第1课时 探究向心力大小的表达式

第2节向心力
第1课时探究向心力大小的表达式
【学习目标要求】 1.采用控制变量法“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”。

2.能分析归纳实验信息，形成与实验目的相关的结论。

3.能够通过实验器材的改进与创新探究向心力大小的影响因素。

一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。

2.方向：始终沿着半径指向圆心。

3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小。

4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供。

[想一想]
做匀速圆周运动的物体，向心力的方向和速度方向之间有什么关系？向心力是恒力吗？
答案向心力的方向与速度方向垂直；向心力的方向时刻变化，不是恒力。

二、向心力的大小
1.感受向心力
如图所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动。

根据体验可知：(1)在沙袋质量一定的情况下，转动的越快，手受到拉力越大，向心力越大。

(2)在沙袋质量一定、转动速度与第(1)次近似相同的情况下，半径越大，手受到
拉力越大，向心力越大。

(3)在(2)中若换用质量更大的沙袋，则会感觉到手受到的拉力变大，向心力变大。

2.探究向心力大小的表达式
(1)实验仪器
向心力演示器
(2)实验思路
采用控制变量法
①在小球的质量和角速度不变的条件下，改变小球做圆周运动的半径。

②在小球的质量和圆周运动的半径不变的条件下，改变小球的角速度。

③换用不同质量的小球，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作。

(3)数据处理：分别作出F n－ω2、F n－r、F n－m的图像。

(4)实验结论
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。

②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比。

③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。

探究1定性探究影响向心力大小的因素
【例1】(2020·山东邹城市一中高二月考)如图所示，同学们分
小组探究影响向心力大小的因素。

同学们用细绳系一个小沙袋
在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心
力。

(1)下列说法中正确的是________。

A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A, 80 cm处打一
个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，
其余同学记录实验数据：
操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。

操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。

操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。

操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。

操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动________有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与________有关；
操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与________有关。

解析(1)保持质量、绳长不变，增大转速，ω＝2πn，角速度变大，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确。

(2)本实验采取的方法是控制变量法
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关。

答案(1)BD(2)半径大小角速度的大小质量
探究2定量探究影响向心力大小的因素
【例2】某同学利用如图所示的向心力演示器定量探究匀速圆周运动所需向心力F跟小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系。

(1)为了单独探究向心力跟小球质量的关系，必须用________法；
(2)转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球随之做匀速圆周运动。

这时我们可以看到弹簧测力筒上露出标尺，通过标尺上红白相间等分格数，即可求得两个球所受的________________；
(3)该同学通过实验得到如下表的数据：
次数球的质量m/g 转动半径r/cm 转速/每秒几
圈n/(r·s－1)
向心力大小
F/红格数
114.015.001 2
228.015.001 4
314.015.0028
414.030.001 4
的关系是：____________________________________(文字表述)；
(4)实验中遇到的问题有：____________________________________(写出一点即可)。

解析(1)为了单独探究向心力跟小球质量的关系，需要控制转速n和运动半径r 不变，所以需要采用控制变量法。

(2)标尺上红白相间等分格子的多少可以显示小球所受向心力的大小，所以通过标尺上红白相间等分格数，即可求得两个球所受的向心力大小之比。

(3)根据表格中数据可知向心力F跟小球质量m成正比，跟转速n的平方成正比，跟运动半径r成正比(或向心力F跟小球质量m、转速n的平方、运动半径r的乘积成正比)。

(4)实验中可能遇到的问题是难以保证小球做匀速圆周运动，转速难按比例调节
和露出格子数(或力的读数)不稳定，难定量化。

答案(1)控制变量(2)向心力大小之比(或向心力之比)(3)向心力F跟小球质量m成正比，跟转速n的平方成正比，跟运动半径r成正比(或向心力F跟小球质量m、转速n的平方、运动半径r的乘积成正比)(4)难以保证小球做匀速圆周运动，转速难按比例调节和露出格子数(或力的读数)不稳定，难定量化
[针对训练]向心力演示器如图所示。

匀速转动手柄1可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。

使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。

球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。

已知测力套筒的弹簧相同，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。

若将变速塔轮2、3上的皮带共同往下移动一级，则长槽和短槽的角速度之比会________(填“变大”“不变”“变小”或者“无法确定”)；如图所示，放在长短槽内的三个小球的质量相等，皮带所在左右塔轮的半径也相等，则在加速转动过程中，左右标尺漏出的红白等分标记会________(填“变长”“不变”“变短”或者“不确定”)，两边红白等分标记之比会________(填“变大”“不变”“变小”或者“无法确定”)，在匀速转动的过程中，左右标尺红白标记之比为________。

解析将变速塔轮2、3上的皮带共同往下移动一级，轮子边缘的线速度相等，
根据ω＝v
r可知，2轮半径大，长槽角速度变小，而短槽角速度变大，所以长槽和短槽的角速度之比会变小。

放在长短槽内的三个小球的质量相等，皮带所在左右塔轮的半径也相等，则在加速转动过程中，小球所需向心力变大，对挡板作用力变大，所以漏出的红白等分标记会变长。

因为皮带所在左右塔轮的半径也相等，转动角速度相等，左边对挡板的作用力，根据牛顿第二定律可知，左侧对挡板作
用力F＝mrω2＋m·2rω2，右侧对挡板作用力F′＝mrω2，所以作用力之比始终为3∶1，故两边红白等分标记之比不变，始终为3∶1。

答案变小变长不变3∶1
【题目示例】
【例1】如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图。

(1)如果把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽内，使它们做圆周运动的半径相同。

依次调整塔轮上的皮带的位置，匀速转动手柄，可以探究________。

A.向心力的大小与质量的关系
B.向心力的大小与半径的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.角速度与周期的关系
(2)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。

【例2】(多选)如图所示，是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置示意图，其中质量为m的圆柱体放置在未画出的光滑圆盘边缘，绳子一端连接小圆柱体，另一端连接力传感器，使圆柱体做匀速圆周运动。

圆周运动的轨道半径为r，光电传感器测定的是圆柱体的线速度。

关于这个实验下列说法正确的是()
A.研究向心力与半径的关系时，应保持圆柱体线速度和质量一定，画F－r图像
B.研究向心力与线速度的关系时，应保持圆柱体质量和运动半径一定，画F－v2图像
C.研究向心力与质量的关系时，应保持圆柱体线速度和运动半径一定，画F－m
图像
D.如能保证两个传感器同步记录，即使圆柱体不做匀速圆周运动，同样可以完成该实验目的
【探究分析】 1.根据F ＝mrω2、F ＝m v 2r 知，探究四个物理量之间的关系时，应
控制两个物理量不变来探究其他两个物理量之间的关系。

2.在利用图像分析时，如果探究的物理量呈现非线性关系，我们要转化为线性关系，这样更直观。

【详细分析】
【例1】 根据题意，质量相同，半径相同，故只能探究向心力的大小与角速度的关系，故A 、B 错误，C 正确； 该装置是用来探究向心力大小关系，故不能探究角速度与周期的关系，故D 错误。

答案 (1)C (2)控制变量法
【例2】 根据牛顿第二定律有F ＝m v 2r 可知研究向心力与半径的关系时，应保持
圆柱体线速度和质量一定，画F －1r 图像，二者呈线性关系，便于研究；研究向
心力与线速度的关系时，应保持圆柱体质量和运动半径一定，画F －v 2图像；研究向心力与质量的关系时，应保持圆柱体线速度和运动半径一定，画F －m 图像；如能保证两个传感器同步记录，圆柱体可以不做匀速圆周运动，光电传感器测量圆柱通过瞬间的线速度，力传感器测量此时瞬间的向心力(绳子拉力)大小，同样可以完成该实验目的。

答案 BCD
【思维感悟】
在进行科学实验时，控制变量是指那些除了实验因素(自变量)以外的所有影响实验结果的变量，这些变量不是本实验所要研究的变量，所以又称无关变量、无关
因子。

只有将自变量以外一切能引起因变量变化的变量控制好，才能弄清实验中的因果关系。

控制变量衍生到生活中的作用是控制一定影响因素从而得到真实的结果。

1.(2020·四川三台中学高一月考)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。

(1)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小F与________的关系。

A.质量m
B.角速度ω
C.半径r
(2)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔相对应的半径之比为________。

A.1∶4
B.4∶1
C.1∶2
D.2∶1
解析(1)变速轮塔半径不同，两轮转动的角速度不同，两球的角速度不同，A、B两球的质量相等、转动半径相同；则图中所示是在研究向心力的大小F与角速度ω的关系。

故B项正确，A、C两项错误。

(2)A、B两球的质量相等、转动半径相同，两个小球所受向心力的比值为1∶4，据F＝m rω2可得，两球转动的角速度之比为1∶2。

变速轮塔用皮带连接，轮塔
可得，与皮带连接的变速轮塔相对应的半边缘上点的线速度大小相等，据r＝v
ω
径之比为2∶1。

故D项正确，A、B、C三项错误。

答案(1)B(2)D
2.用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。

横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。

某次实验图片如下，请回答相关问题：
(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时我们主要用到了物理学中________的方法；
A.理想实验法
B.等效替代法
C.控制变量法
D.演绎法
(2)图中是在研究向心力的大小F与________的关系。

A.质量m
B.角速度ω
C.半径r
(3)若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为________。

A.1∶9
B.3∶1
C.1∶3
D.1∶1
解析(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法。

故选C。

(2)图中两球的质量相同，转动的半径相同，则研究的是向心力与角速度的关系。

故选B。

(3)根据F n＝mrω2，两球的向心力之比为1∶9，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶3，因为靠皮带传动，变速轮塔的线速度大小相等，根据v＝rω知
与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为3∶1。

故选B。

答案(1)C(2)B(3)B
3.(2020·北京高二学业考试)如图是向心力演示仪的示意图，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。

小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小。

皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，以探究物体做圆周运动向心力大小的影响因素。

现将小球A和B分别放在两边的槽内，如图所示。

要探究向心力与角速度的关系，应保证两球的质量和运动半径相同，使两球的角速度________(选填“相同”或“不同”)。

皮带套的两个塔轮的半径分别为R A、R B。

某次实验让R A＝2R B，则A、B两球的角速度之比为________________。

解析由控制变量法可知，要探究向心力与角速度的关系，应保证两球的质量和运动半径相同，使两球的角速度不同。

因两球的线速度相同，由ω＝v
可知当R A
r
＝2R B时，则2ωA＝ωB。

答案不同1∶2
4.航天器绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，物体对支持物几乎没有压力，所以在这种环境中已经无法用天平称量物体的质量。

假设某同学在这种环境中设计了如图所示的装置(图中O为光滑小孔)来间接测量物体的质量：给待测物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动，设航天器中有基本测量工具(比如刻度尺、秒表、弹簧测力计等)
(1)实验时需要测量的物理量：弹簧测力计示数F ，圆周运动的周期T ，及___________________________________________________________________。

(2)用所测得的物理量写出待测物体质量的表达式为m ＝________(用测得的物理量的符号表示)。

解析 根据向心力公式有F ＝mR 4π2T 2，得m ＝FT 2
4π2R ；因此还需要的物理量为圆周运动的轨道半径R 。

答案 (1)圆周运动的轨道半径R (2)FT 2
4π2R。