第2章静力学

总压力P的大小
P = ∫AdP = ρg sin α ∫A ydA
P = ρ g sin α y c A = p c A
大小：作用在任意形状平 面上的总压力大小等于该 平面的面积与其形心处压 力的乘积。
总压力P的作用方向： 必然为垂直地指向相应作用面。
二、压力中心
压力中心的概念：总压力的作用点称为压力中心，记作D点
= 2.54m
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
[例题2-4]一个边长为1.2m的正方形平板竖直地置于液体中， 已知压力中心位于形心以下75mm处，求该正方形平板的上 缘在液面下的深度x=？
[解依] 题意可知 yc = x + 0.6, y D − y c = J c /( y c A ) = 0 .0 7 5
综上所述，作用在曲面上的总压力可表示为
P = Pxi + Py j + Pz z P = Px + Py + Pz
∫ 故总压力的水平分力为 Px = ρg A hdAx = ρghc Ax （2-24）
竖直方向分力为：
Pz = ρgV
作用在曲面 ab上的总压力的垂直分力 Fz 等于其压力体
的液重。它的作用线通过压力体的形心。
元六面体。 z
p − 1 ∂ P dx 2 ∂x
A1 A A2
p
p + 1 ∂ P dx 2 ∂x
o
x
y
X − 1 ∂P = 0
ρ ∂x
将三个方程分别乘
以i,j,k，再相加可
得流体平衡微分方
程式的矢量形式
f
=
1
ρ
∇ρ
同理，对y , z方向：
Y − 1 ∂P = 0
ρ ∂y
Z − 1 ∂P = 0
ρ ∂z
说明： 实压力体（+）：压力体内充满液体，垂直分力是向下的； 虚压力体（-）：压力体内没有液体，垂直分力是向上的。 压力体液重并不一定是压力体内实际具有的液体重力，只 是一个虚构概念。
综上所述，压力体的画法可归纳为以下几步：
（1）将受力曲面根据具体情况分成若干段； （2）找出各段的等效自由液面。 （3）画出每一段的压力体并确定虚实。 （4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最
）2
−
1 2
52 tg 600
]
= 1002300N
故总压力大小、方向为
P = Px2 + Pz2 = 12250002 +10023002 = 1582790N
tgθ = Px = 125000 = 1.222 Pz 1002300
θ = 50o42'
思考题
1.何谓压力体？ 答：它是由液体的自由表面、承受压力的曲面和 由该曲面的边线向上垂直引伸到自由液面或其延 伸面的各个表面所围成的体积。
两边同除以 ρg 则有： z+ p =C
ρg
对图示静止流体中任 意两点，上式可写成：
z1
+
p1
ρg
=
z2
+
p2
ρg
适用条件：
重力作用下静止的均质流体。
对分装在互不相同的两个容 器中的流体或装在同一容器 的不同密度流体之间，流体 静力学基本方程不成立。
2、物理意义 平衡流体中各点的总势能是一常数。
ΔA ——微元面积；
(2–1)
ΔP ——作用在 ΔA 表面上的总压力大小。
二，压力的单位
上述即流体静压力，简称压力，用 N/m2，称为帕斯卡，简称帕。
表p 示，单位
常用的压力单位及换算关系： 帕(Pa)、巴(bar)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱（mH2O) Kg=kgf/cm2
三，压力是一个标量，可分为：绝对压力，相对压力，真空。 什么情况下应该采用绝对压力？什么情况下应该采用相对压 力？ 计算压降？计算总压力？计算作用点？计算作用力？
四.流体静压力的两个重要特性：
特性一：静压力方向永远沿着作用面内法线方向
p
τ
证明：
pn m
一方面，流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只 能沿法线方向；
另一方面，流体不能承受拉力，只能承受压力。所以，静 压力唯一可能的方向就是内法线方向。
特性二：静止流体中任何一点上各个方向的静压力
大小相等，与作用面方位无关。
z 活塞式压力计 z 电测式压力计
¾ 电阻式压力计，电感式压力计，电容式压力计，压电式压力 计（适于对快速变化的信号进行测量），等等
第四节 作用在平面上的总压力
定义：静止流体作用在壁面上的 力称为流体静压力。
一、总压力大小和方向
微元面 dA 上流体静压力大小为
dP = pdA = ρghdA = ρg sinαydA
对分装在互不相同的两个容器中的流体或装在同一容器 的不同密度流体之间，流体静力学基本方程不成立。
第三节 压力的测量
采用什么原理能够测量出液体的压力？
根据测量原理对压力仪表进行分类
z 液体式压力计
¾ U型管压力计，杯型压力计，等等
z 固体压力计（弹性压力计）
¾ 弹簧管压力计，膜片式压力计，波纹管压力计，
证明： z
C
py
→
1 2
pxdydz
−
1 2
pndydz +
X
1 ρdxdydz
6
=0
n
px
dz
pn
dy O dx
A
px = pn
py = pn pz = pn
x 由于方向n代表任意方向，所
以上式表明：静止流体中任
y
B
pz F (Fx , Fy , Fz )
意一点的流体静压力，无论 来自何方均相等，或者说与
2.压力体内______ (A) 必定充满液体 (C) 至少部分有液体
(B) 肯定不会有液体 (D) 可能有液体，也可能无液体
3.曲面壁上静水总压力的竖直分力等于压力体中的液体重量。
(√ )
第六节 物体在流体中的浮沉原理
流体平衡微分方程式（2-3） （欧拉平衡方程式）
(这是基础!)
二、等压面 定义： 流体中压强相等各点所组成的平面叫做等压面。
在等压面上
p=C
等压面的微分方程式是
dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz) = ρdU = 0 （2-5）
等压面方程：
Xdx + Ydy + Zdz = 0
等压面最重要的二个性质：
受压曲面ab的压力体为V=BAabc。 面积Aabc为扇形面积aob与三角形 cob面积之差，所以有
θ
P
Pz
b
Pz = ρ gBAacb
图2－23 例2－4图
Pz = ρ gBAacb
=
ρgB
⎡α
⎢ ⎣
360
（π H ）2 − sin α
1 2
H
⋅
H tgα
⎤ ⎥ ⎦
=
9800
×10
×
[
3.14 × 600（ 5 3600 sin 600
yD
=
Jc + yc A
yc
！压力中心 D 恒在平面形心 C 的下方。
为什么？
应用上述公式时应该注意： （1）没有考虑大气压的影响。 （2）在压力中心的计算式中y坐标原点的取法。
将y轴原点取在自由液面上。
[例题2-3] 如图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左 边水深H1 = 4.5m，右边水深 H2 = 2.5m ，闸门与水面成 α = 450
3
α P2 l2
l2
H2
3
所以
P
=
γhc1 A1
− γhc2 A2
=
ρgbH
2 1
2 sin α
−
ρgbH
2 2
2 sin α
= 9800 × 1 × 4.52 − 9800 × 1 × 2.52
2 × 0.707
2 × 0.707
= 140346 − 43316 = 97030 Ν
由于矩形平面压力中心坐标
终的压力体。
[例题2—5]如图所示，有一圆柱扇形水闸门，已知H=5m， α=60o，闸门宽度B=10m，求作用于曲面ab上的总压力。
[解] 闸门在垂直坐标面上的投影面Ax=BH，其形心深 hC=H/2，代入（2－24）得
Px
=
ρghC
Ax
=
ρg
H 2
BH
=
1 2
ρgBH 2
Ha
co
α
= 1225000N H Px
4.根据静水压强的特性，静止液体中同一点各方向的压强 （ A）
A.数值相等 B.数值不等 C.仅水平方向数值相等 D.铅直方向数值最大
判断题:
5.静水压强的二个基本特性是：
a. 静水压强的方向永远垂直于作用面且指向它；
b.水中任一点的静水压强与它的作用面方位和其空间位置
有关。
（）
6. 静水内任意一点的静水压强均相等。（ ）
7. 静水压强是既有大小又有方向的矢量。( )
8. 静水压强可用带箭头的线段表示，其中线段的长度按一定 比例代表压强的大小，箭头的方向表示静水压强的方向。
9. 静水中压强的方向总是垂直指向受压面，可能是拉力。 ( )
第二节 流体静力学平衡方 一、流体平衡方程程式的建立 (1755年提出)
在静止流体中任取边长为 dx 、 dy 、 dz 的一个微
据理论力学中的合力矩定理，诸分力对某一轴的力矩 之合等于合力对该轴的力矩
∫ PyD =
dP
A
∫ ρ gyC sin α AyD = ρ g sin α
y2dA
A
化简后可得
∫ y2dA
yD =
A
yc A
∫ 式中 y2dA =
轴的惯性A 矩。
J
x
是A平面面ox积，
对
根据惯性矩的平行移轴定理 J x = Jc + yc2 A 可得
作用方向无关。
思考题
1.静止流体的点压强值与__B_____无关 (A)位置 (B) 方向 (C) 流体种类 (D) 重力加速度 2.静压力的方向如何？ 答：静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
3.液体静压力的特征是_A_，__B___
A.静压力的方向为作用面的内法线方向 B.静压力的大小与方向无关 C.静压力的方向为作用面的切线方向 D.静压力的大小与压力的位置无关
第二章 流体静力学
z 概念：压力、压力体 z 原理
¾压力的两个特性 ¾流体静力学平衡方程——欧拉平衡方程 ¾物体在流体中的潜浮原理
z 方法：微元体的分析方法 z 计算：静压力计算
§2-1流体静压力及其特性
定义式；单位；绝对和相对压力；两个特性
一.流体静压力的定义：
静压力（压强）定义式
p = lim Δ P = dP ΔA → 0 Δ A dA
证明：
等压面与单位质量力矢量垂直。
两种流体（不相混，密度不同）其等 压面为分界面
将 Xdx + Ydy + Zdz = 0
写成矢量形式
F ⋅ dsr = 0
式中 dsv
是等压面上任意线段。
因而等压面与单位质量力矢量垂直。
由此可知，根据质量力方向可确定等压面的形状，反之 也可。
1.静止流体中等压面为水平面;
所以
1.24 /12 (x + 0.6) ×1.22 = 0.075
解之可得x=1m。
第五节 作用在曲面上的总压力
在工程实际问题中，常见到一些储液容器如 水塔、油罐、分离器、锅炉、蒸馏塔等，是由圆 柱、圆锥、半球、球冠等曲面组成的。计算静止 流体对这些器壁的作用力，就属于静止流体作用 在曲面上的总压力问题。作用在曲面上的各点流 体静压力都垂直于器壁，这就形成了复杂的空间 力系，求流体作用在曲面上的总压力问题便成为 空间力系的合成问题。
流体作用在曲面上总压力的水平分力等于流体作用在
该曲面的铅垂投影面 Ax 上的总压力。
二、压力体
压力体是由 ∫A hdAZ 得到的一个体积，是一个纯数学的概
念，与这个体积内是否充满着液体无关。它是由液体的自 由表面、承受压力的曲面和由该曲面的边线向上垂直引伸 到自由液面或其延伸面的各个表面所围成的体积。
从物理角度看：
z 表示单位重力流体的位置势能；
p
γ 表示单位重力流体的压强势能；
z
+
p
γ
表示总势能。
思考题
一.选择题
c c 1学静.方力1两_程学层__为方静A__程止z_1_为液+ 体ρ2 zp1，g12 1上+=层ρcp21的，g2 2密下=度层c为的2 。密ρ因度1 ，，为故静ρ力2 ,
(A) > (B) = (C) < (D) 不确定
倾斜角。假设闸门的宽度 b = 1m ，试求作用在闸门上的总压
力及其作用点。
[解] 作用在闸门上的总压力系左右两边液体总压力之差， 即
P = P1 − P2
因此
l1 P
Hc1
=
H1 2
, A1
=b
l1
= b H1
sin α
;
H1
Hc2
=
H2 2
, A2
=b
l2
= b H2 。
sin α
l0
P1 l1
yD
=
yc +
Jc yc A
=
L+ 2
b L3 12 ( L 2 ) bL
=
2L 3
根据合力矩定理，对通过O点垂直于图面的轴取矩，得
Pl0
=
P1
l1 3
−
P2
l2 3
=
P1
H1
3 sin α
−
P2
H2
3 sin α
所以
l0
=
P1 H 1 − P2 H 2
3 P sin α
= 140346 × 4.5 − 43316 × 2.5 3 × 97030 × 0.707
2.绕垂直轴旋转的流体中， 等压面为旋转抛物面。
三、静力学基本方程式
（一）静力学基本方程的推出
如图示，单位质量流体所受 到的质量力即为重力可表示 为
X = Y = 0; Z = −g
dp + ρ gdz = 0
对于连续、均质的不可压缩流体 来说，其密度是常量，所以有
p + ρgz = c
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欧拉方程当质量力 为重力时的情况