第10章能量法
《结构力学》习题集及答案（下册）第十章结构弹性稳定计算
第十章 结构弹性稳定计算一、判断题：1、稳定方程即是根据稳定平衡状态建立的平衡方程。
2、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。
3、在稳定分析中，有n 个稳定自由度的结构具有n 个临界荷载。
4、两类稳定问题的主要区别是：荷载—位移曲线上是否出现分支点。
5、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。
6、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。
二、计算题：7、用静力法推导求临界荷载cr P 的稳定方程。
PE I ,l8、写出图示体系失稳时的特征方程。
k lEIk AB P9、求刚架在反对称失稳时的稳定方程。
n 为常数。
l Pl P n E IEIEI A C BD10、求图示完善体系的临界荷载cr P 。
转动刚度kl k r 2=，k 为弹簧刚度。
P l k r kl kEIO O EI O O11、求图示刚架的临界荷载cr P 。
已知弹簧刚度l EI k 33= 。
PEIlA BC lO O 0EI k12、求图示中心受压杆的临界荷载cr P 。
PEI l13、用静力法求图示结构的临界荷载cr P ，欲使B 铰不发生水平移动，求弹性支承的最小刚度k 值。
PlEI A Bk14、用静力法确定图示具有下端固定铰，上端滑动支承压杆的临界荷载crP。
P PEI yxδly15、用能量法求图示结构的临界荷载参数crP。
设失稳时两柱的变形曲线均为余弦曲线：yxh=-δπ(cos).12提示：cos d sin22u u u uabab⎰=+⎡⎣⎢⎤⎦⎥214。
PEIP2EI h3EA16、用能量法求中心受压杆的临界荷载crP与计算长度,BC段为刚性杆，AB段失稳时变形曲线设为：()y x a xxl=-().32EIPllEIABCyx→∞17、用能量法求图示体系的临界荷载cr P 。
l PEIEI 1=H18、用能量法求图示中心压杆的临界荷载cr P ，设变形曲线为正弦曲线。
第10章 杆件稳定性
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
两条平衡路径Ⅰ 的交点为分支点 分支点 B 将 分支点。 两条平衡路径 Ⅰ和 Ⅱ 的交点为 分支点 。
10.1 稳定性概念
原始的平衡路径Ⅰ分为两段：前段 OB 上的点属于稳定 原始的平衡路径Ⅰ 分为两段： 平衡， 上的点属于不稳定平衡。 平衡 ， 而后段 BC 上的点属于不稳定平衡 。 具有这种特 征的失稳形式称为分支点失稳形式。 征的失稳形式称为 分支点失稳形式。 分支点失稳形式
θ
例10.2
第10章
考虑如图(a)的单自由度非完善体 考虑如图(a)的单自由度非完善体 (a)
F k
B B'
系，刚性杆AB有初倾角 ε 。 刚性杆 有初倾角
k
10.1 稳定性概念
l
l
A
A
（a） ）
（b） ）
解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为 在图(b)中 平衡条件(水平方向) (b)
F tan(θ + ε ) − kl[sin(θ + ε ) − sin ε ] = 0 sin ε F = kl cos(θ + ε )[1 − ] sin(θ + ε )
第10章
例10.5
10.1 稳定性概念
如图所示， 如图所示，由三根相同的刚性杆组
成的系统，一端作用外力 ,铰结处B、 都是弹性 成的系统，一端作用外力F,铰结处 、C都是弹性 系数为k的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 系数为 的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 的弹性支座
第10章动载荷与交变载荷
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
第十章-动载荷
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
材料力学第十章杆件计算的能量法
T
T
A
T
l
o
B
3.梁弯曲时的应变能
3.1 纯弯曲梁
l Ml
M
EI
W
1 2
M e
Vε
W
1 2
M
e
M 2l 2EI
M
l
3.2 剪切弯曲梁
弯矩M：
dVε M
M (x)2 dx 2EI
M (x)2 dx
Vε M l 2EI
剪力FQ：
6FQ
h2 (
y2)
0 2EI
l
2EI
FA
4
F2 A
l
3
F
l2 3
5FA Fl3
3EI 6EI 6EI
3.位移
Δ A
Vε FA
0
FA
5 16
F
例 求如图所示简支梁截面A的转角，设梁EI的为常数。
Mo A
M B
l
解：为了求A截面的转角A，可在A端加一虚力偶M0，如
图所示。则按卡氏第二定理，A截面的转角:
§10-2 杆件的弹性应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能
F
F
A
l l1
Vε
1 2
FN l
FN2l 2EA
dF F1 F
o
d(△l) △l1
B △l
2.圆杆扭转时的应变能
W 1 T
2
Mx T
M xl
GIP
材料力学习题
材料力学作业册学院：专业：年级：班级：学号：姓名：前言本作业题册是为适应当前我校教学特色而统一筛选出来的题集，入选题目共计72个，教师可根据学时情况有选择性的布置作业。
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由于时间仓促，并限于编者水平有限，缺点和错误在所难免，恳请大家提出修改建议。
王钦亭wangqt@ 2013年2月27日目录第一章绪论 (1)第二章拉伸与压缩 (2)第三章扭转 (7)第四章弯曲应力 (11)第五章弯曲变形 (18)第六章简单超静定问题 (20)第七章应力状态与强度理论 (25)第八章组合变形与连接件计算 (32)第九章压杆稳定 (36)第十章能量法 (41)第十一章动荷载.交变应力 (49)附录I 截面的几何性质 (53)第一章绪论1-1 材料力学的中所讲的构件失效是指哪三方面的失效？1-2 可变形固体的基本假设有哪些？1-3 材料力学中研究的“杆”，有什么样的几何特征？1-4 材料力学中，杆件的基本变形有哪些？第二章 拉伸与压缩2-1（SXFV5-2-1）试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
2-2（SXFV5-2-2）一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为2f kx （k 为常数），试作木桩的轴力图。
A2-3（SXFV5-2-3）石砌桥墩的墩身高=10 m l ，其横截面尺寸如图所示。
荷载 1 000 kN F =，材料的密度33=2.3510 kg/m ρ⨯。
试求墩身底部横截面上的压应力。
2-4（SXFV5-2-6）一木桩受力如图所示。
柱的横截面为边长200 mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其纵向弹性模量10 GPa E =。
如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱端A 的位移。
弹塑性力学第十章
( V
ijui),jdV V
i,jj
uidV
Snjijuid SVi,jjuidV
代入原虚位移方程
2019/10/27
34
§10-4 虚位移原理和最小势能原 理
代入原虚位移方程
V (i,jj fi)u id V S (X i n j i) ju id S 0
各向同性线性材料的应力应变关系
ijE 1(1)ijk kij
代入Uc表达式
Uc
1 2
VijijdV
1
U c2EV
(1)i2 j
kklldV
2019/10/27
10
§10-1 几个基本概念和术语
应变能、应变余能的计算举例
l
P
o
x
l
P
o
x
U
2P3l 3E2 A2
P 3l 3E 2A2
2019/10/27
14
§10-1 几个基本概念和术语
作业：图示结构各杆等截
面杆，截面面积为A,结点 A
C承受荷载P作用,材料应
力—应变关系分别为（1） l
y
=E ，(2) =E 1/2 。
试计算结构的应变能U 和 B
应变余能Uc。
2019/10/27
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§10-3 功的互等定理
对于线弹性体本构关系
ij Eijkl kl
Eij kl kijli2j W k likjlEk lij
dVE dV (1) (2)
V ij ij
(1) (2) V ijkl kl ij
4
§10-1 几个基本概念和术语
能量法
第十章能量法承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能减少。
如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。
据此，通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。
但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。
应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。
本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。
能量法既可用于计算构件或结构位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。
§10.1 杆件的应变能计算前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。
但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。
在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。
通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储藏有应变能。
若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能Vε，即Vε=W。
在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下拉伸（压缩）时2122NPF lV F lEAε=∆=此处F N=F P（10-1）圆轴扭转时 2122x P PM l V M GI εϕ== 此处M x =M P （10-2）平面弯曲时 2122P M lV M EIεθ== 此处M =M P （10-3）综合以上三个表达式中外力表达的部分，可以把应变能概括地写为12V W F εδ==(10-4) 式中 F ——在拉伸（压缩）时表示拉力（压力），在扭转或弯曲时表示集中力偶，所以此处F 称为广义力；δ——在广义力作用处与广义力F 相应的位移，称为广义位移，在拉伸（压缩）时它是与拉力（压力）相应的位移l ∆，在扭转时它是与扭转力偶矩相应的转角φ，在平面弯曲时它是与弯曲力偶矩相应的截面转角θ（如图2所示）。
第10章 能量法
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
10结构的动力计算习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案
第10章 结构的动力计算习题解答习题10.1 是非判断题(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。
（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。
（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。
（ ）(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。
（ ）(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。
（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。
（ ）(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。
（ ）【解】(1) 错误。
体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。
(2) 错误。
由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。
(3) 正确。
(4) 错误。
由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。
(5) 正确。
(6) 正确。
(7) 正确。
习题10.2 填空题(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。
(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。
(3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。
(4) 若由式()211βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。
(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。
c k WF sin θ tP 12-2(5)习题 图习题10.2(5)图(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]=__________。
mm2m12-2(6)习题 图mF sin θ tP 12-2(7)习题 图习题10.2(6)图 习题10.2(7)图(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI ＝常数。
第10章 能量法题解
第10章 习题解答10-1 两根材料相同的圆截面直杆，其形状和尺寸如图所示。
试比较两杆的变形能。
解：22222d E lF EA l F U a a π== 2222222287283241286d E l F d E l F d E l F EA lF EA l F U a b b π=π+π=⋅+⋅=716872==b a U U10-2 已知图示等截面外伸梁的抗弯刚度EI ，试求梁的变形能及A 截面的转角。
解：1. 支反力 l M F F C B 02==2. 弯矩AB 段：01M x M =）（ （0≤x 1≤l /2）CB 段：2022x l M x M =）（ （0≤x 2≤l /2） 3. 变形能 EI lM dx x l M dx M EI U ll 3421202022222020120=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰⎰4. 位移 EI l M U M A 321200==θ ，EIl M A 320=θ（）10-3 图示桁架各杆抗拉压刚度EA 均相等，试求桁架的变形能及C 点的水平位移。
（a ）（b ）（a ）（b ） 3 （c ）BF DB解：1. 支反力 F F Ax = ，2F F F B Ay == 2. 各杆长度 l l l 231== ，l l l l ===5423. 各杆轴力 由节点B 的平衡条件得F N 223=（压），25F N =（拉）； 由节点 D 的平衡条件得02=N ，24FN =（拉）；由节点C 的平衡条件得F N 221=（拉）。
4. 变形能 EA l F EA l F l F l F EA U 2222957.0412222222221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= 5. 位移 EA l F F CH 2957.021=∆ ，EAFlCH 914.1=∆（→）10-4 图示等截面曲杆为1/4圆周，其抗弯刚度EI 已知，试求曲杆的变形能及B 点的铅垂位移。
材料力学习题册2012.9.26
2－5现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成〔图a〕，A、B、C三处均为铰链连接。每一侧臂AB和BC都由两根矩形截面杆所组成〔图b〕。已知起重载荷FP＝1200 kN，每根矩形杆截面尺寸比例b/h，材料的许用应力 ＝。试设计矩形杆的截面尺寸b和h。
〔2〕轴的最大相对扭转角 。
3－5图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩Me=3 kN·m，图中尺寸单位为mm。试求：
〔1〕轴横截面上的最大切应力。
〔2〕轴横截面上半径r＝15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比。〔3〕去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
3－6同轴线的芯轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而在C处焊成一体。轴的A端承受扭转力偶作用，如下图。已知轴直径d＝66 mm，轴套外直径D＝80 mm，厚度＝6 mm；材料的许用切应力[]＝60 MPa。试求结构所能承受的最大外力偶矩。
7－7已知矩形截面梁的某个截面上的剪力FQ=120kN，弯矩M＝10kN·m，截面尺寸如下图。试求1、2、3点的主应力与最大切应力。
7－8用实验方法测得空心圆轴外表上某一点〔距两端稍远处〕与轴之母线夹45°角方向上的正应变 。假设已知轴的转速n=120r/min(转／分)，材料的G=81GPa， ，试求轴所受之外力偶矩Me。(提示： 〕
5－13由号工字钢制成的ABD梁，左端A处为固定铰链支座，B点处用铰链与钢制圆截面杆BC连接，BC杆在C处用铰链悬挂。已知圆截面杆直径d＝20 mm，梁和杆的许用应力均为[]＝160 MPa，试求:结构的许用均布载荷集度[q]。
材料力学第十章
fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。
材料力学( 最新 )能量法
U W
• 10-2
杆件变形能的计算
P P
•轴向拉压 •轴力P与轴向变形成正比 •当轴力N沿轴向为变量时
N 2 ( x)dx dU udV dV Pl 2 2 EA N 2 ( x)dx dU 2 EA N 2 ( x)dx U dU l l 2 EA
' 4
1 1 U b P 3 P4 4 3 2 2
P3
P 4
A
B
1'
' 2
3
4
• 10-4
P 1
互等定理
P 2
A
P3
P 4
B
' 4 4
1
' 1
2
' 2
3
' 3
1 1 1 1 ' U1 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 1' P2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' U 2 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 3 P4 4 1 3 3 2 2 2 2
U1 U 2
P 1' P2 2' P3 3' P4 4' 1
•功的互等定理
P P P P
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
•第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等 于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功
' 当P2和P4等于零时 P 1' P3 3 1
V wA ε FP
FP2l 3 x 2dx 0 6 EI
l
FP l 3 wA () 3EI
第10章 能量法(作业解答)
=
1 EI
l 0
⎡ ⎢M ⎣
(x
)
∂M (x
∂M es
)
⎤ ⎥ ⎦
M
es
=
dx
0
=
qa 3 6EI
10-5 图示刚架，各杆的 EI 相等。试求截面 A 的位移和转角。
Bl F
x2
x1 A
1
1
1
h
C
解：用单位载荷法求解 如图所示，在截面 A 处分别作用一水平方向单位力、铅垂方向单
位力和一顺时针方向单位力偶，并分别求出由荷载 F 以及单位力和单 位力偶所引起的内力，列表计算如下：
∂Fs
当 a ≤ x ≤ l ， M (x) = −Fs (l − x)，
∂M (x) = −(l − x)
∂Fs
∫ yB
= ⎜⎜⎝⎛
∂U ∂Fs
⎟⎟⎠⎞Fs =0
=
1 EI
l 0
⎡ ⎢ ⎣
M
(x
)
∂M (x
∂Fs
)
⎤ ⎥ ⎦
Fs
=0
dx
∫ = q
a
(a
−
x)2 (l
−
x)dx
=
qa 3 (4l
−
a)
F=qa
q
面 A 和 B 之间的相对位移和相对转角。
A
F 对称轴 F
B
1
1
x1
h
x2
E
C
D
A
B
C
a
l
ql2/8
③
a
①②
解：用单位载荷法求解 由于结构和载荷的对称性，取刚架对称轴的一侧来求解 δ AB 和
材料力学填空与判断题解
F122-题132-题第 2 章 轴向拉伸与压缩二、填空题2-6 承受轴向拉压的杆件，只有在（加力端一定距离外）长度范围内变形才是均匀的。
2-7 根据强度条件][σσ≤可以进行（强度校核、设计截面、确定许可载荷）三方面的强度计算。
2-8 低碳钢材料由于冷作硬化，会使（比例极限）提高，而使（塑性）降低。
2-9 铸铁试件的压缩破坏和（切）应力有关。
2-10 构件由于截面的（形状、尺寸的突变）会发生应力集中现象。
三、选择题2-11 应用拉压正应力公式AN=σ的条件是（ B ） （A ）应力小于比极限；（B ）外力的合力沿杆轴线； （C ）应力小于弹性极限；（D ）应力小于屈服极限。
2-12 图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将（ D ） （A ）平动；（B ）转动；（C ）不动；（D ）平动加转动。
2-13 图示四种材料的应力-应变曲线中，强度最大的是材料（A ），塑性最好的是材料（D ）。
2-14 图示三杆结构，欲使杆3的内力减小，应该（ B ）（A ）增大杆3的横截面积； （B ）减小杆3的横截面积； （C ）减小杆1的横截面积； （D ）减小杆2的横截面积。
2-15 图示有缺陷的脆性材料拉杆中，应力集中最严重的是杆（ D ）第 3 章 扭转二、填空题3-6 圆杆扭转时，根据（切应力互等定理），其纵向截面上也存在切应力。
3-7 铸铁圆杆发生扭转破坏的破断线如图所示，试画出圆杆所受外力偶的方向。
3-8 画出圆杆扭转时，两种截面的切应力分布图。
3-9 在计算圆柱形密围螺旋弹簧簧丝切应力时,考虑到(剪力引起的切应力及簧丝曲率的影响 ),而加以校正系数。
题24（A （B （C ）（D第3章 扭转3-10 开口薄壁杆扭转时，截面上最大切应力发生在(最厚的矩形长边 )处；闭口薄壁杆扭转时,截面上最大切应力发生在( 最小厚度)处. 三,选择题3-11阶梯圆轴的最大切应力发生在( D ) (A) 扭矩最大的截面; (B)直径最小的截面; (C) 单位长度扭转角最大的截面; (D)不能确定.3-12 空心圆轴的外径为 D ，内径为 d ，D d /=α。
材料力学习题册2012.9.26
材料力学习题册2012.9.26材料力学习题册主编：郭光林、张慧玲班级姓名学号2－4 螺旋压紧装置如图所示。
现已知工件所受的压紧力为F＝4 kN。
装置中旋紧螺栓螺纹的内径d1＝13.8 mm；固定螺栓内径d2＝17.3 mm。
两根螺栓材料相同，其许用应力[]σ＝53.0 MPa。
试校核各螺栓的强度是否安全。
2－5 现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成（图a），A、B、C三处均为铰链连接。
每一侧臂AB和BC都由两根矩形截面杆所组成（图b）。
已知起重载荷F P＝1200 kN，每根矩形杆截面尺寸比例b/h=0.3，材料的许用应力[]σ＝78.5MPa。
试设计矩形杆的截面尺寸b和h。
2－6 图示结构中BC和AC都是圆截面直杆，直径均为d＝20mm，材料都是Q235钢，其许用应力[]σ＝157MPa。
试求该结构的许可载荷。
第3章 扭转3－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为mm 。
若已知M e1＝1765N·m ，M e2＝1171N·m ，材料的切变模量G ＝80.4 GPa ，试求：（1）轴内最大切应力，并指出其作用位置。
（2）轴的最大相对扭转角m ax 。
3－5 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩M e =3 kN·m ，图中尺寸单位为mm 。
试求：（1）轴横截面上的最大切应力。
（2）轴横截面上半径r ＝15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比。
（3）去掉r =15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
50603－6 同轴线的芯轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而在C处焊成一体。
轴的A 端承受扭转力偶作用，如图所示。
已知轴直径d＝66 mm，轴套外直径D＝80 mm，厚度δ＝6 mm；材料的许用切应力[τ]＝60 MPa。
试求结构所能承受的最大外力偶矩。
3－9 已知圆轴的转速n=300 r／min，传递功率331kW，材料的[τ] =60MPa，G =82GPa。
材料力学 第10章 能量法
材料力学第10章能量法在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。
它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。
本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。
第一节：能量法的基本概念能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。
在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。
第二节：能量法的应用能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。
其中，弯曲问题是最为常见的。
在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。
在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。
在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变等物理量。
第三节：能量法的计算过程在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受力变形模型，确定受力分布和变形情况。
2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。
3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件的位移、应力和应变等物理量。
4. 对解得的结果进行有效检验：通过检查应力、应变等物理量的分布情况，对解得的结果进行有效检验。
总而言之，能量法是材料力学分析领域中非常重要的分析方法。
它广泛应用于工程设计、科研和生产实践等领域。
通过掌握能量法的理论基础和实际应用方法，可以有效地分析和解决杆件受力、弯曲、扭转等方面的技术问题，推动材料力学学科的发展进步。
材料力学重点
吉林大学材料力学考试大纲
（此为总括版，详细版可以加QQ809856869，希望对要考吉大的师弟师妹有帮助）
要考的章数为1-14章。
第3章第9节不考弹簧应力和变形不考。
第4章第6节叠加法做弯矩图不考。
第5章第5节弯曲理论对某些问题的扩充不考。
第6章叠加法求弯曲变形不考。
第7章第10节莫尔强度理论和双剪理论不考。
第9章不考。
第10章第3节不考虚功原理不考。
第12章第5节不考。
第13章8节不考弯曲组合构件交变力计算知道公式推算不必计算。
第14章5、6、7节不考。
考试重点
一：画内力图（轴力•剪力•弯矩）
二：组合变形（拉•扭）静不
定
三：压杆稳定，弯曲应力
四：应力状态•强度稳定
五：能量法•求位移，变形
六：冲击，动载荷
七：疲劳
八：求变形能（10章能量法）（非必考）（拉分题）（变形能基本公式推倒）九：推倒公式（拉分题）
十：广义胡克定律
注：考试重点内容考的机率很大。
另外除了考试重点和不考范围之外的内容也要看，只是考的机率没那么大，但并非不考。
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ddF
非线性 u*? ??0 1?d?
§10-3 互等定理
一、功和位移互等定理
1．推导：以简支梁为例
1)先加F1再加F2 ，二 力作的总功为
F1
F2
d11
d21
d12
d22
U
1
?
W1
?
1 2
F1d11?
12F2d
22
?
F1d12
2)同时加F1和F2 ，二
力作的总功为
F1 d11+d12
?U
i?1
i
?
?i?n12TGi2Ilpi i
b)为杆长x的函数
U
?
?0ldU
?
?0l 2TG2Ip(
x) (x
dx )
2)比能
u?
dU dV
?
0.5(?A)(?
dV
d
x
)
? ?? ? ? 2 ? G? 2
2 2G 2
? A
?
dx
? dx
§10-2 弹性应变能的计算
3．弯、杆件应变能的计算
1．轴向拉伸或压缩
l
1)应变能
U ?W ? 12FDl ?
U ? FN2l 2 EA
F Dl
若轴力FN或截面面积A为变量时
a)分段变化
b)为杆长x的函数
U
?
n
?U
i?1
i
?
?i?n12FEN2iAlii
U
?
?0ldU
?
?0l
FN2 ( x) dx 2EA( x)
2)比能
u?
dU dV
§10-1 概 述
一、功能原理
U ?W：应变能?无?能量??损失? 外力功
二、能量法
用功能原理求解结构位移、变形等力学问题的方法
三、重要性
1．解题简单、适用性广； 2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题； 3．可求解静定与非静定问题； 4．学习后续课程的基础。
§10-2 弹性应变能的计算
2)组合变形的应变能
dU ? FN2 ( x )dx
M(x)
2 EA
? M 2 ( x )dx 2 EI z
? T 2 ( x)dx 2GIp
FN(x)
T(x) T (x) dx
M(x) FN(x)
U
?
?l
F
2 N
(
x
) dx
2 EA
?
?l
M2(x 2EI z
)d
x
?
?l
T 2 ( x)dx 2GIp
(
Fx 2
)2
dx
?
F 2l3 96 EI
U
?
U
弯
?
U剪
?
F 2l 3 96EI
?
?F 2l
8GA
U
剪
?
2
?0l
/2
?(
2GA
F 2
)
2
dx
?
?F 2l
8GA
U
剪
:U
弯
?
12EI?
GAl2
? 152(1??
)(
h l
)2
矩形截面梁：? ? 6/5，I / A? h2 /12，G? E /[2(1?? )]
第十章 能 量 法
? §10-1 概 述 ? §10-2 弹性应变能的计算 ? §10-3 互等定理 ? §10-4 卡氏第二定理 ? §10-5 虚功原理*
第十章 能 量 法
? §10-6 单位载荷法 ? §10-7 图乘法(维利沙金法 ) ? §10-8 瑞利—李兹法* ? §10-9 超静定结构的基本解法 ? §10-10 力法 正则方程* ?小 结
上式指圆截面情况。若截面并非圆形，则右第三
项中的Ip应为It。
§10-2 弹性应变能的计算
例10-1 图示矩形梁，比较弯曲
l/2
F l/2
和剪切两种应变能，并
求中点C的挠度。
C
h
解：1)将M(x)=Fx/2和
x
b
FQ(x)=F/2代入弯曲和 剪切应变能公式，并考虑对称性
U
弯
?
2 ?0l /
2
2
1 EI
U
?
?0ldU
?
?0l?
FQ2 dx 2GA
dx
? dx
FQ——横截面剪力，A——横截面面积。
? ——截面系数，
矩形：? =6/5；实心圆： ? =10/9；薄圆环：? =2。
3)注意：在细长梁中，剪切应变能远小于弯曲应变 能，通常忽略不计。
§10-2 弹性应变能的计算
5．组合变形下的应变能
1)各广义力只在自己相应广义位移上做功，互不相干；
取? =0.3，h/l=0.1，上述比值为0.0312。可见对长梁可不考虑剪
切应变能。
2)求C点挠度：由外力功等于应变能(W=U)，并忽略剪切应变能有
W
?
1 2
Ff
C
?
U
弯
?
F 2l3 96 EI
?
f
C
?
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
三、非线性固体的应变能
1．应变能 与比能
F 非线性 U*
c)外力总功
W?
?dW ? (?
Fidi
)?01bdb
??
(
1 2
Fid
i
)
d)弹性体中的应变能
U
?W
?
?
(
1 2
Fi
di
)
克拉贝依隆原理：线弹性体应变能等于每一广义外力
与其产生广义位移乘积二分之一的总和。
§10-2 弹性应变能的计算
3)弹性应变能可以表达成外力或位移的唯一表达式， 称为外力的二次齐函数或位移的二次齐函数。
§10-2 弹性应变能的计算
2)弹性应变能
a)等比例加载，使Fi同时由零到终值，则d i也同时由零 到终值；
b)引进参数b (0～1)，则有b Fi和与之对应的bd i，给b 一个增量db，则位移有相应的增量dbd i。 外力在位移增量上作的功为
dW ? ? (bFi ? dbFi )?(dbdi ) ? (? Fidi )bdb
? [FN2 ( x)dx]/[2EA( x)] A( x )dx
?
F
2 N
(
x
)
2EA2 ( x)
? ? 2 ? 1??
2E 2
? 1 E? 2
2
§10-2 弹性应变能的计算
2．扭转圆轴
1)应变能
U
?
W
?
1 2
Me?
?
U ? T2l 2GIp
若扭矩或截面直径为变量时
Me ?
?
l
a)分段变化
U
?
n
线性
? 非线性 u*
线性
2．余能与 F1 余比能
?1 U
d
u ?
d1
?1
应变能：线弹性
U
?
W
?
1 2
F1d1
非线性 U ?W ? ?d01 Fdd
比能：线弹性
u?
1?
2
1?1
非线性 u? ?0?1? d?
余能：线弹性
U*?U ?
1 2
F1d1
余比能：线弹性
u*?
u?
1?
2
1?1
非线性
U
*?
?F1 0
一、弹性应变能的一般公式 广义力与广义位移
1．广义力和广义位移
1)广义力泛指力与力矩； 广义位移为广义力所 F1 d1 直接产生的位移和转 角，如力产生位移， 力矩产生转角；
d2 F2
d3 F3
2)线弹性情况下，广义力与 广义位移成线性关系。
2．弹性应变能
1)弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值， 与加力的次序无关；
?
1 2
M
(
x
)d?
?
1 2
M
(
x
)d?x
M(x)
M(x)
? M 2 ( x)dx
2 EI
2)l 段应变能
dx
U
?
?0ldU
?
?0l
M2(x 2 EI
)dx
§10-2 弹性应变能的计算
4．剪切
1)dx段应变能
dU
?
1(?A)(?d x)? ?
2
2 d xA ??
2G
FQ2dx 2GA
? A
?
2)l 段应变能