矩形MNFE恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形MNFE的面积.(2)若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍,求这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值.参考答案学习过程第一层学习:回顾思考1.答:相似三角形的性质有:(1)相似三角形的对应边成比例,(2)相似三角形的对应角相等,(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比,(4)相似三角形的周长比等于相似比,(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.2.答:三角形的相似包括三角形的全等,三角形的全等是相似比为1的三角形的相似.判断两个三角形相似的常用方法是:(1)利用平行线判定三角形相似:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.符合这一特征的图形有两种:“A”型和“X”型.(2)判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.(3)判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.(5)直角三角形相似的判定:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 3.答:应用相似三角形可以测量不易直接得到的距离,如测河宽、测旗杆高等. 4.答:应用位似作图的一般步骤是:①确定位似中心:画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.②连接关键点与位似中心:找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点. ③画出对应点:根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点,得到新的图形.④写出作图的结论.平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是:图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.第二层学习:典例剖析 1.比例线段【例1】解析:由aa =aa =3,得3b=a ,3d=c ,∴a +a a +a =3a +3aa +a=3(a +a )a +a=3.答案:32.相似三角形的判定与性质【例2】解:∵D ,E 分别是BC ,AC 的中点,∴DE ∥AB ,DE=12AB , ∴△AGB ∽△DGE ,∴a △aaaa△aaa=(aa aa )2=4.∵S △GDE =1,∴S △ABG =4.∵△AGE 的AG 边上的高与△GDE 的DG 边上的高相等, ∴a △aaaa△aaa=aaaa =aaaa=2,∴S △AGE =2, 同理可得S △GBD =2,∴S 四边形ABDE =4+2+2+1=9. ∵DE ∥AB ,∴△EDC ∽△ABC ,设S △ABC =x ,则aa -9=(21)2,解得x=12,即S △ABC =12. 【例3】解:(1)∵AC 平分∠DAB , ∴∠DAC=∠CAB.∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC ∽△ACB , ∴AD ∶AC=AC ∶AB ,∴AC 2=AB ·AD. (2)∵E 为AB 的中点,∴CE=12AB=AE ,∴∠EAC=∠ECA.∵∠DAC=∠CAB ,∴∠DAC=∠ECA ,∴CE ∥AD. (3)由(2)知CE ∥AD , ∴△AFD ∽△CFE. ∴AD ∶CE=AF ∶CF. ∵CE=12AB ,∴CE=12×6=3. ∵AD=4,∴43=aa aa ,∴aa aa =74.【例4】证明:(1)∵MN ⊥AC 于点M ,BG ⊥MN 于G , ∴∠BGD=∠DMA=90°.∵以AB 为直径的☉O 交BC 于点D , ∴AD ⊥BC ,∠ADC=90°, ∴∠ADM+∠CDM=90°.∵∠DBG+∠BDG=90°,∠CDM=∠BDG , ∴∠DBG=∠ADM. ∴△BGD ∽△DMA.(2)如图所示,连接OD. ∵BO=OA ,BD=DC ,∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD ∥AC. ∵MN ⊥AC ,BG ⊥MN , ∴AC ∥BG ,∴OD ∥BG. ∵BG ⊥MN ,∴OD ⊥MN , ∴直线MN 是☉O 的切线. 3.相似三角形的应用【例5】解:设路灯高CD 为x m, ∵AM ⊥EC ,CD ⊥EC ,BN ⊥EC ,EA=MA , ∴MA ∥CD ∥BN ,EC=CD=x ,∴△ABN ∽△ACD ,∴aa aa =aaaa ,即1.75a=1.25a -1.75,解得x=6.125≈6.1. ∴路灯高CD 约为6.1 m . 4.位似图形的画法与性质【例6】解:(1)如图所示.(2)B'(-6,2),C'(-4,-2).(3)M 的对应点M'的坐标为(-2x ,-2y ).评价作业1.C2.D3.C4.B5.C6.∠B=∠E (答案不唯一)7.√5 58.39.解:(1)当CD 2=AC ·DB 时,△ACP ∽△PDB.∵△PCD 是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=60°,∴∠ACP=∠PDB=120°,若CD 2=AC ·DB ,由PC=PD=CD 可得PC ·PD=AC ·DB ,即aa aa =aaaa ,∴△ACP ∽△PDB.(2)当△ACP ∽△PDB 时,∠APC=∠PBD ,由题知∠PDC=60°,∴∠DPB+∠DBP=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,即∠APB 的度数为120°.10.解:(1)如图所示的△OA 1B 1就是△OAB 放大后的图象.(2)由(1)可得点A 1,B 1的坐标分别为(4,0),(2,-4),故设此直线的解析式为y=kx+b (k ≠0),∴{0=4a +a ,-4=2a +a ,解得{a =2,a =-8.故线段A 1B 1所在直线的函数关系式为y=2x-8.11.证明:(1)∵直线PM 切☉O 于点M ,∴∠PMO=90°.∵弦AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠PMO.∵AC ∥PM ,∴∠CAB=∠P ,∴△ABC ∽△POM.(2)∵△ABC ∽△POM ,∴aa aa=aaaa.又AB=2OA ,OA=OM ,∴2aa aa =aaaa .∴2OA 2=OP ·BC.12.解:(1)作AH ⊥BC 于点H ,交MN 于点D.∵AB=AC ,AH ⊥BC , ∴CH=HB=3,在Rt △ACH 中,AH=√52-32=4.∵ME ∥AH , ∴aaaa =aaaa =aaaa ,∴CE=3x,EM=EF=4x,易证△MEC≌△NFB,∴CE=BF=3x,∴3x+4x+3x=6,∴x=35,∴EM=125,∴矩形MNFE的面积为14425平方米.(2)由题意:100×4x·(6-6x)=2·[60×12×(6-6a)·(4-4a)+40×4a×3a],解得x=12或35.(3)由题意W=100×4x·(6-6x)+60×12×(6-6x)·(4-4x)+40×4x×3x=-1200x2+960x+720=-1 200(a-25)2+912,∵-1200<0,∴x=25时,W有最大值,最大值为912元.。

人教版九年级数学教案第27章《相似》全章导学案(共13课时)

人教版九年级数学《相似》全章导学案第1课时图形的相似知识点1：相似图形的概念【例1】下列图形不是相似图形的是( C )A. 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本中国地图,1. 如图1－27－68－1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )图1－27－68－1A. 相似B. 平移C. 轴对称D. 旋转知识点2：相似图形的识别【例2】下列四组图形不是相似图形的是( D ),2. 观察下列各组图形，其中不相似的是( A )知识点3：比例尺的计算【例3】在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上，量得北京到天津的距离是12 cm，则北京到天津的实际距离是120km.,3. 要建一个长40 m，宽20 m的厂房，在比例尺是1∶500的图纸上，长要画cm( B )A. 5B. 8C. 7D. 6知识点4：画相似图形【例4】如图1－27－68－2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.图1－27－68－2略.,4. 图1－27－68－3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.图1－27－68－3略.A组5. “相似的图形”是指( A )A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形,6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( D )A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变7. 如图1－27－68－4，下面选项中的四个图形与其相似的是( C )图1－27－68－4A B C D,8. 下列各组图形相似的是( B )B组9. 下列各组图形一定相似的是( C )A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形,10. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中，一定相似的有①②④⑤.(填序号)11. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上量得广州到深圳的距离是16 cm，广州到深圳的实际距离是160km.,12. 两地实际距离为2 000 m，图上距离为2 cm，则这张地图的比例尺为( D )A. 1 000∶1B. 100 000∶1C. 1∶1 000D. 1∶100 000C 组13. 在比例尺是1∶25 000 000的地图上，量得北京到上海的距离长4.2 cm ，如果一列直达火车以每小时175 km 的速度从上海开出，经过几小时可以到达北京？解：由题意，得 4.2×25 000 000＝105 000 000(cm)＝1 050(km). ∴1 050÷175＝6(h).∴经过6 h 可以到达北京.,14. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )第2课时相似多边形及其性质知识点1：成比例线段【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. a ＝2，b ＝6，c ＝4，d ＝12 B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C. a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1,1. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( C ) A. 2,5,10,25 B. 4,7,4,7C. 2，12，12，4 D. 2，5，2 5，5 2知识点2：相似多边形的性质【例2】如图1－27－69－1，四边形CDEF 与四边形C ′D ′E ′F ′相似，求未知边x ，y 的长度和角β的度数.图1－27－69－1解： x ＝12，y ＝20，β＝80°.,2. 如图1－27－69－2的两个五边形相似，求未知边a ，b ，c ，d 的长度.图1－27－69－2解： a ＝3，b ＝4.5，c ＝4，d ＝6. 知识点3：相似多边形的判定【例3】如图1－27－69－3，一个矩形广场的长为100 m ，宽为80 m ，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？图1－27－69－3解：当100－1.5×2100＝80－2x 80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解得x ＝1.2.答：当x 为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. ,3. 如图1－27－69－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？图1－27－69－4解：不相似，理由如下： ∵AD A′D′＝128＝32，AB A′B′＝62＝3， ∴AD A′D′≠AB A′B′. ∴不相似.A 组4. 下列线段成比例的是( C ) A. 1,2,3,4 B. 5,6,7,8 C. 1,2,2,4 D. 3,5,6,9,5. 下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. 1 cm,2 cm,20 cm,40 cm B. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C. 4 cm,2 cm,1 cm,5 cmD. 5 cm,10 cm,15 cm,20 cm B 组6. 如图1－27－69－5的相似四边形，求未知边x ，y 的长度和角α的大小.图1－27－69－5解：x ＝632，y ＝27，α＝88°.,7. 如图1－27－69－6，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且AD ＝BC ，DC ∥AB ，∠A ＝∠B ，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm ，AB ＝8 cm ，AD ＝5 cm ，试求：四边形ABCD 各角的度数与A ′D ′，B ′C ′的长.图1－27－69－6解：四边形ABCD 各角的度数分别为∠A ＝65°， ∠B ＝65°，∠C ＝115°，∠D ＝115°，B′C′＝A′D′＝154cm .8. 在一张由打印机打印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4 cm 变成了( C )A . 4 cmB . 8 cmC . 16 cmD . 32 cm ,9. 已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10 cm 和4 cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6 cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1的最长边的长是 15 cm .C 组10. 将一个三角形和一个矩形按照如图1－27－69－7的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )图1－27－69－7A . 新三角形与原三角形相似B . 新矩形与原矩形相似C . 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似,11. 如图1－27－69－8，已知矩形ABCD 与矩形BCFE 相似，且AD ＝AE ，求AB ∶AD 的值.图1－27－69－8解：依题意，得 AB AD ＝BC BE ，即AB AD ＝AD AB －AD . ∴AB AD ＝1ABAD－1. 解得AB ∶AD ＝1＋52(负值已舍去).第3课时相似三角形的简单性质知识点1：找相似三角形的对应边、对应角【例1】如图1－27－70－1，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝2，BD ＝3. (1)写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式； (2)求△ADE 与△ABC 的相似比.图1－27－70－1解：(1)相似三角形的对应角为∠A 与∠A ，∠ADE 与∠ABC ，∠AED 与∠ACB ；对应边的比例式为AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)25.1. 如图1－27－70－2，已知△OAB ∽△OCD ，且DC ∥AB ，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.图1－27－70－2解：相似三角形的对应角为∠A 与∠C ，∠B 与∠D ，∠AOB 与∠COD ；对应边的比例式为OA OC ＝OB OD ＝AB CD .知识点2：相似三角形简单性质的直接运用【例2】如图1－27－70－3，已知△ABC ∽△DEF ，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－3解： x ＝6，y ＝72. ,2. 如图1－27－70－4，△ABC 与△DEF 相似，∠B ，∠E 为钝角，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－4解： x ＝12，y ＝7或x ＝967，y ＝647.知识点3：相似三角形简单性质的综合运用【例3】如图1－27－70－5，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE ，BE 的长.图1－27－70－5解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝AD AB ＝DE BC. ∵DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，∴AC ＝12. ∴AE ＝4，AB ＝9. ∴BE ＝AB －AE ＝5.3. 如图1－27－70－6，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC. (1)求∠BAD 的大小； (2)求DC 的长.图1－27－70－6解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴∠DAC ＝∠B ＝36°， ∠BAC ＝∠D ＝117°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC DC ＝BC AC. 又∵AC ＝4，BC ＝6，∴DC ＝83.A 组4. 已知△ABC ∽△A 1B 2C 2，如果∠A ＝40°，那么∠A 1等于( A ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 20°,5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( C )A. 3 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cmB 组6. 如图1－27－70－7，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA . 若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为 6 .图1－27－70－7,7. 如图1－27－70－8，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( D )图1－27－70－8A . 105°B . 115°C . 125°D . 135°8. 如图1－27－70－9，已知△ABC ∽△AED ，AD ＝5 cm ，AC ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，∠A ＝66°，∠ADE ＝65°，求AB 的长及∠C 的度数.图1－27－70－9解：∵△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝65°，∴∠C ＝∠ADE ＝65°，AD AC ＝AEAB.∴510＝6AB. 解得AB ＝12(cm ).,9. 如图1－27－70－10，已知△ABC ∽△DEC ，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ，求AD 的长.图1－27－70－10解：∵△ABC ∽△DEC ， ∴AC DC ＝BC EC. ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ， ∴3DC ＝46. ∴DC ＝92(cm ).∴AD ＝3＋92＝152(cm ).C 组10. 如图1－27－70－11，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC ，CD ，BD 之间的数量关系.图1－27－70－11解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝60°.∴∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB. ∴∠APC ＝∠PBD. ∴∠A ＋∠B ＝60°. ∴∠APB ＝120°.(2)∵△ACP ∽△PDB ，∴AC PD ＝PCBD.又∵PC ＝PD ＝CD ，∴CD 2＝AC·BD.11. 如图1－27－70－12，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长.图1－27－70－12解： ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°. AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 的长为 8－x .若AB 边上存在点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则分下列两种情况. ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4.解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x ).解得x ＝2或x ＝6.综上所述，AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.第4课时相似三角形的判定(1)——平行线法知识点1：平行线分线段成比例【例1】如图1－27－71－1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝13，AE ＝1，则EC 等于( B )图1－27－71－1A . 1B . 2C . 3D. 4 ,1. 已知l 1∥l 2∥l 3，直线AB 和CD 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，E ，B 和点C ，F ，D. 若AE ＝2，BE ＝4，则CFCD的值为( B )图1－27－71－2A . 12B . 13C . 23 D. 34知识点2：相似三角形的判定——平行线法【例2】如图1－27－71－3，DE 是△ABC 的中位线. 那么△ADE 和△ABC 是否相似？说明理由.图1－27－71－3解：△ADE 和△ABC 相似. 理由如下： ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC. ,2. 如图1－27－71－4，已知AB ∥CD ∥EF ，请你找出图中所有的相似三角形.图1－27－71－4解：△AOB ∽△DOC ， △AOB ∽△FOE ，△DOC ∽△FOE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－71－5，DE ∥BC ，且AD ＝3，AB ＝5，CE ＝3，求AE 的长.图1－27－71－5解：AE ＝4.5.,3. 如图1－27－71－6，AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO BO ＝35，AC ＝9，求BD 的长.图1－27－71－6解：BD ＝15.A 组4. 如图1－27－71－7，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，已知AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，则EF 的长为( C )图1－27－71－7A . 12B . 9C . 8 D. 4,5. 如图1－27－71－8，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )图1－27－71－8A . 6B . 9C . 12D . 15 B 组6. 如图1－27－71－9，已知DE ∥BC ，AE ＝50 cm ，EC ＝30 cm ，BC ＝70 cm ，∠A ＝45°，∠C ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长.图1－27－71－9解：(1)∠AED 和∠ADE 的度数分别为40°，95°.(2)DE ＝1754cm.,7. 如图1－27－71－10，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ∶AB ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长.图1－27－71－10解：BF 的长为6. C 组8. 如图1－27－71－11，用三个完全一样的菱形ABGH ，BCFG ，CDEF 拼成平行四边形ADEH ，AE 与BG ，CF 分别交于点P ，Q . 若AB ＝6，求线段BP 的长.图1－27－71－11解：由菱形的性质可知，AD ＝3AB ＝18，DE ＝6. ∵BP ∥DE ，∴△ABP ∽△ADE. ∴BP DE ＝AB AD ，即BP 6＝618. 解得BP ＝2.,9. 如图1－27－71－12，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G.(1)填空：图中与△CEF 相似的三角形有 △DAF ，△BEA ，△GFA ；(写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似.图1－27－71－12解：(2)略.第5课时相似三角形的判定(2)——三边法和两边及其夹角法知识点1：相似三角形的判定——三边法【例1】如图1－27－72－1，O 为△ABC 内一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC.图1－27－72－1证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，DF ＝12AC ，即DE AB ＝EF BC ＝DFAC.∴△DEF ∽△ABC.,1. 如图1－27－72－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似？为什么？图1－27－72－2解：相似. 理由如下：∵AB ＝5，AC ＝10，BC ＝5， A 1B 1＝2，A 1C 1＝2，B 1C 1＝10， ∴AB A 1B 1＝102，AC A 1C 1＝102，BC B 1C 1＝102.∴AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1. ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法【例2】如图1－27－72－3，D ，E 分别是△ABC 两边AB ，AC 上的点，AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4，EC ＝2. △ADE 与△ACB 是否相似，并说明理由.图1－27－72－3解：相似.理由如下：∵AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4， EC ＝2， ∴AD AC ＝34＋2＝12，AE AB ＝43＋5＝12. ∴ AD AC ＝AE AB .∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC.,2. 如图1－27－72－4，AB·AE ＝AD·AC ，且∠1＝∠2，求证：△ABC ∽△ADE.图1－27－72－4证明：∵AB·AE ＝AD·AC ，∴AB AD ＝ACAE.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－72－5，D 是△ABC 的边AB 上的一点，BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2.(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由；(2)若CD ＝53，求AC 的长.图1－27－72－5解：(1)△BCD ∽△BAC. 理由如下：∵BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2，∴BD BC ＝432＝23，BC BA ＝23. ∴BD BC ＝BC BA. 而∠DBC ＝∠CBA ，∴△BCD ∽△BAC.(2)∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BCBA ，即53AC ＝23.∴AC ＝52.,3. 如图1－27－72－6，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5.(1)证明：△ABC ∽△DCA ； (2)求AD 的长.图1－27－72－6(1)证明：∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5， ∴AB CD ＝BC AC ＝45且∠B ＝∠ACD. ∴△ABC ∽△DCA.(2)解：∵△ABC ∽△DCA ， ∴AC AD ＝BC AC ＝45. ∴5AD ＝45. ∴AD ＝254.A 组4. 如图1－27－72－7，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由.图1－27－72－7解：△ABC ∽△DBE.理由如下： ∵AC DE ＝BC BE ＝AB DB ＝12， ∴△ABC ∽△DBE.,5. 如图1－27－72－8，AC ＝20，BC ＝10，EC ＝16，CD ＝8，证明：△ABC 和△EDC 相似.图1－27－72－8证明：∵AC EC ＝2016＝54， BC CD ＝108＝54， ∴AC EC ＝BC CD. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. B 组6. 如图1－27－72－9，点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽△ABC .图1－27－72－9证明：∵点 D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点， ∴EF ，FD ，DE 为△ABC 的中位线.∴EF ＝12BC ，FD ＝12AC ，DE ＝12AB.∴EF BC ＝FD AC ＝DE AB ＝12. ∴△DEF ∽△ABC.,7. 如图1－27－72－10，AD ，BC 交于点O ，AO·DO ＝CO·BO ，求证：△ABO ∽△CDO.图1－27－72－10解：∵AO·DO ＝CO·BO ， ∴AO CO ＝BO DO. 而∠AOB ＝∠COD ， ∴△ABO ∽△CDO.C 组8. 如图1－27－72－11，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△QCP ∽△ADQ .图1－27－72－11证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝12CD .∴CP ∶DQ ＝CQ ∶DA ＝1∶2.∴△QCP ∽△ADQ .,9. 如图1－27－72－12，四边形ABEG ，GEFH ，HFCD 都是边长为a 的正方形，△AEF 与△CEA 相似吗？为什么？图1－27－72－12解：△AEF 与△CEA 相似.理由如下：由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝2a. ∴AE EF ＝2a a ＝2， EC AE ＝2a 2a ＝ 2. ∴AE EF ＝EC AE. 又∵∠AEF ＝∠CEA ， ∴△AEF ∽△CEA. 第6课时相似三角形的判定(3)——两角法知识点1：相似三角形的判定——两角法【例1】如图1－27－73－1，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 上(不与A ，C 重合)，∠ABD ＝∠ACB ，求证：△ABD ∽△ACB.图1－27－73－1证明：∵∠BAD ＝∠CAB ，∠ABD ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB.,1. 如图1－27－73－2，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB.图1－27－73－2解：∵DE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠DEA. ∵AD ∥BC ， ∴∠C ＝∠DAE.∴△EAD ∽△ACB.知识点2：相似三角形判定与性质的综合应用【例2】如图1－27－73－3，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B. 若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6.(1)求证：△AED ∽△ABC ； (2)求DE 的长.图1－27－73－3(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC.(2)解：∵△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE CB. ∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE6.解得DE ＝103.∴DE 的长为103.,2. 如图1－27－73－4，AB ，CD 相交于点O ，且∠C ＝∠B ，若AC ＝4 cm ，AO ＝3 cm ，BD ＝8 cm.(1)求证：△AOC ∽△DOB ； (2)求OD 的长.图1－27－73－4(1)证明：∵∠C ＝∠B ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC∽△DOB.(2)解：∵△AOC∽△DOB，∴ACDB＝OAOD，即48＝3OD.解得OD＝6(cm).∴OD的长为6 cm.知识点3：圆中的相似三角形【例3】如图1－27－73－5，⊙O的弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，求证：△BDP ∽△CAP.图1－27－73－5证明：∵∠A与∠D都为所对的圆周角，∠B与∠C都为所对的圆周角，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴△BDP∽△CAP.,3. 如图1－27－73－6，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.图1－27－73－6解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE.A组4. 如图1－27－73－7，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图1－27－73－7证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F. ∴△ABC ∽△DEF.,5. 如图1－27－73－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC. 求证：△ABC ∽△BDC.图1－27－73－8证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠DBC. 又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC. B 组6. 如图1－27－73－9，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D. (1)△ABC 与△ADE 相似吗？为什么？(2)已知AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，求DE 的长.图1－27－73－9解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE.(2)由(1)知，△ABC ∽△ADE ，则AB AD ＝BCDE .∵AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，∴2AD AD ＝8DE.解得DE ＝4(cm )，即DE 的长是4 cm . ,7. 如图1－27－73－10，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 求证： (1)△ACD ∽△ABC ；(2)△CBD ∽△ABC .图1－27－73－10证明：(1)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠ADC ＝∠ACB. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ACB. ∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC. C 组8. 如图1－27－73－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线. (1)△ABC 与△BDC 相似吗？请说明理由； (2)求证：AD 2＝AB ·CD .图1－27－73－11(1)解：相似. 理由如下： ∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝36°，∴∠ABC ＝180°－36°2＝72°.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝36°.∴∠CBD ＝∠A .又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC . (2)证明：∵△ABC ∽△BDC ， ∴BC DC ＝ACBC. ∴BC 2＝AC ·CD . 由题意，可得BC ＝BD ＝AD . 又∵AB ＝AC ，∴AD 2＝AB ·CD .,9. 如图1－27－73－12，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连接BD .(1)求证：△ABD ∽△AEC ；(2)试写出图中其他各对相似三角形.图1－27－73－12(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.(2)解：△AEC ∽△BED ， △BED ∽△ABD.第7课时相似三角形的简单性质与判定的综合习题课知识点1：求线段的长【例1】如图1－27－74－1，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长.图1－27－74－1解：∵∠A ＝∠C ， ∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD. ∴AB CD ＝AO CO ，即AB 3＝42. ∴AB ＝6. ,1. 如图1－27－74－2，在△ABC 中，点D 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACD ， AD ＝2，AB ＝5. 求AC 的长.图1－27－74－2解：∵∠ABC ＝∠ACD ， ∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD.AD AC∵AD ＝2，AB ＝5， ∴AC 2＝5AC .∴AC ＝10.知识点2：证明角相等【例2】如图1－27－74－3，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AE·AB ＝AD·AC ，求证：∠B ＝∠ADE.图1－27－74－3解：∵AE·AB ＝AD·AC ，∴AE AC ＝AD AB . ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.∴∠B ＝∠ADE. ,2. 如图1－27－74－4，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 边上的两点，且AC AD ＝AB DE ＝BCAE，求证：∠B ＝∠AEB.图1－27－74－4证明：∵AC AD ＝AB DE ＝BC AE， ∴△ABC ∽△DEA. ∴∠B ＝∠AED.知识点3：证明等比式【例3】如图1－27－74－5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，证明：AD AE ＝ACAB.图1－27－74－5解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△AEB .AE AB,3. 如图1－27－74－6，在平行四边形ABCD 中，F 为AD 上一点，CF 的延长线交BA延长线于点E . 求证：DC BE ＝DFBC.图1－27－74－6证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，BE ∥CD. ∴∠E ＝∠ECD. ∴△DCF ∽△BEC. ∴DC BE ＝DFBC .知识点4：证明等积式【例4】如图1－27－74－7，在△ABC 中，∠ADE ＝∠ABC ，BD ，CE 交于点O. 求证：AE·AB ＝AD·AC.图1－27－74－7证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴ AE AC ＝AD AB . ∴AE·AB ＝AD·AC.,4. 如图1－27－74－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，证明：AC 2＝AB ·AD .图1－27－74－8证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽∠ABC . ∴AC AB ＝AD AC . ∴AC 2＝AB ·AD .知识点5：证明线段平行或垂直【例5】如图1－27－74－9，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185.求证：AC ∥BD .图1－27－74－9证明：∵OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185，∴OA OB ＝OC OD ＝35. 而∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD. ∴∠A ＝∠B. ∴AC ∥BD.,5. 如图1－27－74－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且BD·AB ＝BE·BC. 求证：DE ⊥AB.图1－27－74－10证明：∵BD·AB ＝BE·BC ，∴BD BC ＝BE BA. 又∵∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA. ∴∠BDE ＝∠C ＝90°，即DE ⊥AB .知识点6：圆中的相似三角形【例6】如图1－27－74－11，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6.(1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)求AE 的长.图1－27－74－11(1)证明：∵， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CDE. ∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD.(2)解：∵△CDE ∽△CAD ， ∴CE CD ＝CD CA ，即46＝6CA . 解得CA ＝9.∴AE ＝AC －CE ＝9－4＝5.,6. 如图1－27－74－12，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC.(1)求证：∠BAC ＝∠CBP ； (2)求证：PB 2＝PA·PC.图1－27－74－12证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ACB ＝∠ABP ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∴∠BAC ＝∠CBP.(2)∵∠ABP ＝∠PCB ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△ABP ∽△BCP . ∴PB P A ＝PC PB . ∴PB 2＝P A ·PC .A 组7. 如图1－27－74－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝25，AD ＝4，求BD 的长度.图1－27－74－13解：BD ＝6.,8. 如图1－27－74－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求BD 的长.图1－27－74－14解：BD ＝6.B 组9. 如图1－27－74－15，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝9 cm ，DB ＝4 cm ，求CD 和AC 的长.图1－27－74－15解：如答图27－74－1，连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，可得△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB.由△ADC ∽△CDB ，得CD BD ＝ADCD，即CD 2＝AD·DB ＝36. 解得CD ＝6(cm).答图27－74－1由△ADC ∽△ACB ，得AC AB ＝ADAC，即AC 2＝AB·AD ＝117. 解得AC ＝313(cm ).∴CD 的长为6 cm ，AC 的长为313 cm. ,10. 如图1－27－74－16，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且△ABC 三个顶点都在⊙O 上，求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图1－27－74－16证明：如答图27－74－2，连接CE. 由圆周角定理可知，∠B ＝∠E. ∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°， ∠B ＝∠E ，∴△ADB ∽△ACE .答图27－74－2∴AB ∶AE ＝AD ∶AC. ∴AB·AC ＝AE·AD.C 组11. 如图1－27－74－17，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点(D ，E 与顶点不重合)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△CDE ；(2)设CD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最小值.图1－27－74－17(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°. ∵∠BDE ＝60°，∴∠ADB ＋∠CDE ＝120°. ∵∠ABD ＋∠ADB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CDE. ∵∠A ＝∠C ， ∴△ABD ∽△CDE.(2)解：∵△ABD ∽△CDE ，∴AD CE ＝ABCD.∴CE ＝x(4－x)4 ＝－14x 2＋x.∴y ＝4－CE ＝14x 2－x ＋4.∵y ＝14(x －2)2＋3，∴y 的最小值为3. ,12. 如图1－27－74－18，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动；点Q 从点C 出发，以1 cm /s 的速度向点A 移动.若点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？图1－27－74－18解：分以下两种情况.①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ，∴CP CB ＝CQCA ，即16－2t 16＝t 12. 解得t ＝4.8；②当CP 和CA 是对应边时， △CPQ ∽△CAB ，∴CP CA ＝CQCB ，即16－2t 12＝t 16. 解得t ＝6411.综上所述，当t ＝4.8 s 或6411s 时，△CPQ 与△CBA 相似.第8课时相似三角形的周长和面积知识点1：相似三角形周长的比等于相似比【例1】在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm ，那么它的周长由原来的3 cm 变成( B )A . 6 cmB . 12 cmC . 24 cmD . 48 cm ,1. 如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16知识点2：相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比【例2】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16,2. 若△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则它们对应边上的高之比为( A )A . 2∶3B . 4∶9C . 3∶5D . 9∶4知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A . 1∶4 B . 4∶1C . 1∶2D . 2∶1,3. 如图1－27－75－1，已知△ADE ∽△ABC ，且AD ∶DB ＝2∶1，则S △ADE ∶S △ABC＝( D )图1－27－75－1A . 2∶1B . 4∶1C . 2∶3D . 4∶9知识点4：利用相似三角形周长和面积的性质计算【例4】如图1－27－75－2，已知DB ＝2AD ，EC ＝2AE. (1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若△ABC 的周长为27 cm ，求△ADE 的周长.图1－27－75－2解：(1)证明略.(2)△ADE 的周长为9 cm.,4. 如图1－27－75－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝32，S △ABC ＝25.(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)求S △ADE 和S 四边形DBCE 的值.图1－27－75－3解：(1)证明略.(2)S △ADE ＝9，S 四边形DBCE ＝16.A 组5. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是( A ) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9,6. 如图1－27－75－4，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )图1－27－75－4A .BC DF ＝12B . ∠A 的度数∠D 的度数＝12C . △ABC 的面积△DEF 的面积＝12D . △ABC 的周长△DEF 的周长＝12B 组7. 若相似三角形△ABC 和△A′B′C′的面积比为1∶4，则它们的相似比为( C ) A . 1∶4 B . 1∶3C . 1∶2D . 1∶1,8. 如图1－27－75－5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED ＝( C )图1－27－75－5A . 1∶3B . 1∶2C . 1∶3D . 1∶49. 已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若AD A′D′＝12，且△ABC 的周长为20 cm ，求△A′B′C′的周长.解：△A′B′C′的周长是40 cm .10. 已知△ABC 的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.解：△A′B′C′的面积是120.C 组11. 如图1－27－75－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，S 1表示△ADE 的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，若D 是AB 边的中点，则S 1∶S 2＝ 1∶3 ；若S 1＝S 2，则AD ∶AB ＝ 22.图1－27－75－6,12. 如图1－27－75－7，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 ＝ S 2＋S 3；(填“＞”“＝”或“＜”)(2)若CE ＝3，DE ＝4，求S 2的值.图1－27－75－7解：(2)S 2＝323.第9课时相似三角形的应用举例(1)——高度与河宽问题知识点1：利用相似测量物体的高度【例1】如图1－27－76－1，利用标杆BE 测量建筑物的高度. 已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m. 求建筑物CD 的高.图1－27－76－1解：建筑物CD 的高是10.5 m . ,1. 图1－27－76－2是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求该古城墙的高度.图1－27－76－2解：该古城墙的高度是8 m .知识点2：利用相似测量河的宽度(测量距离)【例2】如图1－27－76－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河岸的另一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为点D ，若测得BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，你能知道小河的宽是多少吗？图1－27－76－3解：由题意，可知△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD CD ，即AB 50＝18060. ∴AB ＝150(m ).∴小河的宽是150 m .,2. 如图1－27－76－4，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O ，在近岸取点A ，C 使O ，A ，C 三点共线，且线段OC 与河岸垂直，接着在过点C 且与OC 垂直的直线上选择适当的点D ，使OD 与近岸所在的直线交于点B. 若测得AC ＝30 m ，CD ＝120 m ，AB ＝40 m ，求河的宽度OA .图1－27－76－4解：∵AB ⊥OC ，CD ⊥OC ， ∴AB ∥CD.∴△OAB ∽△OCD. ∴OA OC ＝AB CD ，即OA OA ＋30＝40120. ∴OA ＝15(m ).故河的宽度OA 为15 m.A 组3. 已知某一旗杆的影子长6 m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m ，如果此时附近的一棵小树影子长3 m ，那么小树高是( A )A. 4 mB. 5 mC. 8 mD. 20 m,4. 如图1－27－76－5，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取一点E ，使AE ＝3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF ＝6 m ，则AB 的长为 24 m .图1－27－76－5B 组5. 如图1－27－76－6，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80 m ，窗高CD ＝1.2 m ，小明从窗口后退2 m ，眼睛从点O 处恰好能看到楼顶M 和楼底N ，求大楼的高度.图1－27－76－6解：由题意，知AB ＝80 m ，CD ＝1.2 m ，OA ＝2 m ， ∵CD ∥MN ，∴△OCD ∽△OMN. ∴CD MN ＝OA OB ，即1.2MN ＝22＋80. ∴MN ＝49.2(m ).答：大楼的高度为49.2 m .,6. 如图1－27－76－7，小明为了测量楼MN 的高度，在离MN20 m 的A 处放了一块平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝2 m ，小明的眼睛离地面的高度BC 为1.8 m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度.图1－27－76－7解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ， ∴∠C ＝∠N ＝90°.根据题意，可知∠BAC ＝∠MAN ， ∴△BCA ∽△MNA. ∴BC MN ＝AC AN . ∴1.8MN ＝220. 解得MN ＝18(m ). ∴楼房的高度为18 m .C 组7. 如图1－27－76－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条边DF ＝50 cm ，EF ＝30 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ，求树高AB .图1－27－76－8解：∵∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB. ∴BC EF ＝DC DE. ∵DF ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝30 cm ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ， ∴由勾股定理求得DE ＝0.4 m . ∴BC 0.3＝200.4. ∴BC ＝15(m ).∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋15＝16.5(m ).,8. 如图1－27－76－9，李华晚上在两根相距40 m 的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB ＝1.6 m ，灯柱CD ＝EF ＝8 m .(1)若李华距灯柱CD 的距离DB ＝16 m 时，求他的影子BQ 的长； (2)若李华的影子PB ＝5 m ，求李华距灯柱EF 的距离.图1－27－76－9解：(1)∵AB ∥CD ，∴△ABQ ∽△CDQ. ∴AB CD ＝BQ DQ ，即1.68＝BQ 16＋BQ . ∴BQ ＝4(m ). ∴他的影子BQ 的长为4 m .(2)∵AB ∥EF ，∴△ABP ∽△EFP. ∴AB EF ＝PB PF ，即1.68＝5PF . ∴PF ＝25(m ). ∴BF ＝PF －PB ＝20 m .∴李华距灯柱EF 的距离是20 m .第10课时相似三角形的应用举例(2)——盲区及其他问题知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题【例1】如图1－27－77－1，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB 靠近另一个建筑物CE ，所以AB 的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC 为7.2 m ，又测得墙上部分的影子高CD 为1.2 m ，请你帮他计算建筑物AB 的高度.图1－27－77－1解：如答图27－77－1，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝BC ＝7.2 m ，BH ＝CD ＝1.2 m .∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，答图27－77－1∴AH HD ＝11.2，即AH 7.2＝11.2. ∴AH ＝6.∴AB ＝AH ＋BH ＝6＋1.2＝ 7.2(m ).答：建筑物AB 的高度为7.2 m . ,1. 如图1－27－77－2，现要测量旗杆的高CD ，在B 处立一标杆AB ＝2.5 cm ，人在F 处，眼睛为E.标杆顶点A 、旗杆顶点C 在一条直线上. 已知BD ＝3.6 m ，FB ＝2.2 m ，EF ＝1.5 m. 求旗杆的高度.图1－27－77－2解：如答图27－77－2，过点E 作EH ∥FD 分别交AB ，CD 于点G ，H. ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴EF ＝GB ＝HD.∴AG ＝AB －GB ＝2.5－1.5＝ 1(m )，EG ＝FB ＝2.2(m )，GH ＝BD ＝3.6(m)，CH ＝CD －1.5.答图27－77－2又∵AG CH ＝EG EH ，∴1CD －1.5＝2.25.8. ∴CD ＝4322(m ).∴旗杆的高度为4322m .知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题【例2】如图1－27－77－3是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外的景物的宽CD .图1－27－77－3解：CD ＝43m .,2. 如图1－27－77－4是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，求眼睛到目标的距离OF .图1－27－77－4解：眼睛到目标的距离为200 m.A 组3. 如图1－27－77－5是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN 是35 mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，那么拍摄点L 离景物有 7 m.,图1－27－77－54. 如图1－27－77－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 若光源到幻灯片的距离为30 cm ，到屏幕的距离为90 cm ，且幻灯片中的图形的高度为7 cm ，则屏幕上图形的高度为( C )图1－27－77－6 A . 6 cm B . 12 cm C . 21 cm D . 24 cmB 组5. 如图1－27－77－7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m 有一棵树，在河的北岸边每隔50 m 有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度.图1－27－77－7解：如答图27－77－3，过点P 作PF ⊥AB ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，设河宽为x m.答图27－77－3∵AB ∥CD ，∴△PDC ∽△PBA. ∴PF PE ＝AB CD . ∴15＋x 15＝5025.解得x ＝15.答：河的宽度为15 m .6. 如图1－27－77－8，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3 m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4 m . 如果小华的身高为1.5 m ，求路灯杆AB 的高度.图1－27－77－8解：∵CD ∥EF ∥AB ， ∴△CDF ∽△ABF ， △EFG ∽△ABG . ∴CD AB ＝DF BF ，FE AB ＝FG BG. 又∵CD ＝EF ，∴DF BF ＝FGBG.∵DF ＝3 m ，FG ＝4 m ，BF ＝BD ＋3，BG ＝BD ＋7，∴3BD ＋3＝4BD ＋7. 解得BD ＝9(m ). ∴BF ＝12(m ). 由CD AB ＝DF BF ，得1.5AB ＝312.解得AB ＝6(m ). 则路灯杆AB 的高度是6 m . C 组7. 如图1－27－77－9，要在一块△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型. 其中，G ，F 在BC 边上，D ，E 分别在AB ，AC 边上，AH ⊥BC 交DE 于点M ，若BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求正方形DEFG 的边长.图1－27－77－9解：设正方形边长为x cm .由相似可得DE BC ＝AMAH，∵BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ， AM ＝(8－x)cm ， ∴x 12＝8－x 8.解得x ＝4.8. ∴正方形的边长是4.8 cm . ,8. 如图1－27－77－10，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成长方形零件PQMN ，使长方形PQMN 的边QM 在BC 边上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 边上，求这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值.图1－27－77－10解：设长方形零件PQMN 的边PN ＝a ，PQ ＝x ，则AE ＝80－x. ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD. ∴a 120＝80－x 80. 解得a ＝120－32x. 所以长方形PQMN 的面积S ＝xa ＝x ⎝⎛⎭⎫120－32x ＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2 400. 当x ＝40时，S 值最大，S 最大值＝2 400(mm 2).∴这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值是2 400 mm 2.第11课时位似知识点1：位似图形及其性质【例1】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C ) A . 每对对应点所在的直线相交于同一点 B . 两个图形上的对应线段之比等于相似比 C . 两个图形上的对应线段必平行D . 两个图形的面积比等于相似比的平方 ,1. 下列关于位似图形的4个表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 正确的有( B )A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个知识点2：位似图形的画法【例2】如图1－27－78－1，以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.。

新人教版九年级数学下第二十七章相似小结学案

相似课题：第二十七章小结序号：学习目标：1、知识和技能：通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似。

2、过程和方法：经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力。

3、情感、态度、价值观：体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识。

学习重点：相似多边形的应用：求比值、面积、线段长度、解决实际问题。

学习难点：重要的思想方法：数形结合、类比、转化、分类讨论、特殊与一般。

导学方法：自主探究法课时：1课时导学过程一、课前预习结合课本本章结构图，全面复习本章所学，并回答回顾与思考中提出的问题。

二、课堂导学1.导入在本章中我们学习了哪些概念、性质、判定？在学习过程中，我们体会到了那些数学思想方法？让我们共同回顾这章内容。

2.出示任务，自主学习：（1）类似于全等，相似也是图形之间的一种特殊关系，在本章中，我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、位似的一些知识。

（2）相似多边形有哪些性质？位似图形呢？如何利用位似将一个图形放大或缩小？（3）如何判断两个三角形相似？三角形的相似与三角形的全等有什么关系？（4）举例说明三角形相似的一些应用。

（5）到现在为止，我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似，你能说出它们之间的异同吗？举出一些它们的实际应用的例子。

并结合以上内容，体会从运动的角度研究图形的方法。

3．合作探究《导学案》中的难点探究三、展示反馈《导学案》中的自主测评四、学习小结1、相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）。

2、相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形。

3、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形。

4、四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d。

九年级数学下册第二十七章相似相似三角形的判定导学案新人教版

1相似三角形的判定一．自主预习1、什么样的三角形是相似三角形？几何语言：（如右图） C C ’∵____________________∴____________________ A B A ’ B’2、平行线分线段成比例：l 1 l 2 l 3 已知：直线543////l l l ，直线1l 和直线2l A D l 4 分别与这三条平行线相交，你 B E 能发现什么？ C F l 5结论1：________________________________________________ A E DD E A B C B C如上图，你还得发现什么结论?结论2：_________________________________________________3、自学课本30页思考，并证明.三角形相似的定理一：_______________________________________________________二、合作探究1、如图，DE ∥BC ，若D 是AB 的中点，DE=6，试求BC 的值.学习目标1、掌握三角形相似的定义、利用平行线判定三角形相似的判定方法及应用2、经历探索相似三角形的判定方法的过程，锻炼学生观察探究、主动学习的能力，培养逻辑推理能力. 学习重点掌握相似三角形的定义、判定方法1及应用学习难点相似三角形判定方法1的推导及应用22、如图，DE ∥BC ，过点E 作EF ∥AB ，EF 交BC 于点F ， AD:DB=2：3， BC=10, 求（1）CFBF(2)CF 的长。

三、展示交流1.△ABC 与△DEF 相似，且相似比为32，则△DEF 与△ABC 的相似比是 2.如图，DE ∥BC.（1）AD =2，DB=1，DE=2.5，求BC ；（2）AD:DB=2:1,DE=2.5，求BC ；（3）DE:BC=3:5,AD=2, 求BD.四、随堂检测1.在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为．2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证△ADE ∽△EFC.3. 如图，DE ∥BC ，AE=50cm ，EC=30cm ，BC=70cm ，∠BAC=45º， ∠ACB=40º。

新人教版数学九年级下册教案：第27章相似小结教案

授课时间
年月日星期
主备人
课题名称
第二十七章相似小结
教学目标
一、知识与技能
理解并掌握本章知识，能用相关知识解决具体问题.
二、过程与方法
通过梳理本章知识结构，回顾运用相似方法来解决一些实际问题的过程，加深运用所学知识解决一些实际问题的能力.
三、情感、态度与价值观
在运用相似解决实际问题的过程中，可增强学生的数学应用意识，感受数学应用价值；通过运用相似来证明具体问题的过程中，进一步增强学生的推理论证能力.
∠ABC=∠ACD=90°，且AB =4，AC=5，若图
中的两个三角形相似，则DC的长为_____.
2.在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边上的点.且AB =8，AC=6，AD=4，若△ABC与△ADE相似，试求线段AE的长.
学生自主完成，相互交流，最后师生共同评析，加深对符号语言和文字描述的区别的理解.
三、典例精析，复习新知
例1在△ABC中，点D是BC边上一点，且BD : CD=1: 2，连AD，点F是AD的中点，连BF交AC于E，若AC=10，试求AE的长度；
分析：由于图中没有相似三角形，没有平行线，似乎无法进行，但题目出现的BD:CD=1: 2这一条件启示我们可过点D作平行线，利用平行线分线段成比例定理可能会找到出路.过D作DH //AC交BE于H(如图所示），∵ =，∴ =，又DH //AC，∴ = =.∴DH=EC.又F为AD的中点，∴ = =1，∴DH=AE,∴AE=EC.又AC=10，∴AE=. (本题还可求D作DM //BE交AC于M，留给学生完成.）
六、布置作业
复习题27第8,10,11题。
七、板书设计
第二十七章相，加深理解四、练习
教学反思：

2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定1》导学案

新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定1》导学案导学目标知识点：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当 ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k ．理解掌握平行线分线段成比例定理课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比．反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA CB BC B A AB ''=''=''．问题：如果1k=，这两个三角形有怎样的关系？明确（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

（2）用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆∽'''A B C ∆;（3）相似比是带有顺序性和对应性的：当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．二、合作探究（课堂导学）实验探究：(1) 如图,任意画两条直线1l , 2l ,再画三条与1l , 2l 相交的平行线3l , 4l ，5l 分别量度3l , 4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l , 上截得的两条线段DE , EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?任意平移5l , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?(2) 问题，()::AB AC DE =，()::BC AC DF =．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

人教版九年级数学下册第27章相似三角形全章导学案设计

课题：27・1 •图形的相似（一）年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人—时间：2017」学习目标1.理解并掌握两个图形相似的概念.2.了解成比例线段的概念.会确定线段的比.3.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等.对应边的比相等.4.会根据相似第边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算.■点与难点重点：相似图形的概念与成比例线段的概念.相似炙边形的主要特征与识别. 难点：成比例线段概念.运用相似多边形的特征进行相关的计算学习过程J课前預习］（课本p24—26）1.（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系.（2）教材P24引入.（3） _________________________________________________________ 相似图形概念：•（4）让同学们再举几个相似图形的例子.2.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中_____________________________________ 相等，如三=£b d（即ad=b€）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计凳时要注軽统一单位：（2）线段的比是一个没右单位的正数：（3）四条线段a,b.c,d成比例，记作r = T或a:b=c:d：（4）若阿条线段满足- = 则有ad=bc.b d课堂預习21.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.2.问題：对F图中两个相似的四边形，它们的对应角.对应边的比是否相等. ______________________3.【结论】：（1） _________________________________________________________________ 相似多边形的特征：（2） _______________________________________________ 相似比：问題：相似比为1时.相似的两个图形有什么关系？____________________________________ 结论： _______________________________________________________________________二•自主探究一・、）观察图片，体会相似图形1、同学们，请观察下列儿幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗? （课本图27. 1-1）（课本图27. 1-2）2、小组讨论、交流.得到相似图形的概念・什么是相似图形？3、思考：如图27. 1-3是人们从平而镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？二、）成比例线段概念1.问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比.2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如春琲（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.三、）小组探讨什么是相似多边形，相似比应该注意什么？三.典例分析例1如图，下面右边的阿个图形中，与左边的图形相似的是（）O 0 O o oA BCDH2C知：F地图的比例尺是1:32000000・量得北京到上海的图匕距离大约为3.5cm・求北京到上海的实际跑离大约是多少km?四.课堂练习1.在比例尺是1 ：8000000的“中国政区”地图上，星得福州与上海之间的距离时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少？22.AABC与ADEF相似，且相似比是则Z\DEF与ZiABC与的相似比是（）.A. ZB. 2C. 1D. i3 2 5 93.下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的岡：（2）所有的正方形：（3）所有的等腰三角形：（4）所有的等边三角形：（5）所有的等腰梯形：（6）所有的正六边形.A. 3个 B. 4个C. 5个 D. 6个4.已知四边形ABCD和四边形A,B|C|D|相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm.如果四边形A.B.C.D,的蜃短边的长是6cm,那么四边形A^.C.D,中垠长的边长是多少？课题：27・2・1相似三角形的判定（一）年级：九年级课题：业课型：新授主备人：审核人时间：2017」 1. 经历两个三角形相似的探索过程.体验分析归纳得出数学结论的过程.进一步发展同学们的探究、交流能力. 2. 会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题.■点与难点教学霓点：理解学握平行线分线段成比例定理及应用.教学难点：学握平行线分线段成比例定理应用.学习过程一•课前预习导学1. 知识回顾（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简取的就是相似三角形.在ZkABC 与ZkA' B # C r 中.如果ZA=ZA* , ZB=ZB‘ f ZC=ZC r .且我们就说ZiABC 与ZkA' B 1 C r 相似.记作△ ABC S ^A 'C f • k 就是它们的相似比•反之如果△ABC S /^A ' B‘ C 9 •则有ZA=ZA r , AB BC CA A 7?* BV^CA 7-（3）问题：如果这两个三角形何怎样的关系？二•自主探究教材P29的探究，并引导同学们探索.3. ___________________________________________________________________________ ［归纳］平行线分线段成比例定理： _________________________________________________________________________平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线〉， ____________________________________三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的貢线和其它两边相交.所构成的三角形与原三角形相（1）写出对应边的比例式：（2）写出所右相等的角：（3）若 AB=10,BC=12,CA=6.求 AD 、DC 的长.例 2 如图.在ZkABC 中.DE/ZBCt AD=EC, DB=lcm ・AE=4cm- BC=5cm, DE 的长.四、课堂练习 1. 下列孑组三角形一定相似的是（ZB=ZB‘ , ZOZC', 且三、例JK 讲解例1 （补充）如图△ ABC^A?题因A.两个直角三角形B.两个钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形 2. 如图.DE 〃BC, EF 〃AB,则图中相似三角形一共有() A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对3. 如图.DE 〃BC,(1) 如果AD=2・ DB=3,求DE:BC 的值：(2) 如果 AD=8・ DB=12> AC=15・ DE=7.求 AE 和 BC 的长.4.如图.在Z7ABCD 中，EF 〃AB ・ DE:EA=2:3・ EF=4・求 CD 的长.课题：27.2.1相似三角形的判定(二) 年级：九年级课题：相似课型：新授2.如图. △ABC 求证：AABC3题图主备人：审核人时间：2017」学习目标1•初步韋握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法.以及*两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.重点与难点能够运用三角形相似的判定定理解决简单的问题一•课前预习导学1.复习提问:(1)两个三角形全等有哪些判定方法？ ________________________________________(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？_______________________________(3)全等三角形与相似三角形有怎样的关系？_______________________________(4)如图，如果要判定AABC与△A，B・C相似.是不是一定盅要一一验证所有的对应角和对应边的关系？_________________________________________2.(1)思考：首先，由三角形全等的SSS判定方法.我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例.那么能否判定这两个三角形相似呢? 二•自主探究教材P32的探究•并引导同学们探索【归纳结论】三角形相似的判定方法1 _______________________________________________________I.(1)提出问题：怎样证明这个命題是正确的呢？(2)引领同学们探求证明方法.2.用上而同样的方法进一步探究三角形相似的条件：(1)提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这曲个三角形相似呢？(2)同学们画图，门主展开探究活动.(3)【归纳结论】三角形相似的勇I定方法2 _____________________________________________________三・例题讲解例1已知：如图.在四边形ABCD中，ZB=ZACD. AB=6. BC=4・ AC=5, CD=7丄.求AD 的长.2课型：斯授姓名四.课堂练习1.如果在ZkABC 中ZB=3（T ■ AB=5cm tAC=4an・在△A^B'C'中.ZB =30* A^B =10cm t A'C=8an. 这两个三角形一定相似吗？试看画一顾.看一看？2.如图.Z\ABC中.点D、E、F分别是AB、BC. CA的中点• 求证：△ABC S/XDEF.3.已知：如图.P为AABC中线AD上的一点.且BD^PD-AD.求证：△ADCs^CDP.课题：27.2.1相似三角形的判定（三）年级：九年级课範相似主备人：审核人时间：2017.1学习目标1.学握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.能够运岁三角形相似的条件解决简单的问题.带习■邮韋握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似.学莎洞：（1）三角形相似的条件归纳、证明：（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.一•课前预习导学（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图.ZXABC中.点D在AB上.如果AC2=AD>AB.那么AACD与AABC相似吗？说说你的理由•二•自主探究（1）如（2）題图，AABC 中，点D 在AB±,如果ZACD=ZB.那么ZkACD与ZkABC相似吗？（2）教材P35的探究•三.例題讲解例1 （It材P35例2）.证明*略（见教材P35例2〉.例2 已知：如图.矩形ABCD中.E为BC±一点，DF丄AE于F.若AB=4・ AD=5・ AE=6・求DF的B长・解:四.课堂练习1.已知：如图.Zl=Z2=Z3> 求证：AABC^AADE.2.下列说法是否正确，并说明理由.(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形:(2)冇一个角相等的两等腰三角形是相似三角形. 3•已知：如图，ZiABC的高AD、BE交于点F.求证: AF 三EF BF"FD4.已知：如图.BE是ZkABC的外接岡O的直径.CD是ZiABC的髙.(1)求证：AC*BC=BE>CD：(2)若CD=6. AD=3・ BD=8,求OO的直径BE的长.课题：27.2.2相似三角形的性质年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人—时间：2017.1洋习目栩1.理解并初步拿握相似三角形周长的比等于相似比.面枳的比等于相似比的平方•2.能用三角形的性质解决简瑕的问题.一•课前预习导学1.复习提问：已知：AABC^AA 根据相似的定义，我们有哪些结论？__________________________________________ 问：两个三角形相似.除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2.思考：看教材p37（1）如果两个三角形相似，它们的对应边高、对应中线、对应角平分线的比与相似比之间何什么关系？（2） _______________________________________________________________________________ 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ _______________________________________________________（3） __________________________________________________________________________________ 如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ _______________________________________________________（4）__________________________________________________________________________________ 两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ __________________________________________________________ 二•合作与探究结论~~相似三角形的性质：itsti ______________________________________Oil ________________________________________________________________________________________________三.钏题讲解例l.p38例3例2已知：如图：ZiABC S* B' C',它们的周长分别是60 cm 和72 cm,且AB=15 cm, B' C* =24 cm・求BC、AB、A' B' 、A' C'的长.分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长.四.课堂练习1.填空*（1）_____________________________________________________________ 如果两个相似三角形对应边的比为3 ：5 ,那么它们的相似比为______________________________________________ ，周长的比为_______ ，面枳的比为 _____ ・（2）__________________________________________________________ 如果两个相似三角形面枳的比为3：5・那么它们的相似比为________________________________________________ ，周长的比为___________ .（3）___________________________________________________________________________ 连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______________________________ ・面积比等于 _______ •（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的周长是42 cm ,而积是12cm2,则较小三角形的周长为cm,面枳为cm—AF 0(2)若S^=S. — = 过点E 作EF 〃AB 交BC 于F.求OBFED 的面税: EC 327.2.3相似三角形的应用举例年级：九年级课题：她课型：新授主备人：审核人— 时间：2017.1 学习目标1. 进一步巩固相似三角形的知识.2. 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测虽物体的长度和高度（如测址金塔高度问题、测虽河宽问题、肓区问题）等的一些实际问题.学习重点|：运用三角形相似的知识计算不能直接测址物体的长度和髙度.若送ECS^ABC =5,过EAABC学习难点|：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问題抽彖为数学问題）.舍作与探究一、问題1:学校操场上的国旗旗杆的奇度是多少？你有什么办法测虽?问题2：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家•叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一“ •塔的4个斜面正对东南西北四个方向•塔基呈正方形，每边长约230多米.据考证，为建成大金孑塔.共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.在古希胎，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天.希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测呈一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难題.因为是很难杞到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测虽大金字塔的高度的吗？二例見讲H例1 （教材P39例4—测童金字塔高度问解：略（见教材P40）练习：在某一时刻.有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米.那么高楼的岛度是多少米？（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例•）例2 （教材P40例一测童河妄问JK）解：略（见教材P40）R：你还可以用什么方法来河的尢度? 解法二*如图构造相仪三角形（解法踣）.例3 （教材PJ0例_盲区问JI）A分析，« （见教材P40）« （见教材P41）三.课堂练习1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在菜一时刻.有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一离楼的影长为60米.那么髙楼的髙度是多少米？2.小明要测虽一座古塔的髙度.从距他2米的一小块枳水处C看到塔顶的倒影.已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米■塔底中心B到枳水处C的距离是40米•求塔高？3•小明想利用树彩测呈树髙.他在某一时刻测得长为lm的竹竿彩长0.9m・但当他马上测址树影时，因树靠近一幢建筑物.彩子不全落在地面上.有一部分彩子在墙上. 如图，他先测得留在墙上的彩髙1.2m, 乂测得地面部分的彩氏2.7m,他求得的树髙是多少？27.3 位似（一）年级：九年级课邂：相似课型：新授主备人：审核人时间：2017」学习目标1 • 了解位似图形及其有关概念.了解位似与相似的联系和区别，京握位似图形的性质.2.学握位似图形的刚法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.一.魅引入1.观察：在日常生活中.我们经常见到下而所给的这样一类相似的图形.它们有什么特征?2•问：已知：如图.多边形ABCDE.把它放大为原來的2倍.即新图与原图的相似比为2.应该怎样做? 你能说出iffli 相似图形的一种方法吗？三、例Ji 讲解分析：位似图形是特殊位置匕的相似图形.因此判断两个图形是否为位似图形•肯先要看这两个图形是否相似.再看对应点的连线是否都经过同一点.这两个方面缺一不可. 解：例2 （教材P47例题）把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的 2分析：把原图形缩小到原來的丄.也就是使新图形上，顶点到位似中心的距离与原 2图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1 ：2 •四、课堂练习1.应出所给图中的位似中心.例1 （补(1)(2) (3) (4) ◎2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.3.已知：如图，△ABC,顾Z\A' B' C .使AA' B' C' S^A BC・且使相似比为1.5,要求(1)位似中心在AABC的外部：(2)位似中心在AABC的内部：(3)位似中心在AABC的一条边上：(4)以点C为位似中心.27.3 位似(二)年级：九年级课顾：相似课型：新授主备人：审核人：时间：学习目标1.巩固位似图形及其有关概念.2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.3.了解四种变换(平移、轴对称.旋转和位似)的异同.并能在复杂图形中找出这些变换.一.课堂引入1.如图.ZkABC三个顶点坐标分别为A(23), B(2J)> C(62), (1)将ZkABC向左平移三个单位得到厶A|B|C P写出人、B,> G三点的坐标： ___________________________________________________________________(2)写出ZkABC关于x轴对称的厶A2B2C2三个顶点A" B“ C2的坐标：__________________________________(3)将ZkABC绕点O旋转180・得到△ A3B3C3,写出Aj. B3. C3三点的坐标. ____________________________ 2・在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似也是一种图形的变為一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.二合作探究：(1)如图.在平而直角坐标系中，仔两点A(6.3), B(6,0).以原点O为位似中心.相似比为丄.把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化.你3有什么发现？ ___________________________________________________________(2)如图，ZkABC三个顶点坐标分别为A(2,3), B(2,l)・ C(62)，以点O为位似中心.相似比为2,将AABC放大，观察对应顶点坐标的变化.你有什么发现？_______________________________________________________________________［归纳］位似变换中对应点的坐标的变化規律， ____________________________三.例题讲解例1 (教材P49的例題) 解:刨你还可以得到其他图形吗？请你自己试一a |解法二：四.课堂练习1. AABO的定点坐标分别为A(・l,4), B(3,2), 0(0,0),试将AABO放大为使ZiEFO与厶ABO 的相似比为2.5 : k求点E和点F的坐标.2.如图，AAOB缩小后得到ACOD.观察变化前后的三角形顶点.坐标发生了什么变化.并求出苴相似比和面积比.3.如图.将图中的AABC以A为位似中心.放大到1.5 倍.请曲岀图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化・。

新人教版初中数学九年级下册27章精品导学案(52页)

课题 27.1 图形的相似 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；（2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a cb d=或::a b c d =；（3）若四条线段满足a cb d=，则有ad bc =．例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 4、填空题形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

【人教版】九年级数学下册27相似小结学案

小结学习目标1.理解相像图形及比率线段的观点, 能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比率定理及推论, 会用平行线判断三角形相像.3.理解并掌握相像三角形的判断和性质, 能进行有关证明和计算.4.认识图形的位似, 能够利用位似将一个图形放大或减小.5.会利用图形的相像解决一些简单实质问题.学习过程第一层学习 : 回首思虑1.相像三角形有哪些性质?位似图形呢 ?答 :2.三角形的相像与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相像?答 :3.举例说明三角形相像的一些应用.答 :4.如何利用位似将一个图形放大或减小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同, 并举出一些它们的实质应用的例子吗? 提示 :答 :第二层学习 : 典例分析1.比率线段【例 1】已知3,则 (≠ 0) 的值是.=b+d【思路点拨】由已知可知:3,3,获得 (≠0) 的值b=a d=c b+d.分析 :2.相像三角形的判断与性质【例 2】如下图 , 在△ABC中 , D, E分别为BC, AC的中点 , AD, BE订交于点G,若 S△GDE=1,求 S△ABC.【思路点拨】先求与△GDE相像的△ GAB的面积,由相像比为1∶2, 得S△ABG=4, 再依据△AGE,△ BGD分别与△ GDE等高,可得面积为△ GDE的面积的2倍,进而能够获得四边形ABDE 的面积 , 只需求出△DEC的面积即可得出所求.解 :【例 3 】如下图 , 四边形ABCD中, AC均分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点 , 连接 CE.2(1) 求证 : AC=AB·AD;(2) 求证 : CE∥AD;(3) 连结, 交于点F.若4,6, 求的值.DE AC AD=AB=【思路点拨】(1) 由均分∠, ∠∠90°, 可得△∽△, 进而得AC DAB ADC= ACB=ADC ACB2·(2) 由E 为直角三角形斜边的中点 ,得, 则∠∠,获得∥AC=AB AD.AB CE=AB=AE DAC= ECA CE AD.(3)证△ AFD∽△ CFE,由相像三角形的对应边成比率, 求得的值.解 :【例 4】如下图, 已知在△ABC中 , AD是BC边上的中线 , 以AB为直径的☉O交BC于点, 过D 作⊥ 于点, 交的延伸线于点, 过点B作⊥ 于D MN AC M AB N BG MN G.(1)求证 : △BGD∽△DMA;(2)求证 : 直线MN是☉O的切线.【思路点拨】 (1)依据垂直定义得出∠BGD=∠ DMA=90°,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM,再依据两角对应相等的两个三角形相像即可证明△∽△;(2) 连结由三角形中位线的性质得出∥ , 依据垂直于同向来BGD DMA OD.OD AC线的两直线平行得出AC∥ BG,由平行公义推论获得OD∥ BG,再由 BG⊥ MN,可得 OD⊥ MN,而后根据切线的判断定理即可证明直线是☉O 的切线.MN证明 :3.相像三角形的应用【例 5】一天夜晚 , 李明和张龙利用灯光下的影子来丈量一路灯D的高度,如下图,当李明走到点 A 处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长 AE正好相等,接着李明沿AC方向持续向前走 , 走到点B处时 , 李明直即刻 ( 身高) 的影子恰巧是线段, 并测得 1 25 mBN=AM AB AB=..已知李明直即刻的身高为1. 75 m, 求路灯的高CD.(结果精准到0. 1 m)【思路点拨】依据 AM⊥EC, CD⊥ EC, BN⊥ EC获得 MA∥CD∥ BN,进而获得△ ABN∽△ ACD,利用相像三角形对应边的比相等列出比率式求解即可.解 :4.位似图形的画法与性质【例 6】如下图 , 已知O是坐标原点 , B, C两点的坐标分别为(3, - 1),(2,1).(1)以 O点为位似中心在 y 轴的左边将△ OBC放大为本来的2倍(即新图与原图的相像比为2), 画出图形 ;(2)分别写出 B, C两点的对应点 B' , C' 的坐标;(3)假如△ OBC内部一点 M的坐标为( x, y),写出 M的对应点 M'的坐标 .【思路点拨】 (1) 延伸BO, CO分别到B' , C' , 使OB', OC'的长度分别是OB, OC的2倍. 按序连结三点即可 . (2)从直角坐标系中,读出 B' , C' 的坐标 . (3)察看坐标之间的关系可得M'的坐标为 (-2 ,-2). x y解 :评论作业1. (6分 ) 以下四条线段中 , 不是成比率线段的是 ()A.3,6,c=2,4a=b=d= B. a= , b=8, c=5, d=15C. a=1, b=, c=, d=D. a=, b=1, c=, d=2 (6 分)△∽△A'B'C',∠ 4 °,∠B=00 °, 则∠C'等于().ABC A=A.4 °B. 00°C. °D. °3. (6 分 ) 如下图 , l1∥l2∥l3, 直线a, b与l1, l2, l3分别订交于点A, B, C和点 D, E, F,若, DE=4, 则EF的长是 ()A.B.C.6D.104. (6 分 ) 如下图 , 在 ?ABCD中 , E为CD上一点 , 连结AE, BD, 且AE, BD交于点F, S△DEF∶S△ =4∶25,则 DE∶EC等于()ABFA.2 ∶5B.2 ∶3C.3 ∶5D.3 ∶25. (6 分 ) 如下图 , 在△ABC中 , AB=AC,∠A=°,BD均分∠ ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()-A.B.C.- 1D.+16. (8 分 ) 如下图 , ∠ 1=∠ 2, 增添一个条件使△ADE∽△ ACB:.7. (8 分 ) 如下图 , 在△ABC中 , ∠ACB=90°,CD⊥AB, 垂足是D, BC=, BD=1, 则CD=,AD=.8. (8 分 ) 为了丈量一棵树AB的高度 , 丈量者在D点立一高CD=2 m 的标杆 , 现丈量者从F处能够看到杆顶 C与树顶 A 在同一条直线上,假如测得 BD=20 m, FD=4 m, EF=1. 8 m,则树 AB的高度为m.9. (10 分) 如下图 , 点C, D在线段AB上 , △PCD是等边三角形.(1) 当AC, CD, DB知足如何的关系时, △ACP∽△PDB?(2)当△ ACP∽△ PDB时,求∠ APB的度数 .10. (10 分) 如下图 , 在边长均为 1 的小正方形网格纸中 , △OAB的极点O, A, B均在格点上,且O是直角坐标系的原点 , 点A在x轴上.(1)以 O为位似中心,将△ OAB放大,使得放大后的△ OA1B1与△ OAB对应线段的比为2∶1, 画出△ OA1B1(所画△ OA1B1与△ OAB在原点双侧);(2)求出线段 A1B1所在直线的函数关系式 .11. (12 分) 如下图 , 直线PM切☉O于点M, 直线PO交☉O于A, B两点 , 弦AC∥PM, 连结OM,BC.求证:(1)△ ABC∽△ POM;2(2)2 OA=OP·BC.12. (14 分) 如图 , 王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米, BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形 MNFE地区栽种韭菜,△ AMN地区栽种芹菜,△ CME和△ BNF地区栽种青菜( 开垦土地面积消耗均忽视不计 ), 此中点M, N分别在AC, AB上 , 点E, F在BC上 , 已知韭菜每平方米利润 100 元 , 芹菜每平方米利润 60 元, 青菜每平方米利润 40 元 , 设CM=5x米 , 王爷爷的蔬菜总利润为 W元 .(1)当矩形 MNFE恰巧为正方形时,求韭菜栽种地区矩形 MNFE的面积 .(2) 若栽种韭菜的利润等于另两种蔬菜利润之和的 2 倍 , 求这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总利润为 W对于 x 的函数表达式及 W的最大值 .参照答案学习过程第一层学习 : 回首思虑1.答 : 相像三角形的性质有:(1) 相像三角形的对应边成比率,(2)相像三角形的对应角相等,(3)相像三角形的对应线段( 对应高、对应中线、对应角均分线 ) 的比等于相像比,(4) 相像三角形的周长比等于相像比,(5) 相像三角形的面积比等于相像比的平方.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上, 它们到位似中心的距离之比等于相像比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.2.答 : 三角形的相像包含三角形的全等, 三角形的全等是相像比为 1 的三角形的相像.判断两个三角形相像的常用方法是:(1)利用平行线判断三角形相像 : 平行于三角形一边的直线截其余两边 ( 或两边的延伸线), 所组成的三角形与原三角形相像.切合这一特点的图形有两种: “ A”型和“ X”型 .(2) 判断定理1: 三边成比率的两个三角形相像.(3) 判断定理 2: 两边成比率且夹角相等的两个三角形相像.(4) 判断定理 3: 两角分别相等的两个三角形相像.(5) 直角三角形相像的判断 : 斜边和直角边对应成比率的两个直角三角形相像.3.答 : 应用相像三角形能够丈量不易直接获得的距离, 如测河宽、测旗杆高等.4.答 : 应用位似作图的一般步骤是 :①确立位似中心 : 画位似图形时 , 位似中心可能在图形的内部, 也可能在图形的外面 , 还可能在图形的边上 .②连结重点点与位似中心 : 找出重点点 ( 多边形常取极点 ), 连结位似中心和重点点.③画出对应点 : 依据相像比 , 确立原图形重点点的对应点, 按序连结所得的对应点, 获得新的图形 .④写出作图的结论 .平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是: 图形经过平移、旋转、轴对称后 , 图形的地点固然改变了 , 可是图形的大小和形状没有改变, 即两个图形是全等的; 而图形经过位似变换后 ,图形是相像的 .第二层学习 : 典例分析1 比率线段.【例 1】分析 : 由=3,得3b=a,3 d=c,∴=3.答案:32.相像三角形的判断与性质【例 2】解 : ∵D, E分别是BC, AC的中点 ,∴DE∥AB, DE=AB,∴△ AGB∽△ DGE,∴△=4.△1,4△ GDE△ ABG∵△ AGE的 AG边上的高与△ GDE的 DG边上的高相等,∴△=2,∴S =2,△ AGE△同理可得 S△GBD=2,∴S 四边形ABDE=4+2+2+1=9.∵DE∥AB,∴△ EDC∽△ ABC,设 S△ABC=x,则, 解得x=12, 即S△ABC=12.- 9【例 3】解 : (1) ∵AC均分∠DAB,∴∠ DAC=∠ CAB.∵∠ ADC=∠ ACB=90°,∴△ ADC∽△ ACB,2∴AD∶AC=AC∶AB,∴AC=AB· AD.(2)∵E 为 AB的中点,∴CE=AB=AE,∴∠ EAC=∠ ECA.∴∠ DAC=∠ ECA ,∴CE ∥ AD. (3) 由 (2) 知 CE ∥ AD , ∴△ AFD ∽△ CFE. ∴AD ∶CE=AF ∶CF.∵CE=AB , ∴CE=×6=3.4,4,∴ 4.∵AD= ∴【例 4】证明 : (1) ∵ MN ⊥ AC 于点 M , BG ⊥ MN 于 G ,∴∠ BGD=∠ DMA=90° .∵ 以为直径的☉ O 交于点, ABBC D∴AD ⊥BC , ∠ ADC=90°, ∴∠ ADM+∠ CDM=90° .∵∠ DBG+∠ BDG=90°, ∠ CDM=∠ BDG , ∴∠ DBG=∠ ADM. ∴△ BGD ∽△ DMA.(2) 如下图 , 连结 OD.∵BO=OA ,BD=DC ,∴OD 是△ ABC 的中位线 , ∴OD ∥ AC. ∵MN ⊥AC , BG ⊥ MN , ∴AC ∥BG , ∴OD ∥ BG. ∵BG ⊥MN ,∴OD ⊥ MN , ∴直线 MN 是☉ O 的切线 . 3. 相像三角形的应用【例 5】解 : 设路灯高 CD 为 x m,∵AM ⊥EC , CD ⊥ EC , BN ⊥ EC , EA=MA , ∴MA ∥CD ∥ BN , EC=CD=x ,∴△ ABN ∽△ ACD ,∴ ,即,-解得 x=6. 125≈6. 1.∴路灯高 CD 约为 6. 1 m . 4. 位似图形的画法与性质【例 6】解 : (1) 如下图 .(2)B'(-6,2), C'(-4, -2).(3)M的对应点 M'的坐标为( - 2x, - 2y) .评论作业1. C2.D3.C4.B5.C6. ∠B=∠E( 答案不独一 )7.58. 329.解 : (1) 当CD=AC·DB时 , △ACP∽△PDB.∵△PCD是等边三角形, ∴∠PCD=∠PDC=0 °,2由 PC=PD=CD可得PC·PD=AC· DB,即 , ∴△ACP∽∴∠ ACP=∠PDB=0°,若 CD=AC· DB,△P DB.(2)当△ ACP∽△ PDB时,∠APC=∠ PBD,由题知∠ PDC=0°,∴∠DPB+∠ DBP=0°,∴∠APC+∠ BPD=0°,∴∠ APB=∠CPD+∠ APC+∠ BPD=0°,即∠ APB的度数为0 °.10.解 : (1) 如下图的△OA1B1就是△ OAB放大后的图象 .(2)由 (1) 可得点A1,B1的坐标分别为(4,0),(2,- 4),故设此直线的分析式为y=kx+b( k≠0),∴0 4,,y=2x- 8. - 4,解得故线段 A1B1所在直线的函数关系式为-11.证明 : (1)∵直线切☉ 于点,∠90°. ∵弦是直径 ,∴∠90°, ∠PM O M ∴PMO=AB ACB=∴ACB=∠ PMO∵.AC∥ PM,∴∠ CAB=∠ P,∴△ ABC∽△ POM.(2)∵△ ABC∽△ POM,∴. 又 AB=2OA, OA=OM,∴2. ∴2OA=OP· BC.12.解 : (1) 作AH⊥BC于点H, 交MN于点D.∵AB=AC,AH⊥ BC,∴CH=HB=3,在 Rt△ACH中 , AH= - =4.∵ME∥AH,∴,∴CE=3x, EM=EF=4x,易证△ MEC≌△ NFB,∴CE=BF=3x,∴3x+4x+3x=6,∴x= ,∴EM= ,∴矩形 MNFE的面积为44平方米 .(2) 由题意 :100 ×4x· (6 - 6x)=2·0-·4-440 4,解得 x= 或 .(3) 由题意W=100×4x· (6 - 6x) +60× ×(6 - 6x) · (4 - 4x) +40×4x×3x=- 1 200x2+960x+720=- 1 200 -+912,∵-1200<0,∴x= 时, W有最大值,最大值为912元 .。

新人教版初中数学9年级下册27章精品导学案(52页)

课题 27.1 图形的相似 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；（2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a cb d=或::a b c d =；（3）若四条线段满足a cb d=，则有ad bc =．例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 4、填空题形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

201X春九年级数学下册第二十七章相似小结与复习新人教版

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5. 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂
足为 P，求证：PC2 ＝ PA ·PB.
C
证明：连接AC，BC.
∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，
A
O·P B
∴ ∠A + ∠B = 90°.
D
又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
∠PCB＋∠B＝90°.
∴ ∠A＝∠CPB，
3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 . A
E
B
C
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4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
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6
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
E′
D′
A
BG CF
P●
DE
C′
F′
G′
B′
A′
A′
G′ A
B′C′
F′
B C
G F
P●
DE
D′ E′
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7
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.
则 x 80 x， 120 80
解得 x = 48.
B
A EM F
G DH C
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
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九年级数学下册 第27章 相似小结 精品导学案 新人教版

人教版九年级下册 第27章：相似总结 学案(PDF版,解析版)

2018年九年级数学下册 第二十七章 相似小结与复习导学案 (新版)新人教版