高考一轮复习课时作业1-3

课时作业(三)
一、选择题
1．有下列四个命题：
①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；
②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题；
③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题；
④“若a b 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 B
2．“a ＝－3”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[－3，＋∞)上为增函数”的(
) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
3．(09·湖南)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a ＋b ＝0⇒a ＝－b ，
∴a ∥b ；而a ∥b ，则a ＝λb ，
∴“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．
4．“a >1”是“1a <1”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分也非必要条件
答案 B
5．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a ＝1，则两直线的斜率分别为－1和1，垂直；若两直线垂直，则直线x －ay ＝0的斜率为1，故a ＝1，所以为充要条件，选C.
6．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若“命题p 且q 为真”，则命题p 、q 都是真命题，而“命题p 或q 为真”，则命题p 、q 至少有一个是真命题即可，故选B.
7．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )
A ．m ＞－1，n ＜5
B ．m ＜－1，n ＜5
C ．m ＞－1，n ＞5
D ．m ＜－1，n ＞5
答案 A
8．(09·北京)“α＝π6＋2kπ(k ∈Z)”是“cos2α＝12
”的( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由α＝π6＋2kπ(k ∈Z)，知2α＝π3
＋4kπ(k ∈Z)， 则cos2α＝cos π3＝12
成立， 当cos2α＝12时，2α＝2kπ±π3，即α＝kπ±π6
(k ∈Z)，故选A. 9．(2010·山东卷)设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 由题可知，若a 1<a 2<a 3，
即⎩⎨⎧
a 1<a 1q a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，解得q >1， 此时数列{a n }是递增数列，
当a 1<0时，解得0<q <1，
此时数列{a n }是递增数列；
反之，若数列{a n }是递增数列，
则a 1<a 2<a 3成立，
所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件，故选C.
二、填空题
10．命题A ∩B ＝A 是命题∁U B ⊆∁U A 的________条件．
答案 充要
11．命题“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
答案 2
解析 原命题及其逆否命题为真命题．
12．(2010·北京高考题改编)a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(xa ＋b )(xb －a )为一次函数________条件．
答案 必要不充分
解析 f (x )＝x 2a ·b ＋x (b 2－a 2)－a ·b
当a ⊥b 时，a ·b ＝0
f (x )＝x (b 2－a 2)
若|a |≠|b |为一次函数
若|a |＝|b |为常数，∴充分性不成立．
当f (x )为一次函数
∴a ·b ＝0且b 2－a 2≠0
∴a ⊥b 且|a |≠|b |
∴必要性成立．
三、解答题
13．写出命题“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
答案 略
解析 原命题：“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”，为真命题．
逆命题：“若x ＋y ≥5，则x ≥2且y ≥3”，为假命题．
否命题：“若x <2或y <3，则x ＋y <5”，其为假命题．
逆否命题：“若x ＋y <5，则x <2或y <3”，其为真命题．
14．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
答案 0<a ≤5－2
解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.
又由题意知p 是q 的充分不必要条件．
所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤2－a 2＋a ≤－3a >0
①或⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤2－a 2＋a ≤5a >0 ②，由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－
2. 15．已知f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
答案 略
分析 题干中已知函数的单调性，利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小，当已知两个函数值的关系时，也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系，则不容易直接利用单调性，故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．
解 (1)逆命题：
已知函数f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.
(用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a .
∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．
∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看，故假设不成立． 从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真．
(2)逆否命题：
已知函数f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.
原命题为真，证明如下：
∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .
又∵f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．
∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．
∴其逆否命题也为真命题．。