第10章能量法

ddF
非线性 u*? ??0 1?d?
§10-3 互等定理
一、功和位移互等定理
1．推导：以简支梁为例
1)先加F1再加F2 ，二 力作的总功为
F1
F2
d11
d21
d12
d22
U
1
?
W1
?
1 2
F1d11?
12F2d
22
?
F1d12
2)同时加F1和F2 ，二
力作的总功为
F1 d11+d12
线性
? 非线性 u*
线性
2．余能与 F1 余比能
?1 U
d
u ?
d1
?1
应变能：线弹性
U
?
W
?
1 2
F1d1
非线性 U ?W ? ?d01 Fdd
比能：线弹性
u?
1?
2
1?1
非线性 u? ?0?1? d?
余能：线弹性
U*?U ?
1 2
F1d1
余比能：线弹性
u*?
u?
1?
2
1?1
非线性
U
*?
?F1 0
取? =0.3，h/l=0.1，上述比值为0.0312。可见对长梁可不考虑剪
切应变能。
2)求C点挠度：由外力功等于应变能(W=U)，并忽略剪切应变能有
W
?
1 2
Ff
C
?
U
弯
?
F 2l3 96 EI
?
f
C
?
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
三、非线性固体的应变能
1．应变能 与比能
F 非线性 U*
?
1 2
M
(
x
)d?
?
1 2
M
(
x
)d?x
M(x)
M(x)
? M 2 ( x)dx
2 EI
2)l 段应变能
dx
U
?
?0ldU
?
?0l
M2(x 2 EI
)dx
§10-2 弹性应变能的计算
4．剪切
1)dx段应变能
dU
?
1(?A)(?d x)? ?
2
2 d xA ??
2G
FQ2dx 2GA
? A
?
2)l 段应变能
§10-2 弹性应变能的计算
2)弹性应变能
a)等比例加载，使Fi同时由零到终值，则d i也同时由零 到终值；
b)引进参数b (0～1)，则有b Fi和与之对应的bd i，给b 一个增量db，则位移有相应的增量dbd i。 外力在位移增量上作的功为
dW ? ? (bFi ? dbFi )?(dbdi ) ? (? Fidi )bdb
二、杆件应变能的计算
1．轴向拉伸或压缩
l
1)应变能
U ?W ? 12FDl ?
U ? FN2l 2 EA
F Dl
若轴力FN或截面面积A为变量时
a)分段变化
b)为杆长x的函数
U
?
n
?U
i?1
i
?
?i?n12FEN2iAlii
U
?
?0ldU
?
?0l
FN2 ( x) dx 2EA( x)
2)比能
u?
dU dV
一、弹性应变能的一般公式 广义力与广义位移
1．广义力和广义位移
1)广义力泛指力与力矩； 广义位移为广义力所 F1 d1 直接产生的位移和转 角，如力产生位移， 力矩产生转角；
d2 F2
d3 F3
2)线弹性情况下，广义力与 广义位移成线性关系。
2．弹性应变能
1)弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值， 与加力的次序无关；
?U
i?1
i
?
?i?n12TGi2Ilpi i
b)为杆长x的函数
U
?
?0ldU
?
?0l 2TG2Ip(
x) (x
dx )
2)比能
u?
dU dV
?
0.5(?A)(?
dV
d
x
)
? ?? ? ? 2 ? G? 2
2 2G 2
? A
?
dx
? dx
§10-2 弹性应变能的计算
3．弯曲
1)dx段应变能
d?
dU
c)外力总功
W?
?dW ? (?
Fidi
)?01bdb
??
(
1 2
Fid
i
)
d)弹性体中的应变能
U
?W
?
?
(
1 2
Fi
di
)
克拉贝依隆原理：线弹性体应变能等于每一广义外力
与其产生广义位移乘积二分之一的总和。
§10-2 弹性应变能的计算
3)弹性应变能可以表达成外力或位移的唯一表达式， 称为外力的二次齐函数或位移的二次齐函数。
上式指圆截面情况。若截面并非圆形，则右第三
项中的Ip应为It。
§10-2 弹性应变能的计算
例10-1 图示矩形梁，比较弯曲
l/2
F l/2
和剪切两种应变能，并
求中点C的挠度。
C
h
解：1)将M(x)=Fx/2和
x
b
FQ(x)=F/2代入弯曲和 剪切应变能公式，并考虑对称性
U
弯
?
2 ?0l /
2
2
1 EI
§10-1 概 述
一、功能原理
U ?W：应变能?无?能量??损失? 外力功
二、能量法
用功能原理求解结构位移、变形等力学问题的方法
三、重要性
1．解题简单、适用性广； 2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题； 3．可求解静定与非静定问题； 4．学习后续课程的基础。
§10-2 弹性应变能的计算
第十章 能 量 法
? §10-1 概 述 ? §10-2 弹性应变能的计算 ? §10-3 互等定理 ? §10-4 卡氏第二定理 ? §10-5 虚功原理*
第十章 能 量 法
? §10-6 单位载荷法 ? §10-7 图乘法(维利沙金法 ) ? §10-8 瑞利—李兹法* ? §10-9 超静定结构的基本解法 ? §10-10 力法 正则方程* ?小 结
(
Fx 2
)2
dx
?
F 2l3 96 EI
U
?
U
弯
?
U剪
?
F 2l 3 96EI
?
?F 2l
8GA
U
剪
?
2
?0l
/2
?(
2GA
F 2
)
2
dx
?
?F 2l
8GA
U
剪
:U
弯
?
12EI?
GAl2
? 152(1??
)(
h l
)2
矩形截面梁：? ? 6/5，I / A? h2 /12，G? E /[2(1?? )]
? [FN2 ( x)dx]/[2EA( x)] A( x )dx
?
F
2 N
(
x
)
2EA2 ( x)
? ? 2 ? 1??
2E 2
? 1 E? 2
2
§10-2 弹性应变能的计算
2．扭转圆轴
1)应变能
U
?
W
?
1 2
Me?
?
U ? T2l 2GIp
若扭矩或截面直径为变量时
Me ?
?
l
a)分段变化
U
?
n
2)组合变形的应变能
dU ? FN2 ( x )dx
M(x)
2 EA
? M 2 ( x )dx 2 EI z
? T 2 ( x)dx 2GIp
FN(x)
T(x) T (x) dx
M(x) FN(x)
U
?
?l
F
2 N
(
x
) dx
2 EA
?
?l
M2(x 2EI z
)d
x
?
?l
T 2 ( x)dx 2GIp
U
?
?0ldUwenku.baidu.com
?
?0l?
FQ2 dx 2GA
dx
? dx
FQ——横截面剪力，A——横截面面积。
? ——截面系数，
矩形：? =6/5；实心圆： ? =10/9；薄圆环：? =2。
3)注意：在细长梁中，剪切应变能远小于弯曲应变 能，通常忽略不计。
§10-2 弹性应变能的计算
5．组合变形下的应变能
1)各广义力只在自己相应广义位移上做功，互不相干；