第十二章随机过程及其统计描述概率论和数理统计

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工程技术中有很多随机现象, 例如, 地震波幅, 结构物承受的风荷载, 时间间隔(0, t]内船舶甲 板"上浪"的次数, 通讯系统和自控系统中的 各种噪声和干扰, 以及生物群体的生长等等变 化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘. 不过, 这些随机过程都不能象随机相位正弦波 那样, 很方便, 很具体地用时间和随机变量(一 个或几个)的关系式表示出来, 其主要原因是 自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂, 甚至不可能观察到, 因此只有通过分析样本函 数才能掌握它们的规律性.
是一随机过程. 且它们的状态空间是(-, +).
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例4 设某城市的120急救电话台迟早会接到用 户的呼叫, 以X(t)表示时间间隔(0,t]内接到的 呼叫次数, 它是一个随机变量, 且对于不同的 t0, X(t)是不同的随机变量. 于是, {X(t),t0}是 一随机过程. 且它的状态空间是{0,1,2,...}.
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随机过程的不同描述方式在本质上是一致的. 在理论分析时往往以随机变量族的描述方式 作为出发点, 而在实际测量和数据处理中往往 采用样本函数族的描述方式. 这两种描述方式 在理论和实际两方面是互为补充的. 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型 或离散型随机变量而分成连续型随机过程和 离散型随机过程. 热噪声电压, 例2和例3是连 续型随机过程, 例1, 例4和例5是离散型随机过 程.
均值函数mX(t)表示了随机过程X(t)在各个时
刻的摆动中心.
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把随机变量X(t)的二阶原点矩和二阶中心矩 分别记作
2 X
(t
)
E[ X
2 (t )]
(2.2)
和
2 X
(t)
DX
(t)
Var[
X (t)]
E{[ X (t)
-
mXLeabharlann (t)]2 },(2.3)
并分别称它们为随机过程{X(t), tT}的均方值
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多次试验得到多个电压函数 v1(t) v2(t)
vk(t) tj
t t
t
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设T是一无限实数集, 把依赖于参数tT的一 族(无限多个)随机变量称为随机过程, 记为 {X(t), tT}, 这里对每一个tT, X(t)是一随机 变量. T叫做参数集. 常把t看作为时间, 称X(t) 为时刻t时过程的状态, 而X(t1)=x(实数)说成是 t=t1时过程处于状态x, 对于一切tT, X(t)所有 可能取的一切值的全体称为随机过程的状态 空间. 对随机过程{X(t), tT}进行一次试验, 其 结果是t的函数, 记为x(t), tT, 称它为随机过 程的一个样本函数或样本曲线. 所有不同的试 验结果构成一族样本函数.
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例1 抛掷一枚硬币试验, 样本空间是S={H,T},
现藉此定义
X (t) cost,t,
当出现H , 当出现T ,
t
(-,),
x(t)
x=cos t
O t1 t2
t
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其中P(H)=P(T)=1/2. 对任意固定的t, X(t)是一 定义在S上的随机变量; 对不同的t, X(t)是不同 的随机变量, 所以{X(t), t(-, +)}是一族随 机变量, 即它是随机过程. 另一方面, 作一次试
FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)= P{X(t1)x1, X(t2)x2,..., X(tn)xn},
xiR, i=1,2,...,n. 对于固定的n, 称{FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn), tiT} 为随机过程{X(t), tT}的n维分布函数族.
验, 若出现H, 样本函数x1(t)=cos t; 若出现T,
样本函数为x2(t)=t, 所以该随机过程对应的一
族样本函数仅包含两个函数:{cos t, t}. 显然
这个随机过程的状态空间为(-, +).
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例2 考虑
X(t)=a cos(wt+Q), t(-, ), (1.1) 式中a和w是正常数, Q是在(0,2)上服从均匀
{E[X(t1)X(t2)]}E[X2(t1)X2(t2)], t1,t2T. 即知RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在
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在实际中, 常遇到一种特殊的二阶矩过程-正 态过程. 随机过程{X(t), tT}称为正态过程, 如 果它的每一个有限维分布都是正态分布, 亦即 对任意整数n1及任意t1,t2,...,tnT, (X(t1), X(t2),..., X(tn))服从n维正态分布. 由第四章的 结论知, 正态过程的全部统计特性完全由它的 均值函数和自协方差函数(或自相关函数)所 确定.
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给定随机过程{X(t), tT}, 固定tT, X(t)是一
随机变量, 它的一切均值一般与t有关, 记为
mX(t)=E[X(t)],
(2.1)
称mX(t)随机过程{X(t), tT}的均值函数.
注意, mX(t)是随机过程的所有样本函数在时刻
t的函数值的平均值, 通常称这种平均为集平
均或统计平均.
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随机过程可看作多维随机变量的延伸. 随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样. 因此, 热噪声电压的变化过程{V(t), t0}是一 随机过程, 它的状态空间是(-, +), 一次观 测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一 个样本函数. 在以后的叙述中, 为简便起见, 常以X(t), tT 表示随机过程. 在上下文不致混淆的情况下, 一般略去记号中的参数集T.
RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)],
(2.4)
并称它为随机过程{X(t),tT}的自相关函数,
简称相关函数. RXX也简记为RX(t1,t2). X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩记作
CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)]
=E{[X(t1)-mX(t1)][X(t2)-mX(t2)]}, (2.5)
随机过程的一个样本函数
xi(t)=a cos(wt+qi), qi(0,2).
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例3 在测量运动目标的距离时存在随机误差,
若以e(t)表示在时刻t的测量误差, 则它是一个
随机变量. 当目标随时间t按一定规律运动时,
测量误差e(t)也随时间t而变化, 换句话说, e(t) 是依赖于时间t的一族随机变量, 亦即{e(t), t0}
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随机过程还可依时间(参数)是连续或离散进 行分类. 当时间集T是有限或无限区间时, 称 {X(t), tT}为连续参数随机过程(以下如无特 别指明, "随机过程"总是指连续参数而言的). 如果T是离散集合, 例如T={0,1,2,...}, 则称 {X(t), tT}为离散参数随机过程或随机序列, 此时常记成{Xn, n=0,1,2,...}等, 如例5.
第十章 随机过程及其统计描述
§1 随机过程的概念
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热噪声电压 电子元件或器件由于内部微观粒 子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称 为热噪声电压, 它在任一确定时刻t的值是一 随机变量, 记为V(t). 不同时刻对应不同的随 机变量, 当时间在某区间, 譬如[0,+)上推移 时, 热噪声电压表现为一族随机变量, 记为 (V(t), t0), 在无线电通讯技术中, 接收机在接 收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持 续的干扰. 通过某种装置对元件两端的热噪声 电压进行长期测量, 并记录结果, 作为试验结 果, 得到一电压-时间函数.
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)] =t1t2E[A2]+(t1+t2)E[AB]+E[B2] =t1t2+4/3, t1,t2T.
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例5 考虑抛掷一颗骰子的试验. (i) 设Xn是第n 次(n1)抛掷的点数, 对于n=1,2,...的不同值, Xn是不同的随机变量, 因而{Xn, n1}构成一随 机过程, 称为伯努利过程或伯努利随机序列. (ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数, {Xn, n1}也是一随机过程. 它们的状态空间都是 {1,2,3,4,5,6}.
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当n充分大时, n维分布函数族能够近似地描 述随机过程的统计特性. 显然, n取得越大, 则 n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋 完善. 一般, 可以指出(科尔莫戈罗夫定律):有 限维分布函数族, 即{FX(x1,x2,...,xn, n=1,2,...,t1, t2, ...,tn), tiT}完全地确定了随机过程的统计 特性.
分布的随机变量.
x(t)
x2(t), q2=3/2
O
t
x1(t),q1=0
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显然, 对于每一个固定的时刻t=t1,
X(t1)=a cos(wt1+Q)是一个随机变量, 因而由
(1.1)式确定的X(t)是一个随机过程, 通常称它
为随机相位正弦波. 它的状态空间是[-a, a]. 在(0,2)内随机地取一数qi, 相应地即得这个
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有时为了数字化的需要, 实际中也常将连续参 数随机过程转化为随机序列处理. 例如, 我们 只在时间集T={Dt, 2Dt, ...,nDt, ...}上观察电阻 热噪声电压V(t), 这时就得到一个随机序列
{V1,V2,...,Vn,...}, 其中Vn=V(nDt), 显然, 当Dt充分小时, 这个随 机序列能够近似地描述连续时间情况下的热 噪声电压.
2 X
(t)
CX
(t,
t)
RX
(t,
t)
-
m
2 X
(t ).
(2.8)
由上面可知诸数字特征中最主要的是均值 函数和自相关函数.
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随机过程{X(t), tT}, 如果对每一个tT, 二阶 矩E[X2(t)]都存在, 则称它为二阶矩过程. 二阶矩过程的相关函数总存在. 事实上, 由于 E[X2(t1)], E[X2(t2)]存在, 根据柯西-许瓦兹不等 式有