第五章机械振动习题课选讲例题

x 轴下方时 v 0
机械振动
A
v
t 0


O
t 7.5 s
A t 0 x v0 2 t 7.5 s x 0 v 0
5π 6
Ax
t 7 . 5 2π T T
A
A2
T 18 s
机械振动
机械振动习题课选讲例题 例 已知谐振动的 A 、T ，求 (1)如图简谐运动 方程， (2)到达 a、b 点运动状态的时间 . 解法一 x a x A cos(t ) A * b * A2 从图上可知 O A
k+1/2 时速度为零 （2）在___s k 时动能最大 （1）在_______s
2k+1/2 时加速度取正的最大值 （3）在_______s x/cm O
1
2
t/ s
机械振动
机械振动习题课选讲例题 例 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π 3), x2 0.03cos( 10t )
2 k m
k O
简谐振动的另一种普遍定义：
d2x 2 x0 2 dt
m
若质点的运动学方程可以归纳为：
x
其中 为决定于系统本身固 有性质，则质点做简谐振动。
二 单摆
C
T
M mgl sin 摆球对C点的力矩 当 sin 时 M mgl M J
、T、
k m
、T、 mgh T 2 J
1 J 2 mgh
mgh J
、T、
都决定于质量、劲度系数、摆长、转 动惯量等反映振动系统本身特征的一 些物理量。
三、简谐振动的旋转矢量表示法 t = t 矢量 为一长度 A A 不变的矢量，以 恒定的角速度 t+0 逆时针转动。 t=0
x2 A cos( 2 t )
合振动
x x1 x2
x 2 A cos(
2 1
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x A( t ) cos t 2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos t cos( )t
机械振动
(3) 相互垂直的两个同频率简谐运动,合运 动轨迹一般为椭圆,其具体形状等决定于两分振动的相 位差和振幅. 分振动 合振动
x A1 cos( t 10 )
y A2 cos( t 20 )
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
机械振动
π t a 0,2 π,4 π, 3
机械振动习题课选讲例题
x v a
A2
解法二
A
* b *
O
t
用旋转矢量法求初相位
x A cos(t )
A t 0, x , v 0 2
矢量位于
A
A
O A/2 A
x
π 3 π x A cos(t ) 3
v
t
A
π π 5π 或 ( , ) 3 3 3
t 0, x
v0 0, sin 0
π 5π 或 3 3
机械振动
1 cos 2 π x A cos(t )
3
A A cos 2
2
,v 0
x v a
A2
机械振动习题课选讲例题
0
A
o
x
X
x A cos(t 0 )
记住四个特殊位置的点
v A
an 2 A
A t=t A t=0
X x
简谐振动的质点处 于平衡位置并向正 向最大位移运动 （速度为正向最大， 加速度为0）
t+0
an 2 A

简谐振动的质点 处于平衡位置并 向负向最大位移 运动（速度为负 向最大，加速度 为0（因在x轴投 影为0）
*五、垂直方向不同频率 两分振动频率相差很小
( y x )t ( y x )
可看作两频率相等而2-1随t 缓慢变化合运动 轨迹将按上页图依次缓慢变化。 y A
1
两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
x : y 3 : 2 y 0 , x
A
* b *
O
t
π x A cos(t ) 3 A A cos(t a π 3)
A π A (t a ) 2 π A cos(tb π 3) 3 2 T 2π π π π 5π 7 π tb , , ta 0 ta T 3 3 3 3 3 6 π 2π π π tb T 3 (tb ) 2π tb 3 T 3 3
(4) 加速度与位移成正比而方向相反 a
x
2
(5) 三个特征量：振幅 A 决定于振动的能量； 角频率 决定于振动系统的性质； 初相 决定于起始时刻的选择.
机械振动
简谐运动实例：
一、弹簧振子模型
F kx
d2x kx m 2 dt
d x 2 x0 2 dt
2
简谐振动 微分方程
机械振动习题课选讲例题 一 简谐运动的描述和特征
2
(1) 物体受线性恢复力作用 F=-kx 平衡位置 x = 0
d x 2 (2) 简谐运动的动力学描述 x 2 dt
(3) 简谐运动的运动学描述
x A cos(t )
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
A2

A
10
x1 ( t ) A1 cos( t 10 ) x2 ( t ) A2 cos( t 20 )
合振动 : x x1 x 2

A1
20
0
x A cos( t 0 )
A A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
若两分振动同相：
20 10 2k
A A1 A2
k 0 ,1,2 ,
两分振动相互加强
若两分振动反相:
20 10 ( 2k 1 )
A A1 A2
k 0 ,1,2 ,
两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 x1 A cos( 1t )
则（1） （ 2）
2kπ π / 3 x1 x2 为最大时， 为______________
x1 x2
2kπ 4π / 3 为最小时， 为_____________
机械振动
机械振动习题课选讲例题
A
A 2
0 O
x
7.5
t/s
例 一简谐运动的运 动曲线如图所示，求振动 周期 .
0
o
简谐振动的质 点处于负向最 大位移并向平 衡位置运动 （速度为0， 加速度为正最 大）
简谐振动的质点处 于正向最大位移并 向平衡位置运动 （速度为0，加速 度为负最大）
动 E 1 mv 2 k 2 能
1 2 Ek max kA 2
Ek min 0
1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2
2 d 2 ml mgl 2 dt
O
f
mg
g/l
2
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 角频率,振动的周期分别为： g 2 l 0 T 2 l 0 g
d 2 2 0 2 dt
三 复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
设：复摆对此固定轴的转动惯量为J 当 sin 时
4
-A2
o
A2 -A1
x
简谐振动的合成
例 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量 和阻力，试证其在平衡位置附近的振动 是谐振动。 证：以平衡位置A为原点，向下为x 轴正向， 设某一瞬时m的坐标为x， 则物体在振动过程中的运动微分方程 为 d 2x
l
A
0 x F mg
m
dt
2
k ( x l ) m g
式中 l 是弹簧挂上重物后的静伸长
x
d 2x 即有： 2 2 x 0 dt 这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐 标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原 系统动力学特征相同的谐振子系统。
首 页 上 页 下 页退 出
d 2x 因为 kl m g m 2 kx, dt
2 1 2 2
x2
x1
x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg 0 A1 cos 1 A2 cos 2
同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动, 其频率仍为 ,与分振动相同. 机械振动
分析
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、 一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其 振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T. 解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则
k
RJ
m
mg kl 0
T
m
F2
o
a
k 2 2 m J R




例 质量为m的比重计，放在密度为 的液体中。已 知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后， 在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。