清华大学谢金星数学实验-作业3

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微生物学设计实验_环境微生物的检测

• 根据Logistic模型可以求出与暴露时间相对应的菌体含量：
图3-6
• 根据实验数据，可以得到一个具体函数关系式，这可较准确地得出一定范围内任意时刻的细菌含量。
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参考文献
• 中华人民共和国国家标准生活饮用水标准检验方法微生物指标
• 姜起源，谢金星，叶俊，《数学模型》，清华大学出版社
• 当天平均温度14.1，当时的相对湿度82%，室外有微风，近几天属阴雨天气。
实验步骤
• 本大组分为五小组，每组两人
• 五个小组依次测室外、实验室、厕所、大厅和超净台的微生物含量。
• 具体步骤为：清洗双手—酒精清洁手部—用报纸包裹灭过菌的平板到各个环境中—开盖接种半个小时—盖盖后报纸包好拿回实验室—取出放入培养箱48小时—取出观察—对比统计——结果分析
• 熊文山，瓶(桶)装饮用纯净水微生物检测方法，检测与分析，2007年第10卷第6期
• /view/1262256.htm
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4、相对于室外、大厅、厕所，教室内空气中的微生物含量要少，教室内接种的平板里有五个菌落，这可能跟教室内的空气相对不流通，人流较少等等因素有关。
5、在超净台上做的实验产生了三个菌落，而且其直径要小得多。这与其它的比较，微生物含量明显较少。但是我们认为超净台上空气的微生物含量应该没这么多，可能在操作中有少许污染。
• 3）同时另用一个平皿只倾注营养琼脂培养基作为空白对照。
• 4）待冷却凝固后，翻转平皿，使底面向上，置于 36℃±1℃培养箱内培养48h，进行菌落计数，即为水样1ml中的菌落总数。
• 5）对每个样品都进行上面步骤并计数。
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3、菌落计数报告方法
• 在对菌落进行计数时，需要参照GB/T5750.12— 2006中的菌落计数及报告方法。

最优化方法(建模、原理、算法)

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29
32
里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000
运价(万元) 37
44
50
55
60
• 1000km以上每增加1至100km运价增加5 • 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足
整公里部分按整公里计算）。
SST
• 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。
• （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
• （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
• （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。
SST
i 1234567 si 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 pi 160 155 155 160 155 150 160 • 1单位钢管的铁路运价如下表：
里程(km) 运价(万元)
≤300 20
301～350 351～400 401～450 451～500
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平均值 c [c1, c2,, cn ]T，协方差矩阵 V 。
希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
v - min [ - c T x, xTVx ]
s. t. Ax b
x0
SST
• 问题扩展 b. 风险投资问题（参考98全国建模赛题）
将前面的产品换成投资项目，考虑投资 Aj 风险损失qj 。

2000年数学建模B题钢管订购和运输全解答

钢管订购和运输摘要：本文建立了一个运输问题的最优化模型。

通过分析题图一，我们利用Floyd 算法求出铁路网和公路网各点间最短路线，然后转化成最少运输，去掉了铁路和公路的性质，使运输网络变成一张供需运输价格表，然后建立了一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo 软件，求出问题一的最优解为1278632万元通过对问题一中lingo 运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo 软件，求得最优解为1407149万元.关键词：Floyd 算法，非线性规划，0-1规划一问题重述有7个生产厂，可以生产输送天然气主管道的钢管721,,S S S 。

要沿着1521A A A →→→ 的主管道铺设, 如题图一所示。

图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。

钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：123456780080010002000200020003000160155155160155150160iis ip1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350 351～400401～450451～500 运价(万元) 2023262932里程(km) 501～600601～700 701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

第二期全国数学建模微课程(案例)教学竞赛获奖结果

第二届全国数学建模微课程（案例）教学竞赛获奖结果“第二届全国数学建模微课程（案例）教学竞赛”（以下简称建模微课竞赛）是由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会和全国大学生数学建模竞赛组委会联合主办，高等教育出版社协办。

自2017年12月通知发出之后，得到了全国高校相关教师们的积极响应和参与。

本次建模微课竞赛分两个阶段，第一阶段为初赛，对所有参赛作品的文稿、PPT课件和教学视频等材料由同行专家进行了认真的评审，在众多的参赛作品中评选出26项有代表性的作品进入第二阶段的现场授课决赛。

第二阶段的决赛于2018年7月在哈尔滨举行的“2018年全国数学建模培训与应用研究研讨会”期间进行，采用现场授课的方式，每个参赛教师就参赛作品进行时长不超过30分钟的现场授课，要求从案例的背景、问题提法、模型的建立与求解过程和结果的分析等内容进行授课。

决赛的现场授课分为两个场地同时进行，邀请了16名国内的同行专家评委现场对所有作品的授课效果进行评判打分，并有来自全国各高校的400余名同行教师聆听了决赛授课。

决赛主要依据案例的原创性、新颖性和应用价值、授课内容的组织设计和授课效果等方面进行评价。

经过一整天紧张激烈的竞赛，最后汇总专家评委的评分和参赛教师的相互评分，评选确定出一等奖4项，二等奖8项，三等奖14项（获奖作品名单见附件）。

本次建模微课竞赛是第二次举办这类活动，获得了很好的效果，并受到了广大数学建模教师的欢迎。

参赛作品所涉及的案例多数取材于实际科研和现实生活的原创性案例，也包括一些经典案例的推广与应用，为提高各高校的数学建模和数学实验课程的教学起到了促进作用，也为后续数学建模案例的进一步开发利用提供了优秀素材。

本次竞赛活动得到了高等教育出版社的大力支持和资助，为竞赛活动的顺利进行和成功举办提供了有力保障。

对于获奖作品的进一步开发和推广使用，我们将会同高等教育出版社有关部门和参赛者进行协商，将优秀的作品尽快与广大教师见面。

清华大学数学建模讲义

城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，
为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公
司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具工程咨询公司
有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示。附加费用
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（万元/千米）
公司一 21
公司二 24
公司三 20
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
1.为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2.对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
成绩评定和课程要求
• 总评成绩＝平时作业＋期末作业 ± 印象分 • 平时作业：把课堂内容整理成一篇小论文。
共交3次平时作业，每次20分。 • 期末作业：七日内完成所布置的建模题目，
写成一篇小论文，占40分。 • 按时独立完成作业，严禁抄袭代做。如有

2012深圳杯数学建模竞赛D题——打孔机生产效能的提高-参考答案

2012深圳杯数学建模竞赛D题——打孔机生产效能的提高-参考答案2012深圳杯数学建模竞赛D 题——打孔机生产效能的提高参考答案摘要本文对印刷电路板过孔的生产效益如何提高进行了研究。

打孔机在加工作业时，钻头的行进时间和刀具的转换时间是影响生产效益的两个因素。

在完成一个电路板的过孔加工时，钻头行进时间和刀具转换总时间越短，生产效益越高。

钻头行进总时间由钻头进行路线决定，而刀具转换总时间由线路板上由各孔的位置以及钻头行进方案决定。

钻头行进的路线的确定我们用遗传算法模拟。

令{}0,1ij e ∈，当1ij e =示(,)i j 在得到的最优路径上；当0ij e =表示(,)i j 不在得到的最优路径上。

通过这个变量建立起路线与费用的桥梁关系，进而写出总费用的表达式，建立最优模型，用遗传算法求解。

当打孔机设计成双钻头时，由于作业时各钻头相互独立，且有合作间距的限制，因此在解决双钻头最优作业方案时，我们在单钻头作业的基础上再加上另一个钻头作业所需的各种费用并增加约束条件，保证合作间距在要求范围之内。

关键词:遗传算法; 优化模型; 印刷线路板；生产效益一、问题的重述过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，过孔的加工费用通常占制板费用的30%到40%，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。

本问题旨在提高某类打孔机的生产效能。

打孔机的生产效能主要取决于以下几方面：（1）单个过孔的钻孔作业时间，这是由生产工艺决定，为了简化问题，这里假定对于同一孔型钻孔作业时间都是相同的；（2）打孔机在加工作业时，钻头的行进时间；（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。

目前，实际采用的打孔机普遍是单钻头作业，即一个钻头进行打孔。

现有某种钻头，上面装有8种刀具a，b，c，… , h，依次排列呈圆环状，而且8种刀具的顺序固定，不能调换。

在加工作业时，一种刀具使用完毕后，可以转换使用另一种刀具。

相邻两刀具的转换时间是18 s，例如，由刀具a转换到刀具b所用的时间是18s，其他情况以此类推。

《数学实验》课程教学大纲

2．矩阵的基本分析：矩阵的行列式、矩阵的迹、矩阵的秩、矩阵的逆、矩阵的特征多项式、矩阵的特征值与特征向量
3．线性方程组的求解
4.随机数的生产和模拟
5．实验实例：循环比赛的名次和按年龄分组的种最优化问题实验
重点：学会一些常用函数的调用格式并学会自己动手编写函数
3. 《高等应用数学问题的MATLAB求解》.薛定宇,陈阳泉著.清华大学出版社,2004
4. 《MATLAB数学实验》.胡良剑,孙晓君编著.高等教育出版社，2006.6
执笔人：邓化宇
审核人：
院（系）负责人：
《数学实验》课程教学大纲
MathematicalExperiment
适用：本科四年制信息与计算科学专业(40学时左右)
一、课程的目的及任务
开设《数学实验》课的目的是在两周的时间里为学生介绍如何使用计算机的语言和方法去处理一些经典的数学问题，并提供一些实例以启发学生自己动手练习。进一步的提高要靠学生的兴趣和努力。
教学要点：
1．一元非线性方程数值求解
2．非线性方程组数值求解
3．方程符号求解
4．一元函数和多元函数无约束优化求解
5．线性规划
6．实验实例：购房贷款的利率和最短路问题
第五章微分方程问题的计算机求解
重点：学会一些常用函数的调用格式并学会自己动手编写函数
教学要点：
1．常系数微分方程的计算机求解析解
2．微分方程问题的数值解法
二、课程的特点、要求及本课程与其它课程的联系
数学是科学技术人才科学素质的的重要组成部分，随着高科技与与计算技术的发展和普及，数学的重要性日益突出。“高技术本质上是一种数学技术”这一观点已越来越多地为人们所认同。学习计算机使用和开发是启迪学生创新意识和创新思维、锻炼创新能力、培养高层次人才的一条重要途径；也是激发学习欲望、培养主动探索、努力进取学风和团结协作精神的有力措施。

数学实验(第三版)金正猛答案

数学实验(第三版)金正猛答案1、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] *A．0B．2C．﹣3(正确答案)D．12、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] *A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m3、29.若（2，a）和（3，b）是直线y=x+k上的两点，那么这两点间的距离为（）[单选题] *A.8B.10C.√2(正确答案)D.24、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个5、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]*A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定6、下列说法中，正确的是（）[单选题] *A、第一象限角是锐角B、第一象限角是锐角(正确答案)C、小于90°的角是锐角D、第一象限的角不可能是钝角7、15.下列数中，是无理数的为（）[单选题] *A.-3.14B.6/11C.√3(正确答案)D.08、用角度制表示为（）[单选题] *30°(正确答案)60°120°-30°9、5．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．没有最大的正数，但有最大的负数B．没有最小的负数，但有最小的正数C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数(正确答案) D．有最小的自然数，也有最小的整数10、已知sina<0且cota＞0，则是（）[单选题] *A、第一象限角B、第一象限角C、第三象限角(正确答案)D、第四象限角11、22.若+3x+m=0的一个根为2，则m=（）[单选题] *A.3B.10C.-10(正确答案)D.2012、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n213、10．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角．若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是（）[单选题] *A．65°B．25°(正确答案)C．90°D．115°14、14．数﹣在数轴上的位置可以是（）[单选题] *A．点A与点B之间(正确答案)B．点B与点O之间C．点O与点D之间D．点D与点E之间15、△ABC中的边BC上有一点D，AB=13，BD=7，DC=5，AC=7，则AD的长（）[单选题] *A、8(正确答案)B、9C、6D、316、5、若关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（）[单选题] *A、1B、-1(正确答案)C 、1或-1D、217、点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，8），则它们的中点坐标是（D）[单选题] *A、（3，4）B、（3，5）C、（8，12）D、（4，6）(正确答案)18、18．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝4cm，BC＝2cm，那么AC两点之间的距离为（）[单选题] *A．2cmB．6cmC．2或6cm(正确答案)D．无法确定19、18.下列关系式正确的是(? ) [单选题] *A.-√3∈NB.-√3∈3C.-√3∈QD.-√3∈R(正确答案)20、已知5m－2n－3＝0，则2??÷22?的值为( ) [单选题] *A. 2B. 0C. 4D. 8(正确答案)21、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（0）的值为（）。

§2.2 敏感性分析

表示最优目标值为280. 表示最优目标值为 .
"VALUE"
给出最优解中各变量的值:造2个书桌(desks), 0个餐桌(tables), 个书桌( 个餐桌( 给出最优解中各变量的值: 个书桌 ) 个餐桌 ) 8个椅子(chairs).所以个椅子( ).所以是基变量( 个椅子 ).所以desks,chairs是基变量(取值非 ), , 是基变量取值非0), tables是非基变量(取值为 ). 是非基变量( 是非基变量取值为0).
∞
优化建模
2. 约束右端项变化的范围(Right Hand Side RANGES) 约束右端项变化的范围( ) 如本例中: 行约束中当前右端项( 如本例中:第2行约束中当前右端项(CURRENT RHS)=48, 行约束中当前右端项 ) , 允许增加( ),允许允许增加(Allowable Increase)=INFINITY(无穷),允许 ) (无穷), 减少( 减少(Allowable Decrease)=24,说明当它在 ) , [48-24,48+ ∞) = [24, ∞ ) , , 范围变化时,最优基保持不变. 行可以类似解释. 范围变化时,最优基保持不变.第3,4,5行可以类似解释. , , 行可以类似解释不过由于此时约束发生变化,最优基即使不变,最优解, 不过由于此时约束发生变化,最优基即使不变,最优解,最优值也会发生变化.如何变化呢?我们将在本节后面结合第1章值也会发生变化.如何变化呢?我们将在本节后面结合第章 1.2.1节例给出的实际问题来进行说明. 节例1.1给出的实际问题来进行说明节例给出的实际问题来进行说明.
优化建模
敏感性分析的作用是给出" 敏感性分析的作用是给出"RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED",即研究当目标函数的系数和约 , 束右端项在什么范围变化(此时假定其他系数保持不变) 束右端项在什么范围变化(此时假定其他系数保持不变)时, 最优基(矩阵)保持不变. 最优基(矩阵)保持不变. 这个部分包括两方面的敏感性分析内容: 这个部分包括两方面的敏感性分析内容: 1. 目标函数中系数变化的范围 (OBJ COEFFICIENT RANGES) ) 如本例中:目标函数中DESKS变量当前的系数(CURRENT 变量当前的系数( 如本例中:目标函数中变量当前的系数 COEF) = 60,允许增加(Allowable Increase)=20, ) ,允许增加( ) , 允许减少( 允许减少(Allowable Decrease)=4,说明当这个系数 ) , 范围变化时, 在[60-4,60+20] = [56,80]范围变化时,最优基保持不 , , 范围变化时变量, 变.对TABLES,CHAIRS变量,可以类似解释.由于此 , 变量可以类似解释. 时约束没有变化(只是目标函数中某个系数发生变化), 时约束没有变化(只是目标函数中某个系数发生变化), 所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变(当然, 所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变(当然,由于目标函数中系数发生了变化,所以最优值会变化). 于目标函数中系数发生了变化,所以最优值会变化).

数学建模关于露天采矿问题

露天采矿问题摘要本文就某公司在方形土地上进行采矿的合理性问题建立了综合评价模型，对各层进行分析，通过确定选取挖取哪些块，给出合理性方案，使该公司的纯利润最大。

一、问题重述某公司获准在一块mm200200⨯的方形土地上露天采矿。

因为土石滑坡，挖坑的坑边坡度不能超过45。

公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。

考虑到坡角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题按长方形块的挖取问题处理。

每个长方形块的水平尺寸为m50⨯，铅直尺寸为m25。

m50若在一个深度层上挖了4块；则在下一层上还可为挖一块；下图所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）是俯视这5块的水平位置关系。

俯视图这样以来，所能挖取的块数，第一层最多16块，第二层最多9块，第三层最多4块，第四层最多1块。

不能再往深挖取。

所有这些可能挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值。

这个优化问题的目标是使纯收入最多，而要做的决策是开采规划，即从第一层到第四层那些块需要开采。

而每一层每一块开采成本是相同的，而获取的利润不同。

每一题的唯一受到的一个约束条件：挖坑的坑边坡度不能超过45。

，即简化模型足若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块；将决策变景、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来便可得到下面的模型。

二、模型假设1、利用0-1模型，作为决定每一块是否需要开采的模型，即O代表这一块，l代表这一块。

2、同时利用矩阵，为每一层每一块编号，即第一层设为矩阵A，第二层设为矩阵B 等。

三、符号说明ij A 代表第一层第i 行第j 块；ij B 代表第二层第i 行第i 块；ij C 代表第三层第i 行第i 块：ij D 代表第四层第i 行笫j 块；设Z 为最大利润。

四、模型建立由于挖去一块的收入同该块的值成正比，可设比例系数为R ，由挖一个值为100的块可收入200000。

所以可求出R=2000。

故将每一块的值乘以两千，则是这一块所获得的利润。

清华大学高等数值分析_第三次作业答案

高等数值分析第三章作业参考答案1.考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.用Galerkin原理求解方程K=L=Span(v),这里v是一个固定的向量.e0=x∗−x0,e1=x∗−x1证明(e1,Ae1)=(e0,Ae0)−(r,v)2/(Av,v),(∗)其中r=b−Ax0.v应当取哪个向量在某种意义上是最佳的?证明.令x1=x0+αv,那么r1=r−αAv,e1=e0−αv.由Galerkin原理,有(r1,v)=0,因此α=(r,v)/(Av,v).注意到r1=Ae1,r=Ae,有(Ae1,v)=0.于是(e1,Ae1)=(e0−αv,Ae1)=(e0,Ae1)=(e0,Ae0)−α(e0,Av)=(e0,Ae0)−α(r,v)即(∗)式成立.由(∗)式知当v=e0时, e1 A=0最小,即近似解与精确解的误差在A范数意义下最小,算法一步收敛(但是实际中这个v不能精确找到);在最速下降意义下v=r时最佳.2.求证：考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.取K=L=Span(r,Ar).用Galerkin方法求解,其中r是上一步的残余向量.(a)用r和满足(r,Ap)=0的p向量构成K中的一组基.给出计算p的公式.解.设p=r+αAr,(r,Ap)=0等价于(Ar,p)=0.解得α=−(Ar,r)/(Ar,Ar).(b)写出从x0到x1的计算公式.解.设x1=x0+β1r+β2p,那么r1=r−β1Ar−β2Ap,再由Galerkin原理,有(r1,r)=(r1,p)=0,解得β1=(r,r)/(Ar,r),β2=(r,p)/(Ap,p).(c)该算法收敛吗?解.该算法可描述为：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=0,1,2,...直到 r k <εαk=−(r k,Ar k) (Ar k,Ar k);p k=r k+αAr k;βk=(r k,r k) (Ar k,r k);γk=(r k,p k) (Ap k,p k);r k+1=r k−βk Ar k−γk Ap k;x k+1=x k+βk r k+γk p k.此算法本质上是由CG迭代一步就重启得到的,所以是收敛的,下面给出证法.设用此算法得到的x k+1=x k+¯p1(A)r k,那么e k+1 A=minp1∈P1e k+p1(A)r k A≤ e k+¯p1(A)r k A= e k−¯p1(A)Ae k A≤max1≤i≤n|˜p(λi)| e k A其中0<λ1≤...≤λn为A的特征值,˜p(t)=1−t¯p1(t)是过(0,1)点的二次多项式.当˜p满足˜p(λ1)=˜p(λn)=−˜p(λ1+λn2)时可使max1≤i≤n|˜p(λi)|达到最小.经计算可得min ˜p max1≤i≤n|˜p(λi)|≤(λ1−λn)2(λ1−λn)2+8λ1λn<1故若令κ=λ1/λn,则e k+1 A≤(κ−1)2κ2+6κ+1e k A,方法收敛.3.考虑方程组D1−F−E−D2x1x2=b1b2,其中D1,D2是m×m的非奇异矩阵.取L1=K1=Span{e1,e2,···,e m},L2= K2=Span{e m+1,e m+2,···,e n}.依次用(L1,K1),(L2,K2)按讲义46和47页公式Az∗=r0r0−Az m⊥LW T AV y m=W T r0x m=x0+V(W T AV)−1W T r0各进行一步计算.写出一个程序不断按这个方法计算下去,并验证算法收敛性.用L i=AK i重复上述各步骤.解.对任意给定x0=x(0)1x(0)2,令r=b−Ax0,V1=[e1,e2,...,e m],V2=[e m,e m+1,...,e n].对L i=K i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算：(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1z(2)1=V2y2r0−Az(1)1⊥L1r0−Az(2)1⊥L2(V T1AV1)y1=V T1r0,D1y1=V T1r0(V T2AV2)y2=V T2r0,−D2y2=V T2r0x(1)1=x(1)+V1D−11V T1r0x(2)1=x(2)−V2D−12V T2r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解D1y1=r k−1(1:m);求解−D2y2=r k−1(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−AD−11−D−12rk−1=0−F D−12ED−11rk−1Br k−1算法收敛⇔ρ(B)<1⇔ρ(ED−11F D−12)<1.对L i=AK i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算:(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1∈K1z(2)1=V2y2∈K2r0−Az(1)1⊥L1=AK1r0−Az(2)1⊥L2=AK2(V T1A T AV1)y1=V T1A T r0(V T2A T AV2)y2=V T2A T r0(D T1D1+E T E)y1=V T1A T r0(D T2D2+F T F)y2=V T2A T r0x(1) 1=x(1)+(D T1D1+E T E)−1V T1A T r0x(2)1=x(2)+(D T2D2+F T F)−1V T2A T r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解(D T1D1+E T E)y1=(A T r k−1)(1:m);求解(D T2D2+F T F)y2=(A T r k−1)(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−A(D T1D1+E T E)−1(D T2D2+F T F)−1A T rk−1(I−B)r k−1算法收敛⇔ρ(I−B)<1⇔0<λ(B)<2.4.令A=3−2−13−2...............−2−13,b=1...2用Galerkin原理求解Ax=b.取x0=0,V m=W m=(e1,e2,···,e m).对不同的m,观察 b−Ax m 和 x m−x∗ 的变化,其中x∗为方程的精确解.解.对于 b−Ax m 和 x m−x∗ ,都是前n−1步下降趋势微乎其微,到第n步突然收敛。

06年数学建模有关易拉罐的尺寸最优设计问题

12.06 6.58 0.099 0.321 0.305 1.00 6.02 11.06 364.5
12.08 6.58 0.101 0.304 0.294 0.98 5.98 11.08 364.0
12.06 6.66 0.095 0.311 0.310 1.02 6.00 11.06 365.6

构造函数：
分别对r1,r2, θ ,h求偏导，并使之为零，与Vp(r1,r2,h, θ )-365=0 联立得到方程组:
2π + 2 k 3 bπr1 + 2πh + λπr12 tan θ + 2λπhr1 cosθ 2 k1bπr2 − 2 k 2bπr2 − λπr22 tan θ =0 cos θ λπ (r13 − r23 ) 2 2 sin θ k 2 bπ ( r1 − r2 ) cosθ + 3 cos 2 θ = 0 2bπr1 + λπr12 = 0 1π tan( r13 − r23 ) +πr12 h −365=0 3
问题四
1）球台部分的求解运用重积分求得球台体积V1为
2πr33 (cos α − cos β ) π r23 r13 V1 = + − 3 3 tan α tan β
球台上表面的面积 SV = πr2 ，球台弧形部分表面积Sv2,根据二重积分用球面坐标对其表面积积分可求的用球面坐标对其表面积几分渴求的台球部分表面积为
测得数据如表1所示测得数据如表所示
表1
数据种类实测数据平均值单位
罐高罐桶直径罐壁厚顶盖厚罐底厚圆台高顶盖直径圆柱体高罐内体积
12.06 6.62 0.112 0.295 0.303 1.00 6.02 11.04 364.9

复化梯形算法求解数值积分

复化梯形算法求解数值积分摘要求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。

另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。

由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。

特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。

但是它们的精度较差。

而且高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。

因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。

这种方法称为复化求积方法。

本文从三个积分实例出发，主要讨论复化梯形公式以及精确程度分析。

关键词：数值积分；复化求积公式；复化梯形算法；MATLABTHE REHABILITATION OF TRAPEZOID FORMULA TO SOLVE THE NUMERICAL INTEGRATIONABSTRACTFind the definite integral of a function, in most cases, the original integrand function is difficult toexpress the elementary functions, it can use calculus of Newton - Leibniz formula to calculate thedefinite integral of the few opportunities . In addition, many practical problems in the integrand is often a list of functions or other forms of non-continuous function, the definite integral of suchfunctions, indefinite integral method can not solve. For these reasons, the numerical integration oftheory and method has been the subject of calculation of the basic mathematical research.Structural formula for numerical integration method is used most often on the n-th integration interval polynomial interpolation instead of the integrand, thus derived is called interpolation-typequadrature formula quadrature formula. Especially in the case of equidistant distribution of nodesis called Newton - Keci formula, such as trapezoidal formula and the formula is the most basicparabolic approximation formula. But their accuracy is poor. And high-level Newton-Cotesquadrature formula is unstable. So it is usually not higher-order quadrature formula to be moreprecise integral values, but the whole range of sub-points, with each short on low-level quadrature formula. This method is called complex method of quadrature.This example from three points of departure, the main complex of the trapezoid formula anddiscuss the accuracy of the analysis.Key words: Numerical integration；Rehabilitation of numerical integration；Rehabilitation of trapezoid formula；MA TLAB目录1 问题的提出 (1)2 问题的分析 (2)3 问题假设 (2)4 符号说明 (3)5 模型的建立及求解 (3)5.1 模型的准备工作 (3)5.1.1 复化梯形数值积分基本原理........... (3)5.2 模型的建立及求解 (4)6 模型验证及结果分析 (8)参考文献 (9)附录 (10)1问题提出有很多实际问题常常需要计算积分才能求解。

2025届清华大学附中高三数学上学期第三次统练试卷附答案解析

统练3一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{11}A x x =−<<，{02}B x x =≤≤，则A B =（A ）{12}x x −<<（C ）{01}x x <≤（D ）{02}x x ≤≤（2）若复数z 满足(1i)2z −⋅=，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i + （3）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（A ）||a b > （B ）||a b >（C ）2a ab > （D ）2ab b >（4）已知13212112log log 33a b c −===，，，则( )（A ）a b c >>（B ）a c b >>（C ）c a b >>（D ）c b a >>（5）已知函数22()log 21f x x x x =−+−，则不等式()0f x >的解集为 (A) (1,4) (B) (0,1)(4,)+∞ (C) (1,2)(D) (0,1)(2,)+∞（6）若P 是△ABC 内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（B ）12（C ）1 （D ）2（7）无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象.若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（A ）π12（C ）π4（D ）π3（9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）（A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12（10）若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧−=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e−+∞，则实数a 的取值范围是（）（A ）(0, e) （B ）(e, )+∞ （C ）(0, e] （D ）[e, )+∞二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. （11 ）已知tan()24θπ−=，则tan θ= ______−3（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x = 对称，若3sin 5α=, 则cos β=_______．35（13）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()+⋅=a b c ___0____；⋅=a b ___3____．1第次操作2第次操作3第次操作（14）若函数()sin(+)(0)6f x x ωωπ=>和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____2_____；()6g π=_____±1_______．（15）已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是n S ，1a a =，且1n n n S a a +=（1,2,n =）. 给出如下结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*n ∀∈N ，1n n a a +>，则a 的取值范围是(0,1)； ④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a −−<+. 其中，所有正确结论的序号是．①③④三、解答题共6道小题，共85分。

北京清华附中上地学校C21级数学基础练习三及答案

基础专题练习（三）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是2．抛物线212y x =−−()的顶点坐标是A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（-1，-2）3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BAC ＝54°，则∠BOC 的度数为A ．108°B ．116°C ．126°D ．128°4．下列事件中，为必然事件的是A ．明年农历“大雪”节气那天下雪B ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆D ．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是75．关于x 的一元二次方程210x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的值为A ．2B ．±2C ．4D ．±46．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：下面有3个推断：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618；③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次．其中合理的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．②抛掷次数n 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000“正面向上”的次数m 38 96 260 620 1236 1857 2472 3090 “正面向上” 的频率m n0.380 0.480 0.520 0.620 0.618 0.619 0.618 0.618 A B C D7．如图，点O 为线段AB 的中点，∠ACB =∠ADB =90°，连接OC ，OD ．则下面结论不．一定成立的是 A ．OC =OD B ．∠BDC =∠BAC C ．∠BCD+∠BAD =180° D ．AC 平分∠BAD8．如图，等边三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在⊙O 上，点C 在⊙O 内，⊙OABC 绕点A 逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C 第一次落在⊙O 上时，旋转角为30°； ②当AC 第一次与⊙O 相切时，旋转角为60°．则结论正确的是 A ．① B ．② C ．①② D ．均不正确二、填空题（共16分，每小题2分）9．方程x 2－x ＝0的解是．10．一个扇形的半径是6，其圆心角是150°，则圆心角所对的弧长为．11．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩．设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，列出方程是．12．正六边形的外接圆半径为2 cm ，则此正六边形的边心距为 cm ．13．已知二次函数2y x bx =+，当x >1时，y 随x 的增大而增大．写出一个满足题意的b 的值为．14．在关于x 的二次函数20y ax bx c a =++≠（）中，自变量x 可以取任意实数，下表是自变量x 与函数y 的几组对应值：根据以上信息，关于x 的一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的两个实数根中，其中的一个根约等于（结果保留小数点后一位小数）． 15．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，点C 为劣弧AB 上的点，过点C 的切线分别交PA ，PB 于点M ，N ．若PA =8，则△PMN 的周长为．16．平面直角坐标系xOy中，将抛物线21=−在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折记y x作C2，C1和C2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是．①图形G关于原点对称；②图形G关于直线y=x对称；<<π．③图形G的面积为S，满足2S三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23 -26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解方程：2410−−=．x x18．已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．（1）在图中画出△A1B1C1；（2）△A1B1C1是以点（填“O1”，“O2”或“O3”）为旋转中心，将△ABC时针旋转度得到的．19．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆半径的长．图１图220．已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y >0时，x 的取值范围．21．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，点C 是AB 的中点．求证：四边形OACB 是菱形．22．已知关于x 的一元二次方程210x mx m ++−=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的和为3，求m 的值．23．第19届亚运会于2023年9月在杭州成功举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．（1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为________；（2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率．（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）．基础练习专题三答案一、选择题（共16分，每小题2分）9．x 1=0，x 2=1 10．5π 11．301(1+x )2=500 1213．答案不唯一，如：b =014．答案不唯一，如2.2 15．16 16．①③三、解答题(共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27 -28题，每题7分）17．解：， ························································ 2分225x −=（）， 2x −=2x −=，∴12x =+22x =− ······································· 5分18．（1） ··········································································· 2分（2）O 1，顺，90． ························································· 5分19．解：连接AO ．∵C 为AB 中点，圆心O 在线段CD 上，AB =18，∴CD ⊥AB ，AC =9． ·················································· 1 设⊙O 半径为x ，则OA =OD =x ．∵CD =27， ∴OC =27-x ．在Rt △AOC 中∵222OA AC OC =+， ················································ 3∴222927x x =+−（）解得x =15．∴拱门所在圆的半径为15分米． ·································· 5分2445x x −+=20．解：（1）设二次函数解析式为20y a x h k a =−+≠（）（）．∵二次函数图象的顶点为（2，-1）， ···················· 1分∴二次函数解析式为221y a x =−−（）． ∵函数221y ax =−−（）的图象过点（1，0）， ∴代入得a =1．∴二次函数的解析式为243y x x =−+． ·················· 3分（2）<1x 或3x >． ·················································· 5分21．证明：连接OC ．∵点C 是AB 的中点，∴AC =BC ． ∴AC =BC ，∠AOC =∠BOC =12∠AOB ．∵∠AOB =120°，∴∠AOC =60°．∵AO =CO ，∴△AOC 是等边三角形． ··························· 3分 ∴AO = AC = BC = BO ．∴四边形OACB 是菱形． ········································ 5分22．（1）证明：∵a =1，b =m ，c =m -1，∴22412m m m ∆=−−=−（）（）． ∵220m −（）≥， ∴0∆≥∴方程总有两个实数根． ·································· 3分（2）解：∵方程x 2+mx+m -1＝0有两个实数根， ∴解为11x =−，21x m =−． ∵方程两个实数根的和为3，∴m =-3． ························································ 5分23．解：（1）． ······························································· 2分（2······ 4分由表格可以看出，可能出现的结果有9种，且它们出现的可能性相等，两次抽到的卡片图案相同的结果有3种，为两张宸宸、琮琮、莲莲，∴P （图案相同）=． ········································· 6分1313。

清华大学谢金星数学实验-作业1

数学实验作业1（插值与数值积分3-10,3-11.3-12）【实验目的】1．掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2．掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；3．通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。

【实验内容】3-11机翼问题相关matlab程序如下面截图所示（复制粘贴代码时出现乱码，所以采用截图的形式）：产生的结果为：(其中y1,y2是三次样条插值结果，y3,y4是分段线性差值结果,y5,y6是拉格朗日法插值结果，拉格朗日插值函数在教材中有相应的程序，此处略去)S1 = 11.3444S2 = 10.7500S3 = 40.3044ans =x y1 y2 y3 y4 y5 y60.1000 0.1089 0.0499 0.0600 0.0400 0.5516 -4.94370.2000 0.2134 0.0990 0.1200 0.0800 1.0117 -8.82000.3000 0.3137 0.1474 0.1800 0.1200 1.3910 -11.77260.4000 0.4097 0.1951 0.2400 0.1600 1.6992 -13.93100.5000 0.5018 0.2421 0.3000 0.2000 1.9452 -15.41170.6000 0.5898 0.2884 0.3600 0.2400 2.1371 -16.31900.7000 0.6740 0.3340 0.4200 0.2800 2.2821 -16.74570.8000 0.7545 0.3788 0.4800 0.3200 2.3868 -16.77470.9000 0.8314 0.4230 0.5400 0.3600 2.4573 -16.47921.0000 0.9047 0.4665 0.6000 0.40002.4989 -15.92381.1000 0.9747 0.5094 0.6600 0.44002.5165 -15.16511.2000 1.0413 0.5515 0.7200 0.48002.5143 -14.25241.3000 1.1047 0.5930 0.7800 0.52002.4961 -13.22871.4000 1.1651 0.6338 0.8400 0.56002.4654 -12.13071.5000 1.2225 0.6739 0.9000 0.60002.4251 -10.98981.6000 1.2770 0.7134 0.9600 0.64002.3778 -9.83261.7000 1.3287 0.7523 1.0200 0.68002.3258 -8.68121.8000 1.3778 0.7904 1.0800 0.72002.2711 -7.55391.9000 1.4244 0.8280 1.1400 0.76002.2154 -6.46542.0000 1.4685 0.8649 1.2000 0.8000 2.1600 -5.42722.1000 1.5104 0.9012 1.2600 0.8400 2.1061 -4.4484 2.2000 1.5499 0.9368 1.3200 0.8800 2.0549 -3.5353 2.3000 1.5874 0.9719 1.3800 0.9200 2.0069 -2.6923 2.4000 1.6229 1.0063 1.4400 0.9600 1.9629 -1.9220 2.5000 1.6565 1.0401 1.5000 1.0000 1.9233 -1.2253 2.6000 1.6884 1.0732 1.5600 1.0400 1.8886 -0.6019 2.7000 1.7185 1.1058 1.6200 1.0800 1.8587 -0.0504 2.8000 1.7471 1.1378 1.6800 1.1200 1.8340 0.43162.9000 1.7742 1.1692 1.7400 1.1600 1.8145 0.84723.0000 1.8000 1.2000 1.8000 1.2000 1.8000 1.2000 3.1000 1.8245 1.2302 1.8200 1.2250 1.7905 1.4942 3.2000 1.8480 1.2599 1.8400 1.2500 1.7858 1.7343 3.3000 1.8704 1.2889 1.8600 1.2750 1.7857 1.9249 3.4000 1.8918 1.3174 1.8800 1.3000 1.7900 2.0706 3.5000 1.9125 1.3454 1.9000 1.3250 1.7983 2.1765 3.6000 1.9325 1.3727 1.9200 1.3500 1.8104 2.2470 3.7000 1.9519 1.3995 1.9400 1.3750 1.8259 2.2870 3.8000 1.9708 1.4258 1.9600 1.4000 1.8446 2.30073.9000 1.9894 1.4515 1.9800 1.4250 1.8661 2.29264.0000 2.0076 1.4767 2.0000 1.4500 1.8900 2.2666 4.1000 2.0258 1.5014 2.0200 1.4750 1.9161 2.2265 4.2000 2.0439 1.5255 2.0400 1.5000 1.9441 2.1757 4.3000 2.0620 1.5491 2.0600 1.5250 1.9735 2.1174 4.4000 2.0803 1.5722 2.0800 1.5500 2.0042 2.0544 4.5000 2.0989 1.5947 2.1000 1.5750 2.0359 1.9894 4.6000 2.1179 1.6168 2.1200 1.6000 2.0682 1.9245 4.7000 2.1374 1.6383 2.1400 1.6250 2.1010 1.8616 4.8000 2.1575 1.6594 2.1600 1.6500 2.1340 1.80244.9000 2.1784 1.6799 2.1800 1.6750 2.1671 1.74815.0000 2.2000 1.7000 2.2000 1.7000 2.2000 1.7000 5.1000 2.2225 1.7196 2.2250 1.7150 2.2326 1.6587 5.2000 2.2459 1.7387 2.2500 1.7300 2.2647 1.6249 5.3000 2.2700 1.7573 2.2750 1.7450 2.2962 1.5988 5.4000 2.2948 1.7754 2.3000 1.7600 2.3270 1.5806 5.5000 2.3201 1.7930 2.3250 1.7750 2.3570 1.5703 5.6000 2.3459 1.8102 2.3500 1.7900 2.3862 1.5677 5.7000 2.3720 1.8269 2.3750 1.8050 2.4145 1.5723 5.8000 2.3984 1.8430 2.4000 1.8200 2.4418 1.58385.9000 2.4249 1.8588 2.4250 1.8350 2.4682 1.60156.0000 2.4515 1.8740 2.4500 1.8500 2.4936 1.6249 6.1000 2.4781 1.8887 2.4750 1.8650 2.5180 1.6531 6.2000 2.5045 1.9030 2.5000 1.8800 2.5415 1.6855 6.3000 2.5307 1.9168 2.5250 1.8950 2.5640 1.7212 6.4000 2.5566 1.9301 2.5500 1.9100 2.5857 1.75956.5000 2.5821 1.9430 2.5750 1.9250 2.6066 1.7995 6.6000 2.6071 1.9553 2.6000 1.9400 2.6266 1.8405 6.7000 2.6315 1.9672 2.6250 1.9550 2.6459 1.8817 6.8000 2.6552 1.9786 2.6500 1.9700 2.6645 1.92256.9000 2.6780 1.9895 2.6750 1.9850 2.6826 1.96217.0000 2.7000 2.0000 2.7000 2.0000 2.7000 2.0000 7.1000 2.7210 2.0100 2.7150 2.0050 2.7169 2.0357 7.2000 2.7411 2.0195 2.7300 2.0100 2.7335 2.0686 7.3000 2.7602 2.0285 2.7450 2.0150 2.7496 2.0984 7.4000 2.7786 2.0370 2.7600 2.0200 2.7654 2.1249 7.5000 2.7961 2.0450 2.7750 2.0250 2.7810 2.1477 7.6000 2.8130 2.0525 2.7900 2.0300 2.7963 2.1666 7.7000 2.8291 2.0595 2.8050 2.0350 2.8114 2.1817 7.8000 2.8446 2.0660 2.8200 2.0400 2.8264 2.19297.9000 2.8595 2.0719 2.8350 2.0450 2.8414 2.20038.0000 2.8739 2.0773 2.8500 2.0500 2.8562 2.2040 8.1000 2.8878 2.0822 2.8650 2.0550 2.8709 2.2041 8.2000 2.9013 2.0865 2.8800 2.0600 2.8856 2.2010 8.3000 2.9144 2.0902 2.8950 2.0650 2.9003 2.1949 8.4000 2.9272 2.0933 2.9100 2.0700 2.9149 2.1862 8.5000 2.9397 2.0959 2.9250 2.0750 2.9294 2.1752 8.6000 2.9520 2.0979 2.9400 2.0800 2.9439 2.1623 8.7000 2.9641 2.0994 2.9550 2.0850 2.9582 2.1479 8.8000 2.9761 2.1002 2.9700 2.0900 2.9723 2.13258.9000 2.9881 2.1004 2.9850 2.0950 2.9863 2.11649.0000 3.0000 2.1000 3.0000 2.1000 3.0000 2.1000 9.1000 3.0119 2.0990 3.0050 2.0950 3.0134 2.0838 9.2000 3.0238 2.0974 3.0100 2.0900 3.0264 2.0680 9.3000 3.0355 2.0952 3.0150 2.0850 3.0390 2.0531 9.4000 3.0469 2.0925 3.0200 2.0800 3.0510 2.0393 9.5000 3.0578 2.0893 3.0250 2.0750 3.0625 2.0269 9.6000 3.0683 2.0857 3.0300 2.0700 3.0733 2.0161 9.7000 3.0782 2.0815 3.0350 2.0650 3.0833 2.0069 9.8000 3.0873 2.0770 3.0400 2.0600 3.0924 1.99969.9000 3.0956 2.0721 3.0450 2.0550 3.1005 1.994110.0000 3.1029 2.0668 3.0500 2.0500 3.1076 1.9904 10.1000 3.1092 2.0611 3.0550 2.0450 3.1136 1.9883 10.2000 3.1143 2.0552 3.0600 2.0400 3.1183 1.9878 10.3000 3.1181 2.0490 3.0650 2.0350 3.1216 1.9886 10.4000 3.1206 2.0425 3.0700 2.0300 3.1236 1.9903 10.5000 3.1215 2.0358 3.0750 2.0250 3.1239 1.9928 10.6000 3.1209 2.0289 3.0800 2.0200 3.1227 1.9955 10.7000 3.1185 2.0219 3.0850 2.0150 3.1198 1.9980 10.8000 3.1143 2.0147 3.0900 2.0100 3.1151 2.000010.9000 3.1082 2.0074 3.0950 2.0050 3.1085 2.000811.0000 3.1000 2.0000 3.1000 2.0000 3.1000 2.000011.1000 3.0897 1.9924 3.0800 1.9800 3.0895 1.997011.2000 3.0772 1.9841 3.0600 1.9600 3.0770 1.991411.3000 3.0626 1.9742 3.0400 1.9400 3.0624 1.982611.4000 3.0459 1.9621 3.0200 1.9200 3.0457 1.970211.5000 3.0269 1.9469 3.0000 1.9000 3.0268 1.953711.6000 3.0059 1.9280 2.9800 1.8800 3.0058 1.932811.7000 2.9826 1.9046 2.9600 1.8600 2.9826 1.907211.8000 2.9573 1.8759 2.9400 1.8400 2.9572 1.876511.9000 2.9297 1.8413 2.9200 1.8200 2.9297 1.840812.0000 2.9000 1.8000 2.9000 1.8000 2.9000 1.800012.1000 2.8682 1.7516 2.8600 1.7400 2.8682 1.754212.2000 2.8342 1.6970 2.8200 1.6800 2.8344 1.703512.3000 2.7984 1.6377 2.7800 1.6200 2.7986 1.648512.4000 2.7606 1.5749 2.7400 1.5600 2.7609 1.589512.5000 2.7211 1.5099 2.7000 1.5000 2.7214 1.527212.6000 2.6798 1.4442 2.6600 1.4400 2.6801 1.462512.7000 2.6370 1.3790 2.6200 1.3800 2.6372 1.396212.8000 2.5927 1.3157 2.5800 1.3200 2.5928 1.329612.9000 2.5470 1.2556 2.5400 1.2600 2.5470 1.263713.0000 2.5000 1.2000 2.5000 1.2000 2.5000 1.200013.1000 2.4518 1.1501 2.4500 1.1800 2.4519 1.139913.2000 2.4026 1.1063 2.4000 1.1600 2.4029 1.084813.3000 2.3527 1.0687 2.3500 1.1400 2.3531 1.036413.4000 2.3021 1.0377 2.3000 1.1200 2.3027 0.996213.5000 2.2513 1.0134 2.2500 1.1000 2.2520 0.965613.6000 2.2004 0.9960 2.2000 1.0800 2.2011 0.946213.7000 2.1496 0.9857 2.1500 1.0600 2.1502 0.939113.8000 2.0991 0.9828 2.1000 1.0400 2.0996 0.945413.9000 2.0491 0.9875 2.0500 1.0200 2.0494 0.965614.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.000014.1000 1.9519 1.0205 1.9600 1.0600 1.9515 1.048314.2000 1.9049 1.0492 1.9200 1.1200 1.9042 1.109614.3000 1.8594 1.0863 1.8800 1.1800 1.8583 1.181914.4000 1.8156 1.1320 1.8400 1.2400 1.8142 1.262714.5000 1.7737 1.1866 1.8000 1.3000 1.7720 1.348014.6000 1.7339 1.2503 1.7600 1.3600 1.7320 1.432514.7000 1.6963 1.3233 1.7200 1.4200 1.6945 1.509514.8000 1.6614 1.4057 1.6800 1.4800 1.6598 1.570514.9000 1.6292 1.4979 1.6400 1.5400 1.6282 1.605015.0000 1.6000 1.6000 1.6000 1.6000 1.6000 1.6000 得到的三个图形如下所示●考虑到所给的图线没有明确的数学表达式，所以采用梯形法（也可以采用自己编程得到的辛普森公式进行计算）计算积分，参考教材p61给出的计算面积的方法，在求面积时候直接将所有的x和y放在一起构成一个顺时针的回路，这样算出的结果正好是围成的面积。

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法数学系信息与计算科学1班李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。

本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。

关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。

引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。

用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。

一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。

虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。

另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。

2.拉格朗日基本插值公式进行插值：先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。

运筹学论文-产销不平衡运输

管理运筹学论文---产销不平衡运输摘要运输问题是运筹学中的一个重要问题，也是物流系统优化中常见的问题，同时也是一种特殊的线性规划问题。

怎么样尽可能的在产地与销地之间减少运输成本和降低运输费用是很多运输公司热切关注的话题。

本文涉及的是一个总产量大于总销量的产销不平衡运输问题，通过对产地与销售地车辆运输的建立模型，在运用表上作业迭代法（最小元素法）求解后，再根据模型用lingo软件编写程序进行求解。

然后对结果进行分析，以及运输问题的延伸。

最后证明用lingo 解决车辆运输的可行性。

关键字：运输问题，产销不平衡，表上作业法， lingo目录一、问题的提出与分析 (1)1.1问题提出 (1)1.2问题分析 (1)二、模型的建立与基本假设........................................................... . (1)2.1模型的建立 (1)2.2基本假设 (2)三、定义符号说明与表上作业法 (2)四、问题求解 (2)4.1、Lingo求解模型 (4)4.2、Lingo结果 (5)五、模型结果分析与改进 (10)参考文献 (11)一、问题的提出与分析1.1问题提出重庆有三家电子厂分别是新普，隆宇和恒华，生产的笔记本电脑将要运向北京，天津，广东，上海四个城市销售，其产量和销售量见下表：（单位：万台）表：1-1北京天津广东上海产量新普626730隆宇495325恒华881521销量15172212-问：哪种销售方案将会取得最少的运输费用，费用为多少？1.2问题分析图表数据显示产量总和为30+25+21=76万台，销量的总和为15+17+22+12=66万台，说明了此问题是一个总产量大于总销量的运输问题（76>66）。

该问题一方面要求满足北京，天津，广东，上海四个销售地的供货需求，而另一方面又要考虑新普，隆宇和恒华三个产地的运往销售地的运输费用，此外问题不但要求满足销售地分配要足，同时也要保证最大化的减少运输费用。