谈条件概率常见问题解题方法
计算条件概率的常用方法
计算条件概率的常用方法一．基本内容1.根据件概率的定义,也就是条件概率的计算公式,先求()(()0)P A P A >和()P AB ,再由定义()(|)()P AB P B A P A =,即可求解(|)P B A .2.根据条件概率的定义,也就是条件概率的计算公式,先求()(()0)P A P A >和()P AB ,再由定义()(|)()n AB P B A n A =,即可求解(|)P B A .3.由条件概率和对立事件的定义,可得条件概率的性质:(|)1(|)P B A P B A =-,利用该性质可以解决一些证明相对复杂的条件概率问题.4.条件概率的性质二．例题分析类型一.概率公式例1．已知3(|)10P B A =，1()5P A =，则()P AB =A．12B．32C．23D．350【解析】由条件概率的公式()(|)()P AB P B A P A =得133()()(|),51050P AB P A P B A =⨯=⨯=故选D.类型二.基本事件数法例2．为响应“援疆援藏万名教师支教计划”，珠海市教育局计划从某学校数学科组的4名男教师（含一名珠海市骨干教师）和英语科组的3名女教师（含一名珠海市骨干教师）中分别选派2名男教师和2名女教师，则在有一名珠海市骨干教师被选派的条件下，两名珠海市骨干教师都被选派的概率为（）A．13B．12C．25D．34【解析】记至少有一名骨干教师被选派的事件为A，两名骨干教师被选派的事件为B，则1221113232322243C C C C C C 5()C C 6P A ++==，11322243C C 1()C C 3P AB ==，于是得()2(|)()5P AB P B A P A ==，所以所求概率为25.故选：C 类型三．条件概率的性质例3．已知A ，B 分别为随机事件A，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（）A．()()()P B A P B A P A +=B．若()()1P A P B +=，则A，B 对立C．若A，B 独立，则()()P A B P A =D．若A，B 互斥，则()()1P A B P B A +=【解析】对A，()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===，故A 错误；对B，若A，B 对立，则()()1P A P B +=，反之不成立，故B 错误；对C，根据独立事件定义，故C 正确；对D，若A，B 互斥，则()()0P A B P B A +=，故D 错误；故选：C例4．已知随机事件A ，B ，若()13P A =，()3|5P B A =，()4|7P A B =，则()P B =_________.【解析】由题意可得，()()()3|5P AB P B A P A ==，且()13P A =，则()15P AB =，又因为()4|7P A B =，则()()3|1|7P A B P A B =-=，且()()()|P AB P A B P B =，所以()()()1753157P AB P B P A B ===.故答案为:715.类型四.正难反易例5．三行三列的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中有9个数()1,2,3,1,2,3ij a i j ==，从中任取三个数，已知取到22a 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是_____________．【解析】记事件A ={任取的三个数中有22a }，事件B ={三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B ={三个数互不同行且不同列}，依题意得()28C 28n A ==，()2n A B ⋂=，故()()()212814n A B P B A n A ⋂===，则()()113111414P B A P B A =-=-=．即已知取到22a 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314．故答案为：1314.类型五.综合问题例6．如果{}n a 不是等差数列，但若k *∃∈N ，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，其中{}1,2,3,4,5n x ∈，1n =，2，3，4，记事件A：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆；事件B：{}n x 为“局部等差”数列，则()P B A =（）A．215B．730C．15D．110【解析】由题意知，事件A 共有4454C A 120⋅=个基本事件，对于事件B ，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个；含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；含5，3，1的同理也有4个，所以事件B 共有24个基本事件，所以()2411205P B A ==．故选：C.三．习题练习1．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（）A．0.5B．0.625C．0.8D．0.9【解析】设发生中度雾霾为事件A ，刮四级以上大风为事件B ，由题意知：()0.25P A =，()0.4P B =，()0.2P AB =，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()()()0.20.80.25P AB P B A P A ===.故选：C.2．已知事件,A B ,()13P B =,()3|4P B A =，()1|2P B A =，则()P A =（）A．14B．13C．23D．12【解析】由条件概率公式可知()()()3|4P AB P B A P A ==,即()()34P AB P A =①,()()()1|2P AB P B A P A ==,即()()12P AB P A =②,而()()1P A P A +=，所以()()1P A P A =-③，又已知()()()()213P AB P AB P B P B +==-=④,②③④联立可得()23P A =.故选：C 3．定义：设X，Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()()()11,|n n i i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑，其中{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A 表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B 表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则()4E A B ==______．【解析】由4B =可得1A =或2A =或3A =，由题意可得()()()()11,44|44n n i i i i i i P A x B E A B x P A x B x P B ======⋅===⋅=∑∑()()()()()()1,42,43,4123444P A B P A B P A B P B P B P B =======⨯+⨯+⨯===2222222233315151151516666666666232511511511C C C 666666666⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：24．为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
概率问题常见解题方法
概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。
在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。
高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。
因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。
一、公式法 概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） （3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ） （4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。
例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=⇒K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。
例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。
数学概率题的解题诀窍和注意事项
数学概率题的解题诀窍和注意事项概率是数学中非常重要的一个分支，它研究随机事件发生的可能性。
在解题过程中，我们需要运用一些解题诀窍和注意事项，来提高解题的效率和准确性。
本文将介绍一些常见的解题方法和技巧，帮助读者更好地应对数学概率题。
一、理解题目在解概率题之前，我们首先要仔细阅读题目，确保对题目的要求和条件有清晰的理解。
有时候，题目中可能会有一些隐含的条件或者附加信息，我们需要将其找出并加以利用。
此外，我们还需要确定题目中所涉及的事件和概率，这对于后续的计算和推理非常重要。
二、确定样本空间和事件在解概率题时，我们需要明确问题所涉及的样本空间和事件。
样本空间是指所有可能的结果的集合，而事件是样本空间中的一个子集。
通过确定样本空间和事件，我们可以更好地理解问题的本质，并且有助于后续的计算和推理。
三、使用概率公式概率公式是解概率题的基础，我们需要熟练掌握并正确运用。
常见的概率公式包括：加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯公式等。
在使用概率公式时，我们需要根据题目的要求和条件，选择合适的公式进行计算。
同时，我们还需要注意计算过程中的细节，确保计算的准确性。
四、分析问题在解概率题时，我们需要善于分析问题，找到问题的关键点和思路。
有时候，我们可以通过画树状图、列出表格或者使用条件概率等方法，来帮助我们更好地理解和解决问题。
此外，我们还可以通过分析特殊情况、利用对称性或者使用逆概率等方法，来简化问题和推导解答。
五、注意计算细节在解概率题时，我们需要注意计算过程中的细节，确保计算的准确性。
首先，我们需要注意单位的转换和统一，确保计算结果的一致性。
其次，我们需要注意小数的精度和舍入规则，避免计算误差的累积。
此外，我们还需要注意计算顺序和运算法则，确保计算的正确性和有效性。
六、多做练习在学习和掌握概率的过程中，多做练习是非常重要的。
通过大量的练习，我们可以熟悉解题的思路和方法，提高解题的速度和准确性。
同时，练习还可以帮助我们发现和解决问题中的困难和难点，提升解决问题的能力和水平。
初二数学概率问题解题策略
初二数学概率问题解题策略概率问题在初二数学中占据重要的地位，对于学生来说有一定的难度。
然而，只要我们掌握一些解题策略，就能更好地应对这类问题。
本文将介绍一些初二数学概率问题的解题策略，帮助同学们提升解题能力。
一、理解概率问题的基本概念在解决概率问题之前，我们首先需要理解概率的基本概念。
概率是事件发生的可能性大小的度量，通常用0到1的实数来表示。
我们可以将概率问题分为统计概率和几何概率两大类。
统计概率是通过统计实验的结果来确定概率。
例如，抛硬币的问题，我们通过多次试验记录正面朝上和反面朝上的次数，来估计正反面朝上的概率。
几何概率是通过分析几何图形的性质来确定概率。
例如，从一个盒子中随机抽取一张扑克牌，我们可以通过计算某种牌面的数量与总牌数的比值来确定概率。
二、常见的概率问题类型及解题策略1. 事件的概率问题事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
解决此类问题时，我们需要注意以下几点：（1）确定事件的样本空间：样本空间是指所有可能结果构成的集合。
通过确定事件的样本空间，我们可以更好地理解问题并计算概率。
（2）确定事件发生的可能数和总数：我们需要确定事件发生的可能数，即符合事件条件的结果个数，以及总数，即样本空间的元素个数。
（3）计算概率：将事件发生的可能数除以总数，即可得到事件发生的概率。
2. 依概率确定事件问题有时候，我们已知某个事件发生的概率，需要通过这个概率来判断其他相关事件是否发生的概率。
解决此类问题时，我们可以使用以下策略：（1）运用加法法则：当两个事件互斥（即不能同时发生）时，可以使用加法法则。
即将两个事件概率相加得到结果。
（2）运用乘法法则：当两个事件同时发生时，可以使用乘法法则。
即将两个事件发生的概率相乘得到结果。
3. 条件概率问题条件概率是指在已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
解决此类问题时，我们需要注意以下几点：（1）理解条件概率的定义：条件概率是在给定某个条件的情况下计算事件发生的概率。
高中数学概率统计题解题思路
高中数学概率统计题解题思路概率统计是高中数学中的一个重要内容，也是数学中的一门实用学科。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题思路和方法。
本文将以常见的概率统计题型为例，介绍解题的思路和技巧。
一、事件概率计算题事件概率计算题是概率统计中最基础的题型之一。
一般来说，我们需要根据题目给出的条件，计算某个事件发生的概率。
例如，某班有40名学生，其中有20名男生和20名女生。
现从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
解题思路：首先，我们需要明确事件和样本空间。
事件是抽到男生，样本空间是从40名学生中任意抽取一名学生。
其次，我们可以根据题目给出的条件计算概率。
在这个例子中，男生和女生的数量相等，所以男生和女生被抽到的概率相等，即为1/2。
解题技巧：1. 确定事件和样本空间；2. 利用已知条件计算概率。
二、排列组合题排列组合是概率统计中常见的题型之一。
在这类题目中，我们需要根据题目给出的条件，计算不同排列或组合的数量。
例如，某班有10名学生，其中有4名男生和6名女生。
现从中随机抽取3名学生，求抽到的学生中至少有2名男生的可能性。
解题思路：首先，我们需要明确事件和样本空间。
事件是抽到的学生中至少有2名男生，样本空间是从10名学生中任意抽取3名学生。
其次，我们可以根据题目给出的条件计算概率。
在这个例子中，我们可以计算出抽到3名男生和抽到2名男生1名女生的情况，然后将两种情况的概率相加。
解题技巧：1. 确定事件和样本空间；2. 利用组合数的性质计算不同情况的数量；3. 将不同情况的概率相加。
三、条件概率题条件概率是概率统计中较为复杂的题型之一。
在这类题目中，我们需要根据已知条件计算某个事件发生的概率。
例如，某班有40名学生，其中有20名男生和20名女生。
现从中随机抽取一名学生，已知抽到男生的概率为1/2。
现再从剩下的学生中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
解题思路：首先，我们需要明确事件和样本空间。
事件是第二次抽到男生，样本空间是从剩下的学生中任意抽取一名学生。
谈条件概率常见问题解题方法
谈条件概率常见问题解题法摘要：条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用 问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。
关键词:条件概率，事件、样本空间 1. 条件概率的概念一般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A) 巴型 为在事件 P(A)A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
关于条件概率，有下面的定理：定理1:设事件A 的概率P(A) 0，贝U 在事件A 已经发生的条件下事件B 的 条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商：P(B| A) 巴也P(A) 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积： P(AB) P(A)P(B| A) P(B)P(A|B)性质：1. P( B A)=1- P(B | A)2. 条件概率P(B I A)与积事件P(AB)概率的区别P(B| A)与P(AB)这是两个截然不同的事件概率.设 A, B 是随机试验对应 的样本空间 中的两个事件，P(AB)是事件A, B 同时发生的概率，而P(B| A)是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。
从样本空间的角度看，这两种事件所 对应的样本空间发生了改变,求P(AB)时，仍在原来的随机试验中所对应的样本 空间 中进行讨论；而求P(B|A)时，所考虑的样本空间就不是 了，这是因 为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范 围必然缩小了 ,当然乘法公式P(AB) P(B | A) P(A) (P(A) 0)给出了它们之间 的联系3. 条件概率的解题方法:解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概 率问题。
如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的， 那么这一事件 的概率，必须按条件概率来处理。
求解简单条件概率问题，有五种基本方法 ：(1) 化为古典概型解决(4) 缩减样本空间法：P(B|A)呪BP( A)n(AB )n(A)事件A B 包括的基本事件(样本点)数 事件A 包括的基本事件(样本点)数(2) 化为几何概型解决P(B2)狀(AB ) 区域AB 的几何度量(长度，面积，体积等) (A) 区域A 的几何度量(长度，面积，体积等)(3) 条件概率公式法如果P(A) 0 ,则先在原样本空间 中计算P(AB)和P(A)，再按公式P(B| A)P(AB) P(A)计算在事件A发生的前提下，确定事件B的缩减样本空间A A，并在A中计算事件B 发生的概率，从而得到P(B|A)(5) 利用条件概率的性质_ 性质n(BA)P(B A) 1 P( B A)=1 -n(A)4. 条件概率常见应用问题类型类型1:掷骰子子问题例1将一枚硬币抛掷三次，记事件A为“至少出现一个正面“，记事件B为“至少出现两个反面”，求P(B| A),P(A|B).解法1 :化为古典概型解决：AB表示“恰有一个正面两个反面，={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}A={TTT ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,T TH,}, B ={ HTT,THT,TTH}P(A) 7, P(B) - -, P(AB) 3, P(B| A) 巴^色2, P(A|B)-8 8 2 8 P(A) 7 4解法2:缩减样本空间法：在缩减样本空间A A中看，A共有7个元素，3 3其中只有3个属于B，故有P(B| A) -，P(A|B)—7 4类型2:摸球问题例2:袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。
概率问题常见解题方法
概率问题常见解题⽅法概率问题常见解题⽅法作为<<概率统计>>这门应⽤数学的重要分⽀之⼀,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年⾼考的热点。
在⾼中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、⼏何概型、条件概率、互斥事件有⼀个发⽣的概率、相互独⽴的事件同时发⽣的概率（包括n 次独⽴重复试验）。
⾼考中对概率的考查主要以⼤题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。
因此要让学⽣正确理解概率发⽣的条件，并掌握⼀些基本的概率“模型”及其解题⽅法。
⼀、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发⽣的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有⼀个发⽣的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ）（3）相互独⽴事件同时发⽣的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）（4）独⽴重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应⽤这些公式的关键在于正确理解公式成⽴的条件。
例1：猎⼈在距100⽶处射击⼀野兔，其命中率为21，如果第⼀次射击未中，则猎⼈进⾏第⼆次射击，但距离为150⽶，如果第⼆次未击中，则猎⼈进⾏第三次射击，并且在发射瞬间距离为200⽶，已知猎⼈命中概率与距离平⽅成反⽐，求猎⼈命中野兔的概率。
解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=?K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 ⼆、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利⽤组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发⽣数。
例2：设有n 个⼈，每个⼈都等可能地被分配到N 个房间中的任意⼀间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有⼀个⼈住（2）恰好有n 个房间，其中各住⼀⼈解：∵每个⼈有N 个房间可供选择，所以n 个⼈住的⽅式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有⼀个⼈住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住⼀⼈记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个,由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正⾯求解，不是很容易，特别当问题中出现⾄多（⾄少）等条件时，可采⽤间接⽅法转化为“对⽴事件”来求解例3：已知某种⾼炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种⾼炮控制某区域，求敌机进⼊该区域后被击中的概率。
条件概率的三种求解方法
条件概率的三种求解方法：
在概率论中，条件概率表示一个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
常见的三种求解条件概率的方法如下:
1.通过贝叶斯公式求解: 贝叶斯公式是P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B) 表示
条件概率，P(B|A) 表示B 在A 发生的条件下发生的概率，P(A) 表示A 发生的概率，P(B) 表示B 发生的概率。
2.通过乘法公式求解: 乘法公式是P(A and B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)，其中P(A
and B) 表示A 和B 同时发生的概率。
3.通过联合概率公式求解: 联合概率公式是P(A and B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)，
其中P(A and B) 表示A 和B 同时发生的概率。
这三种方法都可以求解条件概率，但是要根据具体情况选择使用哪一种方法。
初中数学概率题型及解题方法
初中数学概率题型及解题方法初中数学中，概率是一个非常重要的知识点。
掌握好概率的相关题型及解题方法，对于提高数学成绩和应对高中数学学习都是非常重要的。
本文将介绍初中数学中常见的概率题型及解题方法。
一、基本概念在介绍概率题型之前，我们先来回顾一下概率的基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性大小。
概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中元素的个数；n(S)表示样本空间中元素的个数。
二、概率题型及解题方法1. 事件的互斥和独立互斥事件指的是两个事件不能同时发生，例如掷一个硬币正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
互斥事件的概率计算公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)独立事件指的是两个事件的发生不会互相影响，例如掷一个骰子，第一次掷出1的概率为1/6，第二次掷出1的概率仍为1/6，第一次掷出1并不会影响第二次掷出1的概率。
独立事件的概率计算公式为：P(A且B) = P(A) × P(B)2. 条件概率条件概率指的是在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
例如，在已知一张扑克牌是黑桃的情况下，另一张扑克牌是黑桃的概率是多少。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A且B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率；P(A 且B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A)表示事件A发生的概率。
3. 排列组合排列是指从n个不同元素中任取m个元素进行排列，排列的种数为A(n,m)。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!组合是指从n个不同元素中任取m个元素进行组合，组合的种数为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / [m! (n-m)!]4. 概率的加法和乘法原理概率的加法原理指的是如果事件A和事件B是互斥事件，则P(A或B) = P(A) + P(B)；如果事件A和事件B不是互斥事件，则P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
概率问题中的条件概率
概率问题中的条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一些相关信息的情况下，某一事件发生的概率。
它是概率论中的基本概念之一，在许多实际问题的建模和分析中都起着重要的作用。
本文将介绍条件概率的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、条件概率的定义与计算方法概率论中的条件概率是根据已知信息来计算某一事件发生的概率。
设 A、B 是两个事件，且 P(B) > 0 ，那么事件 A 在事件 B 发生的条件下的概率 P(A|B) 定义为：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B) 表示同时发生事件 A 和事件 B 的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
在实际计算中，我们通常会利用条件概率的性质，如加法定理和乘法定理，来简化计算过程。
加法定理可以表示为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)当事件 A 和事件 B 互斥（即A ∩ B = ∅）时，上式简化为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)乘法定理可以表示为：P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A)二、条件概率的应用1. 生活中的条件概率条件概率在我们的日常生活中有着广泛的应用。
例如，我们经常会根据天气情况来判断是否需要携带雨伞。
假设有一份天气预报，根据该预报，明天下雨的概率为 P(下雨)，如果已知今天是晴天，我们可以利用条件概率来计算明天下雨的概率 P(下雨|晴天)。
这样，我们就可以根据此概率来决定是否需要携带雨伞。
2. 医学诊断中的条件概率在医学诊断中，条件概率也有着重要的应用。
例如，在乳腺癌的早期诊断中，医生会根据患者的年龄、家族史、乳腺肿块等相关信息来评估该患者患癌的概率。
通过计算条件概率，可以为医生提供决策参考，从而提高乳腺癌的早期发现率。
3. 金融风险管理中的条件概率在金融风险管理中，条件概率也具有重要作用。
例如，在信用风险评估中，银行可以根据借款人的信用记录、收入水平、负债情况等信息来评估其违约概率。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解概率问题在高中数学中占据着重要的位置，是数学中的一大难点。
为了帮助广大高中学生和家长更好地理解和解决概率问题，本文将详细解读概率问题的解题技巧与方法，并通过具体的题目实例进行分析与讲解。
一、概率问题的基本概念和计算方法概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在解决概率问题时，我们需要了解一些基本概念和计算方法。
首先，我们要明确事件和样本空间的概念。
事件是指我们感兴趣的事情，而样本空间是指所有可能发生的结果的集合。
例如，掷一枚骰子，事件可以是“出现的点数为3”，样本空间可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
其次，我们需要计算事件发生的可能性，即概率。
概率的计算公式为：P(A) =n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的可能结果数，n(S)表示样本空间中所有可能结果的数目。
例如，假设有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
红心有13张牌，总共有52张牌，因此概率为P(红心) = 13 / 52 = 1 / 4。
二、概率问题的解题技巧与方法1. 利用排列组合计算概率有些概率问题可以通过排列组合的方法来解决。
例如，从10个人中选取3个人，问其中至少有一个男生的概率是多少？首先，我们计算不选男生的情况，即选取3个女生的概率。
根据排列组合的公式，我们有C(7, 3)种选取3个女生的方法。
然后，我们计算总的选取方法，即C(10, 3)。
因此，概率为P(至少有一个男生) = 1 - C(7, 3) / C(10, 3)。
2. 利用条件概率计算概率有些概率问题需要考虑条件概率来解决。
例如，某班级有30个学生，其中20个人会打篮球，15个人会踢足球，10个人既会打篮球又会踢足球。
现在从班级中随机选取一个学生，问这个学生会打篮球的概率是多少？根据条件概率的定义，我们有P(打篮球|选中的学生) = P(打篮球且选中的学生) / P(选中的学生)。
概率论中的条件概率计算
概率论中的条件概率计算概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的可能性。
在概率论中，条件概率是一个基本概念，它描述了在给定某些已知信息的情况下，另一个事件发生的可能性。
条件概率的计算方法有很多，下面将介绍一些常用的方法。
一、乘法法则乘法法则是计算条件概率的基本方法之一。
它基于联合概率和边际概率的关系，可以用来计算两个事件的交集的概率。
假设有两个事件A和B，它们的联合概率表示为P(A∩B)，边际概率分别表示为P(A)和P(B)。
那么条件概率P(A|B)可以通过乘法法则计算得到：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)这个公式可以理解为，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中另一个重要的计算条件概率的方法。
它是基于条件概率的定义和乘法法则推导出来的。
假设有两个事件A和B，我们已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A|B)，以及事件A和B的边际概率P(A)和P(B)。
那么根据贝叶斯定理，我们可以计算出事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯定理提供了一种从后验概率反推先验概率的方法，它在统计学和机器学习中有广泛的应用。
三、独立事件的条件概率当两个事件A和B是独立事件时，它们的条件概率计算会更加简化。
独立事件指的是事件A的发生与事件B的发生没有任何关系，即P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)。
在这种情况下，条件概率的计算可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A) * P(B) / P(B) = P(A)P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = P(A) * P(B) / P(A) = P(B)这个结果表明，对于独立事件来说，无论给定哪个事件发生，另一个事件发生的概率都保持不变。
概率与统计概率与统计问题的解题方法与技巧
概率与统计概率与统计问题的解题方法与技巧概率与统计问题的解题方法与技巧概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它在生活中的应用广泛。
在解决概率与统计问题时，我们需要一些方法与技巧来帮助我们理清思路、解决困惑。
本文将探讨一些解题方法与技巧，希望能对读者有所帮助。
一、概率问题的解题思路在解决概率问题时，我们首先需要明确问题的背景和要求，例如给定的条件、需要求解的概率等。
然后，我们可以根据问题的特点选择合适的计算公式或方法来解决问题。
下面是一些常见的解题思路：1. 计数法对于一些离散的、可枚举的概率问题，我们可以利用计数法来解决。
例如排列组合、二项式系数等概念可以帮助我们快速计算出概率。
同时，也可以运用排除法、互补事件等思路进行推理和计算。
2. 条件概率当问题给出了一些条件时，我们可以利用条件概率来求解。
条件概率指的是在某一条件下发生某一事件的概率。
我们可以通过利用条件概率公式和已知条件来计算所求概率。
3. 独立性如果事件A与事件B相互独立，那么它们的概率乘积等于事件A与事件B同时发生的概率。
利用独立性的特点，我们可以简化计算过程，快速求解概率问题。
二、统计问题的解题方法与技巧统计问题与概率问题相辅相成，经常需要通过统计现象来得出结论，或者通过已知条件来进行预测。
下面是一些解题方法与技巧：1. 数据整理与描述在解决统计问题时，我们首先需要整理和描述数据，以便更好地理解问题和找到解决方案。
可以通过频数分布表、直方图、散点图等方式将数据进行可视化呈现，从而更清晰地观察数据特点。
2. 推理统计与抽样在统计问题中，我们常常需要通过一部分样本来推断整体的特征。
这时，我们可以借助抽样方法来提取样本，并利用统计推断方法来得出结论。
通过合理的样本容量和抽样方法，我们可以更准确地估计总体的特征。
3. 假设检验假设检验是统计学中常用的方法之一，它用于检验研究者提出的假设是否成立。
在解决与统计有关的问题时，我们可以通过假设检验来得出结论，并进行相关的推理和判断。
解决高中数学概率难题的小技巧
解决高中数学概率难题的小技巧概率作为数学的一个重要分支，是高中数学中的一个难点，许多学生在学习相关知识时会遇到困难。
本文将分享一些解决高中数学概率难题的小技巧，希望能够帮助学生们顺利掌握这一部分知识。
一、理解概率的基本概念在解决概率难题之前，首先需要对概率的基本概念有一个清晰的理解。
概率是用于研究随机事件发生可能性的一门学科，包括样本空间、试验、事件等基本概念。
学生们需要仔细学习这些概念，理解它们之间的关系，才能正确地解决概率难题。
二、掌握概率计算的方法1. 利用频率法计算概率频率法是根据大量实验或观察数据的统计结果，来计算概率的一种方法。
通过实验或观察重复进行，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
频率越高，事件发生的可能性就越大。
因此，在解决概率难题时，可以通过频率法来计算概率。
2. 利用古典概率计算概率古典概率是指在等可能的条件下，根据事件发生的可能性来计算概率的一种方法。
例如，一个正常的骰子有6个面，每个面出现的可能性相同，因此投掷一次骰子的概率为1/6。
在解决概率难题时，可以利用古典概率来计算概率。
3. 利用条件概率计算概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
通过利用条件概率的计算公式，可以解决一些复杂的概率难题。
当遇到有多个事件同时发生的情况时，可以运用条件概率来解决问题。
三、掌握排列组合的基本知识在解决概率难题时，排列组合是一个常用的工具。
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行有序排列；组合是指从一组元素中选取若干个元素进行无序组合。
熟练掌握排列组合的基本知识，可以帮助我们解决一些复杂的概率难题。
四、运用树状图解决问题树状图是解决概率问题时常用的一种工具，可以帮助我们清晰地展示各个事件之间的关系，从而更好地分析和计算概率。
在解决概率难题时，可以运用树状图来帮助理清思路，找到解题的关键。
五、练习与总结掌握了基本的概率概念和计算方法后，学生们需要进行大量的练习，并及时总结经验。
条件概率与独立事件例题和知识点总结
条件概率与独立事件例题和知识点总结在概率论中，条件概率和独立事件是两个非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) （其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率）。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
先从盒子中取出一个球，不放回，然后再取出一个球。
已知第一次取出的是红球，求第二次取出红球的概率。
解：第一次取出红球后，盒子里剩下 4 个红球和 3 个白球。
所以第二次取出红球的概率为 4 ／ 7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%。
已知小明数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示小明数学成绩及格，B 表示小明英语成绩及格。
则P(A) ＝ 08，P(B) ＝ 07，P(AB) 表示小明数学和英语成绩都及格的概率。
由于不知道两者的关系，假设数学和英语成绩相互独立，则 P(AB) ＝08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝ 07 。
知识点总结：1、条件概率的定义和计算公式要牢记。
2、解决条件概率问题时，要注意分析事件之间的关系，确定已知条件和所求概率的事件。
二、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 的发生概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 的发生概率，那么称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
即P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B) 。
例 3：掷一枚均匀的硬币两次，求两次都出现正面的概率。
解：第一次掷硬币出现正面的概率为 1/2，第二次掷硬币出现正面的概率也为 1/2。
由于两次掷硬币的结果相互独立，所以两次都出现正面的概率为 1/2 × 1/2 ＝ 1/4 。
高考数学技巧如何有效地解决概率题
高考数学技巧如何有效地解决概率题在高考数学考试中，概率题是一道难点，也是许多考生头疼的问题。
有效地解决概率题需要一些技巧和方法。
本文将介绍一些高考数学概率题的解决技巧，帮助考生更加高效地完成题目。
1. 熟悉概率的基本概念在解决概率题之前，首先要对概率的基本概念有所了解和掌握。
概率是指某个事件发生的可能性的大小。
掌握基本概念可以帮助我们更好地理解和解决概率题。
2. 分清条件概率和乘法原理条件概率和乘法原理是概率题中常用到的两个重要概念。
条件概率指在已知一些条件的前提下，某一事件发生的概率。
乘法原理指两个或多个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
分清这两个概念可以帮助我们正确地理解问题和运用相应的公式。
3. 利用树形图解题树形图是解决概率问题常用的图解方法。
通过树形图可以清晰地展示事件发生的不同情况和各个事件之间的关系。
将问题转化为树形图可以帮助我们更好地理解和解决概率题。
4. 运用排列组合的知识排列组合是解决概率问题的重要工具。
在某些题目中，我们需要计算某几个事件同时发生的概率，这时可以运用排列组合的知识，求出符合条件的排列或组合的数量，并将其与总的可能性进行比较，从而得出概率的解答。
5. 注意计算器使用的准确性在解决概率题时，我们常常需要进行一些复杂的计算，这时使用计算器可以提高计算的准确性和效率。
然而，在使用计算器计算的过程中，我们应该保证输入的数据准确，并检查计算结果是否符合常识和题意，避免因为计算器使用不当而影响解题结果。
6. 多做概率题，总结归纳概率题是需要多做才能掌握的，通过多做概率题可以熟悉题目的解题思路和方法。
对于做过的概率题，我们可以总结归纳其中的解题技巧和思路，构建起自己的解题思维模式，从而更加有针对性地解决概率题。
以上是解决高考数学概率题的一些有效技巧和方法。
希望考生们能够认真学习和掌握这些技巧，在考试中能够圆满解答概率题目，取得理想的成绩。
祝愿所有参加高考的考生都能取得优异的成绩！。
求条件概率的两种方法
求条件概率的两种方法求条件概率？嘿，那可有点门道哦！一种方法是直接用定义法。
啥是定义法呢？就是条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)。
先算出事件A 和B 同时发生的概率P(AB)，再算出事件B 发生的概率P(B)，一除就得到条件概率啦！这就好比你在一堆苹果里找红苹果，先看看红苹果和大苹果一起有几个，再看看大苹果有几个，一除不就知道在大苹果里红苹果的比例了嘛！注意哦，计算概率的时候可不能马虎，得把各种情况都考虑清楚。
这种方法安全不？那当然啦！只要你认真计算，一般不会出啥问题。
稳定性也不错，只要条件不变，结果就比较可靠。
那啥时候用这方法呢？比如说你想知道在某个特定条件下另一个事件发生的概率，就可以用定义法。
举个例子哈，一个盒子里有红球、蓝球和绿球，已知摸出一个球是蓝球的概率为三分之一，摸出一个球是蓝球且是大球的概率为六分之一，那在已知摸出的球是蓝球的条件下，摸出的球是大球的概率不就是六分之一除以三分之一等于二分之一嘛！另一种方法是缩小样本空间法。
啥意思呢？就是把原来的样本空间缩小到满足条件的那个部分，然后在这个缩小后的样本空间里算概率。
就像你本来在一个大花园里找一朵特别的花，现在只在有这种花可能出现的那一小片区域找，那不是容易多了嘛！用这种方法要注意啥呢？得准确确定缩小后的样本空间，可别搞错了。
安全性也挺高的，只要你找对了范围。
稳定性嘛，也还行，只要条件和样本空间确定得好。
啥时候用呢？比如问题比较复杂，用定义法不好算的时候，就可以试试缩小样本空间法。
比如，从一副扑克牌里抽牌，已知已经抽到了一张红桃，那再抽一张红桃的概率是多少？这时候就可以把样本空间缩小到剩下的51 张牌里有12 张红桃的情况来算。
总之，求条件概率这两种方法各有千秋，就看你遇到啥问题啦！用对了方法，那可就像找到了打开宝藏的钥匙，轻松搞定各种概率问题。
大家在实际中可以多试试，肯定能感受到它们的厉害。
高考数学知识点解析条件概率的理解与计算
高考数学知识点解析条件概率的理解与计算高考数学知识点解析：条件概率的理解与计算在高考数学中，概率是一个重要的知识点，而条件概率作为其中的一个关键概念，常常让同学们感到困惑。
本文将详细解析条件概率的理解与计算，帮助大家轻松掌握这一知识点。
首先，我们来理解一下什么是条件概率。
简单来说，条件概率就是在某个条件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
举个例子，假设我们有一个盒子，里面装有红、蓝两种颜色的球，红球有 3 个，蓝球有 2 个。
现在我们先从盒子中取出一个红球，然后在这个条件下，再从盒子中取一个球是红球的概率，这就是一个条件概率的问题。
为了更准确地描述条件概率，我们引入数学符号。
设 A 和 B 是两个事件，且 P(A) ＞ 0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)。
其计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) 。
这里的 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，在上面的例子中，事件 A 是第一次取出红球，事件 B 是第二次取出红球。
那么 P(AB) 就是第一次取出红球且第二次也取出红球的概率。
接下来，我们通过一些具体的例子来深入理解条件概率的计算。
例 1：一个班级中，男生有 20 人，女生有 30 人。
已知数学成绩优秀的学生有 25 人，其中男生 15 人。
在已知是男生的条件下，数学成绩优秀的概率是多少？首先，事件 A 是选出的是男生，P(A) ＝ 20 ／ 50 ＝ 2 ／ 5 。
事件 B 是数学成绩优秀，P(AB) 就是既是男生又是数学成绩优秀的概率，即15 ／ 50 ＝ 3 ／ 10 。
那么条件概率 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（3 ／10) ／（2 ／ 5) ＝ 3 ／ 4 。
例 2：从一副不含大小王的 52 张扑克牌中，随机抽取一张，已知抽到的是红心，求这张牌是 A 的概率。
事件 A 是抽到红心，共有 13 张红心牌，所以 P(A) ＝ 13 ／ 52 ＝ 1／ 4 。
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谈条件概率常见问题解题法摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。
关键词:条件概率，事件、样本空间1.条件概率的概念一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P )()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P )()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==性质：1. ()P B A =1- )|(A B P2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别)|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。
从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。
3.条件概率的解题方法：解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。
如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。
求解简单条件概率问题，有五种基本方法:（1） 化为古典概型解决)()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数（2） 化为几何概型解决)()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,)A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等 （3） 条件概率公式法如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式=)|(A B P )()(A P AB P 计算（4）缩减样本空间法：在事件A 发生的前提下，确定事件B 的缩减样本空间A A ⋂Ω=Ω，并在A Ω中计算事件B 发生的概率，从而得到)|(A B P(5)利用条件概率的性质()P B A 1()P B A =-性质=1 -)()(A n BA n 4.条件概率常见应用问题类型类型1：掷骰子子问题例1将一枚硬币抛掷三次，记事件A 为 “至少出现一个正面“，记事件B 为 “至少出现两个反面”，求)|(),|(B A P A B P .解法1：化为古典概型解决：AB 表示“恰有一个正面两个反面，Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT},A ={TTT ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,T TH,}, B ={ HTT,THT,TTH}=)(A P 87, =)(B P 2184=,=)(AB P 83,=)|(A B P 73)()(=A P AB P , =)|(B A P 43 解法2：缩减样本空间法：在缩减样本空间A A =Ω中看，A 共有7个元素，其中只有3个属于B ，故有=)|(A B P 73，=)|(B A P 43 类型2：摸球问题例2：袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。
解法1：条件概率公式法设=A {第1次摸到白球}；=B {第2次摸到黑球}求)(A P ：袋中有10个球，每个球等可能地被取中。
考虑两次取球的随机试验；从袋中不放回地摸取两次，每一次—个，共有210A 种摸法．即样本点总数为210A 个。
第1次摸到白球的摸法有16C 种，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只能从9个球中摸一球，有19C 种摸法，因此A 包含的样本点数为1916C C 个。
故由古典慨型的概率计算公式得)(A P =532101916=A C C 求)(AB P ：考虑上述同—个随机试验的样本空间，样本点总数仍为210A 个，其中事件AB 表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”，因此，AB 包含的样本点数为1416C C 个,于是由古典概率计算公式可得=)(AB P 2101416A C C , 故由条件概论可得=)|(A B P )()(A P AB P =94 解法二：缩减样本空间法:对方法一中的样本空间进行缩减，在“第1次摸到白球”的条件下，样本空间A Ω所包含的样本点数为1916C C 其中“第2次摸到黑球”的样本点数为1416C C 。
故由古典概率计算公式可得=)|(A B P 9419161416=C C C C 类型3：产品检验问题：例3：设有某产品一盒共6只，已知其中有2只次品，从中取二次，每次任取一只，作不放同抽样。
求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。
解法：设事件A 为“第一次抽得次品”，事件B 为“第二次抽到次品”，则AB 为“第一次和第二次都抽得次品”，故有1612)(C C A P =,2622)(C C AB P =,52)()()|(==A P AB P A B P 类型4：整数的倍数问题例4:从1-100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率解：设事件C 为“取出的数不大于50，事件A 为“取出的数是2的两倍’，事件B 为“取出的数是3的倍数”, 则5.0)(=C P ，且求概率为=+)|)((C B A P =-+)|()|()|(C AB P C B P C A P 66.0)08.016.025.0(2=-+ 类型5;等候问题例5：两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面，并约定先到者等候另一人30分钟方可离开，已知两人会上了面，求先到者等候另一人超过20分钟的概率。
解：设事件A ={ 两人会上了面 }，B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 } 先用集合表示该试验的样本空间Ω及事件A 、B 、A B ，得{(,)060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤且，{(,)30}A x y y x =-≤，{(,)2060}B x y y x =<-≤， {(,)2030}AB x y y x =≤-≤， （ 样本点(,)x y -对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ，x 、y 的单位：⨯时⨯分 ）如图所示。
于是，所求事件的概率为：)()()()()|(A AB A P AB P A B P μμ几何定义条件概率==的面积区域的面积区域A AB = =-+--+-)3060(21)3060(21)3040(213040(2122222222=--2222306030402772700700=类型6:医疗诊断问题例6：据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关.解:设事件A 为耳聋人，事件B 为色盲人，p A P =)(，则p A P -=1)(.依题意可得，08.0)|(=A B P ,08.09950796)|(==A B P ，概率公式，)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +==08.0)1(08.0⨯-+⨯p p =08.0所以，()(|)(|)0.08P B P B A P B A ===,事件A 与事件B 相互独立. 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.类型7:其它类型 例7：某校计科系一年级100名学生中有男生80名，来自南京的20名学生中有男生12名，选修数学建模课的40名学生中有男生32名，求碰到选修数学建模课的学生的情况下，是一名女生的概率。
解：A={()P A C ()()P AC P C =条件概率18140C C =840= 也可利用条件概率的性质解决：()P A C =1- )|(C A P 132140C 1C =-古典定义840= 例8：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个孩子是男孩的概率已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率解：(1)基本事件空间Ω={（男，男）（男，女）(女，男）（女，女）}，记事件A =“其中一个是女孩”，B =“其中一个是男孩”,显然： A 事件包括（男，女）（女，男）（女，女）三个结果；AB 事件包括（男，女）（女，男）两个结果；事件A 与B 的关系可以用韦恩图表示为（图1）：故由条件概率公式易得:32)()(4342)()()()()()()|(===ΩΩ==A n AB n n A n n AB n A P AB P A B P 由上面的推导过程不难得到：结论1：当问题为古典概型时，)()()|(A n AB n A B P =经类比推理可得 结论2：当问题为几何概型时)()()()()|(A AB A P AB P A B P μμ== (2)记事件A 为“其中一个是女孩”,事件C 为“另一个也是女孩”,由韦恩图明显看出事件C 的集合是事件A 集合的子集 （图2）由条件概率--古典概型公式得31)()()()()|(===A n C n A n AC n A C P 观察得到等式：1)|()|(=+A C P A B P 且B C =故可以推断条件概率性质：1)|()|(=+A B P A B P总结: 解条件概率题首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题,如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。
条件概率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或公式解答条件概率间题。
参考文献[1] 沈恒范．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2003.[2] 薛留根．概率论解题方法与技巧[M]．北京：国际工业出版社，l999．[3]孙荣恒. 应用概率统计[M ] . 2版. 北京: 科学出版社, 2006.[4]赵焕宗. 应用高等数学[M ] . 上海: 上海交通大学出版社, 2001.。